2023年12月14日发(作者：红旗h7图片大全)

浙江省余姚重点中学2022~2023学年高二下学期期中考试数学试卷及参考答案一、单项选择题1.若集合A?xy??4?x2，B??xy?ln?1?x??，则A?CRB?（C.??2,1?）?）A.?1,2?,2?B.?1，D.??2,1?2.若复数z满足i?1?z???1，则z的虚部为（.?iC.1D.?13.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（）A.?216B.2?215C.2?D.22?）4.将2个男生和4个女生排成一排，则男生既不相邻也不拍两端的概率为（A.B.C.13D.255.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v与时间t（月）近似地满足关系v?a?b（其中a,b为非零常数）.若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：lg2?0.3）tA.20B.28C.3222D.406.已知直线y?kx?m（m为常数）与圆x?y?4交于点M,N.当k变化时，若MN的最小值为2，则m?（）A.?1B.?2C.?3D.?27.在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP?AB的取值范围是（）A.?2,8?B.?4,8?10?C.?2，1D.?4,10?8.设函数f?x??lnx，g?x??xa?x?0,a?0?，若存在直线l既是曲线y?f?x?的切线，）也是曲线y?g?x?的切线，则实数a的取值范围是（A.?1，????1?C.?,1???1,????e?二、多项选择题?1?B.?,????e??1?D.?0，???1,????e?9.某兴趣小组研究光照时长x（单位：小时）和向日葵种子发芽数量y（单位：颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉D?10，2?后，下列说法正确的是（）A.x与y的线性相关性变强B.样本相关系数r变小C.残差平方和变大D.决定系数R2变大10.已知正方形ABCD?A1B1C1D1，则（）A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°11.如图是函数f?x??sin??x???的部分图象，则f?x??（）????x??3??????2x??6???????2x??3??5????2x??6?2x2y212.如图，双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且斜ab率为3的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，且AF2?7F2B，则（）A.双曲线的离心率为73B.?AF1F2与?BF1F2的面积之比为7:1C.?AF1F2与?BF1F2的周长之比为7:2D.?AF1F2与?BF1F2的内切圆半径之比为3:1三、填空题?1?13.在?x????的展开式中，含x项的系数为x??7.14.从一批含有13件正品和2件次品的产品中不放回地随机抽取3次，每次抽取1次.设抽到的次品数为?，则E?5??1??.??ax?1,x?a15.设函数f?x???存在最小值，则a的取值范围是2??x?2?,x?a.16.北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥会主题和“更高、更快、更强更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为那么所得图形的面积将趋近与，如果这个操作过程可以一直继续下去，.（第1空2分，第2空3分）3四、解答题17.（10分）已知公差不为零的等差数列?an?满足a2是a1,a4的等比中项，a5?a6?11.（1）求数列?an?的通项公式；（2）从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列?bn?的前n项和Sn.①bn?an?2；ana2n②bn?.?2an?1??2an?1?2注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.18.（12分）农业强国是社会主义现代化强国的根基，推进农业现代化时实现高质量发展的必然要求.某农科所对冬季大棚内的昼夜温差与某反季节大豆新品种发芽率之间的关系进行分析研究，记录了2023年1月1日至1月12日大棚内的昼夜温差与每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：已知发芽数y与温差x之间线性相关.该农科所确定的研究方案是：先从这12组数据中选取2组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）若选取的是1日与6日的两组数据，试根据除这两日之外的其他数据，求出y关于x?x?a?均精确到1）??b?（a?,b的线性回归方程y；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问：（1）中所得的线性回归方程是否可靠？参考公式：?x?a??b?中的斜率参数和截距的参数的最小二乘估计公式分别为：线性回归方程y??b??xi?1nni?xyi?yi????xy?i?1nini?nx?nx2??xi?1?x?2?xi?12i?x.??y?b，a419.（12分）在?ABC中，内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，且a?22，???2c?sin?A???b.4??（1）求角C；（2）若?ABC为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围.20.（12分）如图①，在矩形ABCD中，AAD?2AB?22，E为AD的中点.如图②，沿BE将?ABE折起，点P在线段AD上.（1）若AP?2PD，求证：AB∥平面PEC;（2）若平面ABE⊥平面BCDE，是否存在点P，使得平面AEC与平面PEC的夹角为90°？若存在，求此时AP的长度；若不存在，请说明理由.521.（12分）已知函数f?x??xe?ax?a，a?0x（1）若a?1，求f?x?的单调区间；（2）若关于x的不等式f?x??alnx恒成立，求实数a的取值范围.x2y222.（12分）已知椭圆C：?2?1?0?b?2?，设过点A?1,0?的直线l交椭圆C于M,N4b两点，交直线x?4于点P，点E为直线x?1上不同于点A的任意一点.（1）若AM?1恒成立，求实数b的取值范围；（2）若b?1，记直线EM,EN,EP的斜率分别为k1,k2,k3，问是否存在k1,k2,k3的某种排列ki1,ki2,ki3（其中?i1,i2,i3???，使得ki1,ki2,ki3成等差数列或等比数列？若1,2,3?）存在，写出结论，并加以证明；若不存在，请说明理由.6参考答案一、单项选择题1B2D3C4B5C6C7A8D8.解：设直线l为曲线y?f?x?在点?x1，f?x1??处的切线，f??x??∴l：y?lnx1?1.x1?x?x1?，即y?1x?lnx1?1.x1x1a?1设直线l为曲线y?g?x?在点?x2，f?x2??处的切线，g??x??ax∴l：y?x2?ax2aa?1.?x?x2?，即y?ax2a?1x??1?a?x2a；?1a?1?ax,①2?x由题知?1，注意到x1,x2?0，故a?0.?lnx?1??1?a?xa，②2?1由①式得lnx1??lna??a?1?lnx2，代入②式得?lna??a?1?lnx2?1??1?a?x2.a显然a?1，整理得lnx2?x2?aa1?lna.1?a11?axaa?1?记h?x??lnx?x（a?0且a?1），则h??x???当0?x???1??1??时，h?x?单调递增；当x???时，h?x?单调递减.?a??a?1??a11?lna1?lna1?lna???h??????，故.????a??a1?aa??1a1a∴h?x?max化简得1?lna?1??0，解得a??0,???1,???.a?1?a??e?二、多项选择题9AD10ABD11BC12BD12.解：设F2B?m，则F1B?m?2a，F2A?7m，F1A?7m?2a.7在?AF1F2中，由余弦定理得?7m?2a???7m???2c??2?7m?2c?cos120?.222∴2a?2c?7cm?14am.……①在?BF1F2中，由余弦定理得?m?2a???m???2c??2?m?2c?cos60?.22222∴2a?2c??cm?2am.……②综合①②得2c?3a.故离心率e?22c3?，A选项错误.a2?7：1，B选项正确的.S?AF1F2S?BF1F2?AF2BF2519a，故F2A?5a，F1A?7a，F1B?a，7745∴?AF1F2的周长为15a，?BF1F2的周长为a，C选项错误.7将2c?3a代入①式可得m?设?AF1F2与?BF1F2的内切圆半径分别为r1,r2.S?AF1F2S?BF1F21?15a?r12??7，∴r1:r2?3:1，D选项正确.145?a?r227三、填空题13.35；14.3；15.?0,1?；16.323，27516.解：若第n幅图中图形的边数记为Nn，则Nn?4Nn?1?n?2?，又N1?3，故Nn?N1?4n?1?3?4n?1.注意到每次操作都是使得原来图形的每条边上长出一个小三角形，故第n幅图比第n?1幅图新增部分的面积Sn?面积2nn3?4?4??4???83?4??Tn?S?S2???Sn?S?S????????????????S，4??9???9?9????55?9???19n?1S?Nn?13?4n?2从而图形的总?n?1S，9不断地趋近88323S???.55458四、解答题17.解：（1）∵a2是a1,a4的等比中项，∴a2?a1a4，即?a1?d??a1?a1?3d?...①22∵a5?a6?11.∴?a1?4d???a1?5d??11........②又d?0，联立①②可得a1?d?1.∴an?a1??n?1?d?n.∴数列?an?的通项公式为an?n.（2）若选①：bn?an??1?21?2?22???n?2n.2Sn?∴Sn?n?2n?11?22?2?23???n?2n?1?2?22?23???2n????n?2n?121?2n??n?2n?1?21?2n??n?1??2n?1?2.1?2??2?a2n11?11?若选②：bn??1??1????.?2an?1??2an?1??2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?1?1?n2n2?2n∴Sn?n??1?.???n?2?2n?1?2n?12n?118.解：（1）设剩下的10组数据分别为?u1,v1?,?u2,v2?,?,?u10,v10?.?uv??xyi?1iii?1i1012i?10?21?10?22?2535.1?121?12??u???xi?20??10.8，v???yi?43??22.7.10?i?110?i?1??10uv?10?10.8?22.7?2451.6.?ui?1102i??xi?102?102?1194.i?112210u2?10?10.82?1166.4.9??∴b?uv?ui?1i?110i10ii2?10uv??10u22535?2451.6?3.1194?1166.4?u?22.7?3?10.8??9.7??10.??v?b∴a??3x?10.∴所求回归方程为y??20.（2）当x?10时，y∵21?20?1?2，22?20?2，∴（2）中所得的线性回归方程可靠.?2?2????sinA?cosA??sinB，19.解：（1）∵2c?sin?A???b，∴2sinC???422????即sinCsinA?sinCcosA?sinB∵sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC.∴sinC?cosC，即tanC?1.∴C?（2）∵D为AB边的中点，∴CD?211CA?CB.22?.4a2?b2?2abcosCb2?4b?8∴CD?.?44∵?ABC为锐角三角形.∴2?b?4.∴CD??5,10?，即线段CD长的取值范围为2?5，10.?20.解：（1）如图①，连接BD与CE交于点Q，连接PQ.由题可得DE∥BC，DE?1DQDE1BC，∴??.2BQBC2又AP?2PD，∴DPDQ1??，∴AB∥2∵PQ?平面PEC，AB?平面PEC.∴AB∥平面PEC.（2）连结点A与BE的中点O，过点O作BE的垂线与BC交于点M，易知M为BC的中点.10由已知可得AE?AB，∴AO?BE.∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE?BE，AO?平面ABE.∴AO⊥平面BCDE，，∴AO?OM.如图所示，以点O为原点建立空间直角坐标系.A?0，0，1?，B?1，0，0?，C??1，2，0?，D??2，1，0?，E??1，0，0?∴AE???1，0，?1?，AC???1，2，?1?，AD???2，1，?1?，CE??0，?2，.0?.设AP??AD???2?,?,????0???1?，则点P??2?,?,1???，∴PE??2??1,??,??1??0???1?.设平面AEC和平面PEC的法向量分别为m??x1,y1,z1?，n??x2,y2,z2?.??m?AE?0??x1?z1?0由?得?，?x?2y?z?0?11?m?AC?0?1不妨令x1?1，则平面AEC的一个法向量为m??1,0,?1?.??n?PE?0??2??1?x2??y2????1?z2?0由?得?，?2y?0?2?n?CE?0?不妨令x2???1，则平面PEC的一个法向量为n????1,0,1?2??.由题知m?n?0，解得??2.3∴AP?2226AD?AD?.333xx21.解：（1）当a?1时，f?x??xe?x?1，则f??x???x?1?e?1.∴f???x??ex?x?2?.∴f??x?在???，?2?单调递减，??2，???单调递增.注意到f??0??0，当x???时，f??x??0，且f???2???e∴f??x??0有唯一实根?2?1，11①当x????,0?时，∵x?1?1且0?e?1，∴?x?1?e?1，xx∴f??x???x?1?e?1?0，故f?x?单调递减.x②当x??0，???时，f??x??f??0??0，故f?x?单调递增.综上，f?x?的单调递减区间为???,0?，单调递增区间为?0，???.（2）f?x??alnx恒成立等价于xe?alnxe?a?0恒成立.xx令t?xe??0,???，则t?alnt?a?0.x令??t??t?alnt?a，则???t??1?at?a.?tt∴??t?在?0，a?单调递减，?a,???单调递增.故只需??t?min???a??2a?alna?0，∴2?lna?0，∴0?a?e.2xy（1）设点M?x0,y0?，∴0?02?1，则?2?x0?2且x0?1.22.解：4bAM?∴x0222?x0?1?2?y02b22??x0?1??b?x0?142222?xb2201??2x0?b2?x0?0，即x0?2x0?b2??44????0……①??若x0??2，则①式恒成立.若?2?x0?2且x0?1，则b?综上，2?b?2.（2）k1,k3,k2或k2,k3,k1成等差数列.证明如下：24x82，故b?2.?4?2?xx?2x22若b?1，则C：?y?1.设点E?1,t??t?0?.4①若直线l斜率为0，则点P?4,0?，不妨令点M?2,0?，N??2，0?，则k1??t，k2?tt，k3??，33此时k1,k2,k3的任意排列ki1,ki2,ki3均不成等比数列，k1,k3,k2或k2,k3,k1成等差数列.12②若直线l斜率不为0，则直线l：x?my?1?m?0?，点M?x1,y1?，N?x2,y2?，?3?易知P?4，?.?m?y1?y2???x?my?1?22联立?x2得.m?4y?2my?3?02??y?1?4??2m3.，yy??12m2?4m2?43?ty1?ty2?t3?mt∵k1?，k2?，k3?m，?33mx1?1x2?1∴k1?k2?y1?ty2?ty1?ty2?ty2?y1?t??y1?y2?t?????x1?1x2?1my1my2my1y2?62mt?m2?4m2?4?6?2mt?2k33m3m?2m?4?2y1y2?t?y1?y2??my1y2综上，k1,k3,k2或k2,k3,k1成等差数列.13

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