2022年中考数学二次函数--图形面积与最值问题压轴题专项训练

2023年12月27日发(作者：荣威第三代rx5多少钱)

2022年中考数学二次函数--图形面积与最值问题压轴题专项训练

1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．

(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3

(1)求抛物线的解析式；

(2)P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：

(3)将抛物线沿射线CB方向平移22个单位得新抛物线y′．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y′上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．

3．如图，抛物线y??ax2?2ax?3与x轴交于A,B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（?1，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；

(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．

①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；

②当h=16时，直接写出△BCP的面积．

4．在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”．

(1)已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值．

(2)已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．

①求a：b：c的值；

②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值．

(3)在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ2．

①求y关于t的函数关系式；

②求y的最小值．

5．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且顶点为C，直线y＝kx+2经过A，C两点．

(1)求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；

(2)如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2与直线2y＝kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若S△MDE＝S△MAE，求点D的坐3标；

(3)如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，TP0）在x轴上方的抛物线C3上，（m，是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为

，当m＝

时，PS有最小值

．

PT

6．如图，已知抛物线y?12x?bx?c经过A??4,0?，B?0,?4?，C?2,0?三点．

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接AC、BC．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1，点D是抛物线上位于第四象限内的一点，连接AD，点E是AD的中点，连接BE、CE，求△BCE面积的最小值；

(3)如图2，∠PBQ＝∠OBC，点P是抛物线上位于第四象限内的一点，点Q在y轴上，是否存在这样的点P、Q使BP＝BQ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；

7(3)在（2）的条件下，将直线BC向右平移个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接4PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)连接BG，求△BGD的面积最大值；

(3)如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值：t＝ ．

?15?10．如图，抛物线y?ax2?bx?6与直线y?x?2相交于A?,?、B?4,6?两点，点P是线段AB上的动点?22?（不与A、B两点重合），过点P作PC?x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点C是抛物线的顶点时，求BCE的面积；

(3)是否存在点P，使得BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．

11．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2＋bx＋c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

(1)求抛物线的解析式及点B坐标；

(2)设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝ ；

(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；

(4)在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

412．如图，抛物线y＝?x2?bx?c经过点A（3，0），B（0，2），连接AB，点P是第一象限内抛物线上一3动点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点P作x轴的垂线，交AB于点Q，判断是否存在点P，使得以P、Q、B为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)点C与点B关于x轴对称，连接AC，AP，PC，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．

13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标；

(3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．

(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；

(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF∥x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标；

(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan∠APB＝3，请直接写出△PAB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．

B(6,0)两点，15．如图，抛物线y?ax2?bx?3与x轴交于A(?2,0)、与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4．

(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；

(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当?PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；

(3)若点Q是抛物线上的点，且?ADQ?45?，请直接写出点Q的坐标．

16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．

(1)求这个抛物线的表达式．

(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．

(3)①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；

②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．

117．如图，已知抛物线y??x2?bx?c的顶点C的坐标为??3,2?，此抛物线交x轴于点A，B两点，点P2为直线AD上方抛物线上一点，过点P作PE?x轴垂足为E，连接AP，PD．

(1)求抛物线和直线AD的解析式；

(2)求线段PN的最大值；

5(3)当△APD的面积是ABC的面积的时，求点P的坐标．

4

18．如图，直线y?11x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y??x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的22另一交点为B，点D是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1的最大值；

S2(3)点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

19．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；

(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20．如图，抛物线y??x2?bx?c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y??x?3

经过B，C两点，连接AC．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；

(3)若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．

?1?b?c?0解：把点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：?

c??3??b??2解得：?

c??3?∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4

∴顶点的坐标为（1，﹣4）

(2)

如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0）

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0

解得：x1＝3，x2＝﹣1

∴B（3，0）

将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中

?3k?d?0?k?1得：?，解得：?

?d??3?d??3∴直线BC的解析式为y＝x﹣3

∵OP＝t

设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3）

∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t

∴S?S△BCH?133327NHOB?(?t2?3t)??(t?)2?

22228

3∵0≤t≤3，?＜0，

2∴当t?(3)

273时，S取最大值，最大值为；

82分两种情况：

①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形

根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3

当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3

解得：x1＝1?7，x2＝1?7

∴P（2?7，0）或（2?7，0）

②当Q在x轴的下方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，

当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3）

∴P（1，0）

综上，P点的坐标为（2?7，0）或（2?7，0）或（1，0）

2．

∵抛物线解析式为y?ax2?bx?3，

令x＝0，得y＝3，

∴点C坐标为（0，3），

∴OC=OB＝3，

∴B坐标为（3，0）．

∵tan∠CAO＝3，即∴OA＝1，

∴点A坐标为（-1，0），

∴可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

代入C点坐标得：y＝a（0+1）（0﹣3）

解得：a＝-1，

∴y??(x?1)(x?3)??x2?2x?3??(x?1)2?4，

∴抛物线解析式为：y??x2?2x?3；

(2)

∵Q为线段PB中点，

∴S△CPQ＝2S△CPB，

当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大．

设P坐标（a，?a2?2a?3），

如图，过点P作PH//y轴交BC于点H，

1OC?3，

OA

∴H坐标为（a，-a+3），

∴PH?(?a2?2a?3)?(?a?3)??a2?3a

11332272PH?(x?x)?(?a?3a)?3??(a?)?，

CPBBC22228331527∴当a?时，即P坐标为(，)时，SCPB面积最大，最大值为，

2284127∴SCPQ?SCPB?；

216∴S?(3)

沿CB方向平移22个单位，即向右2个单位，向下2个单位，

∴新抛物线解析式为y??(x?3)2?2，

∴M（3，2），C坐标为（0，3），

设N点坐标为（n，0），

根据平行四边形的性质，分类讨论①当

解得：yD?1．

∴1??(x?3)2?2

解得：x1?4，x2?2

∴xD＝4或xD＝2，

当xD＝4时，yC?yNyM?yD3?02?yD??时，即，

2222xC?xNxM?xD0?xN3?4??，即，

2222解得：xN?7；

当xD＝2时，xC?xNxM?xD0?xN3?2??，即，

2222解得：xN?5；

∴N坐标为（7，0）或（5，0）；

①当

3?yD2?0yC?yDyM?yN??时，即，

2222解得：yD??1．

∴?1??(x?3)2?2

解得：x1?3?3，x2?3?3

∴xD?3?3或xD?3?3

当xD?3?3时，解得：xN?3；

当xD?3?3时，xC?xDxM?xN0?3?33?xN?，即，

?2222xC?xDxM?xN0?3?33?xN?，即，

?2222解得：xN??3；

∴N坐标为（3，0）或（?3，0）；

综上，可知N点坐标为（7，0）或（5，0）或（3，0）或（?3，0）；

3．

∵抛物线y??ax2?2ax?3与x轴交于A,B两点解：（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（?1，0），

∴令x?0，则y?3，?C?0,3?

将点A??1,0?代入得0??a?2a?3

解得a?1

则抛物线的解析式为y??x2?2x?3

(2)

点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴

?Q点在P点上方，

A??1,0?,C?0,3?，设直线AC的解析式为y?kx?b

?b?3

??k?b?0??k?3

解得?b?3??直线AC的解析式为y?3x?3

2设P?m,?m?2m?3?，则Q?m,3m?3?

?PQ?3m?3???m2?2m?3??m2?m

抛物线的解析式为y??x2?2x?3???x?1??4

对称轴为x?1，顶点坐标为?1,4?，

2PM?PQ

?yP?yM

根据对称性可得PM?2xP?1?2m?1

设矩形PQNM的周长为l，

①当m?1时，PM?0，不能构成矩形，

②当0?m?1时，

PM?2?2m

22则l?2?m?m?2?2m??2m?2m?4

?211?117?时，lmin?2??当x???2??4??1?4?

??2?22222?2?2③当m1时，PM?2m?2

22则l?2?m?m?2m?2??2m?6m?4

对称轴为x??63??

2?22则当m1时，不存在最小值

7综上所述，矩形PQNM的周长的最小值为

2(3)

当0＜0m≤1时，h=-m2+2m+3-3=-m2+2m；

当1＜m≤2时，h=4-3=1；

当m＞2时，h=4-（-m2+2m+3）=m2-2m+1；

②当h=16时，m2-2m+1=16，

解得m=5或m=-3（舍），

∴P（5，-12），

过点P作PQ⊥x轴交直线BC与点Q，

令y=0，则-x2+2x+3=0，

解得x=-1或x=3，

∴B（3，0），

设直线BC的解析式为y=k\'x+b\'，

?b??3??,

??3k?b?0??b??3??,

?k??1?∴y=-x+3，

∴Q（5，-2），

∴PQ=10，

∴S△PCB=S△CPQ-S△BPQ=2×5×10-2×10×2=25-10=15．

4．

解：“调和三角形”某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，

?①当4?6?2(m?1)时，

11解得m?6，

②当m?1?4?2?6时，

解得m?9，

③当6?m?1?2?4时，

解得m?3（不合题意舍去），

综上，m的值为6或9；

(2)

解：①RtABC是“调和三角形”，且a?b?c，

?a2?b2?c2，①

a?c?2b，②

由②，得b?得a2?(a?c，代入①，

2a?c2)?c2，

2整理得(5a?3c)(a?c)?0，

a，b，c为三角形三边，

?0?a?b?c，

?5a?3c?0，

故a:c?3:5，

同理可得，a:b?3:4，

?a:b:c?3:4:5；

②若?ABC周长的数值与面积的数值相等，

即a?b?c?1ab，

2a:b:c?3:4:5，

45?b?a，c?a，

331?a?b?c?ab，

2即a?a?a?a?a，

解得a?6或a?0（舍去），

43531243?a?6，b?8，c?10；

(3)

解：①（Ⅰ）当P点在AB上时，即0t5时，

过P作PD?AC于D，

则有AP?2t，CQ?t，

?A??A，?PDA??BCA?90?，

??APD∽?ABC，

?PD:AD:AP?3:4:5，

86?PD?t，AD?t，

55813?DQ?8?t?t?8?t，

55PQ2?PD2?DQ2，

61341208?PQ2?(t)2?(8?t)2?t2?t?64；

5555（Ⅱ）当P在BC上时，即5?t8时，

此时，PC?6?10?2t?16?2t，

CQ?t，

?PQ2?PD2?DQ2?(16?2t)2?t2?5t2?64t?256，

412208t?t?64?0t5?5综上，y关于t的函数关系式：y?{5；

25t?64t?256(5?t8)②由y关于t的函数关系式可知当P在AB上时有最小值，

y?4122t?t?64?(t?)?，

55541205?当t?2304104，y有最小值为．

41205

5．

解：如图1，

∵直线y＝kx+2经过A（﹣1，0），

∴﹣k+2＝0，

解得k＝2，

∴直线AC的表达式为y＝2x+2；

由抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，得抛物线的对称轴为直线x＝1，

1+2＝4，

当x＝1时，y＝2×∴抛物线的顶点C的坐标为（1，4）；

设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，则4a+4＝0，解得a＝﹣1，

∴抛物线C1的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3．

(2)

解：如图2，

作DQ⊥x轴于点Q，EF⊥DQ于点F，设抛物线C2的顶点D的横坐标为t.

∵抛物线C2由抛物线C1沿射线AC方向平移得到，

∴D（t，2t+2），

∴抛物线C2的表达式可表示为y＝﹣（x﹣t）2+2t+2，

y?2x?2?由?，得2x+2＝﹣（x﹣t）2+2t+2，

2?y??(x?t)?2t?2解关于x的方程，得x1＝t﹣2，x2＝t，则点E、F的横坐标分别为t﹣2、t，

∴EF＝t﹣（t﹣2）＝2，

2∵S△MDE＝S△MAE，

3∴∴DE2＝

，

AE3DE2＝；

DA5∵EF∥AQ，

∴△DEF∽△DAQ，

∴EFDE2??，

AQDA52∴2＝ AQ，

5∴AQ＝5，

∴OQ＝5﹣1＝4；

4+2＝10，

当x＝4时，y＝2×∴D（4，10）．

(3)

解：由（1）得，抛物线C1的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4，

将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4向上平移4个单位得到的抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+8，即y＝﹣x2+2x+7，

∴抛物线C3的表达式为y＝﹣x2+2x+7．

由题意可知，正方形GHST与抛物线C3有相同的对称轴直线x＝1，

如图3，

设H（t，0），则S（t，2t﹣2），

∴﹣t2+2t+7＝2t﹣2，

解得t1＝3，t2＝﹣3（不符合题意，舍去），

∴H（3，0）．

∴SH＝2（t﹣1）＝2×（3﹣1）＝4，

∴正方形的边长为4；

将△PSH绕点S顺时针90°得到△KST，取SK的中点R，连结TR、PR，则点K在GT上，

设PS＝KS＝t（t＞0），则TR＝SR＝2KS＝2t，

由旋转得，∠PSR＝90°，

1∴PR＝(t)2?t2＝5t，

2211∵PR+TR≥PT，

1∴5t+2t≥PT，

2t2?∴，

PT5?1PS5?1，

?PT2PS5?1∴的最小值为；

PT2即如图4，

当PS5?1＝时，则点R落在PT上.

PT2设PT交SH于点L．

∵∠PSL＝∠TSR＝∠PTS，∠SPL＝∠TPS（公共角），

∴△PLS∽△PST，

∴SLPS5?1?＝，

TSPT25?1＝25﹣2；

2∴SL＝4×∵∠KTS＝∠LST＝90°，ST＝TS（公共边），∠TSK＝∠STL，

∴△KST≌△LTS（ASA），

∴PH＝KT＝SL＝25﹣2，

∴OP＝3+25﹣2＝25+1，

∴P（25+1，0），

∴m＝25+1．

故答案为：4，25+1，6．

1解：把A（-4，0），C（2，0）代入y=x2+bx+c得，

25?1．

2?1?16?4b?c?0??b?1?2，解得?，

?1c??4???4?2b?c?0??2

1∴抛物线的解析式为y=x2+x-4；

2(2)

解：如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，

1抛物线y=x2+x-4与y轴的交点B坐标为（0，-4），即OB=4，

21又∵M（m，m2+m-4），

21∴ON=-m，MN=-m2-m+4，AN=4-（-m）=4+m，

2∴S△ABM=S△ANM+S梯形MNOB-S△AOB

11111=（4+m）4×4

（-m2-m+4）+（-m2-m+4+4）（-m）-×22222=-m2-4m

=-（m+2）2+4，

∴当m=-2时，S最大=4，

答：S与m的函数关系式为S=-m2-4m，S的最大值为4．

7．

解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A（﹣1，0），B（4，0），

∴设该抛物线的函数表达式为y＝a(x+1)(x﹣4)，将C（0，﹣3）代入，

得：﹣4a＝﹣3，

3解得：a＝，

4933∴y＝ (x+1)(x﹣4)＝x2﹣x﹣3，

44493∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；

44(2)

（2）设直线BC的解析式为y＝kx+n，

∵B（4，0），C（0，﹣3），

?4k?n?0∴?，

n??3?3??k?4，

解得：???n??33∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

4过点E作EM∥y轴，交BC于M，

93设D(t，t2﹣t﹣3)，

44∵点E是AD的中点，

∴E(t?13293，t﹣x﹣)，

8228t?13t?27)，

，82∴M(933t?27323153∴EM＝t2﹣x﹣﹣＝t﹣x+，

8882828∴S△BCE＝2EM?OB＝2(t2﹣3∵＞0，

43∴当t＝2时，S△BCE取得最小值；

413831533x+)＝ (t﹣2)2+，

8244

(3)

64?20116??解：存在，P

?，?，Q(0，-)．

27?27?9如图2，在BC上截取BE＝BO＝4，过点E作EG∥OC交x轴于G，作EF⊥BC交y轴于F，

交抛物线于P，

∵B（4，0），C（0，﹣3），

∴OB＝4，OC＝3，CE＝BC﹣BE＝1，

∵∠BOC＝90°，

∴BC＝OB2?OC2?42?32?5，

∵EG∥OC，

∴△BEG∽△BCO，

∴∴EGBGBE??，

OCOBBCEGBG4??，

345∴EG＝1216，BG＝，

55∴OG＝OB﹣BG＝4﹣164?，

55124∴E(，﹣)，

55∵EF⊥BC，

∴∠CEF＝∠COB＝90°，

∵∠ECF＝∠OCB，

∴△ECF∽△OCB，

∴CEOC13??，

，即CFBCCF55∴CF＝，

354OF＝OC﹣CF＝3﹣?，

334∴F(0，﹣)，

3设直线EF的解析式为y＝k1x+n1，

1244∵E(，﹣)，F(0，﹣)，

55312?4k?n??11??55∴?，

4?n??1?3?

4?k??1??3解得：?，

4?n??1?3?44∴直线EF的解析式为y＝?x?，

3344?y??x???33联立方程组，得：?，

492?y?x?x?3?34?20?x???x1??1?29解得：?（舍去），?，

116y?0?1?y??2?27??20116??∴P

?，?，

927??64?204??11612?在Rt△BPE中，PE＝??????，

???27?95??275?22∵∠PBQ＝∠OBC，

∴∠PBE+∠CBQ＝∠CBQ+∠QBO，

∴∠PBE＝∠QBO，

在△PEB和△QOB中，

??PBE??QBO?

?BE?BO??PEB??QOB?∴△PEB≌△QOB（ASA），

∴BP＝BQ，OQ＝PE＝∴Q(0，-64)，

2764，

2764?20116??∴存在，P

?，?，Q(0，-)．

27?27?9

8．

解：将A（﹣1，0）、B（4，0）代入抛物线公式，如下：

?0?a?b?4，

??0?16a?4b?4?a??1求得?．

b?3?抛物线解析式为：y＝﹣x2+3x+4．

(2)

解：设P到直线BC的距离为d，P点坐标为（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），

∵y＝﹣x2+3x+4交y轴于点C，

令x＝0，

∴y＝4，

∴C（0，4），

由B（4，0），C（0，4）两点求得直线BC的解析式为：y+x﹣4＝0．

做直线BC的平行线K：y＝﹣x+m，因为K与BC平行，我们将K平移，根据题意，点P是直线BC上方抛物线上的一点，

∴随着K平行移动，以BC为底的△PBC的高d在逐渐增大，当K与抛物线y＝﹣x2+3x+4恰有一个交点时，此时以BC为底的△PBC的高d最大，即此时△PBC面积最大．

∵此时K：y＝﹣x+m与抛物线y＝﹣x2+3x+4相交，且仅有一个交点，

∴﹣x+m＝﹣x2+3x+4，m＝8．

∴直线K：y＝﹣x+8．

此时求K和抛物线的交点为：

﹣x+8＝﹣x2+3x+4，解得x＝2，

将x＝2代入直线K：y＝﹣x+8，

解得y＝6．

因此P（2，6）．

现在我们来求P到直线BC的距离，即△PBC的高d：

过P作垂直于BC的直线k：y＝x+m．

∵P在直线k上，

∴6＝2+m，

∴m＝4，直线k＝x+4．

?y??x?4直线K与直线k的交点为：?，

?y?x?4解得交点坐标（0，4），即交点为C点．

因此的△PBC的高d即为B点和C点两点之间的距离，

∴d＝|BC|?(2?0)2?(6?4)2?22．

在△PBC中，

∵|BC|＝42，△PBC的面积的最大值S△PBC?(3)

11|BC|?d??42?22?8．

227解：存在．直线BC向右平移个单位得到直线l，

4723∴l：y＝﹣（x?）+4＝﹣x?．

447?23x????12?y??x?4，解得?．

?12?x??2?y??x?3x?4?2?二次函数y＝﹣x2+3x+4对称轴为x?3，

2∵直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，

∴x?2397?． ，代入y＝﹣x?44279∴Q（，）．

24设T（a，b）．

∵R为直线BC上的一动点，

∴设R（x，﹣x+4）．

（Ⅰ）假设T在Q点左侧：

∴a?7．

279此时P（2，6），T（a，b）为菱形对称顶点，Q（，），R（x，﹣x+4）为菱形对称定点．

24在菱形中PTQR中，|PR|＝|QT|，

79即(2?x)2?(6?x?4)2?(a?)2?(b?)2①

24又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，即：

7??2?a2?x???22，②

?9??x?4?6?b?4?2?2?a2??0.5387?a1?3.5387由①，②解得?，?，

b?2.2887b??1.7887?2?17又∵a＜，

2∴此时T点坐标为：T（﹣0.5387，2.2887）．

（Ⅱ）假设T在Q点右侧：

7∴a＞．

279此时P（2，6），Q（，）为菱形对称顶点，T（a，b），R（x，﹣x+4）为菱形对称定点．

24在菱形PTQR中，|PR|＝|PT|，

即(a?2)2?(b?6)2?(2?x)2?(6?x?4)2，③

又∵对角线互相垂直平分，且对称顶点横纵坐标的中点相等，

9?6??4?b?x?4?即：?2，④

?7?2??a?x2?由③，④解得a?2697277＞，符号题意．此时b?．

56256269277，）．

5656此时T点坐标为：T（

综上所述：T存在两点，分别为：

T（﹣0.5387，2.2887）和T（9．

（1）∵矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0），

∴D（﹣1，4），

由抛物线的顶点为D（﹣1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，

∵抛物线经过点B（﹣3，0），

∴4a+4＝0，

解得a＝﹣1，

∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；

(2)

269277，）．

5656

??3k?d?0如图1，设直线BD的解析式为y＝kx+d，则?，解得，

?k?d?4?∴y＝2x+6，

设G（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜﹣1），则E（x，2x+6），

∴GE＝﹣x2﹣2x+3﹣（2x+6）＝﹣x2﹣4x﹣3，

∵AD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，

∴S△BGD＝2GE?AF+2GE?DF＝2GE?AD＝2×2（﹣x2﹣4x﹣3）＝﹣（x+2）2+1，

∴当x＝﹣2时，S△BGD最大＝1，

∴△BGD面积的最大值为1．

1111

(3)

存在．理由如下：

如图2，菱形BQHE以BE为一边.

由题意，得BQ＝PD＝EF＝t，

∵PQ∥EF，

∴四边形BQFE是平行四边形，

∴当BQ＝QF＝t时，四边形BQFE是菱形，此时点H与点F重合．

∵QF∥BD，

∴∠AQF＝∠QBD，

∵AD＝2，AB＝4，∠A＝90°，

∴BD?22?42?25，

∴AQAB425???，

QFBD2552525QF?BQ?25t，

55∴AQ?∴t?25t?4，

5解得t?20?85；

如图3，菱形BQEH以BE为对角线，连结QH交BE于点R，则QH⊥BE，BR＝ER，

∴∠BRQ＝90°，

∴BRAB25??，

BQBD525t，

5PDCD42???同理，，

DEBD255∴BR?55PD?t，

22255∴2?t?t?25，

5220解得t?，

13∴DE?综上所述，t?20?85或t?20，

13

故答案为：20?85或20．

13

10．

15?1a?b?6???15?22 解：把A?,?、B?4,6?代入抛物线y?ax2?bx?6中得：?4?22???16a?4b?6?6?a?2解得：?

b??8?∴抛物线的解析式为：y?2x2?8x?6．

(2)

解：如图1，

∵y?2x2?8x?6?2?x?2??2

∴顶点C?2,?2?

对于直线y?x?2，当x?2时，y?2?2?4

∴PC?4???2??6

当y?0时，x?2?0，解得x??2

∴E??2,0?

∴SBCE2?S△PCE?S△PBC

?11PC?ED?PC??xB?xD?

2211?PC??xD?xE??PC??xB?xD?

221?PC??xB?xE?

21??6??4?2?

2?18

∴△BCE的面积为18．

(3)

解：存在

2设点P的坐标为?m,m?2?，则C?m,2m?8m?6?

22∴PC?m?2??2m?8?6???2m?9m?4

∴SBCE?1PC??xB?xE?

21????2m2?9m?4???4?2?

29?147?

??6?m???48??2∵?6?0

∴当m?11．

解：∵直线y＝﹣3x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、C，

∴A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），

9时，S4BCE最大，这个最大值是147．

8?1?b?c?0∴

?

，

c??3??b??2

，

解得

??c??3∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

当y＝0时，由x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0）．

(2)

解：如图1，设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．

设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，

把B（3，0）代入得

3k﹣3＝0，解得k＝1，

∴y＝x﹣3；

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点H（1，﹣4），

当x＝1时，y＝x﹣3=1﹣3＝﹣2，

∴F（1，﹣2），

∴FH＝﹣2﹣（﹣4）＝2，

∴S△BCH＝2FH?OG+2FH?BG＝2FH?OB＝2×2×3＝3．

故答案为：3．

(3)

解：设E（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），则M（x，x﹣3），

∴ME＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）

＝﹣x2+3x

39＝﹣（x﹣）2+，

243933∴当x＝时，ME最大＝，此时M（，-）．

24221111(4)

解：存在．如图2，

333由（3）得，当ME最大时，则D（，0），M（，-），

2223∴DO＝DB＝DM＝；

2∵∠BDM＝90°，

∴DE垂直平分OB

∴OM=BM

339∵OM2=BM2= DB2 +DM2 =()2+()2=

222∴OM＝BM＝

932＝．

22当点P与原点O重合时，

则PM＝BM＝32，

2△PBM是等腰三角形，

此时点P的坐标是（0，0）,即P1（0，0）；

当BP＝BM＝32时，且点P在点B的左侧时，

2△PBM是等腰三角形，

则OP＝3﹣326?32＝，

226?326?32，0），即P2（，0）；

22∴点P的坐标为（当点P与点D重合时，

3则PM＝PB＝，

2此时△PBM是等腰三角形，

33∴点P的坐标为（，0），即P3（，0）；

22当BP＝BM＝32，且点P在点B的右侧时，

2△PBM是等腰三角形，

则OP＝3+326?32＝，

226?326?32，0），即P4（，0）．

2236?326?32

综上所述，P1（0，0），P2（，0），P3（，0），P4（，0）．

222∴点P的坐标为（12．

4解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，2），

3把点A（3，0），B（0，2）代入解析式得：

?4???9?3b?c?0，

?3?c?2??10?b?3， 解得???c?2410∴二次函数的解析式为：y??x2?x+2；

33(2)

410解：设P（m，﹣m2+m+2），

33当∠BPQ＝90°时，则有BP∥x轴，如图，

∴点P的纵坐标为2，

410∴﹣x2+x+2＝2，

33解得：x1＝0（舍去）或x2＝5∴P1（，2）；

25，

2当∠PBQ＝90°时，过点P作PM⊥y轴，垂足为M，如图，

410410则∠PBM+∠BPM＝90°，PM＝m，BM＝﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m，

3333∵∠PBQ＝90°，

∴∠PBM+∠OBA＝90°，

∴∠OBA＝∠BPM，

∴△PMB∽△BOA，

∴PMMB＝，

OABO4210mm?m即＝33，

23解得：m＝0（舍）或m＝∴P2（1165，），

81611，

811655综上所述，当以PQB为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为（，2）或（,

2816）；

(3)

解：设PQ的延长线交AC与点N，

∵B（0，2），点C与点B关于x轴对称，

∴C（0，﹣2），

设直线AC的表达式为：y＝k1x+a1，

把A，C代入得：

?3k1?a1?0，

??a1??2

2??k1?3， 解得???a1??2∴直线AC的表达式为：y?2x?2，

342102设点P（n，?n?n+2），则N（n，n?2），

333410248∴PN＝?n2?n+2﹣（n?2）＝?n2?n+4，

333334811∴S△APC＝2PN×OA＝2（?n2?n+4）×3＝﹣2n2+4n+6＝﹣2（n﹣1）2+8，

33∵a＝﹣2＜0，S△APC有最大值，且0＜n＜3，

∴当n＝1时，△APC的面积最大，最大面积是8，

此时，P（1，4），

综上所述，△APC面积的最大值是8，点P的坐标是（1，4）．

13．

设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入得：

4a﹣4＝0，

解得a＝1，

∴抛物线表达式为：y＝（x﹣1）2﹣4；

(2)

连接BC，作MN∥y轴交BC于点N，交AB于点E，作CF⊥MN于点F，如图，

由（1）知，抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，可解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴点A坐标（﹣1，0），点B坐标（3，0），

设直线BC的表达式为y＝kx+b，将点B

（3，0），C（0，﹣3）代入得：

?3k?b?0，

??b??3?k?1∴?，

b??3?∴直线BC表达式为y＝x﹣3，

设M点（m，m2﹣2m﹣3），则点N（m，m﹣3），

39MN?yM?yN?m?3?(m2?2m?3)??m2?3m??(m?)2?

24∴S四边形ABMC＝S△ABC+S△BCM

＝S△ABC+S△CMN+S△BMN

111＝?AB?OC??MN?CF+?MN?BE

22211＝?4?3??MN?(CF?BE)

221＝6+?MN?3

233275＝?(m?)?

228当m?(3)

315375时，即点M坐标(,?)时，四边形ABMC面积的最大值；

8224如图，作PQ垂直x轴，

设直线CD：y＝px+q，将点C，D分别代入得，

?p?q??4，

??q??3

?p??1解得?，

?q??3∴直线BC：y＝﹣x﹣3，

当y＝0时，解得x＝﹣3，

∴点E坐标为（﹣3，0），

∵OE＝OC＝OB＝3，

∴∠OEC＝∠OBC＝45°，

在Rt△OBC中，

BC＝32?32＝32，

①当△BAC∽△EPO时，

4EPABEP??，即，

3BCEO32解得EP＝22，

在Rt△EPQ中，∠OEC＝45°，

∴sin45°＝PQ，

EP解得PQ＝2，

∴EQ＝PQ＝2，

此时点P坐标（﹣1，﹣2）；

②当△BAC∽△EOP时，

43BAEO??，即，

BCEP32EP解得EP＝92，

4在Rt△EPQ中，∠OEC＝45°，

∴sin45°＝解得PQ?PQ，

EP9

494∴EQ?PQ?，

39此时点P坐标(?,?)；

4439综上所述，当点P坐标为（﹣1，﹣2）或(?,?)时，点P、E、O为顶点的三角形与△ABC44

相似．

14．

∵直线y＝﹣x+3与y轴、x轴分别交于A、B两点、

∴A（0，3），B（3，0），

将A（0，3）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，

?3?c得：?，

0?9?3b?c??b??4解得：?，

c?3?∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1

∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1）．

(2)

∵A（0，3），B（3，0），D（2，﹣1），

∴AB2＝32+32＝18，AD2＝（2﹣0）2+（3+1）2＝20，BD2＝（3﹣2）2+（0+1）2＝2，

∴AB2+BD2＝AD2，

∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°，

设点E（m，m2﹣4m+3）（m＞2）．

∵EF∥x轴，

∴DF＝m2﹣4m+3+1＝m2﹣4m+4，FE＝m﹣2，∠DFE＝90°，

∴∠DFE＝∠ABD＝90°，

∴如图1，

以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，且∠FDE＝∠BAD，

则DFFE?，

ABBD由AB2＝32+32＝18，BD2＝（3﹣2）2+（0+1）2＝2，得AB＝32，BD?2，

m2?4m?4m?2?∴，

322解得m1＝5，m2＝2（不符合题意，舍去）．

∴E（5，8）；

如图2，

以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，且∠FDE＝∠BDA，

则DFFE?，

BDABm2?4m?4m?2?∴，

232

解得m1?7，m2＝2（不符合题意，舍去），

378∴E（，?）．

3978综上所述，点E的坐标为（5，8）或（，?）．

39(3)

由（2）得，tan∠ADB?∵tan∠APB＝3，

∴∠APB＝∠ADB，

∴点P在过A、B、D三点，即以AD为直径的圆上．

如图3，

32?3，

2

取AD的中点Q，以点Q为圆心，以QA为半径作圆，连接QB，

∵QB?1AD＝QA，

2∴点B在⊙Q上；

连接并延长OQ、QO分别交AB于点G、⊙Q于点H，作PR⊥AB于点R，连接PG、PQ．

∵QB＝PA，OB＝OA，

∴HG垂直平分AB，

由PG≤QG+PQ，得PG≤GH，

∵PR≤PG，

∴PR≤GH；

∵S△PAB?1AB?PR，

21AB?GH．

2∴当点P与点H重合时，△PAB的面积最大，此时S△PAB?由AD2＝（2﹣0）2+（3+1）2＝20，得AD＝25，

∵∠ABQ＝90°，AQ?1132AD?5，AG?AB?，

222∴QG?(5)2?(32)2?2，

22∵HQ＝AQ?5，

2，

212310?3∴S△PAB最大??32?（5?）?；

222∴GH?5?过点H作HL⊥x轴于点L，

∵∠OHL＝90°﹣∠HOL＝90°﹣∠BOG＝∠OBA＝45°，

∴OL＝OH?tan45°?∵OG?2OH；

2132AB?，

22∴OH＝GH﹣OG?5?∴HL＝OL?∴H（232??5?2，

2210?22，

?（5?2）?222?102?10，）．

22∵此时点P与点H重合，

∴P（2?102?10，）．

222?102?10310?3，此时P（，）．

222综上所述，△PAB面积最大值为15．

解：抛物线y?ax2?bx?3与x轴交于A(?2,0)、B(6,0)两点，

?设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)?ax2?4ax?12a，

∴?12a?3，

1解得a??，

4

11?抛物线的解析式为y??(x?2)(x?6)??x2?x?3，

44∵点D在抛物线上，

当x=4时y???42?4?3?3，

∴点D（4，3），

直线l经过A(?2,0)、D(4,3)，

设直线l的解析式为y?kx?m(k?0)，代入坐标得：

14??2k?m?0，

?4k?m?3?1??k?2，

解得，???b?1?直线l的解析式为y?1x?1；

2(2)

解：如图1中，过点P作PF//y轴交AD于点F．设点P的横坐标为m，

1?1?∴P(m,?m2?m?3)，则F?m，m?1?．

4?2?

S?PAD?1??xD?xA??PF?3PF，

21111192PF??m2?m?3?m?1??m2?m?2???m?1??，

424244∴SΔPAD?3PF??2327?m?1??，

443??0，抛物线开口向下，函数有最大值，

4?m?1时，

S?PAD最大=27，

4