2023年12月27日发(作者：qq轿车价格及图片)

2023届新高考数学金榜押题卷（2）

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

∣x2?x?2?,B?{0,1,2,3}，则BI??RA??( ) 1.已知集合A??xA.{0}

2.复数z满足A.8?i

3.已知sin??A.?7

10B.{0,1} C.{1,2} D.{0,1,2}

z?2?3i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是( )

1?2iB.8?i C.?4?i D.?4?i

π??3π????，则sin??2???的值为( )

6??122?3?B.3?x2ln?x2?1?7

10C.?

79D.

794.函数f(x)?的大致图象为( )

A. B.

C. D.

5.已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)的最小正周期为π，将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )

π3

?A.函数g(x)在?,?42?上是增函数

??ππB.函数g(x)的图象关于直线x??对称

C.函数g(x)是奇函数

?D.函数g(x)的图象关于点??,0?中心对称

6??ππ46.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A?BCD中，AB?平面BCD，BC?CD，且AB?BC?CD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )

A.3

3B.2

3C.3

2D.2

27.已知a?5且ae5?5ea，b?4且be4?4eb，c?3且ce3?3ec，则( )

A.c?b?a

C.a?c?b

B.b?c?a

D.a?b?c

x2y28.已知F1，F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，A是椭圆的上顶点，过ab点A且斜率为3的直线上有一点P，满足△PF1F2是以?F1F2P为顶角的等腰三角4形，?PF1F2?30?，则该椭圆的离心率为( )

A.7

7B.27

7C.3

7D.23

7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是( )

A.成绩在[70,80)内的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

10.已知平面向量a?(1,1)，b?(?3,4)，则下列说法正确的是( )

?a,b??2

102a

2B.b在a方向上的投影向量为?43?C.与b垂直的单位向量的坐标为?,?

?55?D.若向量a??b与向量a??a共线，则??0

11.在某市商业区有一个圆形的广场，称为“阿氏圆广场”.阿氏圆是古希腊著名数学家阿波罗尼斯的发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值?(??1)的点的轨迹是圆”.从广场的外圆周的任意一点P，以同样的速度，到达A商场的A(?2,0),B(1,0)，所用时间是到达B商场所用时间的2倍.建立平面直角坐标系xOy，点P满足|PA|?2，广场外圆周即点P的轨迹设为C，下列结论正确的是( )

|PB|A.C的方程为(x?2)2?y2?4

B.居民经过商场B，从广场一侧直线到达另一侧，需走的最短路程为23

C.过A做广场的切线，切点为M和N，则MN过点B

D.一条市政公路所在直线为x?y?6?0，则从广场到公路的最短距离为4

12.已知三棱柱ABC?A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，AB1?BC1?CA1?4.若点O到三棱柱ABC?A1B1C1的所有面的距离都相等，则( )

1?平面ABC

?AA1

C.平面A1B1C1截球O所得截面圆的周长为4π

D.球O的表面积为24π

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

5??13.在二项式?3x??的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项x??n的值为___________.

14.已知直线y?x?4与抛物线y2?2px(p?0)交于A，B两点，O为坐标原点，且OA?OB，则p?_____________.

15.已知等比数列?an?的公比q?0，其前n项和为Sn，且S2?6,S3?14，则数列??1??的前2021项和为___________.

loga?loga2n?1??2n16.已知函数f(x)?ex?x?2的零点为x1，函数g(x)?2?x?lnx的零点为x2，给出以下三个结论：①ex?ex?2e；②x1x2?；③x2lnx1?x1lnx2?0.其中所有正确结论1234的序号为________.

四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求角A；

(2)若△ABC的外接圆半径r?2，b?c?2a，求△ABC的面积.

18.（12分）已知数列?an?的前n项和为Sn,a1?2,Sn?1?3an?Sn?2?3n?2.

(1)记bn?an?1，证明：?bn?是等差数列，并求?bn?的通项公式；

3n?1tanA2c?b.

?tanBb(2)记数列?an?的前n项和为Tn，求Tn，并求使不等式Tn?2022成立的最大正整数n.

19.（12分）在四棱锥P?ABCD中，PD?底面ABCD，CD//AB，AD?DC?CB?1，AB?2，DP?3.

（1）证明：BD?PA；

（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

20.（12分）医学权威杂志《柳叶刀》指出，中国19岁男性平均身高达到175.7厘米，女性达到163.5厘米，位列东亚第一.关老师随机调查了高三(满19岁)100名学生的身高情况，并将统计结果整理如表.

女

男

末达到平均身高

10

15

达到平均身高

45

30

(1)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否达到平均身高与性别有关?

(2)现在从本次调查的“达到平均身高”的学生中利用分层抽样的方法随机抽取10人进一步调查，再从这10人中抽取4人作为案例进行分析，记这4人中男生的人数为X，求X的分布列与数学期望.

n(ad?bc)2附：K?，n?a?b?c?d.

?a?b??c?d??a?c??b?d?2P(K2?k0)

k0

0.15

2.072

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024

0.01

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828

x2y221.（12分）双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)经过点P(2,1)，且虚轴的一个顶点到一ab条渐近线的距离为6.

3(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P的两条直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点(A，B两点不与P点

重合)，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1?k2?1，证明：直线AB过定点.

22.（12分）已知函数f(x)?x2?axlnx?1?a,a?R,f?(x)为f(x)的导函数.

(1)讨论f?(x)的极值；

(2)若存在t?[2,e]，使得不等式f(t)?0成立，求a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：B

解析：集合A?{x∣(x?1)(x?2)?0}?{x∣x??1或x?2}，则?RA?{x∣?1?x?2}.又B?{0,1,2,3}，所以BI??RA??{0,1}.故选B.

2.答案：B

解析：由题知，复数z??1?2i??2?3i??2?3i?4i?6?8?i，则复数z的共轭复数是8?i，故选B.

3.答案：C

解析：Qsin??π??3???，

?122?3?π??π??1?cos?????1?2sin2????，

?6??122?3π?7??π??π??1??sin?2????cos??2???2cos2?????1?2????1??.

6?9??3??6??3?24.答案：A

解析：本题考查函数的图象.根据函数解析式，因为f(?x)?3?(?x)22ln?(?x)?1????3?x2ln?x2?1??f(x)，所以该函数为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)?0恒成立，当x??3时，函数值为0，只有选项A符合题意.

5.答案：A

2ππ?解析：Qf(x)?3sin?x?cos?x?2sin?，??π，得??2，

?x????6??π?因此f(x)?2sin??2x??，

?6???π?π??g(x)?2sin?2?x??????2cos2x，

3?6??????对于A，由x??，得,2x?,π?42??2?，此时y?cos2x单调递减，则函数g(x)单调递????πππ增，故A正确；对于B，令2x?kπ，k?Z，得x?kπ，k?Z，故B错误；对于2C，g(?x)??2cos(?2x)??2cos2x?g(x)，则函数g(x)是偶函数，故C错误；对于D，

令2x??kπ，k?Z，得x??故选A.

6.答案：A

π2π4kπ1π，k?Z，当x?时，k???Z，故D错误.2661解析：如图，取AC的中点为N，连接MN，BN，则MN//CD且MN?CD，所2以?BMN即异面直线BM与CD的夹角或其补角.因为AB?平面BCD，CD?平面BCD，所以AB?CD，又BC?CD，ABBC?B，所以CD?平面ABC，所BN?2，以MN?平面ABC，所以MN?BN.设AB?BC?CD?2，则MN?1，BM?3，在Rt△BMN中，cos?BMN?3.

3MN3?，所以异面直线BM与CDBM3夹角的余弦值为

7.答案：D

eae5ebe4ece3解析：由ae?5e，be?4e，ce?3e得?，?，?.构造函数b4a5c35a4b3cex(x?1)exx?0，f(x)?，则f?(x)?.由f?(x)?0得x?1，由f?()x0?得0?x?1，2xx所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增，所以f(3)?f(4)?f(5)，因为f(5)?f(a)，f(4)?f(b)，f(3)?f(c)，所以f(c)?f(b)?f(a).画出函数f(x)的大致图象，如图所示，故0?a?b?c?1，故选D.

8.答案：B

解析：由题意易知直线AP的方程为y?3x?b①，因为△PF1F2为等腰三角形，44b?3c.3?PF1F2?30?，所以直线PF2的方程为y?3?x?c?②，联立①②可得y?如图，过点P向x轴引垂线，垂足为H，则PH?4b?3c，所以34b?3cPHb23322223，即2b?3c，4b?3c?3a?b，所以2?，sin60????a7PF22c2??b227e?1?2?，故选B.

a7

9.答案：ABC

解析：由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)内的频率为10?(0.01?0.015)?0.25，因此不及格的人数为4000?0.25?1000，故B正确；C选项，由频率分布直方图可得，平均分约为45?0.1?55?0.15?65?0.2?75?0.3?85?0.15?95?0.1?70.5（分），故C正确；因为成绩在[40,70)内的频率为10?(0.01?0.015?0.02)?0.45，在[70,80)内的频率为0.3，

所以中位数为70?10?10.答案：AD

0.5?0.45?71.67，故D错误.故选ABC.

0.3解析：选项A：由题意知|a|?2，|a|?5，a?b??3?4?1，则cos?a,b??a?b2?，A正确；

|a||b|10选项B：b在a方向上的投影向量为|b|cos?a,b??错误；

aa?baa?b1???a?a，B|a||a||a||a|22?43??43?选项C：与b垂直的单位向量的坐标为?,?或??,??，C错误；

?55??55?选项D：因为向量a??b与向量a??b共线，所以若存在t?R，使得?t?1，

a??b?t(a??b)，则????t??所以??0，D正确.

11.答案：ABC

解析：设点P的坐标为?x,y?，由|PA|?2|PB|得(x?2)2?y2?2(x?1)2?y2，则x2?y2?4x?4?4?x2?y2?2x?1?，整理得曲线C的方程为(x?2)2?y2?4，故选项A正确；若过B的路程最短，即需求过点B的最短弦长，即当B与圆心C的连线和弦垂直时弦长最短，由勾股定理得最短弦长为23，故选项B正确；由题意可知A,C,M,N四点共圆且在以AC为直径的圆上，圆的方程为x2?y2?4.又M,N在(x?2)2?y2?4上，联立两个方程化简得直线MN的方程为x?1?0，则点B在MN上，所以MN过点B，故选项C正确；当圆心C与直线垂直时，距离最短，圆心C到直线的距离为|2?0?6|1?1?22.因为圆的半径为2，所以最短距离为22?2，故选项D错误，故选ABC.

12.答案：AC

解析：三棱柱ABC?A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知三棱柱ABC?A1B1C1为直棱柱，所以BB1?平面ABC，因此A正确.因为AB1?BC1?CA1?4，所以AB?BC?CA.因为点O到三棱柱ABC?A1B1C1的所有面的距离都相等，所以三棱柱ABC?A1B1C1的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r，则AA1?2r,AB?23r，所以AB?3AA1，因此B错误.由AB1?4，可知BB12?AB2?4r2?12r2?16r2?16，解得r?1(负值已舍去)，则AB?BC?CA?23.易得VA1B1C1的外接圆的半径r2?2，所以平面A1B1C1截球O所得截面圆的周长为2πr2?4π，因此C正确.三棱柱ABC?A1B1C1外接球的半径R?r22?(AA12)?22?12?5，所以球O的表面积S?4πR2?20π，因此D错误.2故选AC.

13.答案：135

5??解析：因为二项式?3x??的展开式中，各项的系数之和为512，所以令x?1，x??5??得8?512，解得n?3.又因为?3x??的展开式的通项公式为x??nn3?5?rrTr?1?C33x)3?r???33?r?C3?5r?x?x???r3?3r2，令3?3r?0，解得r?1，所以展开式21中常数项为T2?32?C13?5?135.

故答案为：135.

14.答案：2

解析：设A?x1,y1?，B?x2,y2?，联立方程，得??y?x?4,?y2?2p(y?4)，

2?y?2px即y2?2py?8p?0，?y1y2??8p，OA?OB，

?x1x2?y1y2?0，

2y12y2又x1x2???16，?16?(?8p)?0，解得p?2.

2p2p15.答案：2021

2022解析：因为a3?S3?S2?8?a1q2,S2?a1?a1q?6，

a1q24所以所以3q2?4q?4?0，得q?2或?2（舍去），所以a1?2，故an?2n.

?，3a1?a1q3因为1111???，

log2an?log2an?1n(n?1)nn?1所以T2021?1????故答案为：2021

2022121213?1112021.

??1??202216.答案：①③

解析：由题意得ex?x1?2?0,lnx2?x2?2?elnx?lnx2?2?0，则f?x1??f?lnx2??0，

12易知f(x)在R上单调递增，?f(x)在R上有且仅有一个零点，?x1?lnx2?2?x2,?x1?x2?2，易知x1?x2?1,?ex1?ex2?2ex1ex2?2e，①正确；

1?31又f(0)??1?0,f?，

?e??0,?0?x?1??22?2?1?1?3?x1x2?x1?2?x1????2???，②错误；

2?2?413Q0?x1?,x1?x2?2,??x2?2，则221lnx1?ln??lnx2,?x2lnx1?x1lnx2??x2lnx2?x1lnx2??x1?x2??lnx2，

x2易知x1?x2?0,lnx2?0，故x2lnx1?x1lnx2?0，③正确.

综上，所有正确结论的序号为①③.

17.答案：(1)A?(2)S△ABC?33.

解析：(1)因为所以tanA2c?btanA2sinC?sinB，所以由正弦定理，得，

??tanBbtanBsinBπ.

3sinAcosB2sinC?sinB，

?cosAsinBsinB所以sinAcosB?(2sinC?sinB)cosA?2sinCcosA?sinBcosA，

所以sinAcosB?cosAsinB?2sinCcosA，

即sinC?2sinCcosA，又sinC?0，

所以cosA?.

又0?A?π，故A?π.

3π312(2)由题意知a?2rsinA?4sin?23,b?c?2a?43.

由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA，得a2?(b?c)2?3bc，

所以(23)2?(43)2?3bc，则bc?12，

故S△ABC?bcsinA??12?12123?33.

218.答案：(1)证明过程见解析，bn?2n?1.

(2)n为5.

解析：(1)由Sn?1?3an?Sn?2?3n?2，得Sn?1?Sn?3an?2?3n?2，

即an?1?3an?2?3n?2,?an?1?1?3?an?1??2?3n，

?an?1?1an?1?n?1?2.

3n3即bn?1?bn?2，

又Qb1?a1?1?1，

03?数列?bn?是以1为首项，2为公差的等差数列，

?bn?1?(n?1)?2?2n?1.

(2)由(1)知an?(2n?1)?3n?1?1.

Tn?1?30?3?31?5?32?L?(2n?1)?3n?1?n，①

3Tn?1?31?3?32?5?33?L?(2n?1)?3n?3n，②

①-②，得?2Tn?1?2?31?2?32?L?2?3n?1?(2n?1)?3n?2n

3?3n?1?2??(2n?1)?3n?2n??2?3n?(2n?1)?3n?2n

1?3??2?2(n?1)?3n?2n，

?Tn?n?1?(n?1)?3n，

Qan?0,??Tn?是递增数列，

T5?6?4?35?978?2022,T5?7?5?36?3652?2022，

?使不等式Tn?2022成立的最大正整数n为5.

19.答案：（1）证明见解析

（2）5

5解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB?DC?1.

又DC//OB，所以四边形DCBO为平行四边形.

又BC?OB?1，

所以四边形DCBO为菱形，所以BD?CO.

同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD//CO，

所以BD?AD.

因为PD?底面ABCD，BD?底面ABCD，所以PD?BD，

又ADPD?D，AD,PD?平面ADP，所以BD?平面ADP.

因为PA?平面ADP，所以BD?PA.

（2）由（1）知BD?AD，又AB?2AD，所以?DAO?60?，

所以三角形ADO为正三角形.

过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(?33?31,,0?,?,0)，B?，P(0,0,3)，D(0,0,0).

??22?22????31,,3??，DP?(0,0,3).

22?则AB?(0,2,0)，AP????设平面PAB的法向量为n?(x,y,z)，

?2y?0?AB?n?0????3则?.

1x?y?3z?0??AP?n?0???22令x?2，则y?0，z?1，所以n?(2,0,1).

设直线PD与平面PAB所成的角为?，

则sin??cos?n,DP??|n?DP|35??，

5|n|?|DP|5?3所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为5.

520.答案：(1)在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高与性别有关

(2)1.6

解析：(1)补全2?2列联表如下：

女

男

末达到平均身高

10

15

达到平均身高

45

30

合计

55

45

合计

225 75 100

100?(10?30?45?15)2?3.030?2.706， 则K?55?45?25?75所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高与性别有关.

(2)利用分层抽样的方法可得，在10人中，达到平均身高的女生有6人，男生有4人.所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

41C6C3186C4P?X?0??4?，P?X?1??4?，

C1014C1021223C1C6C4346C4P?X?2??4?，P?X?3??4?

C1035C107C41P?X?4??44?

C10210所以X的分布列为

X

P

0

1

141

8

212

3

73

4

354

1

210所以数学期望E?X??0?x221.答案：(1)?y2?1.

218341?1??2??3??4??1.6.

1421735210(2)证明过程见解析.

(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为bx?ay?0，

解析：虚轴的一个顶点为(0,b)，依题意得|?ab|b2?(?a)2?6，即3ab?2c，

32222即3ab?2?a?b?，①

又点P(2,1)在双曲线C上，

所以41??1，即a2b2?4b2?a2，②

22ab由①②解得a2?2，b2?1，

x2所以双曲线C的方程为?y2?1.

2(2)当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，

设A?x0,y0?，B?x0,?y0?，

则由k1?k2?1，解得?2y0?1?y0?1??1，

x0?2x0?2即x?2?1，解得x0?0，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.

0x2不妨设直线AB的方程为y?kx?t，代入?y2?1，

22222整理得?2k?1?x?4ktx?2t?2?0?2k?1?0?，??0，

设A?x1,y1?，B?x2,y2?，

4kt2t2?2则x1?x2??2，x1x2?2，

2k?12k?1y1?1y2?1k?k?1由12，得x?2?x?2?1，

1212即x?2?x?2?1，

12kx?t?1kx?t?1整理得(2k?1)x1x2?(t?2k?1)?x1?x2??4t?0，

2t2?24kt??(2k?1)??(t?2k?1)??所以???4t?0，

22k2?1?2k?1?整理得t2?(2k?2)t?1?2k?0，即(t?1)(t?2k?1)?0，

所以t?1或t?1?2k.

当t?1时，直线AB的方程为y?kx?1，经过定点(0,1)；

当t?1?2k时，直线AB的方程为y?k(x?2)?1，经过定点P(2,1)，不符合题意.

综上，直线AB过定点(0,1).

22.答案：(1)当a?0时，f?(x)没有极值；当a?0时，f?(x)的极小值为?aln，无极大值.

?e2?1?,???. (2)取值范围为??e?1?a2解析：(1)由题意知，f(x)?x2?axlnx?1?a的定义域为(0,??)，f?(x)?2x?a(1?lnx)，

设g(x)?f?(x)，则g?(x)?2??ax2x?a，

x

①当a?0时，g?(x)?0,g(x)在(0,??)上单调递增，f?(x)没有极值；

a??a?②当a?0时，若x???0,?，则g?(x)?0,f?(x)在?0,?上单调递减，

?2??2????若x???,???，则g?(x)?0,f?(x)在?,???上单调递增，

a?2a?2??aa?a?f?(x)在x?处取得极小值，且极小值为f?????aln,f?(x)在(0,??)上没有极大22?2?值.

综上，当a?0时，f?(x)没有极值；当a?0时，f?(x)的极小值为?aln，无极大值.

(2)由题意知，存在t?[2,e]，使得f(t)?t2?atlnt?1?a?0，

即存在t?[2,e]，使得t?alnt?构造函数h(t)?t?alnt?则h?(t)?1??at1?a?0，

ta21?a，

t1?a(t?1)(t?a?1)，

?t2t2当a?1?2，即a?1时，h?(t)?0在[2,e]上恒成立，

h(t)单调递增，所以h(2)?0，得a?5，与a?1矛盾，不满足题意.

2ln2?1当2?a?1?e，即1?a?e?1时，若t?[2,a?1]，则h?(t)?0,h(t)单调递减，

若t?[a?1,e]，则h?(t)?0，h(t)单调递增，此时h(t)min

?h(a?1)，

由h(t)min

?h(a?1)?0，得(a?1)?aln(a?1)?1?0，

所以a?2?aln(a?1)，因为2?a?1?e，所以不等式a?2?aln(a?1)不成立.

当a?1?e，即a?e?1时，h?(t)?0在t?[2,e]上恒成立，h(t)单调递减，

e2?1所以h(e)?0，得a?，满足题意.

e?1?e2?1?,???. 综上，实数a的取值范围为??e?1?

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