2024年2月6日发(作者：12年雪佛兰科鲁兹多少钱)

2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学参考答案一、选择题1．C5．D2．B6．B3．A7．A4．A二、选择题8．BCD9．ABCE10．ACD三、填空题11．y?5?x4913．16；212．示例：514．(30?,??)12四、解答题15．解：若cosAcosB?0，（1）由题设知(sinA?cosA)(sinB?cosB)?2cosAcosB．则A?或B??2???3?．当A?时，sin(A?)?0，所以B?，此时A?B??，不合题意．同理4224B??亦不成立．2所以(tanA?1)(tanB?1)?2，tanC??tan(A?B)?tanA?tanB3???1，故C?．tanAtanB?142ab．2（2）记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c?2，CA?CB??a2?b2?c22，所以?2ab?a2?b2?2?2ab?2，因此由余弦定理知cosC???2ab2ab?2?2，当a?b?2?2时等号成立．故CA?CB??2ab?1?2，CA?CB的最小值为1?2．2第1页（共5页）

16．解：（1）由题知sin2an?1?sin2an?cos2bn?2sinancosbn，cos2bn?1?cos2bn?sin2an?2sinancosbn，两式相加可得sin2an?1?cos2bn?1?2(sin2an?cos2bn)．（2）若sin2a1?cos2a1?0，则{sin2an?cos2bn}不是等比数列．若sin2a1?cos2a1?m?0，则sin2an?cos2bn?m?2n?1，当n?2?log2m时，sin2an?cos2bn?2，但|sinan|?1，|cosbn|?1，sin2an?cos2bn?2，矛盾！综上，不存在a1，b1，使得{sin2an?cos2bn}是等比数列．17．解：（1）f(x)的定义域是(0,??)，f?(x)?axa?1lnx?xa?1?xa?1(alnx?1)．令f?(x)?0，得x0?e?1a，所以f(x)在(0,e?1a)单调递减，在(e?1a,??)单调递增．（2）因为x?0，所以f(x)?x等价于xa?1lnx?1．记函数g(x)?xa?1lnx．①当a?1时，g(e2)?2e2(a?1)?1，不合题意；②当0?a?1时，由（1）知g(x)?综上，a的取值范围是(0,1?e?1]．（3）记函数h(x)?f?(x)?xa?1(alnx?1)，h?(x)?xa?2[(a2?a)lnx?2a?1]．11?①若a?，h?(x)??x2lnx，h(x)在(0,1)单调递增，在(1,??)单调递减，故24h(x)?h(1)?1，符合题意；122②若a?(0,)，h(x)在(ea?a,1)单调递减，故h(ea?a)?h(1)?1，不合题意；2122③若a?(,1)，h(x)在(1,ea?a)单调递增，故h(ea?a)?h(1)?1，不合题意；21?2a1?2a1?2a1?2a31g(e1?a)?1?1，解得a?(0,1?e?1]．(1?a)e④若a?[1,??)，h(x)在(1,??)单调递增，故h(x)?h(1)?1，不合题意．1综上，a?．218．解：（1）设P在l，?所在平面的射影分别为M，N，则PM?13，PN?3．易知l?平面PMN，则l?MN，故?PMN或其补角即为二面角??l??的平面角，因此二面角??l??的正弦值为313?313213213，余弦值为或?．131313第2页（共5页）

（2）（i）因为PN??，所以NQ?PQ2?PN2?4．①若Q??，则以N为圆心，4为半径的圆在?中的部分是一段优弧，对应圆心角为4?16?，因此Q运动轨迹的长度为；33②若Q??，则以N为圆心，4为半径的圆在?中的部分是一段劣弧，对应圆心角为2?8?，因此Q运动轨迹的长度为．3316?8?所以Q运动轨迹的长度为或．331（ii）四面体P?QAB的体积V?Sh，其中h?PN?3为P到平面QAB的距离，31dS?AB?d?为△QAB的面积，d为Q到直线AB（或l）的距离．22由（i）知，若Q??，则当QN?l时，d取最大值6；若Q??，则当QN?l时，d取最大值2，所以四面体P?QAB体积的最大可能值为3．19．解：kn?kkn?k（1）不妨设ak?k，则xk?Ck，yk?Ck．np(1?p)nq(1?q)所以D(X||Y)??k?0nCknp(1?p)kn?kpk(1?p)n?klnkq(1?q)n?kp(1?q)n1?pnkkkkn?k?ln?kCnp(1?p)?nln?Cnp(1?p)n?kq(1?p)k?01?qk?0???nplnp(1?q)1?p．?nlnq(1?p)1?q（2）当n?2时，P(X?2)?p2，P(X?1)?2p(1?p)，P(X?0)?(1?p)2．记f(p)?D(X||Y)?p2ln3p2?2p(1?p)ln6p(1?p)?(1?p)2ln3(1?p)2，f?(p)?4plnp?2p?(2?4p)[ln2p(1?p)?1]?4(1?p)ln(1?p)?2(1?p)?2[lnp?ln(1?p)?(1?2p)ln2]．11??2ln2?0，g(p)单调递增．p1?p1111而g()?0，所以f?(p)在(0,)为负数，在(,1)为正数，f(p)在(0,)单调递减，222213在(,1)单调递增，D(X||Y)的最小值为ln3?ln2．22设g(p)?lnp?ln(1?p)?(1?2p)ln2，g?(p)?第3页（共5页）

（3）当x?0时，lnx?x?1，所以lnx故D(X||Y)?xklnk?ykk?1111??1，即lnx?1?．xxx?n?yxk(1?k)?xkk?1n?(xk?1nk?yk)??x??ykk?1k?1nnk?0，当且仅当对所有的k，xk?yk时等号成立．20．解：I．（1）如图．Alx2y2（2）建立适当的坐标系，使椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)．ab①若该簇平行直线斜率不存在，它们被椭圆所截弦的中点均在x轴上，因而轨迹是长轴（不含左、右顶点）；②若该簇平行直线斜率存在且为k，与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则有22y2?y1x12y12x2y2***（），（），．??1??1?k（***）x2?x1a2b2a2b2（**）相减得（*）(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0，22aby1?y2b2b2结合（***）得??2，这表明，弦AB的中点在定直线y??2x上，因x1?x2kaka而弦中点的轨迹是该直线被椭圆所截得的弦（不含端点）．（3）参考步骤：①任取椭圆C上4点A，B，D，E；②过A，B作直线DE的平行线，分别与椭圆交于点F，G；第4页（共5页）

③作弦AF，BG的垂直平分线，分别与弦AF，BG交于点H，I，则直线HI经过C的中心；④同理过D，E作直线AB的平行线，重复以上步骤得到直线JK，JK与HI交于点O，O即为C的中心；⑤以O为圆心，适当半径作圆，与C顺次交于点P1，P2，P3，P4；⑥作?P1OP2和?P2OP3的角平分线，它们所在直线即为C的两条对称轴，两直线与C交于4点，其中2个点为M，N，且|OM|?|ON|；⑦以M为圆心，|ON|为半径作圆，与直线ON交于F1，F2两点，即为C的焦点．II．x2y2（1）记C:??1，若P不在C上，则在C内．16124272因为??1，所以A在C外，所以线段PA与C有一交点Q，此时AP和PQ共1612线反向，AP?PQ?0，不合题意，因此P在C上．（2）AP?PQ?0等价于AP?AQ?AP?AP?|AP|2．记AQ在AP上的投影向量为AQ?，则条件等价于|AP|?|AQ?|?|AP|2，|AQ?|?|AP|，这表明P是C上与A距离最小的点．22设A(x0,y0)，则3x0?4y0?48，|AP|2?(4?x0)2?(7?y0)2．因为(ad?bc)2?(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)，(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)，111所以(4?x0)2?(7?y0)2?[(4?x0)2?(14?2y0)2](1?4)?(18?x0?2y0)2，5451221(x0?2y0)2?(3x0?4y0)(?1)?64，故|AP|2?(18?8)2?20，此时P(2,3)．351（3）直线AP与x轴交于点B(,0)，则?APF1??APF2等价于?BPF1??BPF2．2|PF1||BF1|5不妨设F1(?2,0)，F2(2,0)，则PF2?x轴，??．|PF2||BF2|3sin?PBF1sin?PBF2在△PF1B和△PF2B中，由正弦定理，，而?PBF1和?PBF2?sin?BPF1sin?BPF2互补，所以sin?BPF1?sin?BPF2，从而有?BPF1??BPF2．第5页（共5页）

更多推荐

直线,椭圆,题意,不合,轨迹,存在,平面