2023年12月3日发(作者：2020款奥迪q3参数配置详情)

2023北京丰台高二（下）期末

数 学

2023.07

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1．在等差数列?an?中，a1=1，an?an?1=2(n≥2)，则a6=

（A）10

（C）12

2．已知P(A)=（A）

（B）11

（D）13

11,P(AB)=，那么P(B|A)=

23（B）

16132（C）

35（D）

63．下图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形．已知第n个图案中黑色与白色三角形的个数之和为an，数列?an?满足a1=1,an+1=3an+1(n≥1)，那么下面各数中是数列?an?中的项的是

（A）121

（C）123

（B）122

（D）124

4．已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍．若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为

（A）2

3（B）（D）1

21

61（C）

35．用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积V(r)随着气球半径r的增大而增大．当半径r=1时，气球的体积V(r)=?r3相对于r的瞬时变化率为

?3第1页/共10页 （A）?

（C）4?

43（B）2?

（D）8?

6．某人需要先从A地到B地，再同站转车赶到C地，他能够选择的高铁车次的列车时刻表如下表所示，那么此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案总数为

A地至B地高铁列车时刻表 B地至C地高铁列车时刻表

车次

G87

G91

G93

（A）9

（C）4

（B）6

（D）3

发车时间

07:00

07:55

09:00

到站时间

08:01

08:56

10:01

车次

G2811

G653

G501

发车时间

08:25

09:24

10:26

到站时间

10:31

11:13

12:30

7．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．假设随机变量XN(?,?2)，可以证明，对给定的k?N?，P(??k?≤X≤?+k?)是一个只与k有关的定值，部分结果如下图所示：

通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩?基本服从正态分布?N(105,102)．若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在(105,125)的考生人数大约为

（A）341

（C）498

（B）477

（D）683

8．设等比数列?an?的公比为q，前n项和为Sn．若S3=7，S6=63，则q=

1（A）

8（C）2

1（B）

2（D）8

9．2023年5月18日至19日，首届中国—中亚峰会在陕西西安成功举行．峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担A,B,C,D共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有

（A）480种

（C）120种

（B）240种

（D）45种

第2页/共10页 ?x2?(a+1)x+2a,x?1,10．设函数f(x)=?给出下列四个结论：

|2|,?x≥?①当a?0时，函数f(x)有三个极值点；

②当0?a?1时，函数f(x)有三个极值点；

③?a?R，x=2是函数f(x)的极小值点；

④?a?R，x=a+1不是函数f(x)的极大值点．

2其中，所有正确结论的序号是

（A）①②

（C）①④

（B）②③

（D）②④

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．在(x?)6的展开式中，常数项是

（用数字作答）．

12．某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.80，0.20．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ．

13．已知函数f(x)=xe?x+1在区间[0,m]上单调递增，则m的最大值为 ．

14．投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为1xp(0?p?1)．现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为f(p)，则f(p)=

；函数f(p)取最大值时，p=

．

ak215. 设n是正整数，且n≥2，数列?ak?，?bk?满足：a1=a(a?0)，ak+1=ak+(k=1,2,nn?1)，bk=,

1(k=1,2,ak+n,n)，数列?bk?的前k项和为Sk．给出下列四个结论：

①数列?ak?为单调递增数列，且各项均为正数；

②数列?bk?为单调递增数列，且各项均为正数；

③对任意正整数k??1,2,④对任意正整数k??1,2,,n?1?，Sk=11?；

aak+1,n?，Sk?1．

其中，所有正确结论的序号是

．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题14分）

第3页/共10页 已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=?2时取得极大值4．

（Ⅰ）求实数a,b的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[?3,1]上的最值．

17．（本小题13分）

下图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图．

注：年份代码1-9分别对应年份2014-2022．

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）．

参考数据：?yi=19i=15.41，?tiyi=82.57，i=19?(yi=19i?y)2=0.72，15?3.873．

参考公式：相关系数r=?(ti=1ni?t)(yi?y)?(ti=1ni?t)2?(yi=1n=i?tyii=1ni?nty?y)2?(ti=1ni?t)2?(yi=1n．

i?y)2回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=?(ti=1ni?t)(yi?y)，a=y?bt．

i?(ti=1n?t)2

18. （本小题14分）

?数列?an?的前n项和为Sn，其中n?N，a1=1．从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题：

（Ⅰ）求?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn=an+2n，求b1+b2+b3++bn．

条件①：an+1=an+2；条件②：2an+1=an+an+2；条件③：Sn=n2+c(c?R)．

注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分．

19．（本小题14分）

2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以第4页/共10页 “拥抱汽车行业新时代”为主题．在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果．为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分．问卷结束后，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中的a的值；

（Ⅱ）在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用X表示分数在[50,60）中的人数，求X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系.（直接写出结果）

20．（本小题15分）

已知函数f(x)=ex?ax?1(a?R)．

（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅲ）判断e0.01与1.01的大小关系，并说明理由．

21．（本小题15分）

正实数构成的集合A={a1,a2,的元素恰有,an}(n≥2)，定义A?A={ai?a∣jai,aj?A,且i?j}.当集合A?A中n(n?1)个数时，称集合A具有性质?.

2（Ⅰ）判断集合A1={1,2,4},A2={1,2,4,8}是否具有性质?；

（Ⅱ）若集合A具有性质?，且A中所有元素能构成等比数列，A?A中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值；

（Ⅲ）若集合A具有性质?，且A?A中的所有元素能构成等比数列．问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

第5页/共10页 参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

题号

答案

1

B

2

C

3

A

4

A

5

C

6

B

7

B

8

C

9

B

10

D

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．?20 12．0.014 13．1

14．45p2(1?p)8，1 15．①③④

5三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.（本小题14分）

解：（Ⅰ）因为函数f(x)=x3+ax2+b，所以f\'(x)=3x2+2ax．

因为函数f(x)在x=?2时取得极大值4，

所以f\'(?2)=0,f(?2)=4．

2??3?(?2)?4a=0,即?

3??(?2)+4a+b=4,所以a=3，b=0． …………………………………………6分

（Ⅱ）因为f\'(x)=3x2+6x，

所以x?(??,?2)时，f\'(x)?0，f(x)在(??,?2)单调递增；

x?(?2,0)时，f\'(x)?0，f(x)在(?2,0)单调递减；

x?(0,1)时，f\'(x)?0，f(x)在(0,1)单调递增．

因为f(?3)=0，f(?2)=4，f(0)=0，f(1)=4，

所以f(x)max=4，f(x)min=0． …………………………………………14分

17.（本小题13分）

解：（Ⅰ）由折线图的数据和附注中的参考数据得t=5，?(ti?t)2=60，

i=19所以?(ti?t)(yi?y)=?tiyi?t?yi=82.57?5?15.41=5.52，

i=1i=1i=1n99所以r?5.52?0.99．

2?3.873?0.72因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度很强，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系． …………………………………………6分

第6页/共10页 （Ⅱ）由（Ⅰ）得b=?(ti=1ni?t)(yi?y)=i?(ti=1n?t)25.52=0.092．

60又因为y=15.41?1.712，

9所以a=y?bt=1.712?0.092?5?1.25．

所以y关于t的回归方程为y=1.25+0.09t．

将2023年对应的t=10代入回归方程得：y=1.25+0.09?10=2.15，

所以预测2023年我国65岁及以上老年人人口约2.15亿． …………………13分

18.（本小题14分）

解：选择条件①：an+1=an+2.

（Ⅰ）因为an+1=an+2， 即an+1?an=2，

所以数列?an?是以1为首项，2为公差的等差数列．

所以an=a1+(n?1)d=2n?1． …………………………………………6分

（Ⅱ）因为bn=an+2n，

所以b1+b2+b3++bn=(1+2)+(3+22)+(5+23)++2n)

+(2n?1+2n)

=[1+3+5++(2n?1)]+(2+22+23+[1+(2n?1)]n2(1?2n)

=+21?2=2n+1+n2?2． …………………………………………14分

选择条件条件③：Sn=n2+c(c?R)．

（Ⅰ）因为Sn=n2+c，且a1=1，

所以Sn=12+c=1，所以c=0．

当n≥2时，an=Sn?Sn?1=n2?(n?1)2=2n?1；

因为n=1时，a1=S1=1，

所以an=2n?1(n?N?)．

（Ⅱ）因为bn=an+2n，

所以b1+b2+b3++bn=(a1+2)+(a2+22)+(a3+23)++an)+(2+22+23++2n)

+(an+2n)

=(a1+a2+a3+2(1?2n)

=Sn+1?2第7页/共10页 =2n+1+n2?2．

19.（本小题14分）

解：（Ⅰ）由题意10(0.004+0.012+0.014+a+0.024+0.028)=1，

所以a=0.018． …………………………………………3分

（Ⅱ）X的所有可能取值为1，2，3．

21C2C3P(X=1)=36=，

C82812C2C15P(X=2)=36=，

C8283C65P(X=3)=3=．

C814所以X的分布列为

X

1

3

282

15

283

5

14P

所以X的数学期望为E(X)=1?31559+2?+3?=． …………………12分

2828144（Ⅲ）m?n． …………………………………………14分

20.（本小题15分）

解：（Ⅰ）因为f(x)=ex?ax?1，所以f\'(x)=ex?a．

所以f\'(0)=1?a，又f(0)=0，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(1?a)x． ………………4分

（Ⅱ）f(x)的定义域是R，由题得f\'(x)=ex?a．

x当a≤0时，f\'(x)=e?a?0，所以f(x)在R上单调递增；

x当a?0时，由f\'(x)=e?a=0，解得x=lna．

随着x的变化，f(x)与f\'(x)的变化情况如下表

x

f\'(x)

(??,lna)

?

↘

lna

0

极小值

(lna,+?)

+

↗

f(x)

由表可知，f(x)的单调递增区间是(lna,+?)；f(x)的单调递减区间是(??,lna)．

综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；

当a?0时，f(x)的单调递增区间是(lna,+?)；f(x)的单调递减区间是(??,lna)．

…………………………………………11分

第8页/共10页 （Ⅲ）e0.01?1.01，证明如下：

当a=1时，由（Ⅱ）知函数f(x)在区间(0,+?)的单调递增，

所以?x?(0,+?)，总有f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时取等号．

令x=0.01，得e0.01?0.01+1=1.01． …………………………………………15分

21.（本小题15分）

解：（Ⅰ）A1具有性质?；A2不具有性质?. ……………………………………4分

（Ⅱ）当A中的元素个数n≥4时，因为A中所有元素能构成等比数列，

不妨设元素依次为a1,a2,,an构成等比数列，则a1an=a2an?1，其中a1,a2,an?1,an互不相同.

2于是这与A具有性质?，A?A中恰有Cn=n(n?1)2个元素，即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.

当A中的元素个数恰有3个时，取A={1,2,4}时满足条件，

所以集合A中的元素个数最大值为3. …………………………………………8分

（Ⅲ）因为ai?0(i=1,2,所以a1a2?a1a3?,n)，不妨设a1?a2?a3??an?2an?an?1an.

?an?1?an，

（1）当n?5时，a1a2,a1a3,所以,an?2an,an?1an构成等比数列，

a1a3=a1a2=an?1an，即a2an?1=a3an?2，其中a2,an?1,a3,an?2互不相同.

an?2ann(n?1)2个元素，即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果2这与A?A中恰有Cn=互不相同相矛盾.

（2）当n=5时，a1a2,a1a3,① 若第3项是a2a3，则,a3a5,a4a5构成等比数列，第3项是a2a3或a1a4.

a1a3a2a3==a1a2a1a3=a4a5aa，即3=2=a3a5a2a1=a4，

a3所以a2a3=a1a4，与题意矛盾.

② 若第3项是a1a4，则a1a3a1a4==a1a2a1a3=a4a5aa，即3=4=a3a5a2a3=a4，

a3所以a2,a3,a4成等比数列，设公比为q，则A?A中等比数列的前三项为：

a1a2,a1a3,a1a4，其公比为q，第四项为a1a2q3，第十项为a1a2q9.

(ⅰ)若第四项为a2a3，则a2a3=a1a2q3，得a2=a1q2，

又a4a5=a1a2q9，得a5=a1q7，此时A中依次为a1,a1q2,a1q3,a1q4,a1q7

显然a1a5=a3a4，不合题意.

(ⅱ)若第四项为a1a5，则a1a5=a1a2q3，得a5=a2q3，又a4a5=a1a2q9，得a2=a1q4，

第9页/共10页 此时A中依次为a1,a1q4,a1q5,a1q6,a1q7，显然a2a5=a3a4，不合题意.

因此，n≤4.

取A={1,2,4,16}满足条件.

所以A中的元素个数最大值是4. …………………………………………14分

第10页/共10页

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