2024年4月1日发(作者：h9红旗轿车价格表)
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A={（x，y）|x
2
+y
2
=1}，B={（x，y）|y=x}，则 A∩B 中元素
的个数为（
A．3
）
B．2 C．1 D．0
2．（5 分）设复数 z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理
了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘
制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
）
C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化
比较平稳
4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）
5
的展开式中的 x
3
y
3
系数为 （
A．﹣80
）
D．80 B．﹣40 C．40
5．（5 分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，
且与椭圆 + =1 有公共焦点，则 C 的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
6．（5 分）设函数 f（x）=cos（x+
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线 x=
C．f（x+π）的一个零点为 x=
（x）在（，π）单调递减
），则下列结论错误的是（ ）
对称
D．f
7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N
的最小值为（
）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球
面上，则该圆柱的体积为（
A．π B．
）
D． C．
9．（5 分）等差数列{a
n
}的首项为 1，公差不为 0．若 a
2
，a
3
，a
6
成等比数列，则
{a
n
}前 6 项的和为（
A．﹣24
）
C．3 D．8 B．﹣3
10．（5 分）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A
1
，A
2
，且
以线段 A
1
A
2
为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（
A． B． C． D．
）
11．（5 分）已知函数 f（x）=x
2
﹣2x+a（e
x
﹣
1
+e
﹣
x
+
1
）有唯一零点，则a=（
A．﹣ B． C． D．1
）
12．（5 分）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切
的圆上．若
A．3
=λ+μ
B．2
，则 λ+μ 的最大值为（
C．
）
D．2
二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x﹣4y 的最小值为 ．
14．（5 分）设等比数列{a
n
}满足 a
1
+a
2
=﹣1，a
1
﹣a
3
=﹣3，则 a
4
=
15．（5 分）设函数 f（x）=
值范围是 ．
．
，则满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 的 x 的取
16．（5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边
AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角；
②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角；
③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°；
④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°；
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要
求作答。（一）必考题：60 分。
17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+
a=2，b=2．
cosA=0，
（1）求 c；
（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积．
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4
元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处
理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如
果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），
需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份
的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布
表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
2 16 36 25 7 4
天数
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）
求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；
（2）
设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一
天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
19．（12 分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）
证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
（2）
过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两
部分，求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值．
20．（12 分）已知抛物线 C：y
2
=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，
圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．
（1）
证明：坐标原点 O 在圆 M 上；
（2）
设圆 M 过点 P（4，﹣2），求直线 l 与圆 M 的方程．
21．（12 分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（1）若 f（x）≥0，求 a 的值；
（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+）（1+
m 的最小值．
）…（1+）＜m，求
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l
1
的参数方程为
直线 l
2
的参数方程为
时，P 的轨迹为曲线 C．
（1）
写出 C 的普通方程；
，（t 为参数），
，（m 为参数）．设 l
1
与 l
2
的交点为 P，当 k 变化
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l
3
：ρ（cosθ+sinθ）
（2）
-=0，M 为 l
3
与 C 的交点，求 M 的极径．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）
求不等式 f（x）≥1 的解集；
（2）
若不等式 f（x）≥x
2
﹣x+m 的解集非空，求 m 的取值范围．
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A={（x，y）|x
2
+y
2
=1}，B={（x，y）|y=x}，则 A∩B 中元素
的个数为（
A．3
）
B．2 C．1 D．0
【考点】1E：交集及其运算．
【专题】5J：集合．
【分析】解不等式组求出元素的个数即可．
【解答】解：由
，解得： 或 ，
∴A∩B 的元素的个数是 2 个，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．
2．（5 分）设复数 z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（
A． B． C．
）
D．2
【考点】A8：复数的模．
【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），
z=i+1．则|z|=
故选：C．
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能
力，属于基础题．
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理
了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘
制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
）
C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变
化比较平稳
【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．
【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．
【分析】根据已知中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：由已有中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位
： 万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误；
年接待游客量逐年增加，故 B 正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确；
各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平
稳，故 D 正确；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，
属于基础题．
4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）
5
的展开式中的 x
3
y
3
系数为 （ ）
A.
﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
【考点】DA：二项式定理．
【专题】34：方程思想；5P：二项式定理．
【分析】（2x﹣y）
5
的展开式的通项公式：T
r
+
1
=
r
（2x）
5
﹣
r
（﹣y）
r
=2
5
﹣
r
（﹣1）
x
5
﹣
r
y
r
．令 5﹣r=2，r=3，解得 r=3．令 5﹣r=3，r=2，解得 r=2．即可得出．
（2x）
5
﹣
r
（﹣y）
r
=2
5
﹣
r
（﹣ 【解答】解：（2x﹣y）
5
的展开式的通项公式：T =
r
+
1
1）
r
x
5
﹣
r
y
r
．
令 5﹣r=2，r=3，解得
r=3．令 5﹣r=3，r=2，解得
r=2．
∴（x+y）（2x﹣y）
5
的展开式中的 x
3
y
3
系数=2
2
×（﹣1）
3
+2
3
×
=40．故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
：
﹣5．（5 分）已知双曲线 C
且与椭圆
A.
+
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y=
）
D． ﹣ =1
，x
=1 有公共焦点，则 C 的方程为（
B． ﹣ =1 ﹣ =1 C． ﹣ =1
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方
程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
【解答】解：椭圆+=1 的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得 c=3，
双曲线 C：
可得
﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y=
，可得 =，解得 a=2，b= ，
﹣
，x
，即
所求的双曲线方程为：
=1．故选：B．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查
计算能力．
6．（5 分）设函数 f（x）=cos（x+
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线 x=
称C．f（x+π）的一个零点为
x=
D．f（x）在（，π）单调递减
对
），则下列结论错误的是（ ）
【考点】H7：余弦函数的图象．
【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质
． 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1 时，周期T=﹣2π，故A 正确，
B. 当 x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1 为最小值，
此时 y=f（x）的图象关于直线 x=
C 当 x=
为 x=
D.
当
对称，故 B 正确，
）=cos=0，则 f（x+π）的一个零点时，f（+π）=cos（+π+
，故 C 正确，
＜x＜π 时，＜x+＜，此时函数 f（x）不是单调函数，故 D
错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象
和性质是解决本题的关键．
7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N
的最小值为（
）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】EF：程序框图．
【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．
【分析】通过模拟程序，可得到 S 的取值情况，进而可得结论．
【解答】解：由题可知初始值 t=1，M=100，S=0，
要使输出 S 的值小于 91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而 S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出 S 的值小于 91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而 S=90，M=1，t=3，
要使输出 S 的值小于 91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，
此时 N 的最小值为 2，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注
意解题方法的积累，属于中档题．
8．（5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球
面上，则该圆柱的体积为（
A.
π
）
D． B． C．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径 r=
积．
【解答】解：∵圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球
面上，
∴该圆柱底面圆周半径 r=
∴该圆柱的体积：V=Sh=
．故选：B．
=，由此能求出该圆柱的体
=，
=
【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理
论
证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．
9．（5 分）等差数列{a
n
}的首项为 1，公差不为 0．若 a
2
，a
3
，a
6
成等比数列，则
{a
n
}前 6 项的和为（
A．﹣24
）
C．3 D．8 B．﹣3
【考点】85：等差数列的前 n 项和．
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求
出{a
n
}前 6 项的和．
【解答】解：∵等差数列{a
n
}的首项为 1，公差不为 0．a
2
，a
3
，a
6
成等比数列，
∴ ，
∴（a
1
+2d）
2
=（a
1
+d）（a
1
+5d），且 a
1
=1，d≠0，
解得 d=﹣2，
∴{a
n
}前 6 项的和为
24．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列前 n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注
意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
10．（5 分）已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A
1
，A
2
，且
= =﹣
以线段 A
1
A
2
为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【
分
析
】
以
【解答】解：以线段 A
1
A
2
为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，
∴原点到直线的距离=a，化为：a
2
=3b
2
．
∴椭圆 C 的离心率 e= =
．故选：A．
=
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线
的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5 分）已知函数 f（x）=x
2
﹣2x+a（e
x
﹣
1
+e
﹣
x
+
1
）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣ B． C． D．1
【考点】52：函数零点的判定定理．
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
e
（
x
-
1
+
【分析】通过转化可知问题等价于函数 y=1﹣（x﹣1）
2
的图象与 y=a
） 的图象只有一个交点求 a 的值．分 a=0、a＜0、a＞0 三种情况，结合函数的
单调性分析可得结论．
【解答】解：因为 f（x）=x
2
﹣2x+a（e
x
﹣
1
+e
x 1
﹣
+
+
）=﹣1+（x﹣1）
2
+a（e
x
﹣
1
） =0，
+
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）
2
=a（e
x
﹣
1
）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）
2
的图象与y=a（e
x
﹣
1
+ ）的图象只有一个交
点． ①当a=0
时，f（x）=x
2
﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0 时，由于y=1﹣（x﹣1）
2
在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）
上递减，
且 y=a（e
x
﹣
1
+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）
2
的图象的最高点为A（1，1），y=a（e
x
﹣
1
+ ）
的图象的最高点为 B（1，2a），
由于 2a＜0＜1，此时函数 y=1﹣（x﹣1）
2
的图象与 y=a（e
x1
+
象有两个交点，矛盾；
﹣
）的图
③当 a＞0 时，由于 y=1﹣（x﹣1）
2
在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）
上递减，
且 y=a（e
x
﹣
1
+
象的最低点为 B（1，2a），
由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a=1，即 a=，符合条件；
综上所述，a=，
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，
考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题
方法的积累，属于难题．
12．（5 分）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切
的圆上．若
A．3
=λ+μ
B．2
，则 λ+μ 的最大值为（
C．
）
）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数 y=1﹣（x﹣1）
2
的图象的最高点为 A（1，1），y=a（e
x
﹣
1
+ ）的图
D．2
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质
； 5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．
【分析】如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的
为（
cosθ 坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P 的坐标 +1， sinθ+2
），
根据 =λ +μ ，求出 λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值． 【解答
】解：如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的
坐标系，
则 A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，
设圆的半径为 r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD==
∴BC?CD=BD?r，
∴r=，
∴圆的方程为（x﹣1）
2
+（y﹣2）
2
=，
设点 P 的坐标为（
∵
∴（
∴
∴λ+μ=
=λ+μ，
sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
sinθ+2=2μ，
sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中 tanφ=2，
cosθ+1，sinθ+2），
cosθ+1，
cosθ+1=λ，
cosθ+
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故 λ+μ 的最大值为 3，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是
设点 P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
更多推荐
考查,方程,本题
发布评论