2024年4月3日发(作者：英菲尼迪qx60汽车之家)
北京市丰台区三年(2020-2022)八年级上学期期末数学试题汇编
-03解答题（提升题）知识点分类
一．列代数式（共1小题）
1．（2022秋?丰台区期末）小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车
的部分信息做了调查，如表所示：
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：
元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：
元
（续航里程指车辆在最大的能源储备下可连续行驶的总里程）
（1）表中的新能源车每千米行驶费用为
示）；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出两款车每千米行驶费用；
（3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，
每年行驶里程至少超过 千米时，使用新能源车的年费用更低（年费用＝年
行驶费用+年其它费用）．
二．多项式乘多项式（共1小题）
2．（2022秋?丰台区期末）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）
2
，其中x＝．
三．因式分解的应用（共1小题）
3．（2021秋?丰台区期末）在“整式的乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用
构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为a，b的正
方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可
以用来解释完全平方公式：（a+b）
2
＝a
2
+2ab+b
2
．
元（用含a的代数式表
请你解答下面的问题：
（1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式： ；
（2）利用图1中的三种卡片若干张拼出一个面积为2a
2
+5ab+2b
2
的长方形，请你分析这
个长方形的长和宽．
四．全等三角形的判定与性质（共2小题）
4．（2020秋?丰台区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，
DE＝DB，∠DEC＝∠B．求证：AD平分∠BAC．
5．（2022秋?丰台区期末）已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE，∠
B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
五．三角形综合题（共2小题）
6．（2022秋?丰台区期末）在△ABC中，∠BAC＝110°，AC＝AB，射线AD，AE的夹角为
55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连结CG．
（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC的内部．
①设∠BAD＝α，则∠CAG＝ （用含有α的式子表示）；
②作点B关于直线AD的对称点B′，则线段B′G与图1中已有线段
长度相等；
的
（2）如图2，射线AE在∠BAC的内部，射线AD在∠BAC的外部，其他条件不变，用
等式表示线段BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．
7．（2022秋?丰台区期末）在平面中，对于点M，N，P，若∠MPN＝90°，且PM＝PN，
则称点P是点M和点N的“垂等点”．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知点M（﹣3，2），点N（1，0），则点P
1
（0，3），P
2
（﹣2，﹣1），P
3
（﹣5，﹣
2）中是点M和点N的“垂等点”的是
（2）已知点A（﹣4，0），B（0，b）（b＞0）．
①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用
含b的式子表示），并说明理由；
②当b＝4时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重
合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围．
；
六．作图—复杂作图（共4小题）
8．（2020秋?丰台区期末）下面是小明设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图
过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点A．
求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．
作法：如图2，
①在直线l上取点D；
②分别以点A，D为圆心，AD长为半径画弧，交于点B，E；
③作直线BE，交直线l于点C；
④连接AB．
△ABC就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，EA，ED．
∵BA＝BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠BAD＝60°．
∵BA＝BD，EA＝ ，
）（填推理的依据）．∴点B，E在线段AD的垂直平分线上（
∴BE⊥AD．
∴∠ACB＝90°．
∴∠ABC+∠BAD＝90°（
∴∠ABC＝30°．
）（填推理的依据）．
9．（2020秋?丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b）和图形w，给出如下
定义：如果图形W上存在一点Q（c，d），使得
联点”
（1）若点P是原点O的“﹣1阶关联点”，则点P的坐标为
（2）如图，在△ABC中，A（1，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（0，﹣6）．
①若点P是△ABC的“0阶关联点”，把所有符合题意的点P都画在图中；
②若点P是△ABC的“k阶关联点”，且点P在△ABC上，求k的取值范围．
；
，那么点P是图形W的“k阶关
10．（2021秋?丰台区期末）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ ＝∠ ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ ）（填推理的依据）
11．（2022秋?丰台区期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规
作图的过程．
已知：如图1，∠AOB．
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB，且点D在射线OA上．
作法：
①如图2，在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线MN，交OA于点D；
③连接DC．
则∠ADC即为所求作的角．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝ （ ）（填推理的依据）．
∴∠AOB＝∠DCO（
∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
）（填推理的依据）．
七．作图-轴对称变换（共1小题）
12．（2020秋?丰台区期末）已知：如图，∠MON＝60°，点A在射线OM上，点B，C在
射线ON上（点C在点B的右侧），且∠OAB+∠OAC＝60°．点B关于直线OM的对称
点为D，连接CD．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想线段CD，AB的数量关系，并证明．
八．几何变换综合题（共1小题）
13．（2021秋?丰台区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是直线BC上一点，
点C关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．
（1）如图1，点D在线段BC上，补全图形，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）；
（2）如果∠α＝60°，
①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并
证明；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关
系．
北京市丰台区三年(2020-2022)八年级上学期期末数学试题汇编
-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．列代数式（共1小题）
1．（2022秋?丰台区期末）小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车
的部分信息做了调查，如表所示：
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：
元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：
元
（续航里程指车辆在最大的能源储备下可连续行驶的总里程）
（1）表中的新能源车每千米行驶费用为 元（用含a的代数式表示）；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出两款车每千米行驶费用；
（3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，
每年行驶里程至少超过 5000 千米时，使用新能源车的年费用更低（年费用＝年行驶
费用+年其它费用）．
【答案】（1）；
（2）燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用0.06元；
（3）每年行驶里程至少超过5000千米时，使用新能源车的年费用更低．
【解答】解：（1）根据表格数据可得，
新能源车每千米行驶费用为：
＝
故答案为：
（元）；
；
（2）∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴＝0.54，
解得：a＝600，
∴＝0.6（元），
＝0.06（元），
∴燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用0.06元；
（3）设每年行驶里程为x千米，
根据题可得，
0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得：x＞5000，
∴每年行驶里程至少超过5000千米时，使用新能源车的年费用更低．
二．多项式乘多项式（共1小题）
2．（2022秋?丰台区期末）先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）
2
，其中x＝．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）
2
，
＝x
2
﹣2x﹣x+2﹣x
2
﹣2x﹣1
＝﹣5x+1
当x＝时，
原式＝﹣5×+1
＝﹣．
三．因式分解的应用（共1小题）
3．（2021秋?丰台区期末）在“整式的乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用
构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为a，b的正
方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可
以用来解释完全平方公式：（a+b）
2
＝a
2
+2ab+b
2
．
请你解答下面的问题：
（1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式： （2a+b）（a+b）＝
2a
2
+3ab+b
2
；
（2）利用图1中的三种卡片若干张拼出一个面积为2a
2
+5ab+2b
2
的长方形，请你分析这
个长方形的长和宽．
【答案】（1）（2a+b）（a+b）＝2a
2
+3ab+b
2
；
（2）这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b．
【解答】解：（1）由题意得：
图3的面积＝（2a+b）（a+b），
图3的面积＝2a
2
+3ab+b
2
，
∴利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：（2a+b）（a+b）＝
2a
2
+3ab+b
2
，
故答案为：（2a+b）（a+b）＝2a
2
+3ab+b
2
；
（2）2a
2
+5ab+2b
2
＝（2a+b）（a+2b），
∴这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b．
四．全等三角形的判定与性质（共2小题）
4．（2020秋?丰台区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，
DE＝DB，∠DEC＝∠B．求证：AD平分∠BAC．
【答案】见解析．
【解答】证明：过点D作DF⊥AB于点F，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DFB＝∠ACB，DC⊥AC，
在△DCE与△DFB中，
，
∴△DCE≌△DFB（AAS），
∴DC＝DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
5．（2022秋?丰台区期末）已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE，∠
B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB∥EC，
∴∠A＝∠ECA，
在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌CDE（AAS），
∴BC＝DE．
五．三角形综合题（共2小题）
6．（2022秋?丰台区期末）在△ABC中，∠BAC＝110°，AC＝AB，射线AD，AE的夹角为
55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连结CG．
（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC的内部．
①设∠BAD＝α，则∠CAG＝ 55°﹣α （用含有α的式子表示）；
②作点B关于直线AD的对称点B′，则线段B′G与图1中已有线段 CG＝B\'G 的
长度相等；
（2）如图2，射线AE在∠BAC的内部，射线AD在∠BAC的外部，其他条件不变，用
等式表示线段BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①55°﹣α；
②CG＝B\'G；
（2）CG＝2BF+BG．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝110°，∠DAE＝55°，
∴∠BAD+∠CAE＝55°，
∵∠BAD＝α，
∴∠CAG＝55°﹣α，
故答案为：55°﹣α；
②连接AB\'，
由对称性可知，AB＝AB\'，∠BAD＝∠B\'AD，
∵AB＝AC，
∴AC＝AB\'，
∵∠DAG＝55°，∠BAC＝110°，
∴∠BAF+∠CAG＝∠B\'AD+∠GAB\'，
∴∠CAG＝∠GAB\'，
∴△CAG≌△B\'AG（SAS），
∴CG＝B\'G，
故答案为：CG＝B\'G；
（2）CG＝2BF+BG，理由如下：
作B点关于AD的对称点B\'，连接AB\'，
由对称性可知，AB＝AB\'，∠BAD＝∠B\'AD，
∵AB＝AC，
∴AC＝AB\'，
设∠BAF＝β，
∵∠DAG＝55°，
∴∠BAG＝55°﹣β，
∵∠BAC＝110°，
∴∠CAG＝55°+β，
∵∠GAB\'＝55°+β，
∴△CAG≌△B\'AG（SAS），
∴CG＝B\'G，
∵B\'G＝2BF+BG，
∴CG＝2BF+BG．
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