2023年12月14日发(作者：斯巴鲁全时四驱的优缺点)
河南省南阳市南召县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算正确的是（A．7?2?3）C．3?5?15）D．?2或2D．21?3?7B．5?23?332．关于x的方程x2?4kx?2k2?4的一个解是2，则k值为（A．2或4B．0或?4C．4或03．抛物线y?(x?2)2?1的顶点坐标是（）（2，1）A．（?2，?1）B．（2，?1）C．（?2，1）D．3，则满足条件的??是24．如图，??的顶点位于正方形网格的格点上，若tan??（）A．B．C．D．∶5，BE?12，那么CE的长等于（）5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF?3A．2B．4C．245D．3656．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）试卷第1页，共6页A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”C．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是67．在?ABC中，?ABC?90?，若AC?100,sinA?A．50033，则AB的长是（5）B．5035C．60D．808．如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为()A．16B．12C．23D．139．已知二次函数y=x2?2x?3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当?13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（A．y1?y2?y3B．y2?y1?y3）D．y2?y3?y1C．y3?y1?y210．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH?PC；④FE：BC＝(23?3):3，其中正确的个数为（）试卷第2页，共6页A．1B．2C．3D．4二、填空题11．若二次根式x?5在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____．请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为(0,3)，12．此二次函数的解析式可以是______________．13．比较大小：sin70?___________tan70?（填“?”或“?”或“=”）14．如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起5cm，已知AB:BC?10:1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压___________cm．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，15．若AB?4，BC?43，则PE?PB的最小值为________．三、解答题12?0??3.14)?(?)16．（1）计算|3?2|?2sin60?27?(；2（2）解方程(x?1)(x?3)?12．17．数字“122”是中国道路交通事故报警电话，为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”．数学社团决定从4名同学（小明，小红，小强，小芳）中通过抽签的方式确定2名同学去参加学校组织的“文明交通行动计划”宣传活试卷第3页，共6页动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字，被抽到的同学去参加宣传活动．(1)“小强被抽中”是___________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小强的概率是___________；(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小强被抽中的概率．18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：(1)求这个二次函数的表达式；(2)画出这个二次函数的图象；(3)若y??3，结合函数图象，直接写出x的取值范围．19．如图，在Rt△ABC中，?C?90?，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．若AD?10，sin?ADC?4，求AC的长和tanB的值．520．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（2）每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？21．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角?GAE?50.2?，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i?5:12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角?EBF?63.4?，则试卷第4页，共6页塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2??1.20，tan63.4??2.00，sin50.2??0.77，sin63.4??0.89）22．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝?cb，x1x2＝aa材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝x1x2＝．；(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求nm?的值．mn11(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求?的值．st23．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证ABBD＝．小慧的证明思路是：如图2，过点ACCDABBD＝．ACCDC作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明试卷第5页，共6页(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明ABBD＝；ACCD(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝?，求DE的长（用含m，?的式子表示）．试卷第6页，共6页参考答案：1．D【分析】根据二次根式加减乘除运算法则，逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、7与2不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不符合题意；B、5与23不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不符合题意；C、3?5?35，该选项错误，不符合题意；D、21?3?21?3?7，该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次根式运算，涉及二次根式加、减、乘、除相关运算，熟练掌握相关运算法则计算是解决问题的关键．2．B【分析】根据题意，将x?2代入原方程，即可求解．【详解】解：∵关于x的方程x2?4kx?2k2?4的一个解是2，∴22?4k?2?2k2?4，整理得：k2?4k?0，解得：k1?0,k2??4．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，根据题意得到x?2是原方程的解是解题的关键．3．D【分析】根据抛物线顶点式解析式直接判断即可．【详解】解：抛物线解析式为：y?(x?2)2?1，∴抛物线顶点坐标为：（﹣2，1）故选：D．【点睛】此题根据抛物线顶点式解析式求顶点坐标，掌握顶点式解析式的各项的含义是解此题的关键．4．A【分析】根据正切的定义逐一判断即可得答案．答案第1页，共15页【详解】A．tan??B．tan??C．tan??D．tan??故选：A．3，故该选项符合题意，22，故该选项不符合题意，31，故该选项不符合题意，21，故该选项不符合题意，3【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正切是锐角的对边与邻边的比值；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．5．C【分析】利用平行线分线段成比例可求得BC的长，则由线段的差即可求得结果．【详解】?AB∥CD∥EF，?BCAD3??，BEAF53336BE??12?，5553624?，55?BC??CE?BE?BC?12?故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．6．D【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率是2＞0.17，故此选项不符合要求；B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率＝2＝0.5＞0.17，故此选项不符合要求；C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是≈0.67＞0.17，故此选项不符合要求；1D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率＝≈0.17，故此选项62311符合要求．答案第2页，共15页故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．7．D【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=∴BC=100×3÷5=60，∴AB=AC2?BC2=80，故选D．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．8．D【分析】找出随机闭合开关K1、K2、K3中的两个的情况数以及能让两盏灯泡L1、L2同时发光的情况数，即可求出所求概率．【详解】解：画树状图，如图所示：BCAC3=，AC=100，5随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有六种情况：闭合K1、K2，闭合K1、K3，闭合K2、K1，闭合K2、K3，闭合K3、K1，闭合K3、K2，能让两盏灯泡L1、L2同时发光的有两种情况：闭合K2、K3，闭合K3、K2，则P（能让两盏灯泡L1、L2同时发光）=故选：D．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．9．B【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．答案第3页，共15页21?．63【详解】解：y=x2?2x?3=(x-1)2-4，∴对称轴为直线x=1，令y=0，则(x-1)2-4=0，解得x=-1或3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，二次函数y=x2?2x?3的图象如图：由图象知y2?y1?y3．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．10．D【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【详解】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，答案第4页，共15页∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴DPPH?，PCDP∴DP2＝PH?PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝33AB＝BC，33∵∠DCF＝30°，∴DF＝33DC＝BC，33∴EF＝AE+DF＝23BC﹣BC，3∴FE：BC＝（23﹣3）：3故④正确，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．11．x≥5【分析】根据二次根式有意义的条件得出x?5≥0，计算求解即可．【详解】解：由题意知，x?5?0，解得，x?5，故答案为：x?5．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．12．y??2x2?3【分析】根据二次函数的性质可得a<0，利用二次函数图像上点的坐标特征可得出c=3，取a=?2，b=0时即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，答案第5页，共15页∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．∴c=3，取a=?2，b=0时，二次函数解析式为y=?2x2+3，故答案为：y=?2x2+3．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，找出a<0，c=3是解题关键．13．?【分析】正弦函数值小于1，而tan70??tan45?，故tan70??1，即可比较二者大小．【详解】解：∵tan70??tan45?，tan45??1，∴tan70??1，又sin70??1，∴sin70??tan70?；故答案为：?．【点睛】本题考查了锐角三角函数，正弦函数值，正切函数值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键．14．45【分析】如图：AM、BN都与水平线的垂直，则AM?BN，即?ACM∽?BCN，M，N是垂足，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【详解】解：如图，AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM?BN，∵AM?BN，∴?ACM∽?BCN，∴ACAM?，BCBN∵AB:BC?10:1，∴ACAM??9，即AM??BN，BCBN∴当BN?5cm时，AM?45cm，故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压45cm．故答案为：45．答案第6页，共15页【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．15．6【分析】作点B关于AC的对称点B?，交AC于点F，连接B?E交AC于点P，则PE?PB的最小值为B?E的长度，然后求出B?B?2BF?43，BE?BF?B?F，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点B?，交AC于点F，连接B?E交AC于点P，则PE?PB的最小值为B?E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB?CD?4，?ABC?90?，在Rt△ABC中，AB?4，BC?4∴tan?ACB?AB3，?BC33，∴?ACB?30?，由对称的性质可知，B?B?2BF，B?B?AC，∴BF?1BC?23，?CBF?60?，2∴B?B?2BF?43，∵BE?BF，?CBF?60?，∴△BEF是等边三角形，∴BE?BF?B?F，答案第7页，共15页∴?BEB?是直角三角形，∴B?E?B?B2?BE2??43???23?22?6，∴PE?PB的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得PE?PB有最小值．16．（1）?23?1（2）x1?3，x2??54【分析】（1）先计算绝对值，特殊角的三角函数值，算术平方根和幂运算，再合并即可得解；（2）先去括号整理为一元二次方程的标准形式，再利用公式即可求解．【详解】（1）原式?1?2??1?3?33?1???23?1；41431?33?1?24（2）方程整理得：x2?2x?15?0，∵a?1，b?2，c??15，∴??4?60?64?0，∴x??2?8，2解得：x1?3，x2??5．【点睛】本题考查实数的混合运算和解一元二次方程的知识，熟练掌握绝对值，特殊角的三角函数值，算术平方根，幂运算和解一元二次方程的方法是解题的关键．17．(1)随机、141(2)表格见解析，2【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】（1）解：该班同学“小强被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小强被抽中”的概率答案第8页，共15页为1，41；4故答案为：随机、（2）解：根据题意可列表如下：小明小明小红小强小芳（小明，小红）（小明，小强）（小明，小芳）（小红，小强）（小红，小芳）（小强，小芳）小红（小红，小明）小强（小强，小明）（小强，小红）小芳（小芳，小明）（小芳，小红）（小芳，小强）共有12种等可能结果，其中小强被抽中的有6种结果．所以P?小强被抽中??61?．122【点睛】此题主要考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．(1)y??x?2x(2)见解析(3)当y??3时，x?3或x??122y?（ax?1）?1，【分析】（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为(1,1)，设二次函数的解析式为：2ax?1）?1，得a??1，从而可得抛物线解析式y??x?2x；把点(0,0)代入y?（2（2）由（1）知，抛物线顶点为(1,1)，对称轴为直线x?1，过原点，根据抛物线的对称性，抛物线过(2,0)，根据描点法绘制抛物线图像即可；（3）当y=?3时，?x2?2x??3，解得：x1=-1，x2?3，结合函数图象，当y??3时，x?3或x??1．【详解】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为(1,1)，答案第9页，共15页2ax?1）?1，设二次函数的解析式为：y?（2ax?1）?1，得a??1，把点(0,0)代入y?（2（x?1）?1，抛物线解析式为y??即y??x?2x；（2）解：抛物线的图象如图所示：2（3）解：当y=?3时，?x2?2x??3，解得：x1=-1，x2?3，结合函数图象，当y??3时，x?3或x??1．【点睛】此题考查了二次函数解析式和图像的性质，解题关键是利用待定系数法求二次函数解析式．19．AC?8，tanB?124，求得AC的长，根据勾股定理求得5【分析】在Rt△ACD中，根据AD?10，sin?ADC?CD?6，根据垂直平分线的性质得出BD?AD?10，继而求得BC?16，在Rt△ABC中，根据正切的定义即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，?C?90?，AD?10，sin?ADC?∴45AC4?,AD5∴AC?8,在Rt△ACD中，CD?AD2?AC2?6，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA?DB?10，∴BC?BD?DC?10?6?16，答案第10页，共15页∴tanB?AC81??．BC162【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键．20．（1）65元或75元；（2）70元【分析】（1）设每千克水果售价为x元，根据利润=（售价-进价）×销售量，列出一元二次方程，即可求解；（2）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，列出二次函数，即可求解．【详解】解：（1）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750＝（x－40）[500－10（x－50）]，解得：x＝65或x＝75，答：每千克水果售价为65元或75元；（2）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y＝（m－40）[500－10（m－50）]＝－10（m－70）2＋9000，∴当m＝70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．【点睛】本题主要考查二次函数以及一元二次方程的实际应用，找到等量关系，是解题的关键．21．塔顶到地面的高度EF约为47米【分析】延长EF交AG于点H，则EH?AG，过点B作BP?AG于点P，则四边形BFHP为矩形，设BP?5x，则AP?12x，根据解直角三角形建立方程求解即可．【详解】如图，延长EF交AG于点H，则EH?AG，过点B作BP?AG于点P，则四边形BFHP为矩形，∴FB?HP，FH?BP．由i?5:12，可设BP?5x，则AP?12x，由BP2?AP2?AB2可得?5x???12x??262，答案第11页，共15页22解得x?2或x??2（舍去），∴BP?FH?10，AP?24，设EF?a米，BF?b米，在Rt△BEF中tan?EBF?即tan63.4??EF，BFa?2，则a?2b①bEHEF?FHEF?BP??，AHAP?PHAP?BF在Rt?EAH中，tan?EAH?即tan50.2??a?10?1.20②24?b由①②得a?47，b?23.5．答：塔顶到地面的高度EF约为47米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．3122．(1)；?22(2)?132(3)17或?17【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出m?n?（3）根据根与系数的关系先求出s?t?变形求解即可．【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴x1?x2??故答案为：1nm3，mn??，然后将?进行变形求解即可；2mn21113，st??，然后求出s-t的值，然后将?进行st22c1b?33???，x1?x2???．a22a231；?．22（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，答案第12页，共15页∴m?n??b?33c1???，mn???，a22a2nmm2?n2∴??mnmn?m?n??2?2mnmn2?3??1??2??????2???2??1?2??132（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴s?t??2b?33c1???，st???，a22a22∵?t?s???t?s??4st?3??1?????4?????2??2???29?24174∴t?s?1717或t?s??，221711t?s17?2??17，当t?s?时，??1stst2?21711t?s172?17，?当t?s??时，??1stst2?2?11综上分析可知，?的值为17或?17．st【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t?s?23．(1)详见解析1717或t?s??，是解答本题的关键．22答案第13页，共15页(2)①DE=m5；②DE?tan??13ABCE?，由AD平分∠BAC，可知BDCD【分析】（1）利用AB∥CE，可证得?ABD?ECD，即AC=EC，即可证得结果；（2）利用（1）中的结论进行求解表示即可．【详解】（1）解：∵AB∥CE，∴∠BAD=∠DEC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠DEC，∴AC=EC，∵∠BDA=∠CDE，∴?ABD?ECD，∴即∴ABCE?，BDCDABAC?，BDCDABBD?；ACCD（2）①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，由（1）得，ABBD?，ACCD∵AC＝1，AB＝2，∴BC?∴AC2?AB2?12?22?5，25?CD，?1CD5，35；3解得：CD=∴DE=CD=②由折叠可知∠AED＝∠C=?，∴tan??AB，AC答案第14页，共15页由①可知∴tan??∴CD?ABBDm?CD??，ACCDCDm?CD，CDmtan??1，mtan??1即：DE?CD?．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．答案第15页，共15页
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