2024年2月6日发(作者：飞度2021款报价及图片)

2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数注意事项：学1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若z?sinD．?ia2．设{an}是公差不为0的等差数列，a2，a4，a10成等比数列，则11?a5511C．B．D．2A．325A．1???icos，则z3?33B．?1C．i3．已知正方体ABCD?A1B1C1D1，平面AB1C与平面AA1D1D的交线为l，则A．l//A1DB．l//B1DC．l//C1DD．l//D1D4．若函数f(x)?t?4x?(2t?1)?2x有最小值，则t的取值范围是1111A．(0,)D．[,??)B．(0,]C．(,??)2222?5．设x，y，z?(0,)，(sinx?cosx)(siny?2cosy)(sinz?3cosz)?10，则2????B．?x?y?zC．?x?y?zD．?x?y?zA．?x?y?z44446．向量a，b满足|b|?1，?a?b,a?2b??30?，则|a|的取值范围是A．[2?1,2?1]B．[3?1,3?1]C．[5?1,5?1]D．[6?1,6?1]7．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则E(X)?A．3B．4C．5D．6

二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。8．对于数集A，B，它们的Descartes积A?B?{(x,y)|x?A,y?B}，则A．A?B?B?AC．A?(B?C)?(A?B)?(A?C)E．集合A?A表示正方形区域（含边界）9．已知直线y?k(x?1)经过抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点F，与C交于M，N两点，与C的准线交于P点，若|FM|，|MP|，|FN|成等差数列，则B．若A?C，则(A?B)?(C?B)D．集合{0}?R表示y轴所在直线A．p?2C．FN?3MFE．|PN|?810．存在定义域为R的函数f(x)满足A．f(x)是增函数，f[f(x)]也是增函数B．f(x)是减函数，f[f(x)]也是减函数B．FP?NFD．k?3C．对任意的a?R，f(a)?a，但f[f(x)]?xD．f(x)是奇函数，但f[f(x)]是偶函数E．f(x)的导函数f?(x)的定义域也是R，且f[f(x)]??x三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。3111．曲线y?1?x在点(,)处的切线方程是．422n12．写出一个正整数n?1，使得(3x?)的展开式中存在常数项：．xy213．设双曲线C:x?2?1(a?0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|?6，点P在Ca1的右支上，当PF1?PF2时，|PF1|?|PF2|?；当P运动时，|PF1|?的|PF2|2最小值为．

14．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90?的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2?，则该圆台体积的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（10分）??在△ABC中，sin(A?)sin(B?)?cosAcosB．44（1）求C；（2）若AB?2，求CA?CB的最小值．16．（10分）已知数列{an}和{bn}满足sinan?1?sinan?cosbn，cosbn?1?cosbn?sinan．（1）证明：sin2an?1?cos2bn?1?2(sin2an?cos2bn)；（2）是否存在a1，b1，使得数列{sin2an?cos2bn}是等比数列？说明理由．17．（15分）设a?0，函数f(x)?xalnx．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)?x，求a的取值范围；（3）若f?(x)?1，求a．18．（15分）已知二面角??l??，点P??，P与棱l的距离为13，与半平面?所在平面的距离为3．（1）求二面角??l??的余弦值；（2）设A，B?l，AB?1，动点Q??，满足PQ?5．（i）求Q运动轨迹的长度；（ii）求四面体P?QAB体积的最大可能值．

19．（15分）它们的分布列分别为P(X?ak)?xk，设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，P(Y?ak)?yk，xk?0，yk?0，k?1，2，…，n，n?x??ykk?1k?1nnk?1．指标D(X||Y)可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为D(X||Y)?设X~B(n,p)，0?p?1．?k?1xklnxk．yk（1）若Y~B(n,q)，0?q?1，求D(X||Y)；1（2）若n?2，P(Y?k?1)?，k?1，2，3，求D(X||Y)的最小值；3（3）对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(X||Y)?0，并指出取等号的充要条件．20．（15分）本题分I、II两部分，考生任选其中一部分作答．若多选，则按照I部分计分．I．（1）如图1，点A在直线l外，仅利用圆规和无刻度直尺，作直线AB//l（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）．（2）证明：一簇平行直线被椭圆所截弦的中点的轨迹是一条线段（不含端点）；（3）如图2是一个椭圆C，仅利用圆规和无刻度直尺，作出C的两个焦点，简要说明作图步骤．图1图2x2y2II．已知点A(4,7)，集合S?{(x,y)|??1}，点P?S，且对于S中任何异于P的1612点Q，都有AP?PQ?0．x2y2（1）证明：P在椭圆??1上；1612（2）求P的坐标；x2y2（3）设椭圆??1的焦点为F1，F2，证明：?APF1??APF2．1612参考公式：(ad?bc)2?(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)．

2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学参考答案一、选择题1．C5．D2．B6．B3．A7．A4．A二、选择题8．BCD9．ABCE10．ACD三、填空题11．y?5?x4913．16；212．示例：514．(30?,??)12四、解答题15．解：若cosAcosB?0，（1）由题设知(sinA?cosA)(sinB?cosB)?2cosAcosB．则A?或B??2???3?．当A?时，sin(A?)?0，所以B?，此时A?B??，不合题意．同理2244B??亦不成立．2所以(tanA?1)(tanB?1)?2，tanC??tan(A?B)?tanA?tanB3???1，故C?．tanAtanB?142ab．2（2）记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c?2，CA?CB??a2?b2?c22，所以?2ab?a2?b2?2?2ab?2，因此由余弦定理知cosC???2ab2ab?2?2，当a?b?2?2时等号成立．故CA?CB??2ab?1?2，CA?CB的最小值为1?2．2

16．解：（1）由题知sin2an?1?sin2an?cos2bn?2sinancosbn，cos2bn?1?cos2bn?sin2an?2sinancosbn，两式相加可得sin2an?1?cos2bn?1?2(sin2an?cos2bn)．（2）若sin2a1?cos2a1?0，则{sin2an?cos2bn}不是等比数列．若sin2a1?cos2a1?m?0，则sin2an?cos2bn?m?2n?1，当n?2?log2m时，sin2an?cos2bn?2，但|sinan|?1，|cosbn|?1，sin2an?cos2bn?2，矛盾！综上，不存在a1，b1，使得{sin2an?cos2bn}是等比数列．17．解：（1）f(x)的定义域是(0,??)，f?(x)?axa?1lnx?xa?1?xa?1(alnx?1)．令f?(x)?0，得x0?e?1a，所以f(x)在(0,e?1a)单调递减，在(e?1a,??)单调递增．（2）因为x?0，所以f(x)?x等价于xa?1lnx?1．记函数g(x)?xa?1lnx．①当a?1时，g(e2)?2e2(a?1)?1，不合题意；②当0?a?1时，由（1）知g(x)?综上，a的取值范围是(0,1?e?1]．（3）记函数h(x)?f?(x)?xa?1(alnx?1)，h?(x)?xa?2[(a2?a)lnx?2a?1]．11?①若a?，h?(x)??x2lnx，h(x)在(0,1)单调递增，在(1,??)单调递减，故24h(x)?h(1)?1，符合题意；122②若a?(0,)，h(x)在(ea?a,1)单调递减，故h(ea?a)?h(1)?1，不合题意；2122③若a?(,1)，h(x)在(1,ea?a)单调递增，故h(ea?a)?h(1)?1，不合题意；21?2a1?2a1?2a1?2a31g(e1?a)?1?1，解得a?(0,1?e?1]．(1?a)e④若a?[1,??)，h(x)在(1,??)单调递增，故h(x)?h(1)?1，不合题意．1综上，a?．218．解：（1）设P在l，?所在平面的射影分别为M，N，则PM?13，PN?3．易知l?平面PMN，则l?MN，故?PMN或其补角即为二面角??l??的平面角，因此二面角??l??的正弦值为313?313213213，余弦值为或?．131313

（2）（i）因为PN??，所以NQ?PQ2?PN2?4．①若Q??，则以N为圆心，4为半径的圆在?中的部分是一段优弧，对应圆心角为4?16?，因此Q运动轨迹的长度为；33②若Q??，则以N为圆心，4为半径的圆在?中的部分是一段劣弧，对应圆心角为2?8?，因此Q运动轨迹的长度为．3316?8?所以Q运动轨迹的长度为或．331（ii）四面体P?QAB的体积V?Sh，其中h?PN?3为P到平面QAB的距离，31dS?AB?d?为△QAB的面积，d为Q到直线AB（或l）的距离．22由（i）知，若Q??，则当QN?l时，d取最大值6；若Q??，则当QN?l时，d取最大值2，所以四面体P?QAB体积的最大可能值为3．19．解：kn?kkn?k（1）不妨设ak?k，则xk?Ck，yk?Ck．np(1?p)nq(1?q)所以D(X||Y)??k?0nCknp(1?p)kn?kpk(1?p)n?klnkq(1?q)n?kp(1?q)n1?pnkkkkn?k?ln?kCnp(1?p)?nln?Cnp(1?p)n?kq(1?p)k?01?qk?0???nplnp(1?q)1?p．?nlnq(1?p)1?q（2）当n?2时，P(X?2)?p2，P(X?1)?2p(1?p)，P(X?0)?(1?p)2．记f(p)?D(X||Y)?p2ln3p2?2p(1?p)ln6p(1?p)?(1?p)2ln3(1?p)2，f?(p)?4plnp?2p?(2?4p)[ln2p(1?p)?1]?4(1?p)ln(1?p)?2(1?p)?2[lnp?ln(1?p)?(1?2p)ln2]．11??2ln2?0，g(p)单调递增．p1?p1111而g()?0，所以f?(p)在(0,)为负数，在(,1)为正数，f(p)在(0,)单调递减，222213在(,1)单调递增，D(X||Y)的最小值为ln3?ln2．22设g(p)?lnp?ln(1?p)?(1?2p)ln2，g?(p)?

（3）当x?0时，lnx?x?1，所以lnx故D(X||Y)?xklnk?ykk?1111??1，即lnx?1?．xxx?n?yxk(1?k)?xkk?1n?(xk?1nk?yk)??x??ykk?1k?1nnk?0，当且仅当对所有的k，xk?yk时等号成立．20．解：I．（1）如图．Alx2y2（2）建立适当的坐标系，使椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)．ab①若该簇平行直线斜率不存在，它们被椭圆所截弦的中点均在x轴上，因而轨迹是长轴（不含左、右顶点）；②若该簇平行直线斜率存在且为k，与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则有22y2?y1x12y12x2y2***（），（），．??1??1?k（***）x2?x1a2b2a2b2（**）相减得（*）(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0，22aby1?y2b2b2结合（***）得??2，这表明，弦AB的中点在定直线y??2x上，因x1?x2kaka而弦中点的轨迹是该直线被椭圆所截得的弦（不含端点）．（3）参考步骤：①任取椭圆C上4点A，B，D，E；②过A，B作直线DE的平行线，分别与椭圆交于点F，G；

③作弦AF，BG的垂直平分线，分别与弦AF，BG交于点H，I，则直线HI经过C的中心；④同理过D，E作直线AB的平行线，重复以上步骤得到直线JK，JK与HI交于点O，O即为C的中心；⑤以O为圆心，适当半径作圆，与C顺次交于点P1，P2，P3，P4；⑥作?P1OP2和?P2OP3的角平分线，它们所在直线即为C的两条对称轴，两直线与C交于4点，其中2个点为M，N，且|OM|?|ON|；⑦以M为圆心，|ON|为半径作圆，与直线ON交于F1，F2两点，即为C的焦点．II．x2y2（1）记C:??1，若P不在C上，则在C内．16124272因为??1，所以A在C外，所以线段PA与C有一交点Q，此时AP和PQ共1612线反向，AP?PQ?0，不合题意，因此P在C上．（2）AP?PQ?0等价于AP?AQ?AP?AP?|AP|2．记AQ在AP上的投影向量为AQ?，则条件等价于|AP|?|AQ?|?|AP|2，|AQ?|?|AP|，这表明P是C上与A距离最小的点．22设A(x0,y0)，则3x0?4y0?48，|AP|2?(4?x0)2?(7?y0)2．因为(ad?bc)2?(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)，(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2)，111所以(4?x0)2?(7?y0)2?[(4?x0)2?(14?2y0)2](1?4)?(18?x0?2y0)2，5451221(x0?2y0)2?(3x0?4y0)(?1)?64，故|AP|2?(18?8)2?20，此时P(2,3)．351（3）直线AP与x轴交于点B(,0)，则?APF1??APF2等价于?BPF1??BPF2．2|PF1||BF1|5不妨设F1(?2,0)，F2(2,0)，则PF2?x轴，??．|PF2||BF2|3sin?PBF1sin?PBF2在△PF1B和△PF2B中，由正弦定理，，而?PBF1和?PBF2?sin?BPF1sin?BPF2互补，所以sin?BPF1?sin?BPF2，从而有?BPF1??BPF2．

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