2024年3月8日发(作者：2017款途观图片)

2022年全国高中数学联赛试题(及答案)

2022年全国高中数学联赛试题

第一试

一、选择题〔每题6分,总分值36分〕

1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2022项是

(A)2046 (B)2047 (C)2048

(D)2049

2． 设a, b?R, ab≠0，那么，直线 ax?y+b=0和曲线

bx2+ay2=ab 的图形是y y

O

x x

O

x

O

x

y

y

O

(A) (B)

(C) (D)

3． 过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60?的直线．假设此直线与抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，那么线段PF的长等于

16383 (A)16 (B) (C) (D)83334． 假设x?[?5?12,??3]，那么y=

??tan(x+23)?tan(x+?)+cos(x+)的最大值是

66111112(A)123 (D)2 (B)2 (C)3

65655． x,y都在区间(?2,2)内，且xy＝?1，那么函数

u=4?4x+9?9y的最小值是

22122412(A)8 (B) (C) (D)

551176． 在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为?，那么四面体ABCD的体3积等于

31(A)23 (B)1 (C) (D)

323

二、填空题(每题9分,总分值54分)

7． 不等式|x|3?2x2?4|x|+3＜0的解集是__________.

8． 设F1,F2是椭圆x9?y4?1的两个焦点，P是椭圆上的点，22且|PF1|:|PF2|=2:1，那么△PF1F2的面积等于__________.

9． A={x|x2?4x+3＜0,x?R}, B={x|21?x?a≤0,

x2?2(a+7)x+5≤0,x?R}．假设A?B, 那么实数a的取值范围是____________.

510． a,b,c,d均为正整数，且logab=3, log假设a?c=9,

cd=，24那么b?d=________.

11． 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，那么此圆柱的高等于________.

12． 设Mn={(十进制)n位纯小数?a|ai只取0或12n1(i=1,2,…,n?1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn

13．

．

第二试

14

一、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使?DAQ??PBC。求证：?DBQ??PAC

二、设三角形的三边长分别是整数?3t??3m??3n?l?m?n?4???4???4??10??10??10?l,m,n且,，其中{x}?x?[x]，求这种三角形周长的最小值。

三、由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n?q2?q?1，l?1q(q?1)22?1,q?2,q?N，此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形〔即由A,B,C,D和AB、BC、CD、DA组成的图形〕。

2022年全国高中数学联赛第一试参考答案

一、选择题

1

C

提示：

1. 注意到4522

B

3

A

?20254

C

,4625

D

,故a6

B

?2003?45?2048?21162003;

2. 题设方程可化为y?ax?b和3. 易知直线AB的方程为y?足方程3x坐标y0x2y2??1ab3x,观察图形可知；

,因此A,B两点的横坐标满02?8x?16?0,从而弦AB中点的横坐标为x?43,纵?43,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=16；

34. 原函数可化为y?????cos?x??4??6???sin?2x??3??2,可以证明函数在的113; 区间上为增函数，故当x???时，y取最大值63u?1?5. 消去y之后可得：354??37??9x2?2?x??,用根本不等式可求得函数u的最小值12;

56. 可用等积法求得，过程略。

二、填空题

7.

?5?1??5?1???3,????,3?????2??2??2. 提示： 原不等式可以化为:?|x|?3??x?|x|?1?0?

8. 4

S??PF1F2是直角三角形，故;

?PF1F2的面积为11|PF1|?|PF2|??2?4?4229.

?4?a??1

提示：A??1,3?,令f?x??2f?x?,g?x?1?x?a,g?x??x2?2?a?7?x?5,那么只需在〔1，3〕上的图象均在x轴的下方，其充要条,由此推出?4?a??1;

3254件是?f?1??0?f?3??0???g?1??0??g?3??010．93 提示： 由得a故?bd2?b??d?????????a?c2ac?????24?b,c?d,?b??d?a???,c????a??c?24,又

a?c?9，??bd2????a?c2??????9?,推得?bd2??9??ac2?2?b?d?1??ac2,b?125,d?32;

a?25,c?1611．482

提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。

由于A1A=A1B=AB=2,OM?OA?A1M?2 ,MN?42?18 ,求得

?A1N?2??MN?2?48 ,故所求的高为

2 ；

112．18 提示：

Tn?2n?1,Sn?1n?1?111?1?2??2???n?1??2n?1?n210?10?1010

三、解答题

13．

证明：由(a?b?c?d)号 ……5分

那么2x?1?2x?3?15?3x?2?x?1???x?1???2x?3???15?3x?2?a2?b2?c2?d2?2?ab?bc?cd?da?ac?bd?可得

a?b?c?d?2a2?b2?c2?d2,当且仅当a=b=c=d时取等

?2x?14?219 ……………………………………………15?3x………15分

因为x?1,2x?3,不能同时相等，所以

………………………………2x?1?2x?3?15?3x?219……20分

14．设z?x?yi?x,y?R?,那么代入并由复数相等可得

2??x?sint?22??y?a?1?x??2b?1?x?x?cx?0?x?1?即y??a?c?2b?x2?2?b?a?x?a因为A,B,C不共线 ，所以a?c?2b?0,可见所给曲线是抛物线段〔图略〕…………5分

1a?b??3b?c???,,EAB,BC的中点分别是D??,?,；

?42?42????所y??c?a?x?以1?3a?2b?c?4DE的方程为

……………………………10分

联立两式得1??a?c?2b??x????02??2,得

x?1213,注意到1??,所以抛424物线与?ABC中平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为z?1a?c?2b?i24?1a?c?2b??,?24??,相应的复数为 …………………………………………………………15分

15．如图建立直角坐标系，设A?Rcos?,1Rsin??,MN为AA1一的中垂线，设P〔x,y〕是MN上任点，那么|PA|=|PA1| ……5分

代可sin??入得xx?yyx?y2222推R2?a2?2ax2Rx?y22得其中2R?xcos??ysin???R2?a2?2ax ………10分

,sin??????,

. 所以2cos??R2?a2?2ax2Rx?y22?1 …………15分

平方后可化为a???x??y22????1222?R??R??a????????2???2??2?2所求点的集合为椭圆部。…………20分

a???x??y22????1222?R??R??a????????2???2??2?外〔含边界〕局

2022年全国数学联赛二试解答

1、证明 ∵A、B、C、D四点共圆，∴?ADC??ABC，由?DAQ??PBC，

∴?ADC??DAQ??ABC??PBC??PBA，而?PQA是△ADQ的一个外角，

?PQA??ADC??DAQ，∴?PQA??PBA．

故P、A、Q、B四点共圆，从而?ABQ??APQ．

所以?QBD??CBD??ABQ??ABC

?(180???CAD)??APQ??ADC?(180???APQ??ADC)??CAD

??PAD??CAD??PAC．命题得证．

，∴3〔mod10〕．

4p

2、解 ∵?3l??3m??3n??4???4???4??10??10??10?l?3m?3n 考虑最小的正整数p，使之满足3〔mod10〕，∴4|p．

令p?4q，即3 于是1?C12q4q?1〔mod10〕．∵344?1?92q?(10?1)2q?1〔mod10〕．

423?10?C2q?100?C2q?1000?1〔mod10〕，

44q?1)2q(2q?1)(2q?2)

?10?2q?100?2q(22，

?1000??0〔mod10〕6?2q?10?2q(2q?1)2q(2q?1)(2q?2)?100??026〔mod10〕，∴10|2q，5|q．

3令3q?5s，那么?10s?10?10s(10s?1)10s(10s?1)(10s?2)?100??026〔mod10〕，

s?1)10s(10s?1)(10s?2)?10??0〔mod100〕即?s?10s(10，∴5|s．

26t?1)50t(50t?1)(50t?2)?10??0〔mod100〕令s?5t，那么?5t?50t(50，

26?t?10t(50t?1)10t(50t?1)(50t?2)?10??026〔mod20〕，∴5|t

由5|t，s?5t，q?5s知125|q，又p?4q，所以500|p．

而当p?500时，1?C 即3500125023?10?C250?100?C250?1000?324000?1〔mod10〕

4?1〔mod10〕，且500为最小值．∴(l?m?n)4min?3n?1500，

又l、m、n为三角形三边，∴l?m?n，即1000?n?500?n?n，∴n?500，n?501

所以(l?m?n)min?3?501?1500?3003．

更多推荐

联赛,直线,方程,求得