2024年2月6日发(作者：卡宴gts多少钱一辆)

2023届毕业生“极光杯”线上测试（一）

数 学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1. 若z为虚数，且z?2z?3在复平面内对应的点在坐标轴上，则

A.

z?z?2 B.

z?z??2 C.

z?z?2i

A?

D.

z?z??2i

2. 已知集合A?{x|2x2?x?3?0.001}，则NA.

{?1,0,1} B.

{?1,0} C.

{0,1} D.

{0}

3. 设抛物线x2?4y的焦点为F，抛物线在(2,1)处的切线为l，则F到l的距离为

A. 1 B.

2 C.

3 D.

5

4. 某分组数据的条形图如图所示，则可以估计该组数据的

A. 平均数?中位数?众数

B. 平均数?众数?中位数

C. 众数?中位数?平均数

D. 众数?平均数?中位数

5. 平面单位向量a，b，c满足|a?c|?3，且a?(b?c). 则?a,b?c??

A.

?

23B.

2?

3C.

3?

4D.

?

6. 已知a?log2，b?43，c?ln，则下列关系正确的是

27A.

a?b?c

B.

a?c?b C.

c?b?a D.

c?a?b

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7. 数列{an}满足an?1?[(?1)n?cosA.

4337

n?]?an，a2023?1，则a1?

3B.

?4337 C.

4336 D.

?4336

8. 已知函数f(x)?ax2?b满足：?x，y?R，f(xy)?f(x?y)≥f(x)f(y)，则

1A.

f()≤4

21B.

f()≥4

2C.

f(2)≤4 D.

f(2)≥4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分， 部分选对的得2分，有选错的得0分。

x2y2?1的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，P为椭圆在第一象限的 9. 设椭圆?95动点，直线PF1和直线PF2分别与椭圆交于M，N（异于P），则

A.

|BF1|?3

C.

△PMN的周长是12

B.

△PF1F2的周长为6

D.

|F1N|?|F2M|

10. 已知直棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱长均相等，则

A.

AC1?平面BA1D

C.

?BAC1??AC1B1

B. 平面ACC1A1?平面BDD1B1

D.

?BAC1??ABD1

???0.3x?3.6，则下11. 已知由A(5,2.1)，B(2,6)等12个样本点求得的回归直线方程为y列结论正确的是

A. 使用除A点外的样本点求得回归直线的斜率大于?0.3

B. 使用除A点外的样本点求得回归直线的截距等于3.6

C. 剔除B点后，剩余样本点的相关系数增大

D. 使用除B点外的样本点进行回归分析，决定系数增大

12.

从古至今，在数学发展的长河中，无数数学家对数学的发展作出了卓越的贡献，其中一些中国数学家更是在长河散发着耀眼的光芒. 下列关于我国数学家及数学著

作的描述正确的是

A. 秦九韶在《数书九章》中提出“正负开方术”，此法可求解三次方程的正根

B. 祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，并由此给出了球的体积公式

C. 刘徽在为《九章算术》所做的注文中提出了等差数列的求和公式

D. 杨辉三角原名“开方作法本源图”，在我国古代用来作为开方的工具

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 某同学使用二分法求解方程x2?2x?2?0的正根时，以[2,3]为起始区间，进行四次二分操作后，得到解所在的区间是________.

(3?1.732)

14. 如图为f(x)?sin(?x??)(??0,0????)在某个周期内的图像，A和B分别为这个周期内图像的最高点和最低点，O为坐标原点. 若△OAB是等腰直角三角形，则f(x)的单调递增区间是________.

15. 已知a?0，f(x)?|x|?|x?a|?|x?2a|，若直线y?k(x?a)与曲线y?f(x)没有

交点，则k的取值范围是________.

16. 已知△ABC满足AB?3，AC?4，BC?5，空间中一点P满足PA:PB:PC?3:4

:5，记P在平面ABC内的射影为P?，则P?在△ABC内的轨迹长度为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

某观光船从A点出发，沿北偏东75方向行驶，且出发时灯塔B在观光船的北偏东30方向上. 一段时间后，观光船到达C点，此时灯塔B在观光船的北偏西30方向，且与观光船相距2002n mile.

（1）求初始时刻观光船与灯塔的距离；

（2）观光船到达C点后继续沿原方向行驶200 n mile到达D点，求D点相对灯塔B的位置.

18.（12分）

n2?3n已知数列{an}的前n项积为{bn}，{bn}的前n项和为.

2（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：an?ne.

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19.（12分）

甲乙两校举行乒乓球联谊赛，双方各派出5位选手轮流进行对决，胜方计1分，负方不计分（不考虑平局），有一方率先得到3分时比赛结束. 不考虑其他因素时，甲校每名选手战胜对方选手的概率均为p，0?p?1.

（1）若每局比赛之间相互独立，设比赛结束时甲校得分为X，求X的分布列；

（2）若当前一局比赛获胜时，下一局甲校选手获胜概率为为

20.（12分）

已知边长为3的正三角形ABC的三个顶点在平面?同侧，且A，B，C与平面?的距离分别为1，2，3.

（1）求平面ABC和平面?所成锐二面角的正弦值；

（2）设平面?上三点A?，B?，C?满足AA??平面ABC，BB??平面ABC，CC??平面ABC，求△A?B?C?的面积.

21. （12分）

x2已知椭圆C：?y2?1的左右顶点分别为A1，A2，直线x?m(0?|m|?2)与C交

4p，求甲校以3:2获胜的概率.

21?p，反之获胜概率则2于M，N两点，直线A1M和直线A2N交于点P.

（1）求P的轨迹方程；

（2）求|PA1|?|PM|的取值范围.

|PA2|?|PN|

22.（12分）

设函数f(x)?(ex?x?a)2?(e?x?x?a)2，a?R.

（1）讨论f(x)的极值点个数；

（2）证明：f(x)≥2(a?1)2?2(a?1)x2.

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