新初中数学方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案(1)

2024年2月28日发(作者：广汽丰田sienna多少钱)

新初中数学方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案(1)

一、选择题

1．解方程组：??x?2y?3,

22?4x?4xy?y?1.1?x?,?x1?1,??25【答案】?

?7y?1;?1?y?.2?5?【解析】

分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.

x?2y?3①?

详解：?224x?4xy?y?1②?由②得：?2x?y??1

即：2x?y?1或2x?y??1

所以原方程组可化为两个二元一次方程组：

2?x?2y?3,?x?2y?3,

?

?2x?y?1;2x?y??1;??1?x?,2?x1?1,??5

?.

分别解这两个方程组，得原方程组的解是?7y?1;?1?y?.2?5?点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.

2．解方程组：??y?x?1．

22?x?xy?2y?01?x???x??2??2【答案】?，?．

1y??1??y??2?【解析】

【分析】

先将第二个方程分解因式可得：x﹣2y=0或x+y=0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．

【详解】

解：?y?x?1①

22x?x?2y?0②??由②得：（x﹣2y）（x+y）=0

x﹣2y=0或x+y=0

?y?x?1?y?x?1，原方程组可化为?

?x?2y?0x?y?0??1?x???x??2??2，解得原方程组的解为?

?y??11??y??2?1?x???x??2??2，∴原方程组的解是为?．

?y??11??y??2?【点睛】

本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．

?2x?2y?323．解方程组：?4x?4xy?y?1

?1?x??x1?1??25,?【答案】?

y?17?1?y?2?5?【解析】

分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．

?2x?2y?3①2详解：?4x?4xy?y?1②

?由②得(2x?y)?1，

所以2x?y?1③，2x?y??1④

由①③、①④联立，得方程组：

2?x?2y?3?x?2y?3?2x?y?1，?2x?y??1

??x?1?x?2y?3解方程组?2x?y?1得，y?1

??

1?x????x?2y?35解方程组?2x?y??1得，?．

7??y??5?1?x???25?x1?1

所以原方程组的解为：?y1?1，?7??y?2?5?点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．

4．解方程组??y?x?1

22?x?4xy?4y?4?x1??4?x2?0【答案】?，?

y??3y?1?1?2【解析】

【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.

①?y?x?1?【详解】解：?2

2x?4xy?4y?4②?由②得，?x?2y??4 ③，

把①代入③，得

2??x?2?x?1????4，

即：?x?2??4，

所以，x+2=2或x+2=-2

所以，x1=-4,x2=0,

把x1=-4,x2=0,分别代入①，得y1=-3,y2=1.

所以，方程组的解是

22?x1??4?x2?0

，??y??3y?1?1?2【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.

5．计算：

（1）3?27?16?2?3x?5y??31

（2）解方程组：?

4??4x?10y?6

?6x?2?3x?4?（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：?2x?11?x

??1?2?3?x?01211?【答案】（1）?；（2）?3

；（3）??x?.

y?372?5?【解析】

【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.

【详解】解：（1）原式=-3+4-31=?

22?3x?5y??3①

（2）?

?4x?10y?6②?①×2+②，得x=0

把x=0代入①式 y=3

5?x?0?所以，方程组的解是?3

y??5??6x?2?3x?4①?（3）?2x?11?x

??1②?32?由①式得，x≥-由②式得，x＜2

311

7211?x?，

37

所以，不等式组的解集是?把解集在数轴上表示：

【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.

6．解方程组：【答案】，

．

【解析】

【分析】

先由①得x=4+y，将x=4+y代入②，得到关于y的一元二次方程，解出y的值，再将y的值代入x=4+y求出x的值即可.

【详解】

解：由①得：x=4+y③，

把③代入②得：（4+y）2-2y2=（4+y）y，

解得：y1=4，y2=-2，

代入③得：当y1=4时，x1=8，

当y2=-2时，x2=2，

所以原方程组的解为：故答案为：【点睛】

本题考查了解高次方程.

，，.

．

?2x?y?1?07．解方程组?2

x?x?2y?6?0?【答案】?【解析】

【分析】

由（1）得y?2x?1，代入到（2）中整理为关于x的一元二次方程，求出x的值，并分别求出对应的y值即可.

【详解】

解：

??x1?1?x2?4.

，?y?3y?9?1?22x?y?1?0?1?，

2x?x?2y?6?02??????由（1），得y?2x?1（3），

把（3）代入（2），整理，得x2?5x?4?0，

解这个方程，得x1?1,x2?4，

把x1?1代入（3），得y1?3，

把x2?4代入（3），得y2?9，

?x1?1?x2?4..

所以原方程组的解是?，?y?3y?9?1?2【点睛】

本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.

8．解方程组：??x?2y?0.

22x?3y?3y?4?【答案】?【解析】

【分析】

?x?2?x??6或?

?y?1?y??3由①可知x=2y，代入②可得一个关于y的一元二次方程，进行解答，求出y值，再进一步求x即可．

【详解】

?x?2y?0......① ,

解：?22x?3y?3y?4......②?由①得：x?2y………… ③

将③代入②，化简整理，得：

y2?3y?4?0，

解得：y?1或y??3，

将y?1或y??3代入①，得：

?x?2?x??6.

或??y?1y??3??【点睛】

考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．

9．解方程组：??x?y?6

22x?3xy?10y?0??x1?12?x1?5【答案】?，?

y?6y??1?1?1【解析】

【分析】

先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．

【详解】

x?y?6?解：?2

2x?3xy?10y?0?由②得：?x?2y??x?5y??0

?x?y?6?x?y?6原方程组可化为?或?，

x?2y?0x?5y?0??解得：??x1?12?x1?5，?．

y?6y??1?1?1?x1?12?x1?5.

，?y?6y??1?1?1?原方程组的解为?【点睛】

本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．

?x2?y2??310．解方程:?

?x?y?1?0?x?1【答案】?

y??2?【解析】

【分析】

本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y，代入方程1，得到一个关于y的一元二次方程，求出y值，进而求x．

【详解】

22??x?y??3解：???x?y?1?0?1?

?2?由（2）得：x??1?y（3）

22把（3）代入（1）：(?1?y)?y??3

∴y??2

∴x?1

原方程组的解是?【点睛】

本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．

?x?1

y??2?

?x?y?1711．解方程组

?

xy??30?

【答案】?【解析】

【分析】

?x1?2?x2?15?

?y??15y??2??2?1根据第一个式子，得出x与y的关系，代入第二个式子求解．

【详解】

解：??x?y?17①，

xy??30②?由①，得x=17+y③，

把③代入②式，化简得y2+17y+30=0，

解之，得y1=-15，y2=-2．

把y1=-15代入x=17+y，得x1=2，

把y2=-2代入x=17+y，得x2=15．

故原方程组的解为?【点睛】

本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x、y的值．

??x2?15?x1?2.

?y??15y??2??2?1

?x2?y2?2(x?y)?012．解方程组?2

2x?y?8???x2??1?3?x3??2?x4?2?x1?3?1?

?

?【答案】?

?y?2y??2?4?3?y1?3?1??y2?1?3?【解析】

【分析】

首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.

【详解】

?x2?y2?2(x?y)?0①,

?22x?y?8②?（x?y?2）①式左边分解因式得，?x?y??0，

∴x-y+2=0或x+y=0，

原方程组转化为以下两个方程组：

?x+y?0?x?y?2?0（i）?2或（ii）?2

22x?y?8x?y?8??解方程组（i）得，

??x1?3?1??x2??1?3，

?

???y2?1?3?y1?3?1?解方程组（ii）得，

?x3??2?x4?2

?,

?y?2y??2?4?3所以，原方程组的解是:

??x2??1?3?x3??2?x4?2?x1?3?1?

?

???y?2y??2?4?3??y2?1?3?y1?3?1?【点睛】

本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.

?x2?y2?1613．k为何值时，方程组?只有唯一解？

?x?y?k【答案】k=?42.

【解析】

【分析】

将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.

【详解】

?x2?y2?16(1)

?x?y?k(2)?

由（2）得， y=x-k（3）

将（3）代入（1）得，2x2?2kx?k2?16?0，

要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即

(?2k)2?4?2?(k2?16)?0，

解得，k=?42.

?x2?y2?16所以当k=?42时，方程组?只有唯一解.

x?y?k?【点睛】

本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．

?2x2?y?314．解方程组：?2.

2?x?y?2(x?y)

3?1?x??x???x1?1,??2?32?2.

【答案】?；?；?35y??1?1?y??y??23??22??【解析】

分析：

把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.

详解：

22由方程x?y?2(x?y)可得，x?y?0，x?y?2；

?2x2?y?3,?2x2?y?3,

（Ⅱ），

则原方程组转化为?（Ⅰ）或

?x?y?0.x?y?2.??3?x??,?x1?1,??22解方程组（Ⅰ）得?，

?y??1;3?1?y?.2?2?1?x??,?x3?1,??42

，

解方程组（Ⅱ）得??y??1;5?3?y??.4?2?3?1?x??,x??,23??x1?1,??2?2

? .

∴原方程组的解是???y1??1;?y?3.?y??5.23?2?2??点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y，即可得到关于x的一元二次方程.

?2x?y?215．解方程组：?2

2x?2xy?y?1?【答案】?【解析】

【分析】

由方程②得出x+y=1，或x+y=﹣1，进而解答即可．

【详解】

?x1?1?x2?3，?．

y?0y??4?1?2?2x?y?2①?2x?y?2①，由②可得：x+y=1，或x+y=﹣1，所以可得方程组?或?22x?2xy?y?1②x?y?1③??

?2x?y?2①?x1?1?x2?3，解得：?，?；

?y?0y??4x?y??1④?1?2??x1?1?x2?3所以方程组的解为：?，?．

y?0y??4?1?2【点睛】

本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．

16．解方程组：

??x?2y?3．

22?4x?12xy?9y?16??x1??1?x2??17,?【答案】?

y??2y??10??2?1【解析】

【分析】

根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可

【详解】

?x?2y?3①

?224x?12xy?9y?16②?由②得：（2x﹣3y）2＝16，

2x﹣3y＝±4，

?x?2y?3?x?2y?3即原方程组化为?和?，

2x?3y?42x?3y??4??解得：

??x1??1?x2??17?,?，

y??2y??10??2?1??x1??1?x2??17,?即原方程组的解为：?．

y??2y??10?1?2?【点睛】

本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组

17．解下列方程组：

?x2?y2?20

（1）?22?x?5xy?6y?0

1?2??x?yx?y?7,?

（2）?11????1.?x?yx?y?1?x??x?4?x??4?x?32?x??32???1?2?3?412,?,?,?【答案】（1）?；（2）?

5y?2y??2?y4??2?y?????y3?2??2?1?12?【解析】

【分析】

?x2?y2?20?x2?y2?20（1）把原方程组化为：?或?再分别解这两个方程组可得答案．

?x?2y?0?x?3y?011（2）把两个方程相加得x?y?，再代入求得x?y??，联立求解并检验可得答案．

23【详解】

?x2?y2?20解：（1）因为?2

2x?5xy?6y?0?22把x?5xy?6y?0化为：(x-2y)(x-3y)=0，

即x?2y?0或x?3y?0

?x2?y2?20?x2?y2?20原方程组化为：?或?

x?2y?0x?3y?0???x2?y2?20因为?

x?2y?0?把x?2y?0化为x?2y，把x?2y代入x?y?20中，

得y?4，所以y??2

，

所以方程组的解是?222?x?4?x??4

或?

y??2y?2????x2?y2?20?x?32??x??32同理解?得方程组的解是?或?

x?3y?0????y?2?y??2?x?4?x??4?x?32?x??32?1???,?2,?3,?4所以原方程组的解是：?

y?2y??2?y4??2????y3?2??2?11?2??x?yx?y?7①,?（2）因为?

11????1②.?x?yx?y?

所以①＋②得：得：x?y??3?6，所以x?y?1，把x?y?1代入②

22x?y1，

311??x?y?x?????212

所以?，解得：?15?x?y???y???312??11??x?x?????1212经检验?是原方程组的解，所以原方程的解是?

55?y??y???1212??【点睛】

本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．

?x?2y?618．解方程组：?2．

2x?6xy?9y?1?16?x???25?x1?4【答案】?y1?1，?．

7??y?2?5?【解析】

【分析】

先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：??x?2y?6，x?3y?1??x?2y?6最后分别解这两个方程组即可．

?x?3y??1,?【详解】

x?2y?6①?

解：?22x?6xy?9y?1②,?由②得：(x-3y)2=1，

x-3y=1或x-3y=-1，

所以原方程组变为：??x?2y?6?x?2y?6，?

?x?3y?1?x?3y??1,

16?x??x?4??5解这两个方程组得：?，?

7?y?1?y??5?16?x???25?x1?4所以原方程组的解为?y1?1，?．

7??y?2?5?【点睛】

此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．

19．温州三垟湿地的瓯柑名气很大，但今年经济不景气，某经销商为了打开销路，对1220斤瓯柑进行包装优惠出售．包装方式及售价如下图．假设用这两种包装方式恰好装完全部瓯柑．

（1）若销售2箱纸盒装和3筐萝筐装瓯柑的收入共

元(请直接写出答案).

（2）假如预计这批瓯柑全部售完，总销售额为3210元时．请问纸盒装包装了多少箱，箩筐装包装了多少筐？

（3）但由于天气原因，瓯柑腐烂了a斤（不能出售），在售价不变的情况下，为了保证总．销售额为．．．．3210元，剩余瓯柑必须用以上两种方式重新包装，且恰好装完,那么纸盒装

箱,

箩筐装

箱.(请直接写出答案)

【答案】（1）495；（2）纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐；（3）41，6

【解析】

（1）根据题意可得出方程解出即可；

（2）设纸盒装包装了x箱，箩筐装包装了y筐，根据等量关系列出方程组，解出即可；

（3）根据（3）问的条件直接写出答案即可.

解：（1）495元

（2）设纸盒装包装了x箱，箩筐装包装了y筐，根据题意得：

?20x?50y?1220

?60x?125y?3210?

?x?16解得?

y?18?答：纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐.

（3）41箱，6箱.

“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是仔细审题，理解题目所给条件，转化为方程思想求解.

?x2?2xy?3y2?020．解方程组：?

x?y?2?【答案】?【解析】

【分析】

利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．

【详解】

?x1?3?x2?1

?

y?1y??1?1?2?x2?2xy?3y2?0①解：?，

x?y?2②?由①得：x?3y?0

或

x?y?0

原方程组化为：

??x?3y?0?x?y?0

或?

?x?y?2?x?y?2?x1?3?x2?1

或

?

解得：?y?1y??1?1?2?x1?3?x2?1

或

?∴

原方程组的解为?

y?1y??1?1?2【点睛】

本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．