2024年2月6日发(作者：华晨金杯750图片报价)

北京市2024届“极光杯”高三上学期线上测试（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若z?sinA．1ππ?icos，则z3?（33）C．iD．?ia11?（a5B．?12．设?an?是公差不为0的等差数列，a2,a4,a10成等比数列，则A．3B．52）C．115D．2）3．已知正方体ABCD?A1B1C1D1，平面AB1C与平面AA1D1D的交线为l，则（A．l∥A1DB．l∥B1DC．l∥C1DD．l∥D1D）?1?D．?,????2?xx4．若函数f?x??t?4??2t?1??2有最小值，则t的取值范围是（?1?A．?0,??2??1?B．?0,??2??1?C．?,????2??π?5．设x,y,z??0,?，(sinx?cosx)(siny?2cosy)(sinz?3cosz)?10，则（）?2?ππππA．?x?y?zB．?x?y?zC．?x?y?zD．?x?y?z4444????????6．向量a，b满足|b|?1,?a?b,a?2b??30?，则|a|的取值范围是（）A．[2?1,2?1]B．[3?1,3?1]C．[5?1,5?1]D．[6?1,6?1]7．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则E(X)?（A．3）B．4C．5D．6二、多选题∣x?A,y?B}，则（8．对于数集A，B，它们的Descartes积A?B?{(x,y)A．A?B?B?AC．A?(B?C)?(A?B)?(A?C)E．集合A?A表示正方形区域（含边界））B．若A?C，则(A?B)?(C?B)D．集合{0}?R表示y轴所在直线9．已知直线y?k(x?1)经过抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点F，与C交于M，N两点，试卷第1页，共4页

?????????????与C的准线交于P点，若|FM|,|MP|,|FN|成等差数列，则（）????E．|PN|?8A．p?2B．FP?NF????????????????C．FN?3MF）D．k?310．存在定义域为R的函数f(x)满足（A．f(x)是增函数，f[f(x)]也是增函数B．f(x)是减函数，f[f(x)]也是减函数C．对任意的a?R,f(a)?a，但f[f(x)]?xD．f(x)是奇函数，但f[f(x)]是偶函数E．f(x)的导函数f?(x)的定义域也是R，且f[f(x)]??x三、填空题?31?11．曲线y?1?x在点?,?处的切线方程是?42?n．2??12．写出一个正整数n?1，使得?3x??的展开式中存在常数项：x??2．y213．设双曲线C:x?2?1(a?0)的左、右焦点分别为F1,F2,F1F2?6，点P在C的右a1支上，当PF1?PF2时，PF1?PF2?；当P运动时，PF1?的最小值PF2为．14．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90?的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2π，则该圆台体积的取值范围是．四、解答题π??π??15．在?ABC中，sin?A??sin?B???cosAcosB．4??4??(1)求C；????????(2)若AB?2，求CA?CB的最小值．16．己知数列?an?和?bn?满足sinan?1?sinan?cosbn,cosbn?1?cosbn?sinan．2222(1)证明：sinan?1?cosbn?1?2?sinan?cosbn?；22(2)是否存在a1,b1，使得数列?sinan?cosbn?是等比数列？说明理由．17．设a?0，函数f(x)?xalnx．(1)讨论f(x)的单调性；试卷第2页，共4页

(2)若f(x)?x，求a的取值范围；(3)若f?(x)?1，求a．18．己知二面角??l??，点P??,P与棱l的距离为13，与半平面?所在平面的距离为3．(1)求二面角??l??的余弦值；(2)设A,B?l,AB?1，动点Q在半平面?所在平面上，满足PQ?5．（i）求Q运动轨迹的长度；（ii）求四面体P?QAB体积的最大可能值．19．设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为P?X?ak??xk，P?Y?ak??yk，xk?0，yk?0，k?1,2,?,n,?xk?k?1n?yk?1nk?1．指标D(X‖Y)可用来刻Y)??xkln画X和Y的相似程度，其定义为D(X‖k?1nxk．设X~B(n,p),0?p?1．ykY)；(1)若Y~B(n,q),0?q?1，求D(X‖1Y)的最小值；(2)若n?2,P(Y?k?1)?,k?1,2,3，求D(X‖3Y)?0，并指出取等号的充(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(X‖要条件（1）如图1，点A在直线l外，仅利用圆规和无刻度直尺，作直线AB∥l（保留作20．图痕迹，不需说明作图步骤）．（2）证明：一簇平行直线被椭圆所截弦的中点的轨迹是一条线段（不含端点）；（3）如图2是一个椭圆C，仅利用圆规和无刻度直尺，作出C的两个焦点，简要说明作图步骤．?x2y2?∣??1?，点P?S，且对于S中任何异于P的21．已知点A(4,7)，集合S??(x,y)1612??????????点Q，都有AP?PQ?0．x2y2(1)证明：P在椭圆??1上；1612(2)求P的坐标；x2y2(3)设椭圆??1的焦点为F1,F2，证明：?APF1??APF2．1612试卷第3页，共4页

222222参考公式：(ad?bc)?(ac?bd)??a?b??c?d?．试卷第4页，共4页

参考答案：1．C【分析】根据复数三角表示的运算求解即可.ππ??ππ?π?π????【详解】?sin?icos???cos?isin??cos?3???isin?3???i.33??66???6??6?故选：C2．B2【分析】根据题意可得a4?a2?a10，运算可得a1?0，再根据等差数列通项可求得a11,a5得解.2【详解】设等差数列?an?的公差为d，d?0，由题意可得a4?a2?a10，233即?a1?3d???a1?d??a1?9d?，解得a1d?0，又d?0，?a1?0，则a11?a1?10d?10d，a5?4d，?a1110d5??.a54d2故选：B.3．A【分析】由面面平行的性质可判断.【详解】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，?平面BCC1B1//平面ADD1A1，B1C?平面BCC1B1?平面AB1C，平面AB1C?平面ADD1A1?l，?l//B1C.对于A，?A1D//B1C，?l//A1D，故A正确；对于B，因为B1D与B1C相交，所以l与B1D不平行，故B错误；对于C，因为C1D与B1C不平行，所以l与C1D不平行，故C错误；对于D，因为DD1与B1C不平行，所以l与DD1不平行，故D错误；故选：A.答案第1页，共18页

4．A【分析】设m?2x，将f?x?转化为关于g?m?的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.2【详解】设m?2x，则m?0，f?x??g?m??t?m??2t?1??m，?m?0?有最小值.当t?0时，二次函数g?m?开口向下，无最小值；当t?0时，g?m???m无最小值；当t?0时，若g?m?在?0,???上有最小值，则对称轴?故选：A5．D【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的值域、正切函数的单调性进行求解即可.2t?11?0，解得0?t?.22tπ??【详解】sinx?cosx?2sin?x???2，4??ππ?π?π因为x??0,?，所以当x??时取等号，即当x?；442?2???π??siny?2cosy?5sin?y????5，其中tan??2????0,??，?2????π?ππ因为y??0,?，所以当y???时取等号，即当y???；22?2???π??sinz?3cosz?10sin?z????10，其中tan??3????0,??，?2???ππ?π?因为z??0,?，所以当z???时取等号，即当z???；22?2?因为(sinx?cosx)(siny?2cosy)(sinz?3cosz)?2?5?10?10，所以当且仅当x?，y?π4ππ??，z???时取等号，22答案第2页，共18页

???π???π??因为tan??2????0,??，tan??3????0,??，?2???2????所以有所以????故选：D6．Bπππππππ，即????????????????z?y?x?，4222444??【分析】在平面直角坐标系中，令b?(1,0),a?(x,y)，利用向量的夹角公式建立方程，再求出方程所对曲线上的点到原点距离即得.??????【详解】在平面直角坐标系中，不妨令b?(1,0),a?(x,y)，则a?b?(x?1,y),a?2b?(x?2,y)，??????(a?b)?(a?2b)(x?1)(x?2)?y23?????由?a?b,a?2b??30?，得cos30?????，22222|?a?b||a?2b|(x?1)?y?(x?1)?y整理得4[(x?1)(x?2)?y2]2?3[(x?1)2?y2][(x?1)2?y2]，即[(x?1)(x?2)?y2]2?3y2，于是(x?1)(x?2)?y2?3|y|，显然方程(x?1)(x?2)?y2?3|y|对应曲线关于x轴对称，不妨令y?0，3333则方程化为(x?)2?(y?)2?1(y?0)，表示以点C(?,)为圆心，1为半径的圆在x2222轴及上方部分，?3x?y???33点C到原点O的距离|OC|?3，直线OC:y??消去y得：x，由?3?(x?3)2?(y?3)2?1?22?42x?4x?2?0，34162?0，即直线OC与圆C的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2)，显然??4?4??2?33有x1?x2?0,x1x2?0，即有x1?0,x2?0，从而y1?0,y2?0，33因此直线OC与曲线(x?)2?(y?)2?1(y?0)交于两点，22???而|a|?x2?y2，则|a|min?|OC|?1?3?1,|a|max?|OC|?1?3?1，?所以|a|的取值范围是[3?1,3?1].故选：B答案第3页，共18页

7．A【分析】根据题意可得X的可能取值为2,3,4,5…,n，求出对应的概率并运算得E?X?.【详解】由题意可得X的可能取值为2,3,4,5…n，111111，P?X?3????，P?X?4??,…，P?X?n??n?1，22482211111?E?X??2??3?2?4?3?L??n?1??n?2?n?n?1，①22222P?X?2??111111则E?X??2?2?3?3?4?4?L??n?1??n?1?n?n，②222222111111①?②得，E?X??1?2?3?4?L?n?1?n?n，222222即得E?X??3?故选：A.8．BCDE【分析】根据新定义逐个选项判断即可.【详解】由题知，2?nn???时，E?X??3.n?1.当2A?B?{(x,y)∣x?A,y?B}表示数集A中的数表示横坐标，数集B中的数表示纵坐标，组成的点的全体，故A?B?B?A，A错；若A?C，则(A?B)?(C?B)，B正确；A?(B?C)???x,y?x?A,y??B?C??，??x,y?x?A,y?B????x,y?x?A,y?C?，(A?B)?(A?C)?则A?(B?C)?(A?B)?(A?C)，C正确；集合{0}?R表示y轴所在直线，D正确；集合A?A表示正方形区域（含边界），E正确.故选：BCDE9．ABCE【分析】由直线过焦点F可求出抛物线C的解析式，然后利用数型结合及抛物线定义逐项判断即可求解.【详解】由题知直线y?k?x?1?过定点?1,0?且经过抛物线的焦点F，得F?1,0?，所以p?2，答案第4页，共18页

抛物线C方程：y2?4x，根据题意作出图形NT?准线并交准线于T，MS?准线且交准线于S，如图所示.对A：上述求解p?2，故A正确；???????????????????????????????????12MP?FN?FM?NMFM,MP,FN对B、C：由成等差数列，所以，所以MP?3??????????????????????????????????1?????????1且由FM,MP,FN成等差数列，MP?FN?FM?NP，得FN?NP，FM?26?1?????????????????????????所以MP?FM?FP?NP，故B正确，FN?3MF，故C正确；2????NP，????NP，对D：由B、C及抛物线定义知NT?NF?所以在Rt?PNT中，NT?此时斜率k?tan1NP，21ππNP，所以?TPN?，所以?PFS?，263π?3，又考虑到抛物线的对称性当斜率k??3时也成立，故D错误.3对E：由B、C、D知点F为NP的中点，且焦距p?2，所以NT?4，得NP?8，故E正确.故选：ABCE.【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为线段满足的数量关系，进而求解．10．AC【分析】根据复合函数的单调性、奇偶性、反函数的定义求解.【详解】对于A，根据复合函数的单调性可知，f(x)是增函数，f[f(x)]也是增函数，则A正确；对于B，根据复合函数的单调性可知，f(x)是减函数，f[f(x)]也是增函数，则B错误；对于C，令f?x???x?2，则f[f(x)]????x?2??2?x，即存在定义域为R函数答案第5页，共18页

f?x???x?2满足题意，则C正确；对于D，由f(x)是奇函数，令g?x??f[f(x)]，则g??x??f[f(?x)]?f[?f(x)]??f[f(x)]??g?x?，即f[f(x)]为奇函数，则D错误；?1对于E，令f?x??t，则其反函数为x?f?t?，?1?1由f[f(x)]??x可知f?t???f?t?，即f?x???f?x?，则函数f?x?不存在，则E错误；故选：AC.【点睛】解决抽象函数的问题可以通过举一些常见的初等函数来解决问题.11．4x?4y?5?0【分析】根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.【详解】y?1?x?y???121?x，1???1?31?所以曲线y?1?x在点?,?处的切线的斜率为，321??42?4所以方程为y?13?????x???4x?4y?5?0，24??故答案为：4x?4y?5?012．5（答案不唯一）【分析】根据二项展开式的通项即可得出结论.【详解】由题知，2??3k?x??的通项为Tk?1?Cnx??n?x?3n?k2n?5k?2?kk6，???2?Cnx?x?k要使展开式中存在常数项，只需又正整数n?1，0?k?n，则2n?5k，所以不妨令n?5，则k?2.故答案为：5（答案不唯一）13．169/4.522n?5k?0有解，6【分析】根据勾股定理和双曲线定义求解可得PF1?PF2；利用定义消元，然后由对勾函数答案第6页，共18页

求解可得.【详解】由题知，a?32?1?22，PF2?2，当PF1?PF2时，PF1?PF2?36，由定义知，PF1?PF2?2，则PF1?PF2?2PF1?PF2?4，所以36?2PF1?PF2?4，得PF1?PF2?16；2222PF1?11?2?PF2?，PF2PF215取得最小值，PF22由对勾函数性质可知，当PF2?2时，PF2?所以PF1?19的最小值为.PF229故答案为：16；.2?30π?,??14．???12???【分析】先利用圆台的侧面积公式及弧长公式可得l?2R2?R12?2和l?4R2?4R1，进而得出R2?R11，结合图形利用勾股定理得出圆台的高；再根据台体的体积公式计算圆台的体2积；最后构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出答案.【详解】圆台及侧面展开图如图所示，答案第7页，共18页

设圆台上底面为圆O1，半径为R1，下底面为圆O2，半径为R2，圆台母线为l.由圆台的侧面积为2π，可得：?2πR2?2πR1??2l?2π，整理可得：l?.R2?R12?π?l?2πR1??21由侧面展开是圆心角为90?的扇形所截得的扇环，可得：?，整理可得：π???l?l??2πR12??2l?4R2?4R1.所以圆台的高h?l2??R2?R1??15?R2?R1?.所以圆台体积V???122πR12?πR2?πR12?πR2?h32??12πR12?πR2?πR1R2?h3??15π22R1?R2?R1R2??R2?R1?.32122l?由和l?4R2?4R1可得：R2?R1?.R2?R12??因为R2?R1?0，所以R2?R1?2.22，2令x?R2?R1,x?x1?R????124x则?，x1?R??2?24x?所以V?15π?31?15πx????3?832x3?241?3x??4x3???.?答案第8页，共18页

令f?x??3x?12，.x?4x32?2232x?1?x?32x?12x?1因为3?f??x??3?4??444x4x8x?2??2???1??，2??0?2?1,??所以函数f?x??3x?3在???2?上单调递增，4x???2?则f?x??f??2???22.??所以V?15π30π.?22，即V?2412?30π?,??则该圆台体积的取值范围是???12?.???30π?,??故答案为：???12?.??【点睛】关键点睛：本题考查圆台的侧面积及体积等相关量的计算.解题关键在于结合圆台及侧面展开图找到相关几何关系，列出关系式，表示出体积；难点在于求体积的取值范围，需要构造函数，利用导数研究函数的最值.15．(1)3π4(2)?2?1【分析】（1）根据两角和正弦余弦公式化简可得sin(A?B)?cos(A?B)，再根据诱导公式化简可得；（2）由余弦定理求出ab的取值范围后即可求出.π??π??【详解】（1）因为sin?A??sin?B???cosAcosB，4??4???2??2?22sinA?cosAsinB?cosB所以?????2??2??cosAcosB，22????1?sinA?cosA??sinB?cosB??cosAcosB，2即sinAcosB?cosAsinB?cosAcosB?sinAsinB即sin(A?B)?cos(A?B)，因为A,B,C是?ABC的内角，所以sinC??cosC，即tanC??1，答案第9页，共18页

所以C?3π.4a2?b2?22（2）在?ABC中，cosC?，??2ab2得a2?b2??2ab?2，因为a,b是?ABC的边长所以a2?b2?2ab，所以?2ab?2?2ab，即0?ab?2?2????????因为CA?CB?abcosC??????????所以CA?CB?[?2?1,0)，2ab，2????????所以CA?CB的最小值为?2?1.16．(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）两式平方相加，由同角三角函数平方关系可得；（2）假设存在，等比数列各项均不为0，则由通项公式与三角函数有界性可推出矛盾.222【详解】（1）由题意得，sinan?1?sinan?cosbn?2sinancosbn，cos2bn?1?cos2bn?sin2an?2sinancosbn，2222两式相加得，sinan?1?cosbn?1?2?sinan?cosbn?，得证.2222（2）若sina1?cosb1?0，则数列?sinan?cosbn?不是等比数列；22若sina1?cosb1?m?0，22假设存在a1,b1，使得数列?sinan?cosbn?是等比数列.222222由（1）结论得，sinan?1?cosbn?1?2?sinan?cosbn?，sinan?cosbn?0，sin2an?1?cos2bn?1?2，故数列?sin2an?cos2bn?是公比为2的等比数列，则22sinan?cosbn22n?1则sinan?cosbn?m?2，log但当n?2?log2m时，sin2a?cos2b?m?22?log2m?1?m?22m?2，nn22由|sinan|?1,|cosbn|?1，则sinan?cosbn?2，产生矛盾，2答案第10页，共18页

22故不存在a1,b1，数列?sinan?cosbn?是等比数列.11?????a?a17．(1)f(x)在?0,e?单调递减，在?e,???单调递增?????1(2)?0,1?e??(3)a?12【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；（2）构造函数g(x)?xa?1lnx，分类讨论a?1与0?a?1，结合（1）中结论即可得解；（3）构造函数h(x)?f?(x)，利用导数分类讨论a的取值范围，结合h(x)的单调性即可得解.【详解】（1）因为f(x)?xalnx的定义域为(0,??)，a?0，则f?(x)?axa?1lnx?xa?1?xa?1(alnx?1)，令f?(x)?0，得0?x?e?a；令f?(x)?0，得x?e?a；11??1???1?aaf(x)0,ee,??所以在??单调递减，在??单调递增.????（2）因为x?0，所以f(x)?x等价于xa?1lnx?1，记函数g(x)?xa?1lnx，当a?1时，g?e2??2e2(a?1)?1，不合题意；1?1?当0?a?1时，由（1）知g(x)?g?ea??1综上，a的取值范围是?0,1?e??.?1??1，解得a??0,1?e?1???；(1?a)e?（3）记函数h(x)?f?(x)?xa?1(alnx?1)，则h?(x)?xa?2?a2?alnx?2a?1?，????11?3若a?,h?(x)??x2lnx，24令h?(x)?0，得0?x?1；令h?(x)?0，得x?1；h(x)在(0,1)单调递增，在(1,??)单调递减，故h(x)?h(1)?1，符合题意；答案第11页，共18页

?2a?1?1?2a2?1?a?a?h(x)?02h(x)e,1a?0,若，则在????，当ea?a?x?1时，??单调递减，?2????2a?1?2ea?a??h(1)?1，不合题意；故h??????2a?1?1?2a2?1?a?a?2h(x)?0h(x)1,ea?,1若，则在????，当1?x?ea?a时，??单调递增，?2????2a?1?2ea?a??h(1)?1，不合题意；故h?????若a?[1,??)，当x?1时，h?(x)?0，则h(x)在(1,??)单调递增，故h(x)?h(1)?1，不合题意.综上，a?1.2【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：，从而得出不等关系；1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值）2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.213213或?131316π8π(2)（i）或；（ii）33318．(1)【分析】（1）作出图形，利用数型结合及二面角知识即可求解.（2）（i）作出Q在?内的平面运动轨迹图，然后分类讨论，从而求解（中点P到平面）的距离为定值3，则只需求解S?QAB的取值，又因AB?1为定值，即可转化为点Q到直线l距离，从而求解.【详解】（1）设P在l，?所在平面的射影分别为M,N，连接MN，则PM?13，PN?3，PM?l且PN^平面?，因为l?平面?，所以PN?l，因为PM?PN?P，PM,PN?平面?，所以l?平面PMN，又因为MN?平面PMN，所以l?MN，所以?PMN或其补角即为所求二面角??l??的平面角，答案第12页，共18页

?313?3313213?所以此二面角正弦值为，所以余弦值为?1??.????13?131313??2故余弦值为213213或?.1313.（2）（i）因为PN??，所以NQ?PQ2?PN2?4，此时Q在?平面内的平面图如下图①若Q??，则以N为圆心，4为半径的圆在?中的部分是一段优弧，此时可知所对的劣弧角的一半设为?，则cos??MN21π??，得??NQ4234π4π16π.所以优弧对应圆心角为，因此Q的运动轨迹长度为2π?NQ?3?32π3②若Q??，则以N为圆心，4为半径的圆在?中的部分是一段劣弧，2π2π8π此时由①知劣弧对应的圆心角为，因此Q的运动轨迹长度为2π?NQ?3?32π31（ii）四面体P?QAB的体积V?Sh，其中h?PN?3为P到平面QAB的距离，3S?1dAB?d?为?QAB的面积，d为Q到直线l的距离，其在?中的平面图如下图，22116由（i）知若Q??，则当QN?l时，d取最大值6，此时V?Sh??3??3；332112若Q??，则当QN?l时，d取最大值2，此时V?Sh??3??1；332所以四面体P?QAB的最大值为3.答案第13页，共18页

.19．(1)nplnp(1?q)1?p?nlnq(1?p)1?q3(2)ln3?ln22(3)证明见解析【分析】（1）利用定义，结合二项分布的概率公式与对数的运算法则即可得解；‖Y)关于p的关系式，再利用导数求得其最（2）利用定义，结合对数的运算法则得到D(X小值，从而得解；（3）先利用导数证得恒不等式lnx?1?，从而结合定义即可得证.kkn?kkkn?k【详解】（1）不妨设ak?k，则xk?Cnp(1?p),yk?Cnq(1?q).1x所以D(X‖Y)??Ci?1nknpk?1?p?n?klnpk?1?p?qk?1?q?n?kn?kp(1?q)n1?pnkkkkn?k?ln??kCnp(1?p)?nln??Cnp(1?p)n?kq(1?p)k?01?qk?0?nplnp(1?q)1?p?nln.q(1?p)1?q（2）当n?2时，P(X?2)?p2,P(X?1)?2p(1?p),P(X?0)?(1?p)2，‖Y)?p2ln3p2?2p(1?p)ln6p(1?p)?(1?p)2ln3(1?p)2记f(p)?D(X?p2lnp2?2p(1?p)ln2p(1?p)?(1?p)2ln(1?p)2?ln3，则f?(p)?4plnp?2p?(2?4p)[ln2p(1?p)?1]?4(1?p)ln(1?p)?2(1?p)?2[lnp?ln(1?p)?(1?2p)ln2]，令g(p)?lnp?ln(1?p)?(1?2p)ln2，则g?(p)?11??2ln2?0，p1?p答案第14页，共18页

令??p??当0?p?当2p?111??2ln2，则???p??22，p?1?p?p1?p1时，???p??0，??p?单调递减；21?p?1时，???p??0，??p?单调递增；2?1??1?所以??p??????4?2ln2?0，则g(p)单调递增，而g???0，?2??2??1??1?所以f?(p)在?0,?为负数，在?,1?为正数，?2??2??1??1?则f(p)在?0,?单调递减，在?,1?单调递增，?2??2?3‖Y)的最小值为ln3?ln2.所以D(X211?x（3）令h?x??lnx?x?1，则h??x???1?，xx当0?x?1时，h??x??0，h?x?单调递增；当x?1时，h??x??0，h?x?单调递减；所以h?x??h?1??0，即lnx?x?1?0，当且仅当x?1时，等号成立，则当x?0时，lnx?x?1，所以lnn111??1，即lnx?1?，xxxnnn?yk?nxk??xk?1?????xk?yk???xk??yk?0，故D(X‖Y)??xklnykk?1?xk?k?1k?1k?1k?1当且仅当对所有的k,xk?yk时等号成立.Y)，熟练掌握对数的运算【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义指标D(X‖法则即可得解.（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）答案见解析20．【分析】（1）利用尺规作图的方法即可得解；（2）利用点差法，分类讨论即可得解；（3）熟悉掌握作图方法，结合平面的性质即可得解.【详解】（1）如图，答案第15页，共18页

x2y2（2）建立适当的坐标系，使椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0).ab若该簇平行直线斜率不存在，它们被椭圆所截弦的中点均在x轴上，因而轨迹是长轴(不含左、右顶点)；若该簇平行直线斜率存在且为k，与椭圆交于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点，22x12y12x2y2y?y则有2?2?1(*),2?2?1(**),21?k(***)，ababx2?x1(*)(**)相减得，?x1?x2??x1?x2??y1?y2??y1?y2?a2?b2?0，y1?y2b2b2??2，这表明，弦AB的中点在定直线y??2x上，结合(***)得x1?x2kaka因而弦中点的轨迹是该直线被椭圆所截得的弦(不含端点).（3）①任取椭圆C上4点A,B,D,E；②过A,B作直线DE的平行线，分别与椭圆交于点F,G；③作弦AF,BG的垂直平分线，分别与弦AF,BG交于点H,I，则直线HI经过C的中心；④同理过D,E作直线AB的平行线，重复以上步骤得到直线JK，JK与HI交于点O，O即为C的中心；⑤以O为圆心，适当半径作圆，与C顺次交于点P1,P2,P3,P4；⑥作?POP12和?P2OP3的角平分线，它们所在直线即为C的两条对称轴，两直线与C交于4点，其中2个点为M,N，且OM?ON；⑦以M为圆心，ON为半径作圆，与直线ON交于F1,F2两点，即为C的焦点.【点睛】关键点睛：本题第1小问解决的关键是熟练掌握尺规作图的方法.答案第16页，共18页

21．(1)证明见解析(2)P?2,3?(3)证明见解析x2y2【分析】（1）分析当P在C:??1内时，设线段PA与C有一交点Q推导出矛盾即可；1612?????????????（2）记AQ在AP上的投影向量为AQ?，可推导P是C上与A距离最小的点，再设P?x0,y0?，结合椭圆的方程与所给方程得出不等式求解最值即可；PF1BF15?1???（3）设直线AP与x轴交于B?b,0?，根据A,B,P共线可得B?,0?，再结合PFBF3?2?22与正弦定理，转证?BPF1??BPF2即可.x2y2【详解】（1）记C:??1，若P不在C上，则在C内.1612????????4272因为??1，所以A在C外，设线段PA与C有一交点Q，此时AP和PQ共线反向，1612????????AP?PQ?0，不合题意，因此P在C上.????????????????????2????????（2）AP?PQ?0等价于AP?PQ?AP?AP?AP.??????????????????????2??????????????记AQ在AP上的投影向量为AQ?，则条件等价于AP?AQ??AP，AQ?AP，这表明P是C上与A距离最小的点.2222设P?x0,y0?，则3x0?4y0?48，AP??4?x0???7?y0?.222222因为(ad?bc)?(ac?bd)??a?b??c?d?，22222故(ac?bd)??a?b??c?d?，当且仅当ad?bc时取等号.????2所以?4?x0???7?y0??221??4?x05??2?22?1又?x0?2y0??3x0?4y0??1??3???1218??x0?2y0?，5?????212?64，故?8?x0?2y0?8，故AP??18?8??20，当且5?14?2y0??1?????4??2214仅当x0?2y0?8且2?4?x0??1??7?y0?时取等号，解得x0?2,y0?3，故此时P?2,3?.（3）因为A?4,7?，P?2,3?，设直线AP与x轴交于B?b,0?，则?1?故B?,0?，则要证?APF1??APF2即证?BPF1??BPF2.?2?17?33?0?，解得b?.24?22?b答案第17页，共18页

又F1??2,0?,F2?2,0?，故PF2?x轴，故在△PF1B和?PF2B，由正弦定理，PF1BF15??.PF2BF23sin?PBF1sin?PBF2?，sin?BPF1sin?BPF2又?PBF1和?PBF2互补，所以sin?PBF1?sin?PBF2，所以sin?BPF1?sin?BPF2，从而有?BPF1??BPF2.答案第18页，共18页

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