2024年2月6日发(作者：斯柯达品牌历史介绍)

2024年“极光杯”线上测试（一）数注意事项：学1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．cos(?60?)?A．12B．32C．?12D．?322．设集合A?{2,3,4,5,6}，B?{1,a?2,2a?1}，若A?B?{x?N?|x?7}，则A?B?A．{2,3}B．{3,4}C．{4,5}D．{5,6}3．若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是111111B．(?,)C．(0,)D．(?,)A．(0,)1010105554．设平面向量a，b满足|a|?2，|b|?3，|a?b|?4，则cos?a,b??1111D．?A．B．C．?34345．对于各数位均不为0的三位数abc，若两位数ab和bc均为完全平方数，则称abc具有“S性质”，则具有“S性质”的三位数的个数为A．2B．3C．4D．56．设a?log20.7，b?log30.6，c?log0.30.2，则A．a?b?cB．b?a?cC．c?a?bD．c?b?a7．在二面角??l??中，点A??，B??，C，D?l，AB?l，且AB与半平面?，?所成的角相等，则“AC?BD”是“?ACD??BDC”的A．充要条件C．必要不充分条件B．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件第1页（共4页）

8．已知凸四边形ABCD内接于圆O，?ABD?2?CBD，值为AD26BD，则的最大?ACCD3A．62B．233C．425D．335二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设双曲线C:x2?3y2?1，则A．C的实轴长为2B．C的焦距为4D．C的渐近线方程为x?3y?0C．C的离心率为2210．设函数f(x)?x??3lnx，记f(x)的极小值点为x1，极大值点为x2，则xA．x1?x2?3C．f(x1)?f(x2)??3ln2B．x1?x2D．f(x1)?f(x2)11．已知随机变量X服从正态分布N(?,?2)，P(2?X?3)?P(3?X?4)．记X的密度函数为f(x)，h?0，则12P(3?X?3?h)C．?f(3)hA．P(X?3)?B．P(X2?9)?12P(3?h?X?3)D．?f(3)h12．已知实数x，y满足|x?y|?|x|?|y|?2，则A．?1≤x?y≤1B．?2≤x?y≤2C．1≤x2?y2≤2D．?1≤x3?y3≤1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设z?(2?i)2?(1?2i)2，则|z?8i|?．14．若某圆锥的侧面积为底面积的5倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．x2y215．设O为坐标原点，椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P为ab1椭圆上一点，直线PA1的斜率为，PO的斜率为2，则PA2的斜率为．316．在(1?ax)8的展开式中，若x3的系数为?56，则a?；若展开式中有且仅有x4项的系数最大，则a的取值范围是．第2页（共4页）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知直线x?对称轴．?2?和x?是函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)图像两条相邻的63（1）求f(x)的解析式和单调区间；1（2）保持f(x)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的(a?0)倍，得到函a数y?g(x)的图像．若g(x)在区间(0,?)恰有两个极值点，求a的取值范围．18．（12分）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为X和Y．在治疗过程中，用指标I衡量患者是否受益：若???≤I≤???，则认为指标I正常；若I????，则认为指标I偏高；若I????，则认为指标I偏低．若治疗后患者的指标I正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6．（1）求E(Y)和D(Y)；（2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第i位的患者治疗后指标I的值为xi，i?1，2，…，50，定义函数：?1,?f(xi)??0,??1,?xi???????≤xi≤???．xi????（i）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．①A?|f(x1)|?|f(x2)|???|f(x50)|；②B?f(x1)[f(x1)?1]?f(x2)[f(x2)?1]???f(x50)[f(x50)?1]；2（ii）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（i）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策．第3页（共4页）

19．（12分）如图，五面体AB?CDEF的底面CDEF是矩形，AB∥底面CDEF，AB到底面CDEF的距离为1，AC?CF?FA?AB?BD?DE?EB?2．（1）证明：平面ABCD?平面ABEF；（2）设平面ACF?平面BDE?l．（i）证明：l∥底面CDEF；（ii）求l到底面CDEF的距离．20．（12分）已知等比数列{an}的公比q?1，a1，a2，a3?1成公差为d的等差数列．（1）求q?d的最小值；（2）当a11取最小值时，求集合A?{an|an?N?}中所有元素之和．21．（12分）设O为坐标原点，A为抛物线y2?4x上异于O的一点，B(?1,4)，C(?4,0)．（1）求|AB|的最小值；（2）求tan?ACB的取值范围；（3）证明：?ACB≥?ACO．22．（12分）设函数f(x)?x，g(x)?esinx?ecosx．xe（1）求曲线y?f(x)平行于直线y?x?2的切线；（2）讨论g(x)的单调性．第4页（共4页）

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