2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(解析版)

2023年12月14日发(作者：丰田凯美瑞好不好)

2022-2023学年山东省青岛二中高二（上）12月质检数学试卷

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

????1．已知a????1,0,2??,b??6,2??1,2?,a//b,则?,?的值分别为

11A．,

52B．5，2

11C．?,?

52D．?5,?2

x2y22．已知双曲线?2?1的右焦点到其渐近线的距离等于3，则该双曲线的离心率4m等于

A．2

1B．3

2C．2 D．7

23．数列?an?为等差数列，a1,a2,a3成等比数列，a5?1，则a10?（

）

A．5 B．?1 C．0 D．1

4．已知Sn为数列?an?的前n项和，an?3Sn?4，那么a5?（

）

A．－4

1B．

81C．?

81D．?

45．已知直线ax?3y?1与直线3x?y?2?0互相垂直，则a?（

）

A．-3 C．3 D．1

??????????uuu????rr6．已知空间四边形ABCD中，AB?a，CB?b，AD?c，则CD等于（

）

??????A．a?b?c B．?a?b?c

??????C．?a?b?c D．?a?b?c

B．-1

????????1a?1bt?R?，若7．已知a，b为非零向量，m?a?tb?，?2，当且仅当t?时，4????m取得最小值，则向量a，b的夹角为（

）

6A．B．π

3C．2π

3D．5π

68．某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2???米，水渠壁的倾角为??0????，则当该水渠的修建成本最低时?的值为（

）

2?????5?A． B． C． D．

12643二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项试卷第1页，共4页中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

1n2?n9．已知数列?an?的前n项和Sn?，数列?bn?满足bn?，若bn，bn?2，bn?k（an2k?N?，k?2）成等差数列，则k的值不可能是（

）

A．4 B．6 C．8 D．10

10．如图所示，下列四条直线l1，l2，l3，l4，斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是?1，?2，?3，?4，则下列关系正确的是（

）

A．k2?k1?k4?k3 B．k3?k2?k1?k4 C．?2??1??4??3 D．?3??2??1??4

????11．直线l的方向向量为a，两个平面?，?的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是（

）

??A．若a?n，则直线l//平面?

B．若a∥n，则直线l?平面?

??1πC．若cos?a,n??，则直线l与平面?所成角的大小为

26???π3D．若cos?m,n??，则平面?，?所成二面角的大小为

62??12．以下四个命题表述正确的是（

）

A．若点(1,2)在圆x2?y2?2x?(m?1)y?m?2?0外，则实数m的取值范围为(?7,??)

B．圆x2?y2?2上有且仅有3个点到直线l:x?y?1?0的距离等于2

22222C．圆C1:x?y?2x?4y?4?0和圆C2:x?y?2x?2y?2?0外切

D．实数x,y满足x2?y2?2x?0，则y33的取值范围是[?,]

x?133三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．直线l过点A??1,?1?，B?2,3?，则直线AB的方程为______．

试卷第2页，共4页14．抛物线y?2x2的焦点坐标是______.

15．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______.

①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；

②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；

③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为295；

④三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为a2?b2?c2.

16．已知数列?an?的前n项和为Sn，且a1?2，an?1?1Sn?nan?t恒成立，则实数t的取值范围为______.

211an?，则Sn?______；若22四、解答题；本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知?an?是递增的等差数列，a1?3，且a13，a4，a1成等比数列.

(1)求数列?an?的通项公式；

?1?11(2)设数列??的前n项和为Tn，求证：?Tn?.

156?anan?1?18．求下列各圆的方程，并面出图形.

（1）圆心为点C?8,?3?，且过点A?5,1?；

（2）过A??1,5?，B?5,5?，C?6,?2?三点．

19．已知正方体ABCD?A1B1C1D1.

(1)求证:A1C?BC1.

(2)求二面角B?A1C?D的大小.

20．已知?an?是首项为2的等比数列，各项均为正数，且a2?a3（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn??12.

1，求数列?bn?的前n项和Tn.

nlog2an?121．如图，AE?平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD?AB，AB?AD?2，AE?BC?4.

试卷第3页，共4页 (1)求证：BF∥平面ADE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

1(3)若二面角E?BD?F的余弦值为，求线段CF的长.

31x2y222．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的焦距为23，且经过点A(3,?).

2ab（1）求椭圆C的标准方程；

（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，若椭圆上存在点P，使得四边形OMPN为平行四边形（其中O是坐标原点），求平行四边形OMPN的面积.

试卷第4页，共4页1．A

?11???【详解】由题意得，a//b，所以a?xb，即???1,0,2???x?6,2??1,2?，解得??,??52，故选A．

2．D

【分析】利用双曲线a,b,c的关系求解即可．

【详解】右焦点到其渐近线的距离等于为m?3，故c?7,故离心率等于【点睛】本题考查双曲线的性质：焦点到其渐近线的距离为b

3．D

2【分析】利用a1,a2,a3成等比数列得到a2=a1a3，结合?an?为等差数列和a5?1可求出公差7，故选D

2和a1，即可得到答案

【详解】设等差数列?an?的公差为d，

2由a1,a2,a3成等比数列可得a2=a1a3，

所以?a1?d??a1?a1?2d?，解得d?0，

因为a5?a1?4d?1，解得a1?1，所以a10?a1?9d?1，

故选：D.

4．C

【分析】根据an?3Sn?4，利用数列的通项和前n项和的关系，求得数列的通项求解.

【详解】因为an?3Sn?4，

当n?1时，a1??2，

当n?2时，由an?3Sn?4

得an?1?3Sn?1?4，

两式相减得an?an?1?3?Sn?Sn?1??3an，

11即an??an?1，又a2??a1，

222所以?an?是等比数列，

答案第1页，共14页?1?an???2?????2?n?1?1?1，则a5???2??????，

8?2?4故选：C

5．D

【分析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为?1即可得到答案.

a【详解】直线ax?3y?1的斜率为?，直线3x?y?2?0的斜率为3，由题意，

3a(?)?3??1，解得a?1.

3故选：D

【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

6．C

【分析】由向量的运算法则，准确运算，即可求解.

???????????????????????????????【详解】由向量的运算法则，可得CD?CB?BA?AD?CB?AB?AD??a?b?c.

故选：C.

7．C

??24cos?1?【分析】由已知可得m?4t2?4tcos??1，根据已知以及二次函数的性质可得?2?441，解得cos???，即可求出结果.

2??【详解】设向量a，b的夹角为?，???0,π?.

??2??????m?a?tb由m?a?tb可得??2?2?2???2?2???a?t2b?2ta?b?a?t2b?2ta?bcos??4t2?4tcos??1.

由已知可得，?4cos?11?，所以cos???，

2?4422π.

3因为???0,π?，所以??故选：C.

8．C

【分析】作出截面图形，结合截面面积可利用?表示出BC,AB，则水渠修建成本最低时，y?AD?AB?BC?2?2?cos????2?cos???3?0????取得最小值，则可知当取最小值时sin?sin?2??y最小；根据2?cos?的几何意义可知当过?0,2?的直线与x2?y2?1??1?x?0,0?y?1?相sin?答案第2页，共14页切时，2?cos?sin?最小，利用直线与圆相切位置关系的求法可求得切线斜率，由此可求得?.

【详解】作出横截面ABCD如下图所示，其中AB//CD，AD?BC，CE?AE，?CBE??，则CE?2，

?BC?242，BE?，?CD?AB?2BE?，

sin?tan?tan?1?AB?CD??CE?AB?CD?6，

2又梯形ABCD的面积S??CD?3?22，AB?3?，

tan?tan?设y?AD?AB?BC，

则y?2?2?cos??42????3???3?0????；

sin?tan?sin?2??2?cos?sin?若y取最小值，则2?cos?sin?取得最小值；

表示点?0,2?与点??sin?,cos??连线的斜率，

??????sin?,cos???0????的轨迹为x2?y2?1??1?x?0,0?y?1?，

2??可作出图象如下图所示，

22则当过?0,2?的直线与x?y?1??1?x?0,0?y?1?相切时，2?cos?sin?取得最小值，

设切线方程为：y?kx?2?k?0?，即kx?y?2?0，

答案第3页，共14页??0,0?到切线距离d?2k?12?1，解得：k?3，

即当??2?cos???3时，y取得最小值，此时3sin??cos??2sin?????2，

6?sin???3则??，即当???3时，该水渠的修建成本最低.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是能够将水渠的修建成本表示为关于?的函数的形式，将问题转化为函数最值的求解问题；对于b?cos?形式的函数最值，可根据几何意义a?sin?将问题转化为点?a,b?与?sin?,cos??连线的斜率的最值求解问题.

9．AD

【分析】利用an与Sn的关系，求得an，进而求得bn，然后根据bn，bn?2，bn?k（k?N?，k?2）成等差数列，得到n与k的关系，进而求得答案.

222n?1???n?1??n?n【详解】当n?1时，a1?S1??1，当n?2时，an?Sn?Sn?1???n222，故an?n（n?N?），bn?11?（n?N?）．因为bn，bn?2，bn?k（k?N?，k?2）成ann等差数列，所以2bn?2?bn?bn?k，即2114n8???4?，所以k?，（k?2，n?2nn?kn?2n?2，从而n?2的取值为1，2，4，8，则对应的k的值为12，8，6，5，所以k的值k?N?）不可能是4，10，

故选:AD．

10．BC

【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.

【详解】直线l1，l2，l3，l4，斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是?1，?2，?3，?4，

由倾斜角定义知0??1??4??2，?3??2，?2?0，??2??1??4??3，故C正确；

由k?tan?，知k2?0，k3?0，0?k1?k4，?k3?k2?k1?k4，故B正确；

故选：BC

11．BC

【分析】根据空间中线面角、二面角的范围及求法，结合线面的位置关系，逐一分析各个答案第4页，共14页选项，即可得答案.

??【详解】对于A：若a?n，则直线l//平面?，或直线l?平面?，故A错误；

对于B：若a∥n，根据平行的传递性可得直线l?平面?，故B正确；

?????1???对于C：因为直线与平面所成角范围为?0,?，且若cos?a,n??，即a与n的夹角为23?2???，

π，故C正确；

6???3对于D：因为两面所成角范围为?0,??，若cos?m,n??，则平面?，?所成二面角的2π5π大小为或，故D错误.

66所以直线l与平面?所成角的大小为故选：BC

12．ABD

【分析】根据点和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、直线与圆相切等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A,

点(1,2)在圆x2?y2?2x?(m?1)y?m?2?0外,

12?22?2?2(m?1)?m?2?0,m??7，A选项正确.

B,圆x2?y2?2的圆心为?0,0?，半径为2，

圆心到直线l的距离为12?，

22所以圆x2?y2?2上有且仅有3个点到直线l:x?y?1?0的距离等于C,C1的圆心为?1,2?，半径为3；C2的圆心为??1,?1?，半径为2，

所以圆心距为4?9?13?3?2，所以C选项错误.

D,圆x2?y2?2x?0的圆心为A??1,0?，半径为1，

y表示圆上的点B?x,y?与点C?1,0?连线的斜率，

x?12，B选项正确.

2当直线BC与圆A相切时，如图所示，

AB?1,AC?2，所以?BCA?π，

6答案第5页，共14页?33?y,结合对称性可知的取值范围是???，D选项正确.

33x?1??故选：ABD

13．4x?3y?1?0

【分析】根据已知两点求出直线斜率，再用点斜式写出直线方程，整理化简即可.

【详解】因为直线过点A??1,?1?，B?2,3?，

3?14?，

2?134根据点斜式方程可得y?1??x?1?

3故可得直线AB的斜率k?整理化简得4x?3y?1?0.

故答案为：4x?3y?1?0.

?1?14．?0,?

?8?【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.

2【详解】因为抛物线方程x?11?p?y，焦点坐标为?0,?，且p?，

42?2??1?所以焦点坐标为?0,?，

?8??1?故答案为：?0,?.

?8?15．①②③

【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a，b，c，与之对应的长方体的长宽高分别为x，y，z，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．

【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a，b，c，与之对应的长方体的长宽高分别为x，y，z，

答案第6页，共14页?x2?y2?a2?222则?y?z?b，

?x2?z2?c2?a2?c2?b2a2?b2?c2b2?c2?a222故x?，y?，z?，

2222结合图像易得①②正确；

三组对棱长度分别为a?5，b?6，c?7，则x?19，y?6，z?30，

因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，

111所以等腰四面体的体积xyz?4??xyz?xyz?295，③正确；

323三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径2R?x2?y2?z2?a2?b2?c2，④错误.

故答案为：①②③.

【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思维量.

16．

1?n?2?1?n?2??

??4,???

【解析】先由递推公式，得到数列?an?1?是等比数列，求出an，根据分组求和，即可得出1?n?1?Sn；再由Sn?nan?t恒成立，分离参数，得到t?4?1?n?，n?N*恒成立，求出2?2??n?1?4?1?n?的最大值，即可得出结果.

2??111【详解】由a1?2，an?1?an?，得an?1?1??an?1?，a1?1?1，

222所以数列?an?1?是首项为1，公比为2的等比数列，

1答案第7页，共14页?1?所以an?1?1????2?n?1?11an?n?1?1，

，22n?111?1?n?11Sn?a1?a2???an?n??1??2???n?1?2?n?2?1?1?.

?n?2??n??221?2?2?又nan?n?11n?t?S?na?n?21?，所以nn?n22n?1?2n????n?1??n??2???1?n?恒成立，

n?1?2?2?????n?1?即t?4?1?n?，n?N*恒成立.

2??n?1n?2n?1n令bn?n，则bn?1?bn?n?1?n??n?1?0，所以?bn?是递减数列，

2222所以0?n?1n?1?10?1??1，即t?4，

，2n2n实数t的取值范围为?4,???.

1?故答案为：n?2?1?n?2??；?4,???.

?【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，考查分组求和的方法求数列的和，考查数列不等式恒成立问题，属于常考题型.

17．(1)an?2n?1

(2)见解析.

【分析】（1）根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解.

（2）根据裂项相消求和，即可求出Tn，然后根据单调性即可证明.

【详解】（1）设?an?的公差为d

，因为a13，a4，a1成等比数列，

所以a42?a1?a13??3?3d??3?3?12d??d2?2d?0

，

因为?an?是递增，所以d?0，故d?2

，所以an?2n?1.

2（2）111?11??????,

anan?1?2n?1??2n?3?2?2n?12n?3?1??11??11?1??1?11??1??????????????????

，

2??2n?12n?3??2?32n?3???35??57?所以Tn?因为1

单调递减，所以Tn

单调递增，

2n?3答案第8页，共14页故当n?1

时，(Tn)min?T1?故11?Tn?.

15611?11?1

，而Tn?????，

232n?3??61518．（1）(x?8)2?(y?3)2?25（图见解析）（2）x2?y2?4x?2y?20?0（图见解析）

【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.

（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.

【详解】（1）由题意知半径r?(8?5)2?(?3?1)2?5,

所以圆的方程为：(x?8)2?(y?3)2?25.

（2）设圆的一般方程为：x2?y2?Dx?Ey?F?0.

将A??1,5?，B?5,5?，C?6,?2?代入得：

?1+25?D?5E?F?0?D??4???25?25?5D?5E?F?0??E??2

?36?4?6D?2E?F?0?F??20??所以圆的方程为：x2?y2?4x?2y?20?0.

19．(1)证明见解析；(2)120?.

??????????BC1来证明A1C?BC1；(2)求出平【解析】(1)建立适当的空间直角坐标系，通过证明AC1???n?m???cos?????求出两向量的夹角从而求出二面BACDAC面1，平面1的法向量n,m，由公式nm答案第9页，共14页角.

【详解】设正方体边长为a，以A1为原点，A1D1为x轴，A1B1为y轴，A1A为z轴建立如图所示空间直角坐标系，其中A1(0,0,0),B(0,a,a),C(a,a,a),D(a,0,a),C1(a,a,0)

??????????????????22?(a,a,a),BC1?(a,0,?a)，AC(1)

AC11?BC1?a?a?0，

??????????AC?BC1，则A1C?BC1；

1??????BACDAC(2)设n?(x,y,z),m?(r,s,t)分别为平面1，平面1的法向量，n,m的夹角为?，

????????A1B?(0,a,a),BC?(a,0,0)，

?????????????n?A1Bn?A1B?0?y?z?0y?1??????????则??，令可得n?(0,1,?1)，

???x?0n?BCn?BC?0???????????AD?(a,0,a),DC?(0,a,0)，

??????????????m?ADm?AD?0?r?t?0??则?????????????，令r?1可得m?(1,0,?1)，

?m?DC?m?DC?0?s?0???n?m1????cos??????所以，则的夹角为，

n,m60nm2所以二面角B?A1C?D的大小为120?.

【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直，二面角的向量求法，属于基础题.

20．（Ⅰ）an?2n（Ⅱ）n

n?1【解析】（I）将已知条件转化为a1,q的形式解方程，由此求得q的值，进而求得数列?an?答案第10页，共14页的通项公式.

（II）利用裂项求和法求得数列?bn?的前n项和Tn.

【详解】（I）设?an?的公比为q，由a2?a3得q?q2?6

?12，

?q??3或q=2.

又?an?的各项均为正数，?q?0,?q?2.

?an?2n

（II）bn??Tn?1?1111???

nlog2an?1n(n?1)nn?111111??????

223nn?1

?1?1n?

n?1n?1【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于基础题.

21．(1)证明见解析

(2)(3)

????????????【分析】（1）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直????角坐标系，求得A，B，C，D，E的坐标，设CF?h(h?0)，可得AB是平面ADE的法????????????向量，再求出BF，由BF?AB?0，且直线BF?平面ADE，得BF∥平面ADE；

????（2）求出CE，再求出平面BDE的法向量，利用向量夹角公式得到直线CE与平面BDE所4；

916

7成角的正弦值；

1（3）求出平面BDF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为，列式求线段CF的3长.

【详解】（1）证明：因为AE?平面ABCD，AD，AB在平面ABCD内，

则AE?AD，AE?AB，又AD?AB，

????????????故以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

答案第11页，共14页可得A?0,0,0?，B?2,0,0?，C?2,4,0?，D?0,2,0?，E?0,0,4?.

设CF?h(h?0)，则F?2,4,h?.

????????????????则AB??2,0,0?是平面ADE的法向量，又BF??0,4,h?，可得BF?AB?0.

又∵直线BF?平面ADE，∴BF∥平面ADE；

????????????（2）依题意，BD???2,2,0?，BE???2,0,4?，CE???2,?4,4?.