2024年4月3日发(作者：牧马人最漂亮的改装图)
2022-2023学年北京市人大附中早培班八年级（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本题共
24
分，每小题
3
分）第
1-8
题均有四个选项，仅有一项符合题目要求
2
y?x?1
向右平移
1
个单位，再向下平移
1
个单位，得到的抛物线是（
1.将抛物线
）
A.
y?(x?1)
2
C.
y?(x?1)
2
?2
【答案】A
B.
y?(x?1)
2
D.
y?(x?1)
2
?2
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线
y?x
2
?1
向右平移
1
个单位，再向下平移
1
个单位，
得到的抛物线是：
y?(x?1)
2
?1?1
，即
y?(x?1)
2
．
故选：
A
．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
2.如图，每个小正方形边长均为1，则图中四个阴影的三角形中与
?ABC
相似的是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】利用勾股定理求得每个三角形的三边长，确认是否成比例，即可求解．
【详解】解：由题意可得：
?ABC
的三边长为
AC?
A、三角形的三边长为
1
，
5
，
22
，
B
、三角形的三边长为
2
，
5
，
3
，
C、三角形的三边长为
2
，
5
，
13
，
2
，
BC?2
，
AC?10
，
1
2
2
2
2
2
1
2
?
522
，不符合题意；
?
2
10
53
，不符合题意；
?
2
10
513
，不符合题意；
?
2
10
25
，与
?ABC
相似，符合题意；
?
2
10
?
?
D
、三角形的三边长为
1
，
2
，
5
，
故选D.
?
【点睛】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，正确求出每个三
角形的边长．
3.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的半径为
（）
A.6cm
【答案】
B
B.5cmC.4cmD.3cm
【分析】连接
AB
、
OC
，根据题意可得
AB?8
，
OC?AB
，再根据垂径定理得到
AH?BH?4
，设
AO?x
，
利用勾股定理建立方程解出
x
即可解决此题．
【详解】解：连接
AB
、
OC
，
OC
交
AB
于点
H
，
由题可得，
AB?8
，
OH?AB
，
?
AH?BH?4
，
设
AO?x
，则
OH?x?2
，
在
Rt?AOH
中，
AO
2
?AH
2
?OH
2
，
?
x
2
?4
2
?
?
x?2
?
，
解得
x?5
，即
AO?5
，
故选：
B
．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能构造直角三角形利用勾股定理解直角三角形．
4.如图，已知
AB
是
?O
的直径，点P在
BA
的延长线上，
PD
与
?O
相切于点D，过点B作
BC?PD
于点C，
若
PA?4
，
BC?6
，则
?O
的半径的长为（）
2
A.3
【答案】
C
B.
23
C.4D.
33
【分析】利用已知条件证明
△OPD∽△BPC
，推出
OPOD
?
，设
?O
的半径的长为r，将数值代入等式，解关
BPBC
于
r
的一元二次方程即可．
【详解】解：
?
PD
与
?O
相切于点
D
，
?
OD?PC
，
?
?ODP??BCP?90?
，
又
?
?OPD??BPC
，
?
△OPD∽△BPC
，
?
OPOD
PA
?
OAOD
?
?
，即．
PA
?
ABBC
BPBC
4
?
rr
?
，
4
?
2
r
6
设
?O
的半径的长为r，
则
整理得
r
2
?r?12?0
，
解得
r
1
?4
，
r
2
??3
（舍），
?
?O
的半径的长为4，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、切线的性质、解一元二次方程等，解题的关键是通过相似得出
OPOD
?
．
BPBC
?6
?
，B
?
1，2
?
两点，关于x的不等式
ax
2
?kx?c?0
的解集是
5.抛物线
y?ax
2
?c
与直线
y?kx
交于
A
?
?3，
（）
B.
x??6
或
x?2
C.
?3?x?1
D.
?6?x?2
A.
x??3
或
x?1
【答案】C
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及一次函数图象的关系，
写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
?
9
a
?
c
??
6
【详解】解：由题意得
?
，
a
?
c
?
2
?
?
a
??
1
∴
?
，
c
?
3
?
∴抛物线开口向下，
∵
ax
2
?kx?c?0
，
∴
ax
2
?c?kx
，
∴关于x的不等式
ax
2
?kx?c?0
的解集即为二次函数
y?ax
2
?c
的图象在一次函数
y?kx
图象上方自变量的取
值范围，
∴关于x的不等式
ax
2
?kx?c?0
的解集是
?3?x?1
，
故选
C
．
【点睛】本题主要考查了根据两函数的交点求不等式的解集，正确判断出二次函数开口向下是解题的关键．
6.魏时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线
AC
上，
DE
和
FG
是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，
EG
称为“表距”，
GC
和
EH
都
称为表目距”，
GC
和
EH
的差称为“表目距的差”则海岛的高
AB?
（）
A.
C.
表高
×
表距
?
表高
表目距的差
表高
×
表距
?
表距
表目距的差
B.
表高
×
表距
?
表高
表目距的差
表高
×
表距
?
表距
表目距的差
DEEHFGCG
?,?
，进而
ABAHBACA
D.
【答案】A
【分析】根据
AB∥DE∥FG
，可得
?ABH∽?EDH,?CFG∽?CBA
，从而得到
得到
EHCGEHCG
??
，再由比例的性质可得，从而得到
?
CG?EH
?
?AE?EH?EG
，进
AHCAAE
?
EHAE
?
EG
?
GC
EH
?
EG
EH
?
EG
DE
?
AH
而得到
AE
?
，再由
AH?AE?EH
，可得
CG
?
EH
?
DE
?
EH
，即可求解．
AB
??
DE
?
CG
?
EH
EHEHEH
【详解】解：根据题意得：
AB∥DE∥FG
，
∴
?ABH∽?EDH,?CFG∽?CBA
，
∴
DEEHFGCG
?,?
，
ABAHBACA
EHCG
?
，
AHCA
EHCG
?
，
AE
?
EHAE
?
EG
?
GC
∴
∴
∴
CG?AE?CG?EH?EH?AE?EH?EG?EH?GC
，
∴
?
CG?EH
?
?AE?EH?EG
，
∴
AE
?
EH
?
EG
，
CG
?
EH
DE?AH
DE
?
AE?EH
?
?
EHEH
∵
AH?AE?EH
，
∴
AB
?
?
DE
?
AEDE
?
EH
?
EHEH
DE
?
EH
?
EG
CG
?
EH
?
DE
?
EH
EHEH
?
EH
?
EG
DE
?
EH
?
DE
?
CG
?
EH
?
EHEH
?
?
DE
?
EG
?
DE
CG
?
EH
表高
×
表距
?
表高．
表目距的差
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2
7.已知
P
1
?
x
1
,y
1
?
，
P
2
?
x
2
,y
2
?
是抛物线上
y?ax?4ax
的两点，下列命题正确的是（）
A.若
x
1
?2?x
2
?2
，则
y
1
?y
2
C.
若
y
1
?y
2
，则
x
1
?x
2
【答案】
D
B.若
y
1
?y
2
，则
x
1
?2?x
2
?2
D.
若
x
1
-2=x
2
-2
，则
y
1
?y
2
【分析】根据抛物线解析式可以得到抛物线的对称轴，然后在分类讨论开口方向求解．
【详解】解：
?y?ax
2
?4ax
?
抛物线的对称轴为直线
x
??
?
4
a
?
2
2
a
A、当
a<
0
抛物线开口向下，若
x
1
?2?x
2
?2
即
x
1
到对称轴的距离大于
x
2
到对称轴的距离，则
y
2
?y
1
，故此项
错误
B、当
a<
0
抛物线开口向下，若
y
1
?y
2
说明
P
1
更接近对称轴，则
P
1
到对称轴的距离更小即
x
1
?2?x
2
?2
，故此
项错误
y
C
、当
y
1
?y
2
，
P
1
?
x
1
,y
1
?
，
P
2
?
x
2
,y
2
?
关于
轴对称或重合，故此项错误
D
、若
x
1
-2=x
2
-2
，说明
P
1
?
x
1
,y
1
?
，
P
2
?
x
2
,y
2
?
到对称轴的距离相等，则
y
1
?y
2
，故此项正确
故选
D
．
【点睛】本题考查二次函数图像的对称性及二次函数开口方向，正确理解二次函数的对称性是解题的关键．
8.将空间景物用单点透视法画在平面上时，需满足以下三点：
（1）空间中的直线画在纸上仍然是一条直线；
（
2
）空间直线上点的相关位置必须和纸上所画的点的相关位置一致；
（
3
）空间直线上的任意四个相异点的
K
值和纸上所画的四个点的
K
值需相同，其中
K
值的定义如下：直线上任给
K
?
四个有顺序的相异点
P
1
，
P
2
，
P
3
，
P
4
，如图：图中四个点所对应的
K
值定义如下：
PP
14
?
P
2
P
3
；
PP
?
PP
1324
Q
某画家依照以上原则，将空间中一直线以及直线上四个相异点
Q
其中
Q
1
Q
2
=
Q
2
Q
3
=
Q
3
Q
4
，
1
，
2
，
Q
3
，
Q
4
描绘在纸上，
若将纸上所画的直线视为数轴，并将线上的点用数轴上的实数来表示，则以下选项中，可能是此四点在纸上数轴表
示的实数是（）
A.1，2，4，8
【答案】
D
B.3，4，6，9C.1，5，8，9D.1，7，9，10
【分析】先根据题意求出
K
的值，再根据数轴上的数求出
K
，即可判断．
【详解】设
Q
1
Q
2
?
Q
2
Q
3
?
Q
3
Q
4
?
a
，
则
Q
1
Q
4
?3
a
，
Q
1
Q
3
?
Q
2
Q
4
?2
a
，
∴
K
?
Q
1
Q
4
?
Q
2
Q
3
3
a
?
a
3
??
．
Q
1
Q
3
?
Q
2
Q
4
2
a
?2
a
4
因为
(8?1)?(4?2)7
??
K
，所以不符合题意；
(4?1)?(8?2)9
(9?3)?(6?4)4
??
K
，所以不符合题意；
(6?3)?(9?4)5
(9?1)?(8?5)6
??
K
，所以不符合题意；
(8?1)?(9?5)7
(10?1)?(9?7)3
??
K
，所以符合题意．
(9?1)?(10?7)4
因为
因为
因为
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，理解题意是解题的关键．
二、多项选择题（本题共12分，每小题3分）第9-12题均有四个选项，有多项符合题目要求
9.
如图
AD
是
?O
的直径，
CD
是弦，四边形
OBCD
是平行四边形，
AC
与
OB
相交于点
P
，以下说法正确的是
（）
A.
AP?CP
B.
BP?OP
C.
CD?2OP
D.
?A?45?
【答案】ABC
【分析】利用平行四边形的性质和圆的基本性质可证
?BOC
和
△COD
均为等边三角形，得到
?COD?60?
，
进而可得
?A?
?BOC?60?
，
是
?ACD
的中位线，可得
OP?
1
?COD?
30
?
，可证
D
选项错误；再利用垂径定理可证
A
选项正确；通过证明
OP
2
1
1
CD
，证明
C
选项正确；利用等腰三角形三线合一的性质可得
BP?OP?OB
，
2
2
可证
B
选项正确．
【详解】解：
?
AD
是
?O
的直径，
?
?
ACD=90?
，
?
AC?CD
．
如图，连接
OC
．
?
四边形
OBCD
是平行四边形，
?
OB?CD
，
BC?OD
，
?
OB?OC?OD
，
?
OB?OC?BC?OD?CD
，
?
?BOC
和
△COD
均为等边三角形，
?
?COD?60?
，
?BOC?60?
，
?
?A?
1
?COD?
30
?
，故D选项错误；
2
?
四边形
OBCD
是平行四边形，
?
OB∥CD
，
?
AC?CD
，
?
AC?OB
，
?
AP?CP
，故A选项正确；
?
OA?OD
，
?
OP
是
?ACD
的中位线，
?
OP?
1
CD
，即
CD?2OP
，故
C
选项正确；
2
?
?BOC
为等边三角形，
AC?OB
，
?
BP?OP?
故选
ABC
．
1
OB
，故B选项正确；
2
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行四边形
的
性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线的性质等，
难度一般，能够综合运用上述知识是解题的关键．
10.已知抛物线
y＝ax
2
?bx?c
上部分点的横坐标x纵坐标y对应值如表：
x
……﹣1
0123
……
y
……
0
﹣3﹣4
）
﹣3
m
……
以下说法不正确的是（
A.
m?0
B.
a?1
C.
方程
ax
2
?bx??2?c
两个实数根为
x
1
，x
2
，且
x
1
?x
2
，则
?3＜x
1
＜?2
D.函数
y＝ax?bx?c
与函数
y＝x?n
恰有两个交点，则
?3＜n＜1
2
【答案】D
【分析】根据表中数据和抛物线的性质，可得抛物线开口向上，对称轴是
x?1
，利用待定系数法即可求出
a?1
，
再根据抛物线的性质即可进行判断．
【详解】由表中数据可知抛物线对称轴为：
x?1
，
?
?
?1,0
?
和
?
3,m
?
关于
x?1
对称，
?m?0
，
故
A
正确，不符合题意；
设抛物线解析式为
y?a
?
x?1
?
?4
，代入
?
0,?3
?
得：
2
?3?a?4
，
解得：
a?1
，
故B正确，不符合题意；
?y?
?
x?1
?
?4?x
2
?2x?3
，
方程
ax
2
?bx??2?c
，即
x
2
+2x?1
，解得
x??1?2
，
?x
1
?x
2
，
2
?x
1
??1?2
，
??3?x
1
??2
，
故C正确，不符合题意；
函数
y=ax?bx?c?x?2x?3
，图象如图，
当
?1?x?3
时，函数关系式为
y??x
2
?2x?3
，
令
?x
2
?2x?3?x?n
，则当方程无解时有两个交点，
整理得：
x
2
?x?3?n?0
，
22
??1
2
?4?1?
?
?3?n
?
?0
，
解得：
n?
3
1
，
4
1
，
4
?
由图象可知，
?1?n?3
或
n?
3
故D错误，符合题意．
故选
D
．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，数值二次函数的性质是解题
的关键．
11.如图，正方形
ABCD
中，点F是
BC
边上一点，连接
AF
，以
AF
为对角线作正方形
AEFG
，边
FG
与正方
）形
ABCD
的对角线
AC
相交于点H，连接
DG
．以下说法正确的是（
A.
?EAB??GAD
【答案】ABC
B.
?FAC∽?GAD
C.
DG?AC
D.
3FG
2
?AH?AC
【分析】根据正方形的性质及各角之间的关系可证明A选项正确；由勾股定理及相似三角形的判定可证明B选项
正确；由各角之间的关系及垂直的性质可证明
C
选项正确；证明
?AFH∽?ACF
，由相似三角形的性质可证明
D
选项错误．
【详解】解：
?
四边形
ABCD
，四边形
AEFG
都是正方形，
?
?EAG??BAD?90?
，
?FAG??AFG??DAC??ACB?45?
，
?
?EAG??BAG??BAD??BAG
，
?
?EAB??DAG
，故
A
选项正确；
?
AF?AG
2
?GF
2
?2AG?2AE
，
AC?AD
2
?DC
2
?2AD
，
AFAC
??2
，
AGAD
?
?
∠FAG?∠DAC?45?
，
?
∠FAC=∠DAG
，
?
?FAC∽?GAD
，故
B
选项正确；
?
?ADG??ACB?45?
，
延长
DG
交
AC
于点N，
?
?CAD?45?
，
?ADG?45?
，
?
?AND?90?
，
?
DG?AC
，故
C
选项正确；
?
?FAC??HAF
，
∠AFH?∠ACF?45?
，
?
?AFH∽?ACF
，
?
AHAF
?
，
AFAC
?
AF
2
?AH?AC
，
?
2GF
2
?AH·AC
，故D选项错误；
故答案为：ABC．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是
解题关键．
，每次进行以下操作之一：
12.n
个正整数排成一列
A
：
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
，
操作一：将其中一个数删除；
操作二：将其中一个数变为更小的正整数；
操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；
现甲乙两人对这些数按照甲—乙—甲—乙—……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获胜．以下
说法正确的是（）
A.若A：2，3，则甲第一次操作后可以产生6种不同的结果
B.
若
A
：
2
，
3
，若甲乙两人经过
k
次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则
b
＝
1
或
5
C.
若
A
：
1
，
2
，
2
，则甲有必胜策略
D.若A：1，2，3，则乙有必胜策略
【答案】C
【分析】若要进行操作三，则最大项的数值必须大于等于3；若要进行操作二，则最大项的数值必须大于等于2；
进行操作二不改变数列的项数．
【详解】解：
A
、当甲进行操作一时，会产生
2
种不同的结果，
A:2
或
A:3
；当甲进行操作二时，会产生
2
种不同
的结果，
A:1,3
或
A:2,3
；当甲进行操作三时，会产生
1
种不同的结果，
A:2,1,1
；因此甲第一次操作后可以产生
5
种不同的结果，
A
故错误．
在数列
A
中，只有
a
2
项能进行操作三，并要求三种操作至少各进行了一次，进行操作三后，项数为
3
，
A:2,1,1
：
B
、
①第二步先进行操作一时，只能删除为1的项，此时
k?1
（操作三）+1（操作二）+4（操作一）
=6
；
②第二步先进行操作二时，此时
k?1
（操作三）+1（操作二）+3（操作一）
=5
；
因此或6，故B错误．
C
、根据题意可知，若数列有奇数个项，甲、乙逐个消去，最终甲执行最后一次操作；有偶数个项逐个消去，最终
乙执行最后一次操作；执行操作二、操作三不影响最终结果；
?A:1,2,2
，为奇数项且最多可执行2（偶数）次操作二，
?
能确保甲最后将所有项消除，只需保证进行偶数次操作二即可，故C正确．
D
、
?A:1,2,3
，为奇数项且最多可执行
3
（奇数）次操作二，
?
能确保乙最后将所有项消除，只需保证进行奇数次操作二即可，故
D
错误．
故选C
【点睛】本题主要考查了数列的应用和逻辑推理，属于难题．
三、填空题（本题共18分，每小题3分）
13.已知
a
2
a
?
2
b
?
_____．
?
，则
a
?
2
b
b
3
a
2
a
?
2
b
分号上下同时除以b，再将
?
整体代入，即可求解．
a
?
2
b
b
3
a
2
?
，
b
3
2
?
2
3
??
2
，
2
?
2
3
【答案】
?2
【分析】将
【详解】解：
?
a
?
2
a
?
2
b
b
??
?
a
?
2
b
a
?
2
b
故答案为：
?2
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用“整体代入法”．
14.以坐标原点O为圆心，作半径为1的
?O
，若直线
y?x?b
与
?O
相交，则b的取值范围是_____．
【答案】
?2?b?2
【分析】分别求出直线
y?x?b
与圆相切，且直线经过一、二、三象限时的
b
的值和直线
y?x?b
与圆相切，且
直线经过一、三、四象限时b的值，即可确定出b的取值范围．
【详解】解：当直线
y?x?b
与圆相切，且直线经过一、二、三象限时，切点为
B
，连接
OB
，
当
x?0
时，
y?b
，则
C(0,b)
，
OC?b
，
当
y?0
时，
x??b
，则
A(?b,0)
，
OA?b
，
?
OA?OC
，
??AOC
为
等腰直角三角形，
??OCA?45?
．
?
直线
y?x?b
与圆相切，
?OB?AC
，
??OBC
为等腰直角三角形，
?OB?BC?1
，
?OC?OB
2
?BC
2
?2
，
?b?2
．
同理，当直线
y?x?b
与圆相切，且直线经过一、三、四象限时，
b??2
，
?
若直线
y?x?b
与
?O
相交，b的取值范围是
?2?b?2
．
故答案为：
?2?b?2
．
【点睛】本题主要考查直线与圆的交点问题，求出相切时b的值是解题的关键．
15.如图所示，D，E分别是
?ABC
的边
AB
，
BC
上的点，且
DE∥AC
，若
S
?
BDE
:
S
?
ADE
?
1:2
，
S
?
ODE
:
S
?
OAC
?
_____．
【答案】
1:9
##
1
9
【分析】由已知得出
BD:BA?1:3
，利用
DE∥AC
证明
?BDE∽?BAC
，推出
DE:AC?BD:BA?1:3
，再
证明
?ODE∽?OCA
，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：
?
S
?
BDE
:
S
?
ADE
?
1:2
，
?BD:DA?1:2
，
?BD:BA?1:3
．
?
DE∥AC
，
??BDE??BAC
，
?BED??BCA
，
??BDE∽?BAC
，
?DE:AC?BD:BA?1:3
．
?
DE∥AC
，
??ODE??OCA
，
?OED??OAC
，
??ODE∽?OCA
，
?S
?
ODE
:
S
?
OAC
?
1
2
:3
2
?1:9
．
故答案为：
1:9
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16.已知函数
y?x
2
?2x?3
，当
?2?x?a
时，函数的最小值是
?4
，则实数a的取值范围是_____．
【答案】
a??1
【分析】先求出当
x=
?
1
时，二次函数有最小值
?4
，由此求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为
y?x
2
?2x?3?
?
x?1
?
?4
，
a?1?0
，
∴当
x=
?
1
时，二次函数有最小值
?4
，
∵函数
y?x
2
?2x?3
，当
?2?x?a
时，函数的最小值是
?4
，
∴
a??1
，
故答案为：
a??1
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出当
x=
?
1
时，二次函数有最小值
?4
是解题的关键．
17.如图，
?ABC
中，
AB?AC
，
BC?16
，
AD
?
BC
于点D．
AD?6
，P是半径为4的
?A
上一动点，连接
BP
，
若E是
BP
的中点，连接
DE
，
DE
长的最大值为_____．
2
【答案】7
【分析】连接
CP
，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得
CD?BD
，根据三角形中位线定理可得
DE?
则当
CP
取最大值时
DE
的长最大，因此求得
CP
的最大值即可．
【详解】解：如图，连接
CP
，
1
CP
，
2
?
AB?AC
，
BC?16
，
AD
?
BC
，
1
BC?
8
，
2
?
BD?DC?
?
E
是
BP
的中点，
?
DE
是
△BPC
的中位线，
?
DE?
1
CP
，
2
?
当
CP
取最大值时
DE
的长最大，
?
P
是半径为
4
的
?A
上一动点，
?
当
CP
经过圆心A时，
CP
取最大值，
?
AD?6
，
CD?8
，
AD
?
BC
，
?
AC?AD
2
?DC
2
?6
2
?8
2
?10
，
?
?A
的半径是
4
，
?
CP
的最大值为
10?4?14
，
?
DE
长的最大值为
7
．
故答案为：
7
．
【点睛】本题考查圆外一点到圆上动点距离的最值，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等，证明
1
DE?CP
是解题的关键．
2
18.如图，正方形
ABCD
的边长为1，点E是
AD
的中点，连接
BE
，点A关于
BE
的对称点为F，连接
BF
交
AC
于点G，则
CG?
_______．
【答案】
3
32
##
7
7
2
【分析】延长
BF
交
CD
于
H
，连接
HE
，作
GM?BC
，
GN?CD
，根据正方形的性质和角平分线的性质，得
到
GM?GN
，再根据轴对称的性质，利用“
HL
”证明
Rt?DEH≌?Rt?FEH
，
△CNG
和
VCMG
是等腰直角三角形，
DH?FH
，设
DH?FH?x
，利用勾股定理得到
x?
最后再利用勾股定理即可求出
CG
的长．
3
1
3
，进而得到
CH?
，然后利用面积法求出
GM?
，
7
4
4
【详解】解：延长
BF
交
CD
于H，连接
HE
，过点G作
GM?BC
于M，
GN?CD
于N，
?
四边形
ABCD
是正方形，
??ACD??ACB?45?
，
?GM?BC
，
GN?CD
，
?GM?GN
，
△CNG
和
VCMG
是等腰直角三角形，
?E
为
AD
中点，
?AE?DE
，
?
点A关于
BE
的对称点为F，
?AE?EF
，
AB?BF?1
，
?DE?EF
，
在
Rt?DEH
和
Rt?FEH
中，
?
DE
?
EF
，
?
EH
?
EH
?
?Rt?DEH≌?Rt?FEH
?
HL
?
，
?DH?FH
，
设
DH?FH?x
，则
CH?1?x
，
BH?BF?FH?1?x
，
在
Rt?CHB
中，
BH
2
?BC
2
?CH
2
，
?
?
1?x
?
?1
2
?
?
1?x
?
，
22
?x?
1
，
4
13
?
，
44
?CH?
1
?
?
S
?
CBH
?S
?
CGH
?S
?
CGB
，
111
?BC?CH?BC?GM?CH?GN
，
222
13113
??
1
???
1
?GM???GN
，
24224
?GM?
3
，
7
在等腰
Rt?CMG
中，
32
?
3
??
3
?
，
CG
?
GM
?
CM
?
??
?
??
?
777
????
22
22
故答案为：
32
．
7
【点睛】本题考查了正方形
的
性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等
知识，求出
CH
的长是解题关键．
四、解答题（本题共46分，第19-21题，每题6分，第22-25题，每题7分）解答应写出文字说明、
演算步骤或证明过程。
19.已知：如图△ABC中，
AB?AC
，
AB?BC
，
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