2024年4月3日发(作者：比亚迪g3内饰图片)
高三文科数学
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分
.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合
A.3
A?
?
1,3,4,5
?
，集合
B.4
B?
?
0,1,2,3
?
，则
A?B
的
真子集个数为（
C.7
）
）
D.8
，则
z
等于（
2.
若复数
z
满足
?
1?i
?
?z?3?i
（
i
是虚数单位）
A.
1
?
i
2
B.
1
?
i
2
C.
1?2i
D.
1?2i
3.
《九章算术》中方田篇有如下问题：
“
今有田广十五步，从十六步．问田为几何？答曰：一亩．
”
其意思：
“
现有
一块田，宽十五步，长十六步．问这块田
的
面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600
步，则该田有（
A.12顷
）
B.13顷C.14顷
）
D.
D.16顷
4.函数
f
?
x
?
?xcosx?sinx
在区间
?
?π,0
?
上的最大值为（
A.1B.
π
C.
3
2
3π
2
5.在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程
ax
2
?2bx?1?0
有2个不相等的实数根的概率为
（
A.
）
4
9
B.
5
9
C.
5
12
D.
2
3
6.
若点
F
是抛物线
C:y
2
?2x
的焦点，点
A,B
分别是抛物线
C
上位于第一、四象限的点，且
AF?x
轴，
BF?2AF
，则点
B
的坐标为（
A.
?
）
?
3
?
,
?
3
?
?
2
?
B.
?
2,?22
?
2
C.
?
3,?23
）
?
D.
?
?
1
?
,
?
2
?
?
2
?
7.已知
a?log
2
0.2
，
b?log
5
2
，
c?
log
1
A.
a?b?c
C.
c 1 ，则（ 5 B. b D. a?c?b 8.已知函数 f ? x ? ?sinx? ? cosx ? ? ?R ? 的图像关于直线 x ?? A.1B. ? 对称，则函数 f ? x ? 的最大值为（ 6 ） C.2D. 5 2 ???? ???????????? ?? ???? ??? ???? ??? 2π ，若 BC?1 ，则 AC 的最小值为（ 9. 已知平面向量 PA ， PB 满足 PA?PB?1 ， PA ， PB 的夹角为 3 A. ） 2?1 B. 2?1 C. 3?1 D. 3?1 ）10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为（ A.4B. 42 C. 25 D.6 x 2 y 2 11. 已知双曲线 C ： 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线方程为 3x?4y?0 ，且焦距为 10 ，过双曲线 C 中心的直线 ab 与双曲线 C 交于 M,N 两点，在双曲线 C 上取一点 P （异于 M,N ），直线 PM ， PN 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，则 k 1 k 2 等于（ A. ） B. 3 4 9 16 2 C. 2 4 5 2 D. 16 25 12. 已知直线 3x?y?2?0 与圆 x? ? y?2 ? m x ? 1 ，满足 ?m ? m?0 ? 相切，若函数 f ? x ? ? x 1 ? m ） f ? ? a ? x?1 ? ? ? ?f ? ? ? x?2 ?? x?4 ? ? ? ?0 ，对于任意的 x? ? 0,?? ? 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ A. C. ? 23?4,?? ? B. ? ?23?4,?? ? ? 4,?? ? D. ? ? ? 23, ?? ? 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ? x ? y ? 0 ? 13. 若实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z?2x?y 的最小值为 __________. ? 0 ? y ? 2 ? 14. 已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x?2y?1?0 垂直，则 sin ? ? 3cos ? ? ___________ ． sin ? ? cos ? 15. 已知四棱锥 P ? ABCD 的顶点都在半径为 3 的球面上，底面 ABCD 是正方形，且底面 ABCD 经过球心 O ， E 是 AB的中点， PE? 底面ABCD，则该四棱锥 P ? ABCD 的体积等于___________. 16.在 ?ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， sinB?2sinA ， bsinB?a ? sinB?sinA ? ? ? a?c ? sinC?asinB?0 ，则 c ? __________. a 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题 考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 已知等比数列 ? a n ? 的各项均为正数， a 1 ?a 2 ?6 ， a 3 ?8 ． （1）求数列 ? a n ? 的通项公式； （ 2 ）若 b n ? b n ? 1 ? log 2 a n ，数列 ? b n ? 的前 n 项和为 T n ，求 T 2n ． 18.某地区为了调查年龄区间在 ? 20,45 ? 岁的居民的上网时间，从该地区抽取了 n ? n?100 ? 名居民进行调查，并将 调查结果按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）若用分层抽样 的 方法进一步从被调查的 n 名居民中抽取60人进行深度调研，则年龄在 ? 35,40 ? 以及年龄在 ? 40,45 ? 的居民分别有多少人 ? （2）在 ? 35,40 ? 中抽取4人， ? 40,45 ? 中抽取2人，若从这6人中再次随机抽取2人调查浏览新闻的时间，求两人 年龄都在 ? 35,40 ? 上的概率. 19. 如图，在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中， AB?AC?5 ， BB 1 ?BC?6 ， D ， E 分别是 AA 1 和 B 1 C 的中点 . （1）求证：平面 BED? 平面 BCC 1 B 1 ； （2）求三棱锥 E?BCD 的 体积. x 2 y 2 2 20.已知椭圆 C ： 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为，且过点 P ? 2,2 ? . ab 2 （ 1 ）求椭圆 C 的方程； （ 2 ）过点 M ? ?1,0 ? 作直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，且椭圆 C 的 左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ， ?F 1 AF 2 ， ?F 1 BF 2 的面积分别为 S 1 ， S 2 ，求 S 1 ?S 2 的最大值. 21. 已知函数 f ? x ? ? 2e ?x? 2 ax?a? 3 ， a?R . x 22 （1）若 a?1 ，求函数 f ? x ? 的图像在 0,f ? 0 ? 处的切线方程； （ 2 ）若对任意的 x?0 ， f ? x ? ?0 恒成立，求 a 的取值范围 . ?? （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 22.已知曲线 C 1 的参数方程为 ? 标方程为 ? cos ? ??3 . ? x ? 2cos t （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，曲线 C 2 的极坐 y ? 2 ? 2sin t ? （1）求曲线 C 1 的极坐标方程； （ 2 ）求曲线 C 1 与曲线 C 2 的交点的极坐标 . [选修4—5：不等式选讲]（10分） 23.已知函数 f ? x ? ?x?2?2x?a ， a?R . （ 1 ）当 a?2 时，求不等式 f ? x ? ?6 的解集； （ 2 ）当 a<-4 时，若存在 x??2 ，使得 f ? x ? ?x?4 成立，求 a 的取值范围 . 高三文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A3 A? ? 1,3,4,5 ? ，集合 B.4 B? ? 0,1,2,3 ? ，则 A?B 的真子集个数为（ C.7 ） D.8 . 【答案】A 【分析】求出交集，再由真子集的个数公式得出答案 . 【详解】因为 A?B? ? 1,3 ? ，所以 A?B 的真子集个数为 2 2 ?1?3 个. 故选：A 2.若复数 z 满足 ? 1?i ? ?z?3?i （ i 是虚数单位），则 z 等于（ A. 1 ? i 2 ） D. 1?2i B. 1 ? i 2 C. 1?2i 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得. 3 ? i ? 3 ? i ?? 1 ? i ? 3 ? 3i ? i ? i 2 ??? 1 ? 2i . 【详解】解：由 ? 1?i ? ?z?3?i 得 z ? 1 ? i ? 1 ? i ?? 1 ? i ? 2 故选：C 3.《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步．问田为几何？答曰：一亩．”其意思：“现有 一块田，宽十五步，长十六步．问这块田的面积是多少？答：一亩． ” 如果百亩为一顷，今有田宽 480 步，长 600 步，则该田有（ A.12顷 【答案】 A 【分析】根据亩和顷的定义计算可得结果 . 【详解】依题意可得该田有 则该田有 故选：A 4.函数 f ? x ? ?xcosx?sinx 在区间 ? ?π,0 ? 上 的 最大值为（ A.1 【答案】 B 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得 f ? ? x ? ?cosx?xsinx?cosx??xsinx ， 当 x??π,0 时， sinx?0 ， f ? ? x ? ?0 ， B. π C. ） D. 1200 ? 12 顷． 100 ） B.13顷C.14顷D.16顷 480 ? 600 ? 1200 亩， 16 ? 15 3 2 3π 2 ?? 所以 f ? x ? 在区间 ? ?π,0 ? 单调递减，故函数最大值为 f ? ?π ? ?π ， 故选：B 5.在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程 ax 2 ?2bx?1?0 有2个不相等的实数根的概率为 （ A. ） 4 9 B. 5 9 C. 5 12 D. 2 3 【答案】D 【分析】利用列举法结合古典概型公式计算即可. 【详解】 ? a,b ? 取为 ? 1,2 ? ， ? 1,3 ? ， ? 1,4 ? ， ? 2,1 ? ， ? 2,3 ? ， ? 2,4 ? ， ? 3,1 ? ， ? 3,2 ? ， ? 3,4 ? ， ? 4,1 ? ， ? 4,2 ? ， ? 4,3 ? 共12种， 其中使 ax 2 ?2bx?1?0 有2个不等实根，即 4b 2 ?4a ， b 2 ?a 的有8个， 所以 P? 82 ? . 123 故选：D. 6. 若点 F 是抛物线 C:y 2 ?2x 的焦点，点 A,B 分别是抛物线 C 上位于第一、四象限的点，且 AF?x 轴， BF?2AF ，则点 B 的坐标为（ A ? . ） ? 3 ? , ? 3 ? ? 2 ? B. ? 2,?22 ? C. ? 3,?23 ? D. ? ? 1 ? , ? 2 ? ? 2 ? 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义求解即可 . 【详解】由题意可知 F ? ? 1 ? ,0 ? ， ? 2 ? 因为 AF?x 轴，所以 A ? 所以 BF? 2 ?x B ? 故选： A ? 1 ? ,1 ? ， AF?1 ， 2 ?? 1 3 ? 3 ? ，解得 x B ? ，所以 B ? , ? 3 ? ， 2 2 ? 2 ? 1 ，则（ 5 7. 已知 a?log 2 0.2 ， b?log 5 2 ， c? log 1 A. a?b?c ） 2 B. b C. c 【答案】 A 【分析】由对数函数的单调性判断大小即可. D. a?c?b 【详解】 log 2 0.2?log 2 1?0 ， 0?log 5 1?log 5 2?log 5 5?1 ， c? log 1 即 a?b?c . 故选：A 8. 已知函数 f ? x ? ?sinx? ? cosx ? ? ?R ? 的图像关于直线 x ?? A.1 【答案】 C 【分析】由正弦函数的对称性得出 f ? 0 ? ? f ? ? 【详解】因为函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ?? 即 sin0? ? cos0?sin ? ? B. 2 11 ? log 1 ? 1 52 2 ? 对称，则函数 f ? x ? 的最大值为（ 6 D. ） 2 C.2 5 ? ? ? ? ，进而得出 ? ，再由辅助角公式结合三角函数的性质得出最值 . 3 ?? ? 对称，所以 f ? 0 ? ? 6 ? ? ? f ? ? ? ， ? 3 ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ，解得 ? ??3 ， ? 3 ?? 3 ? ? ?? 所以 f ? x ? ?sin x ?3cos x ?2sin ? x ? ? ，所以 f ? x ? 的最大值为 2. 3 ?? 故选：C ???? ???????????? ?? ???? ??? ???? ??? 2π ，若 BC?1 ，则 AC 的最小值为（ 9. 已知平面向量 PA ， PB 满足 PA?PB?1 ， PA ， PB 的夹角为 3 A. ） 2?1 B. 2?1 C. 3?1 D. 3?1 【答案】C 1,0 ) ， B ? x 0 ,y 0 ? ， C ? x,y ? ，利用数量积和模长的坐标表示求得 C 点的轨迹即可求 【分析】不妨设 P ? 0,0 ? ， A ( 解. ???????? ? ???? ??? 2π 【详解】因为 PA?PB?1 ， PA ， PB 的夹角为， 3 ???????????????????????? 1 所以 PA?PB?PAPB cos PA , PB?? ， 2 ???????? P0,0 A1,0 Bx,y 不妨设 ?? ， () ， ? 00 ? ，则 PA? ? 1,0 ? ， PB? ? x 0 ,y 0 ? ， ????? 1 ? ??? PA ? PB ? x ?? ?? ?? 0 ? 2 ，解得 B ? ? 1 , 3 ? 或 B ? ? 1 , ? 3 ? ，则 ? ??? ? 22 ? ? ? 22 ? ?? ?? ? PB ? x 2 ? y 2 ? 1 00 ? ???? 设 C ? x,y ? ，由 BC?1 得 C 在以 B 为圆心， 1 为半径的圆上， 或 2 2 ???? ???? ?? 3 ? 1 ? 所以 AC 的最小值为 AB ? 1 ? ? ?? 1 ? ? ? ?? 0 ? ? 1 ? 3 ? 1 . ?? ? 2 ? ? 2 ? 故选： C 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为（） A.4 【答案】D B. 42 C. 25 D.6 【分析】作出直观图，根据三视图的数据和勾股定理计算各棱长即可 【详解】作出四棱锥A﹣BCDE的直观图如图所示： 由三视图可知底面 BCDE 是平行四边形， DE//BC， DE ? 面 ABE ， 且 AE?BE?DC?25,DE?BC?AB?4 , AC?42 ， AD? 所以最长的棱是 AD ，长为 6 . AE?DE? 22 ? 25 ? ?4 2 2 ?6 故选：D. x 2 y 2 11. 已知双曲线 C ： 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的 渐近线方程为 3x?4y?0 ，且焦距为 10 ，过双曲线 C 中心的直线 ab 与双曲线 C 交于 M,N 两点，在双曲线 C 上取一点 P （异于 M,N ），直线 PM ， PN 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，则 k 1 k 2 等于（） A. 3 4 B. 9 16 C. 4 5 D. 16 25 【答案】B 【分析】由双曲线 C 的两条渐近线方程以及焦距，求得 a 2 ?16 ， b 2 ?9 ，进而得到双曲线方程，设出点 M ? x 1 ,y 1 ? ， 可得 N ? ?x 1 ,?y 1 ? ，点 Px 0 , y 0 ，代入双曲线方程，两式相减，结合直线的斜率化简整理可得所求值． 【详解】双曲线 C 的两条渐近线方程为 3x?4y?0 ，所以 因为焦距为 10 ，所以 c?5 ， x 2 y 2 ? 1 ．又 c?a?b ，所以 a?16 ， b?9 ，故双曲线的方程为 ? 169 222 2 ?? b 3 = ， a 4 2 设点 M ? x 1 ,y 1 ? ，则根据对称性可知 N ? ?x 1 ,?y 1 ? ，点 P ? x 0 , y 0 ? ， k 1 ? y 0 ? y 1 y 0 ? y 1 k ? ， 2 ， x 0 ? x 1 x 0 ? x 1 22 22 y 0 ? y 1 2 y 0 ? y 1 2 9 x 0 y 0 x 1 2 y 1 2 ? 所以 k 1 k 2 ? 2 . ?? 1 ， ?? 1 ，两式相减可得 k 1 k 2 ? 22 ，且 2 169 x 0 ? x 1 x 0 ? x 1 16 169 故选： B 12.已知直线 3x?y?2?0 与圆 x? ? y?2 ? 2 2 m x ? 1 ，满足 ?m ? m?0 ? 相切，若函数 f ? x ? ? 1 ? m x 2 f ? ? a ? x?1 ? ? ? ?f ? ? ? x?2 ?? x?4 ? ? ? ?0 ，对于任意的 x? ? 0,?? ? 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ A. C. ） ? 23?4,?? ? B. ? ?23?4,?? ? ? 4,?? ? D. ? ? ? 23, ?? ? 【答案】B 【分析】根据题意，由直线与圆相切可得 m ，从而可得 f ? x ? 为奇函数且在 R 上为单调递增函数，再将不等式化简， 结合基本不等式即可得到结果. 【详解】由圆 x 2 ? ? y?2 ? ?m 2 ? m?0 ? 可得圆心 ? 0,2 ? ，半径为 m ， 2 直线与圆相切，则 m ? 0 ? 2 ? 2 m x ? 12 x ? 1 ? 2 ， f ? x ? ? ， ? xx 1 ? m 1 ? 2 3 ? 1 2 ? x ? 11 ? 2 x 因为 f ? ? x ? ???? f ? x ? ，所以 f ? x ? 为奇函数 . ? xx 1 ? 21 ? 2 2 x ? 12 x ? 1 ? 22 且 f ? x ? ? 在 R 上为单调递增函数， ?? 1 ? 1 ? 2 x 1 ? 2 x 1 ? 2 x 对于任意的 x? ? 0,?? ? ，有 f ? ? a ? x?1 ? ? ? ?f ? ? ? x?2 ?? x?4 ? ? ? ?0 ，即 f ? ? a ? x?1 ? ? ? ??f ? ? ? x?2 ?? x?4 ? ? ? ?f ? ? ? ? x?2 ?? x?4 ? ? ? 所以 a ? x?1 ? ?? ? x?2 ?? x?4 ? ，
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