2023年新高考1卷及参考答案

2023年12月27日发(作者：五菱即将上市新款suv车型)

绝密★启用前

试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1．已知集合M={?2,?1,0,1,2}，N={x|x2?x?6≥0}，则M A．{?2,?1,0,1}

2．已知z= B．{0,1,2} C．{?2}

D．{2}

1?i，则z?z=

2+2i B．i C．0 D．1 A．?i

3．已知向量a=(1,1)，b=(1,?1)．若(a+?b)⊥(a+?b)，则

A．?+?=1 B．?+?=?1 C．??=1 D．??=?1

4．设函数f(x)=2x(x?a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是

A．(??,?2] B．[?2,0) C．(0,2] D．[2,+?)

x2x225．设椭圆C1:2+y=1(a?1)，C2:+y2=1的离心率分别为e1，e2．若e2=3e1，则a=

4a A．23

3 B．2 C．3 D．6

6．过(0,?2)与圆x2+y2?4x?1=0相切的两条直线的夹角为?，则sin?=

A．1 B．15

4 C．10

4 D．6

4数学试题第 1 页（共 4 页）

7．记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{ A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

Sn}为等差数列，则

n118．已知sin(???)=，cos?sin?=，则cos(2?+2?)=63A．79B．19C．?19D．?79二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。

9．有一组样本数据x1,x2,,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 A．x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,B．x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,C．x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,D．x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,,x6的平均数

,x6的中位数

,x6的标准差

,x6的极差

p，p010．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级LP=20?lg其中常数p0(p0?0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源

燃油汽车

混合动力汽车

电动汽车

与声源的距离/m

声压级/dB

60 ~ 90

50 ~ 60

已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则

A．p1≥p2 B．p2?10p3 C．p3=100p0 D．p1≤100p211．已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则

A．f(0)=0

C．f(x)是偶函数

数学试题

B．f(1)=0

D．x=0为f(x)的极小值点

第 2 页（共 4 页）

12．下列物体中，能被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

A．直径为0.99 m的球体

B．所有棱长均为1.4 m的四面体

C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体

D．底面直径为1.2 m，高位0.01 m的圆柱体

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____________种（用数字作答）．

14．在正四棱台ABCD?A1B1C1D1中中，AB=2中，A1B1=1中，AA1=2，则棱棱台的体为为____________．

15．已知函数f(x)=cos?x?1(??0)在区间[0,2π]，有且仅有3个零点，则?的取值范围是____________．

x2y216．已知双曲线C :

2?2=1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点Bab2在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=?F2B，则C的离心率为____________．

3四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A?C)=sinB.

（1）求sinA；（2）设AB=5，求AB边上的高.

18．（12分）

如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.

点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，

BB2=DD2=2，CC2=3.

（1）证明：B2C2∥A2D2；

（2）点P在棱BB1上，当二面角P?A2C2?D2为150°时，求B2P.

数学试题第 3 页（共 4 页）

19．（12分）

已知函数f(x)=a(ex+a)?x.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）证明：当a?0时，求证：f(x)?2lna+

20．（12分）

n2+n设等差数列{an}的公差为d，且d?1. 令bn=，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的an3.

2前n项和.

（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；

（2）若{bn}为等差数列，且S99?T99=99，求d.

21．（12分）

甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量Xi中从从两点分，，且P(Xi=1)=1?P(Xi=0)=qi中，i=1,2,nn,n中，则E(?Xi)=?qi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．

i=1i=1

22．（12分）

1在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,)的距离，记动点P的轨迹2为W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33.

数学试题第 4 页（共 4 页）

2023 新高考 I 卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分第1题已知集合

M={?2,?1,0,1,2},

N={x∣x2?x?6?0}, 则

M∩N=A.

{?2,?1,0,1}B.

{0,1,2}C.

{?2}D.

{2}答案C第2题已知

z=1?i2+2i, 则

z??z=A.

?iB.

i答案A第3题已知向量

a=(1,1),b=(1,?1)A.

λ+μ=1B.

λ+μ=答案D第4题设函数

f(x)=2x(x?a) 在区间

(?∞,?2]B.

[?2,答案DC.

0. 若

(a+λb)⊥(a+μb), 则C.

λμ=11) 单调递减, 则

a 的取值范围是C.

(0,2]D.

1λμ=?1.

[2,+∞)?1D.

(0,0)D

2x2x第5题设椭圆

C1:2+y2=1(a>1),C2:+y2=1 的离心率分别为

e1?e2、若a4e2=√3e1, 则

a=2√3A.

3答案B.

√2C.

√3D.

√6A第6题过点

(0,?2) 与圆

x2+y2?4x?1=0 相切的两条直线的夹角为

α, 则

sinα=A.

1答案√15B.

4√10C.

4√6D.

4B第7题记

Sn 为数列

{an} 的前

n 项和, 设甲:

{an} 为等差数列: 乙:

{Sn} 为等差数列, 则nA. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 用是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C第8题已知

sin(α?β)=11,cosαsinβ=, 则

cos(2α+2β)=361B.

91C.

?9D.

?797A.

9答案B

二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分第9题有一组样本数据

x1,x2,?,x6, 其中

x1 是最小值,

x6 是最大值, 则A.

x2,x3,x4,x5 的平均数等于

x1,x2,?,x6 的平均数B.

x2,x3,x4,x5 的中位数等于

x1,x2,?,x6 的中位数C.

x2,x3,x4,x5 的标准差不小于

x1,x2,?,x6 的标准差D.

x2,x3,x4,x5 的极差不大于

x1,x2,?,x6 的极差答案BCD第10题噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级

, 其中常数

p0(p0>0) 是听觉下限阈值,

p 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离 /m 声压级/dB 燃油汽车1060?90 混合动力汽车1050?60 电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车

10 m 处测得实际声压分别为

p1,pA.

p1?p2B.

p2>10p3C.

p3=100p0D.

答案ACD第11题已知函数

f(x) 的定义域为

R ,

f(xy)=y2f(x)+x2f(y), 则A.

f(0)=0B.

f(1)=0C.

f(x) 是偶函数D.

x=0 为

f(x) 的极小值点答案×lgpp0, 则100p2Lp=202,p3p1?

ABC第12题下列物体中, 能够被整体放入棱长为 1 (单位:

m ) 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为 1.4m 的四面体C. 底面直径为 0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体答案ABD三、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分第13题某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或3 门课, 并且每类选修课至少选修1门, 则不同的选课方案共有

答案种 (用数字作答).64第14题在正四棱台

ABCD?A1B1C1D1 中,

AB=2,

A1B1=1,

AA1=√2, 则该棱台的体积为

答案 .7√66第15题已知函数

f(x)=cosωx?1(ω>0) 在区间

[0,2π] 有且仅有 3 个零点, 则

ω 的取值范围是

答案 .2?ω<3

x2y2第16题已知双曲线

C:2?2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为

F1,F2. 点

A 在

C 上,ab→→→2→点

B 在

y 轴上,

F1A⊥F1B ,

F2A=?F2B, 则

C 的离心率为 .3答案3√55四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分第17题已知在

△ABC(1). 求

sinA .(2). 设

AB=5, 求

AB答案(1).

3√1010(2). 6解析(1). 由题意得所以(2). 因为

sinB=sin(所以由面积法可知中,

A+B=3C,2sin(A?C)=sinB . 边上的高 .+B=3C?A+B+C=4C=π?sin(A?π4)=sin(34π?A)?sinAA+C)=2√5, 所以由正弦定理可知bsinB=csinC?b=2√10=12?b?c?sinA=12?c?h?h=bsin=π43√1010=6AC2=SA

第18题如图, 在正四棱柱

ABCD?A1B1C1D1 中,AB=2,

AA1=4. 点

A2,B2,C2,D2 分别在棱

AA1,BB1,

CC1,

DD1 上,

AA2=1,

BB2=DD2=2,CC2=3(1) 证明：

B2C2//A2D2 .(2) 点

P 在棱

BB1 上, 当二面角

P?A2C2?D2 为

150?时, 求

B2P .答案(1). 建系易证(2).

B2P=1解析以 C 为原点, CD 为

x 轴, CB 为

y 轴, CC1 为

z 轴建立空间直角坐标系, 所以B2:(0,2,2),

C2:(0,0,3),

A2:(2,2,1),

D2:(2,0,2)(1). 因为

B→→2C2=(0,?2,1),

A2D2所以

B→=A→=(0,?2,1)2C22D2, 所以

B2C2//A2D2.(2). 设

P:(0,2,t), 其中

2?t?4所以

PA→→→→2=(2,0,1?t),

PC2=(0,?2,3?t),

D2C2=(?2,0,1),

D2A2=所以面

PA2C2 法向量

→n1=(t?1,3?t,2), 面

D2A2C2 法向量

n→2=(1,1,2)因为二面角

P?A2C2?D2 为

150?, 所以√6?√2t2?8t+14=|cos150|=√32?t=1(舍)||t=3所以

B2P=1第19题已知函数

f(x)=a(ex+a)?x.(1). 讨论

f(x) 的单调性.(2). 证明: 当

a>0 时,

f(x)>2lna+32.答案见解析(0,2,?1) .

解析(1). 对

f(x) 求导得

f′(x)=a?ex?1, 故①

a?0 时,

f′(x)??1<0, 函数

f(x) 单调递减②

a>0 时, 令

f′(x)=0 得

x0=?lna, 故(?∞,?lna)?lna(?lna,∞)f′(x)?0+f(x)↘极小值↗(2).

fmin=f(?lna)=a2+1+lna令

g(a)=a2?lna?12, 求导得

g′(a)=2a?1a令导数为

0 解得

a=√22, 所以(0,√22)√222(√2,∞)g′(a)?0+g(a)↘极小值↗所以

g√min=g(2ln2)=22>0故

g(a)>0, 所以

f(x)>2lna+32第20题设等差数列

{an} 的公差为

d, 且

d>1, 令

bn=n2+nan, 记

Sbn} 的前

n 项和.3a2=3a1+a3,

S3+T3=21, 求

{an} 的通项公式.{bn} 为等差数列, 且

S99?T99=99, 求

d.答案(1).

an=3n(2).

d=5150解析(1). 由题意得

3a2=3a1+a3,

2a2=a1+a3, 解得a2=2a1,a3=3a1,n,Tn 分别为数列

{an}{(1). 若

(2). 若

n+1又因为

{an} 为等差数列, 所以

an=a1?n, 所以

bn=a1因为

S3+T3=21, 所以6a1+91=21?a1=3||a1=(舍)a12所以

an=3n(2). 设

an=da?n+pa ,

bn=db?n+pb , 其中

da>1记

cn=an?bn=(da?db)n+pa?pb , 故

{cn} 也为等差数列, 所以S99?T99=c1+c2+?+c99=所以

c50=1(c1+c99)?99=99?c50=992n2+n因为

bn=, 所以代入可得ann2+ndbn+pb=?n2+n=da?db?n2+(da?pb+db?pa)n+pa?pbdan+pa所以可得方程组da?db=1da?pb+db?pa=1?pa?pb=0?50(da?db)+pa?pb=1?解得

d=da=5150第21题甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6, 乙每次投篮的命中率均为 0.8, 由抽签确定第 1 次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲,乙的概率各为 0.5 .(1). 求第 2 次投篮的人是乙的概率.(2). 求第

i 次投篮的人是甲的概率.(3) 设随机事件

Y 为甲投球次数,

Y=0,1,?,n, 求

E(Y).答案35i?1112(2).

?()+563(1).

n?1(3).

E(Y)=n3+518?19?(25)解析(1).

P=1?2143a25+2?5=5(2). 记

i 为第

i 次投篮的人是甲的概率, 所以ai=35?ai?1+1215(1?ai?1)=5ai?1+5所以i?1ai?13=2115(ai?1?3)?ai=6?(25)+13(3).E(Y)=a1+a2+?+an01n=16[(25)+(25)+?+(2?1n5)]+31?(2n=1?5)61?2+n3=n5n?13+518?19?(25)第22题在直角坐标系

xOy 中, 点

P 到

x 轴的距离等于点

P 到点

(0,12) 的距离, 记动点

轨迹为

W .(1). 求

W 的方程.(2). 已知矩形 ABCD 有三个顶点在

W 上, 证明: 矩形 ABCD 的周长大于

3√3.答案(1).

W:x2=y?14解析P 的

1), 这是由标准抛物线方程211x2=2py 向上平移个单位得到的, 故可设为