高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析

2024年2月28日发(作者：铃木uy125)

高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析

1. 直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是( )

A．3x＋y－6＝0

B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0

D．x－3y＋8＝0

【答案】A

【解析】设y＝kx＋b，由题意得k＜0，b＞0，且解得

【考点】点斜式方程及三角形的面积.

2. 已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为 ．

【答案】y－1＝－(x－2)．

【解析】根据题意可知：直线l1的斜率为?1，所以l1的点斜式方程为

y－1＝－(x－2)．

【考点】两直线垂直的斜率关系.

3. 已知扇形半径为，弧长为，则扇形面积是__________．

【答案】

【解析】 扇形的半径 ,弧长 ， 扇形的面积是案为.

4. 在中，若点满足，则（ ）

A．B．C． .故答

D．

【答案】D

【解析】得,

化简可得,即故本题正确答案为

5. 的外接圆的圆心为O，若A．外心

B．内心

.,

，则是C．重心

的（ ）

D．垂心

【答案】D

【解析】因为，即，也即；同理可得，所以，，故是三角形的垂心，应选答案D。

点睛：解答本题的关键是如何借助三角形的外接圆的圆心这一有效信息，然后再运用向量的数量积公式进行合理地变形，最终逐一验证获证， ，，由此可推断是三角形的垂心，从而使得问题简捷、巧妙获解。

6. 已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为__________．

【答案】5

【解析】以D为原点建系，设

，最小为5

【考点】向量运算

7. 已知实数满足长为，则目标函数的最小值为 ．

【答案】

【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得距为的一组平行直线，平移直线，当直线经过点时，此时直线表示斜率为，纵截截距最大，最小，由，得，此时最小值.

【考点】简单的线性规划.

8. 已知平面向量【答案】

【解析】与垂直，则=____________。

,又与垂直，所以，即.

【考点】向量的坐标运算.

【名师】本题考查向量的坐标运算，容易题；平面向量坐标运算主要是利用向量加、减、数乘及数量积的运算法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，应先求向量的坐标。解题时，常利用向量相等则其坐标相同或数量积为一个常数，通过解方程或方程组进行求解.

9. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°角；

④DM与BN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是( )

A．①②③

B．②④

C．③④

D．②③④

【答案】C

【解析】画出正方体，如图所示，易知，①②错误，③④正确．故选C.

10. 等差数列中，已知，则数列等于 （ ）

A．

B．

C．前项和

D．

【答案】B

【解析】由已知得,,所以，，,故选B.

【考点】等差数列的性质与求和公式.

11. 某食品厂定期收购面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.

（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.

【答案】（1）该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少；

（2）该厂应接受此优惠条件，理由详见试题解析.

【解析】（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．

由题意表示出面粉的保管等其他费用为3[6x＋6（x－1）＋…＋6×2＋6×1]＝9x（x＋1）．

由基本不等式求出总费用最少时x的值即可．

（2）若厂家利用此优惠条件后,则至少每隔35天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2＝[9x（x＋1）＋900]＋6×1 800×0.9＝＋9x＋9 729（x≥35）；由函数单调性知：当x≥35时为增函数．

∴该厂应接受此优惠条件．

试题解析：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．

由题意知，面粉的保管等其他费用为

3[6x＋6（x－1）＋…＋6×2＋6×1]＝9x（x＋1）．

设平均每天所支付的总费用为y1元，则

y1＝[9x（x＋1）＋900]＋6×1 800＝当且仅当9x＝，x＝10时取等号，

＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989，

即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

（2）若厂家利用此优惠条件后,则至少每隔35天购买一次面粉．

设该厂利用此优惠条件，每隔x（x≥35）天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2＝[9x（x＋1）＋900]＋6×1 800×0.9＝令f（x）＝x＋（x≥35），x2＞x1≥35，

）－（x2＋）＝.

＋9x＋9 729（x≥35）．

则f（x1）－f（x2）＝（x1＋∵x2＞x1≥35，

∴x2－x1＞0，x1x2＞0,100－x1x2＜0.

∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．

即f（x）＝x＋，当x≥35时为增函数．

∴当x＝35时，f（x）有最小值，此时y2＜10 989，

∴该厂应接受此优惠条件．

【考点】1、基本不等式；2、函数的单调性；3、最值问题．

【易错点晴】本题考查的是基本不等式的应用及成立的条件、函数的单调性的定义等，属于中档题，也是易错题；很多同学看到应用题就感觉无从下手，有的干脆直接放弃，导致应用题得分利率不高；碰到应用题时，一定要耐心读完题目，根据题意列出方程或者不等式，利用基本不等式成立的条件即可求出何时取到最值；第二问中函数单调性的证明是关键，通过单调性即可说明应该接受优惠条件．

12. 点在直线上，在平面外，用符号表示正确的是

A．B．C．

D．

【答案】B

【解析】因为点动成线，线动成面，所以直线和平面可以看做是点构成的集合，则点看做元素。因为元素与集合之间用和，集合与集合之间用和，所以答案选B。

13. 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝，则等于（）

A. 2－ B. －＋＋2＝ C. － D. － ＋

【答案】A

【解析】由题意2得点A是BC的中点，

，故选A． 则【考点】向量的运算．

14. 在中，为 ．

【答案】【解析】因为

，是边上的一点，，的面积为，则的长，，在中，由余弦定理可得，

，在中，，由正弦定理可得【考点】正余弦定理

15. 已知关于的一次函数（1）设集合和是增函数的概率；

（2）实数满足条件

。

.

，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数，求函数的图象经过第一、二、三象限的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）全部结果的基本事件有共事件，所以个基本事件，设使函数为增函数的事件为有个基本，故使函数图；（2）要使函数的图象过第一、二、三象限，则象过第一、二、三象限的．

的区域为第一象限的阴影部分，利用图形面积比即可求概率为试题解析：解：（1）抽取的全部结果的基本事件有：，共

个基本事件，设使函数为增函数的事件为，则包含的基本事件有：共个基本事件，所以.

（2）满足条件的区域如图所示，

要使函数的图象过第一、二、三象限，则，故使函数图象过第一、二、三象限的. 的区域为第一象限的阴影部分，所以所求事件的概率为【考点】1、古典概型；2、几何概型．

16. 过点的直线将圆截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线的方程为 。

【答案】

【解析】易求圆的圆心为,当劣弧最短时，直线与垂直，而,所以直线的斜率为1，由直线方程的点斜式可得直线的方程为.

【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系和两直线垂直的斜率之间的关系以及直线方程的求解，考查学生数形结合的能力和运算求解能力.

点评：解决此小题的关键在于看出直线与垂直.

17. 已知A，B，C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R=∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，

∴得球的表面积，得

．

，

【考点】球的体积和表面积

18. 以下列函数中，最小值为的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由不等式性质时等号成立，取得最小值2

【考点】不等式性质

19. 已知各项均为正数的数列（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

可知，当且仅当即的前 项和为，且满足，

（3）证明：对一切的正整数都有【答案】（1）【解析】（1）将列得到；（2）代入方程；（3）详见解析.

得到的情况下，由求出数列

，结合题中条件（数的表达式，并验证的各项均为正数，得到的表达式，然后在）求出的值，从而得到的值；（2）由十字相乘法结合的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到是否满足该表达式，从而得到数列

，于是得到，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持不放缩，在

的条件下放缩为，最后在和时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.

（1）令得：，即，，，即；

（2）由，所以当又，从而时，，时，；

，，，得，

，

，，

（3）解法一：当

.

证法二：当当则

.

时，时，成立，

，

【考点】本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题.

20. 将函数能取值为（ ）

A．

B．

C．

D．的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可

【答案】B

【解析】由题意得关于轴对称，所以 的一个可能取值为，选B.

【考点】三角函数图像变换

【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数?φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数?φ＝kπ(k∈Z)；

21. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）

A．7

B．15

C．25

D．35

【答案】B

【解析】抽样比是，所以样本容量是．

【考点】分层抽样

22. A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（ ）

A、0个 B、1个 C、无数个 D、以上都有可能

【答案】D

【解析】若直线与直线相交，此时符合条件的平面个数为0，若直线，此时符合条件的平面个数有无数个。若直线与直线异面，此时符合条件的平面只有1个，为过点或点且与直线平行的直线与直线所构成的平面，由公理可知该平面唯一。故选D

23. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为

A．9

B．18

C．27

D．36

【答案】B

【解析】根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．

设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是

用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．

【考点】分层抽样

点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过

24. “珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节储三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（【注】三升九：3.9升，次第盛；盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ）

A．升

B．升

C．升

D．升

【答案】B

【解析】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为升，下端第一节盛米升，由题意得，解得，所以中间两节盛米的容积为：（升），故选B.

【考点】等差数列的实际应用.

25. 已知的顶点边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线的方程为.

（1）求的顶点的坐标；

（2）若圆经过不同三点，且斜率为的直线与圆相切与点，求圆的方程.

【答案】解：（1）边上的高所在直线的方程为，所以，，

又设解得（2）由注意到设圆心，则，所以，也是圆坐标为，所以，的中点.

可得，圆的弦的中垂线方程为上，

，

的弦，所以，圆心在直线，

上，所以相切于点，所以…………②，

，

，

…………①，

，

，

，代入方程，

因为圆心在直线又因为斜率为的直线与圆即由①②解得所以，，整理得，，半径所以所求圆方程为

【解析】（1）依题意知，点C是直线x=0和的交点，从而得出点C的坐标；设出点B的坐标由AB的中点在直线CD上求出点B的坐标．（2）线段AB和线段BP是圆的两条弦，所以两条弦的中垂线交点为圆心M坐标，即用m表示圆心M坐标，然后利用点P处的切线的斜率为1，可知，从而求出m的值，进而求出圆的方程．

试题解析：（1）边上的高所在直线的方程为，所以，，

又设解得（2）由注意到设圆心，则，所以，也是圆坐标为，所以，的中点．

可得，圆，

，代入方程，

的弦的中垂线方程为上，

，

的弦，所以，圆心在直线，

上，所以相切于点，所以②，

，

，

因为圆心在直线又因为斜率为的直线与圆即由①②解得所以，，整理得，，半径①，

，

所以所求圆方程为．

【考点】?三角形的中线及高线的应用；?求圆的方程．

【思路点睛】（1）此题求三角形的顶点B、C的坐标，充分利用三角形的高线及中线知识求解．由边上的高所在直线的方程为，知AC所在的直线方程为x=0，从而求出点C的坐标，然后利用三角形的中线求出点B的坐标．（2）主要利用圆的性质求圆的方程，即圆的两条弦的中垂线交点为圆心以及圆心与切点连线与切线互相垂直得解．

26. 如图，三棱柱中，，，．

（1）证明：；

（2）若，，求三棱柱的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）取的中点O连接、、，由得，由是等边三角形得，故平面，于是；（2）根据等边三角形性质求出，，由勾股定理逆定理得出，求出，于是三棱柱的体积，故可求得三棱锥的体积.

试题解析：(1)取的中点O,连接、、,因为，所以,由于,,故为等边三角形,所以.

因为,所以平面.又平面,

故.

(2)由题设知 ：与都是边长为2的等边三角形，

∵是边长为2的等边三角形，所以，

又 ，则，故

又∵且，所以平面，为棱柱的高，

又的面积，故三棱柱的体积，

所以三棱锥的体积为1.

27. 甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得

分分别为

A.

B.

、,则下列判断正确的是（）

，甲比乙成绩稳定

，乙比甲成绩稳定

C. ，甲比乙成绩稳定D，乙比甲成绩稳定

【答案】B

【解析】根据茎叶图的数据，利用平均值和数值分布情况进行判断即可．由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34；乙的得分情况为15，28，26，28，33，因此,

同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在86左右，甲的数据比较分散，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定,选B

【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．

28. 已知四棱锥的顶点在底面的射影恰好是底面菱形的两对角线的交点，若，，则长度的取值范围为_____.

【答案】(，5)

【解析】由题意知PO⊥平面ABCD，AB＝3，PB＝4，设PO＝h，OB＝x，则PA2＝h2＋9－x2＝16－x2－x2＋9＝25－2x2，因为0

29. 若点在第三象限，则角是（）

A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角

【答案】D

【解析】因为点在第三象限，所以是第四象限角.

【考点】象限角.

30. 在中，分别为三个内角所对的边，设向量，则角的大小为( )

A．

B．

C．

D．

，若，

【答案】B

【解析】略

31. 如图是同一平面内的三条平行线，ABC的三顶点分别在间的距离为1，间的距离为2，正三角形上，则△ABC的边长是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】略

32. 若A,B是锐角三角形的两个内角，则点PA．第一象限

B．第二象限

在（）

C．第三象限

D．第四象限

【答案】B

【解析】因为是锐角三角形的两个内角，所以,故选B.

【考点】三角函数的单调性

33. 的内角的对边分别为A．,或,则,,所以是第二象限，，若

B．

C．

，则边等于（）

D．2

【答案】C

【解析】根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知

故答案为C.

【考点】解三角形

点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。

34. 直线x＋y＋1＝0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是_________.

【答案】x－y－7＝0

【解析】P(3，－4)，l的倾斜角为135°－90°＝45°，k＝tan45°＝1，则其方程为y＋4＝x－3，即x－y－7＝0.

【考点】直线的倾斜角.

35. 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总过第一象限；

(2)为了使直线l不过第二象限，求a得取值范围．

【答案】(1)见解析 (2) a≥3

【解析】(1)证明：l的方程可化为y－＝a(x－)，由点斜式方程可知直线l斜

率为a，且过定点A(，)，由于点A在第一象限，所以直线一定过第一象限．

(2)如图，直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间，kAO＝＝3，直线AP的斜率不存

在，故a≥3.

【考点】直线的特征.

36. 用数学归纳法证明“2n＞n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）

A．2

B．3

C．5

D．6

【答案】C

【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1，2，3，4，5时，命题是否成立；可得答案．

解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；

结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12+1=2，2n＞n2+1不成立，

n=2时，左=22=4，右=22+1=5，2n＞n2+1不成立，

n=3时，左=23=8，右=32+1=10，2n＞n2+1不成立，

n=4时，左=24=16，右=42+1=17，2n＞n2+1不成立，

n=5时，左=25=32，右=52+1=26，2n＞n2+1成立，

因为n＞5成立，所以2n＞n2+1恒成立．

故选C．

点评：本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意n的取值范围．

37. 用数学归纳法证明等式

式左边（ ）

A．增加了项

C．增加了项

B．增加了项

D．以上均不对

的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等

【答案】C

【解析】依题意，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边为，与n=k时不等式的左边比较即可得到答案．

解：用数学归纳法证明等式++…++++＞1（n≥2）的过程中，

+…+++++（k≥2），

（k≥2），

﹣

++…++++假设n=k时不等式成立，左边=则当n=k+1时，左边=++…+∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：==++﹣﹣．

故选：C．

点评：本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．

38. 已知【答案】6

，则xy的最小值是 ．

【解析】由题意知可有基本不等式

解：∵∴，

，

，由此可知答案．

∴xy≥6．

答案：6．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

39. 已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c+1的值域是[1，+∞），则+的最小值是 ．

【答案】3

【解析】由已知可得a＞0且∴a＞0且∴c＞0

∴当且仅当∴=3

且ac=4，则a=时取等号

即ac=4

，然后利用基本不等式即可求解最值

解：∵f（x）=ax2﹣4x+c+1的值域是[1，+∞），

的最小值为3

故答案为：3

点评：本题主要考查了二次函数的性质的应用，基本不等式求解函数的最值等知识的综合应用．

40. 已知矩阵M=[]的一个特征值是3，求直线x﹣2y﹣3=0在M作用下的直线方程．

]的一个特征值是3可求出a的值，然后设直线x﹣2y﹣3=0上任意一【答案】4x﹣5y﹣9=0

【解析】根据矩阵M=[点（x，y）在M作用下对应的点为（x′，y′），根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标用未知的坐标表示，代入已知直线的方程，得到结果．

解：因为矩阵M=[设f（λ）=∴M=[则有[即]]

=，整理得

]的一个特征值是3

=（λ﹣2）（λ﹣a）﹣1=0

则（3﹣2）（λ﹣a）﹣1=0，解得a=2

设直线x﹣2y﹣3=0上任意一点（x，y）在M作用下对应的点为（x′，y′），

代入x﹣2y﹣3=0，整理得4x′﹣5y′﹣9=0

故所求直线方程为4x﹣5y﹣9=0

点评：本题主要考查了特征值、特征向量的应用以及矩阵的变换，是一个基础题，本题解题的关键是得到两个点的坐标之间的关系，注意数字的运算．

41. （2012?闵行区一模）已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为记是（ ）

，，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件

A．C．

B．D．两两平行

方向都相同

【答案】B

【解析】二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．

解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例

∵，

∴两两平行

故选B．

点评：本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．

42. （2014?杨浦区三模）已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是x+y= ．

【答案】6

【解析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组程求解xy，最后求x+y．

解由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式解得，

，

，

，再根据方，则所以x+y=6

故答案为6．

点评：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．

43. （2013?杨浦区一模）若线性方程组的增广矩阵为【答案】

，则该线性方程组的解是 ．

【解析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可

解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式解得：故答案为：

．

点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．

44. （2005?朝阳区一模）定义运算A．3﹣i

B．1+3i

，则符合条件C．3+i

的复数z为（ ）

D．1﹣3i

【答案】A

【解析】根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．

解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z==3﹣i．

=故选A．

点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．

45. 若，都是非零向量，且与垂直，则下列行列式的值为零的是（ ）

A．C．

B．D．

【答案】D

【解析】利用向量数量积的运算，可得x1x2+y1y2=0．根据二阶行列式的定义可知行列式的值为零的行列式．

解：∵，都是非零向量，且与垂直

∴x1x2+y1y2=0

根据二阶行列式的定义可知，∴

故选D．

点评：本题的考点是二阶行列式的定义，考查向量垂直的充要条件，考查行列式的定义，属于基础题．

46. 下列四个算式：

①②；

；

③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；

④

其中运算结果与行列式A．1个

的运算结果相同的算式有（ ）

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】C

【解析】根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．

解：根据余子式的定义可知，在行列式的和，

即为中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式．故①正确；

同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，

即为．故②正确；

对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；故正确；

对于④

故选C．

点评：本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．

47. （2013?上海）若=，x+y= ．

【解析】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．

解：∵=，

∴x2+y2=﹣2xy

∴（x+y）2=0

∴x+y=0

故答案为0

点评：本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．

48. 矩阵A．的逆矩阵是（ ）

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】本题可以直接根据逆矩阵的定义求出逆矩阵．

解：设矩阵则∴，

的逆矩阵为，

，

∴∴矩阵，

的逆矩阵为．

故选A．

点评：本题考查的是逆矩阵的定义，还可用逆矩阵的公式求解，本题属于基础题．

49. 已知矩阵A=【答案】

，B=，则AB的逆矩阵（AB）1= ．

﹣【解析】首先根据矩阵的乘法法则求出AB，然后根据逆矩阵的求法解答即可．

解：∵A=∴AB=

，B=，

∵|AB|=ad﹣bc=2﹣0=2

∴（AB）1=﹣=．

故答案为：点评：本题主要考查了矩阵的乘法法则的运用，考查了逆矩阵的求法，属于基础题．

50. 若A为m×n阶矩阵，AB=C，则B的阶数可以是下列中的 ．

①m×m，②m×n，③n×m，④n×n．

【答案】③④

【解析】根据两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时，才能作乘法，从而可得结论．

解：两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时，才能作乘法．

矩阵A是n列矩阵，故矩阵B是n行的矩阵

则B的阶数可以是③n×m，④n×n

故答案为：③④

点评：本题主要考查了矩阵乘法的性质，解题关键是弄清两矩阵相乘的条件，属于基础题．

51. 已知M=[【答案】]，α=[

]，试计算M20α．

【解析】欲求M20α，先利用矩阵M的特征多次式求得其对应的特征向量，由特征向量的性质求得M20α，最后即可求得结果．

解：矩阵M的特征多次式为f（λ）=（λ﹣1）2﹣4=0，λ1=3，λ2=﹣1，

对应的特征向量分别为而α=﹣∴M20α=﹣320+2，

+2（﹣1）20=．

和

点评：本题主要考查矩阵变换的性质，考查由已知变换的点求未知的变换矩阵，属于基础题．

52. （2014?镇江二模）已知点M（3，﹣1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在矩阵A=的变换作用下，得到点N（3，5），求a，b的值．

【答案】a=3，b=1．

【解析】求出绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵，再利用矩阵的乘法，即可得出结论．

解：绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为所以由==，

，

，

对应

所以，

所以a=3，b=1．

点评：本题考查几种特殊的矩阵变换，考查矩阵的乘法，比较基础．

53. （2013?闵行区二模）方程组【答案】

的增广矩阵为 ．

【解析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．

解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵

故方程组故答案为：的增广矩阵是．

．

点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．

54. （2014?上海三模）若增广矩阵为的二元线性方程组的解为，则mn= ．

【答案】﹣4

【解析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组即可．

解：∵增广矩阵为∴的二元线性方程组的解为，

，解得m=2，n=﹣2，

∴mn=2×（﹣2）=﹣4．

故答案为：﹣4．

点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．

55. （2011?宁德模拟）将双曲线x2﹣y2=2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=．据此类推可求得双曲线A．2的焦距为（ ）

B．2

C．4

D．4

【答案】D

【解析】由于=，双曲线的图象可由进行变换而得，从而得到双曲线的图象与双曲线的图象全等，它们的焦距相同，又根据题意得：将双曲线x2﹣y2=6绕．

的图象可由进行形状不变的变换而得，

原点逆时针旋转45°后可得到双曲线解：由于∴双曲线=，双曲线故只须求出双曲线x2﹣y2=6的焦距即可．

的图象与双曲线的图象全等，它们的焦距相同，

根据题意：“将双曲线x2﹣y2=2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=．“

类比可得：将双曲线x2﹣y2=6绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线．

而双曲线x2﹣y2=6的a=b=，c=2，

∴焦距为2c=4，

故选D．

点评：本小题主要考查旋转变换、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于基础题．

56. 直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为 ．

【答案】

即为，直线y=3x绕原点逆时针旋转90°变为

【解析】根据旋转矩阵为，在根据左加右减的法则，向右平移1个单位，即得y=﹣解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°

∴直线斜率互为负倒数

∴直线y=3x变为∵向右平移1个单位

∴y=﹣故答案为：

，

点评：本题考查了直线的旋转，平移的相关知识，属于基础题．

57. 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（0°＜θ＜90°）的平面所截，截面是一个椭圆，

当θ为30°时，这个椭圆的离心率为 ．

【答案】

【解析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率．

解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，

则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：∵a2=b2+c2，∴c=，

，

∴椭圆的离心率为：e==．

故答案为：．

点评：本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量与双曲线的几何量（a，b，c）关系的正确应用，考查计算能力．

58. （5分）（2014?甘肃二模）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（ ）

A．6

B．8

C．9

D．10

【答案】B

【解析】抛物线y2=\"4x\" 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．

解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，

∵抛物线y2=\"4x\" 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点

∴|AB|=x1+x2+2，

又x1+x2=6

∴∴|AB|=x1+x2+2=8

故选B．

点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此

关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．

59. （5分）若方程﹣=1表示双曲线，则k的取值范围是 ．

【答案】﹣2＜k＜5．

【解析】由双曲线方程的特点可得（5﹣k）（k+2）＞0，解之可得．

解：若方程﹣=1表示的曲线为双曲线，

则（5﹣k）（k+2）＞0，解得﹣2＜k＜5．

故答案为：﹣2＜k＜5．

点评：本题考查双曲线的标准方程，得出（5﹣k）（k+2）＞0是解决问题的关键，属基础题．

60. 横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是 ．

【答案】d．

【解析】据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值．

解：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y．由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大．

∵y2=d2﹣x2，

∴xy2=x（d2﹣x2）（0＜x＜d）．

令f（x）=x（d2﹣x2）（0＜x＜d），

得f′（x）=d2﹣3x2，令f′（x）=0，

解得x=当0＜x＜因此，当x=故答案为：或x=﹣（舍去）．

＜x＜d时，f′（x）＜0，

时，f′（x）＞0；当时，f（x）取得极大值，也是最大值．

d．

点评：考查据实际意义建立相关的函数，再根据函数的特征选择求导的方法来求最值．

61. 抛物线【答案】（0，）．

【解析】将抛物线即可得到其焦点坐标．

解：抛物线x2=my（m＜0）

其焦点坐标为：（0，）

故答案为：（0，）．

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中将抛物线方程化为标准方程是解答本题关键．

62. 写出终边落在如图所示直线上的角的集合．

【答案】（1）S={α|α=90°+k?180°，k∈Z}；

（2）S={α|α=45°+k?180°，k∈Z}；

的方程可化为：

的方程化为标准方程，x2=my（m＜0）后，根据抛物线的性质，的焦点坐标是 ．

（3）S={α|α=135°+k?180°，k∈Z}；

（4）S={α|α=45°+k?180°，k∈Z}∪{α|α=135°+k?180°，k∈Z}，

即S={α|α=45°+2k?90°，k∈Z}∪{α|α=45°+（2k+1）?90°，k∈Z}={α|α=45°+k?90°，k∈Z}．

【解析】根据终边相同的角的定义得出答案即可．

解：（1）S={α|α=90°+k?180°，k∈Z}；

（2）S={α|α=45°+k?180°，k∈Z}；

（3）S={α|α=135°+k?180°，k∈Z}；

（4）S={α|α=45°+k?180°，k∈Z}∪{α|α=135°+k?180°，k∈Z}，

即S={α|α=45°+2k?90°，k∈Z}∪{α|α=45°+（2k+1）?90°，k∈Z}={α|α=45°+k?90°，k∈Z}．

点评：本题考察了终边相同的角的定义和表示方法，求并集时要注意变形．

63. 能较好地反映一组数据的离散程度的是（ ）

A．众数

B．平均数

C．标准差

D．极差

【答案】C

【解析】根据标准差的意义可得答案．标准差反映数据的波动大小，即数据离散程度．

解：由于标准差反映数据的波动情况，所以能够刻画一组数据离散程度的统计量是标准差．

故选C．

点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

64. 甲．乙两名射手在相同条件下射击10次，环数如下：

甲：7 8 8 9 9 9 9 10 10 10

乙：7 7 8 9 9 9 10 10 10 10

问哪一名选手的成绩稳定？ ．

【答案】甲

【解析】根据平均数、方差的计算公式计算，根据方差的判断．方差越小数据越稳定．

解：=（7+8+8+9+9+9+9+10+10+10）÷10=89÷10=8.9

=（7+7+8+9+9+9+10+10+10+10）=89÷10=8.9==

[（7﹣8.9）2+2×（8﹣8.9）2+4×（9﹣8.9）2+3×（10﹣8.9）2]=0.89[2×（7﹣8.9）2+（8﹣8.9）2+3×（9﹣8.9）2+4×（10﹣8.9）2]=1.29＜．所以甲稳定

故答案为：甲

点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

65. 样本101，98，102，100，99的标准差为 ．

【答案】

【解析】先求样本的平均数，再根据方差公式求出样本的方差，最后再根据公式求标准差．

解：=（101+98+102+100+99）=100

方差S2=[（101﹣100）2+（98﹣100）2+（102﹣100）2+（100﹣100）2+（99﹣100）2]=2；

∴标准差=．

故答案为：

点评：本题主要考查平均数、方差、标准差的计算方法．属于基础题．

66. 集合A={x|x=a2﹣4a+5，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+3，b∈R} 则集合A与集合B的关系是 ．

【答案】B?A．

【解析】先对两个二次函数进行配方，求出函数的值域，即得集合A和B，再由子集的定义进行判断．

解：由题意得，a∈R和b∈R，

对于A：x=a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1≥1，则A=[1，+∞），

对于B：y=4b2+4b+3=4（b2+b）+3=4（b+）2+2≥2，则B=[2，+∞），

∴B?A，

故答案为：B?A．

点评：本题考查了集合的包含关系判断，解答此题的关键是利用配方法求集合，属于基础题．

67. 如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD，，AD=1，则BE=（ ）

A．1

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据直角三角形的射影定理，即可求解BE．

解：矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形

在直角△ABD中，，AD=1，

则BD==，

再由射影定理，得AB2=BE×BD

∴

故选B．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形的射影定理，本题中根据勾股定理求BD的值是解题的关键．

68. 如图所示，已知AA′∥BB′∥CC′，AB：BC=1：3，那么下列等式成立的是（ ）

A．AB=2A′B′

B．3A′B′=B′C′

C．BC=B′C′

D．AB=A′B′

【答案】B

【解析】利用平行线分线段成比例定理，即可得出结论．

解：∵AA′∥BB′∥CC′，AB：BC=1：3，

∴A′B′：B′C′=1：3，

∴3A′B′=B′C′．

故选：B．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找出对应线段．

69. 如图是选修1-2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么

应该放在图中( )

A．“①”处

B．“②”处

C．“③”处

D．“④”处

【答案】B

【解析】设计的这个结构图从整体上要反映数的结构，从左向右要反映的是要素之间的从属关系．在画结构图时，应根据具体需要确定复杂程度．简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．同时，要注意结构图，通常按照从上到下、从左到右的方向顺序表示，各要素间的从属关系较多时，常用方向箭头示意．

解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，

演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，

故知识点“三段论”，应放在演绎推理后．（B）正确，

故选B．

点评：绘制结构图时，首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连．

70. 某自动化仪表公司组织结构如图所示，其中采购部的直接领导是（ ）

A．副总经理（甲）

B．副总经理（乙）

C．总经理

D．董事会

【答案】B

【解析】根据已知中某自动化仪表公司组织结构图，可分析出副总经理（乙）直接领导：生产部，品管部和采购部三个部门，进而得到答案．

解：有已知中的公司结构组织图可得

副总经理（乙）直接领导：生产部，品管部和采购部三个部门

故采购部的直接领导是副总经理（乙）

故选B

点评：本题考查的知识点是结构图，其中根据已知中的结构图，分析出父子节点之间的从属关系是解答的关键．

71. （2014?黄山二模）某部门为了了解青年人喜欢户外运动是否与性别有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则所得到的统计学结论为：有（ ）把握认为“喜欢户外运动与性别有关”．

附：（独立性检验临界值表）

P（K2≥k0）

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

3.841

5.024

6.636

7.879

10.828

A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%

【答案】C

【解析】把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．

解：∵K2=7.069＞6.635，对照表格：

P（k2≥k0）

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．

故选：C．

点评：本题考查独立性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题．

72. （2013?河南模拟）某中学采取分层抽样的方法从高二学生中按照性别抽出20名学生，其选报文科、理科的情况如下表所示，

男 女

文科 2 5

理科 10 3

则以下判断正确的是（ ）

参考公式和数据：k2=

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

p（k2≥k0）

0.15

2.07

2.71

3.84

5.02

6.64

7.88

10.83

k0

A.至少有97.5%的把握认为学生选报文理科与性别有关

B.至多有97.5%的把握认为学生选报文理科与性别有关

C.至少有95%的把握认为学生选报文理科号性别有关

D.至多有95%的把握认为学生选报文理科与性别有关

【答案】C

【解析】根据所给的数据，代入求观测值的公式，得到观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．

解：根据所给的数据代入求观测值的公式，得到

k2=≈4.432＞3.844，

∴至少有95%的把握认为学生选报文理科号性别有关，

故选：C．

点评：本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是理解临界值对应的概率的意义，能够看出两个变量之间的关系，属于基础题．

73. （2014?上饶二模）某学生在高三学年最近九次考试中的数学成绩加下表：

第x考试

1

2

3

4

5

6

7

8

9

数学成121

绩y（分）

119

130

106

131

123

110

124

116

设回归直线方程y=bx+a，则点（a，b）在直线x+5y﹣10=0的（ ）

A.左上方 B.左下方 C.右上方 D.右下方

【答案】C

【解析】根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，即可得出结论．

解：由题意，=45，=120，∴b=≈﹣2.4，

=286，=5372，

∴a=120﹣（﹣2.4）×45≈229

点（229，﹣2.4）代入直线x+5y﹣10=0，可得229﹣14﹣10＞0，

∴点（229，﹣2.4）在直线x+5y﹣10=0的右上方．

故选：C．

点评：本题主要考查了线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．

74. 某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下：

月人均收入x（元）

300

390

420

504

570

700

746

800

850

1080

月人均生活费y（元）

255

324

330

345

450

520

580

650

700

750

利用上述资料：

（1）画出散点图；

（2）如果变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；

（3）测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为多少元？

【答案】（1）见解析；（2）=0.70761x﹣39.36939；（3）237.5元

【解析】（1）根据已知中表中家庭人均生活费支出和月人均收入的数据，描点后可得散点图；

（2）根据（1）中散点图中的点大致分布在一个条形区域内（一条直线附近）可得两个变量具有相关关系，根据表中数据代入=，=﹣，分别求出回归系数，可得回归直线方程；

（3）将x=280代入（2）中所得回归直线方程，可测算出人均收入为280元时，人均生活费支出．

解：（1）根据已知表格中的数据可得家庭人均生活费支出和月人均收入的散点图如下所示：

（2）根据（1）中散点图可知，各组数据对应点大致分布在一个条形区域内（一条直线附近），

故家庭人均生活费支出和月人均收入具有线性相关关系．

∵=637.4，=490.4

=≈0.70761

=﹣=490.4﹣0.70761×637.4≈39.36939

∴=0.70761x﹣39.36939

（3）当x=280时，=0.70761×280﹣39.36939≈237.5

故当人均收入为280元时，人均生活费支出应约为237.5元

点评：本题考查的知识点是散点图，线性回归方程，熟练掌握最小二乘法，求回归直线方程的方法和步骤是解答的关键．

75. 与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（ ）

A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个

【答案】D

【解析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．

解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，

并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，

因为=（1，1，1），

所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．

作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，

则PF是点P到直线A1D1的距离．

所以PF=；

同理点P到直线AB、CC1的距离也是．

所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，

所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．

故选D．

点评：本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．

76. 在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M；使M到点N（6，5，1）的距离最小．

【答案】点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．

【解析】先设点M（x，1﹣x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．

解：设点M（x，1﹣x，0）

则=

∴当x=1时，．

∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．

点评：本题主要考查了空间两点的距离公式，以及二次函数研究最值问题，同时考查了计算能力，属于基础题．

77. 关于的方程的两个实根分别在区间和上，则的取值范围为（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】令f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得f（0）＝3a+b+1＜0…①，f（1）＝4a+3b+2＞0…②，f（?1）＝2a?b+2＞0…③．

画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，如图所示：

由由求得点A，求得点C，

．

， 当直线z=a+b经过点A时，z=a+b=；当直线z=a+b经过点C时，z=a+b=故z=a+b的范围为

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系

78. 设A．

，函数B．

的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）

C．

D．3

【答案】C

【解析】函数的图像向右平移个单位后所得函数为，由【考点】三角函数的图象变换.

79. 函数的部分图像如图所示，则得，因为，所以的最小值为.

的单调递减区间为（ ）

A．C．

B．D．

【答案】D

【解析】由五点作图知

，解得，故单调递减区间为

，解得：，所以，令，故选D．

【考点】三角函数图象及性质．

80. 已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．

(1)求A∩B；

(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

【答案】（1）{x|2≤x<3} （2）a>－4

【解析】首先解不等式得到集合B,C中自变量x的取值范围，进而可求解A∩B，由B∪C＝C确定，从而得到边界值大小得到实数a的取值范围

试题解析：（1）∵B＝{x|x≥2}，

∴A∩B＝{x|2≤x<3}．

（2）∵C＝{x|x>－}，B∪C＝C?B?C，

∴－<2，∴a>－4．

【考点】1．集合的子集关系；2．集合的交集运算

81. 若，则

A．C．

B．D．

【答案】C

【解析】由题意可知

【考点】交集运算

82. 已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},A．{1，3}

B．{3，7，9}

C．{3，5，9}

∩A={9},则A=（）

D．{3，9}

【答案】D

【解析】因为A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},9A，故选D。

【考点】本题主要考查集合的运算。

点评：易错题，应用交集、补集的定义即得。也可借助于韦恩图分析。

∩A={9},所以，3A，83. 如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0）两点，直线y=－x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE =5EF,求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直

接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）；（2）2或；（3）、、．

，的条件，【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含的代数式分别表示出分当点在点上方和下方，列方程求解即可；（3）当四边形是菱形时，根据列出方程求解；当四边形不是菱形时，在轴上，即可得到点的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线与轴交于两点，

∴，∴

．

，，点应在轴右侧，∴

分两种情况讨论：

①当点在点上方时，∵即，∴，解得，．

，

，解得

，,.

，（舍去），

．

，

（舍去）

，，，

∴抛物线的解析式为（2）点横坐标为，则∵点在轴上方，要使②当点在点下方时，∵即，∴∴的值为2或（3）点的坐标为【考点】1、二次函数的图象与性质；2、菱形的性质；3、方程的解法．

84. 若函数A．5

，则B．－1

的值为（）

C．－7

D．2

【答案】D

【解析】【考点】分段函数求值

85. 在△ABC中，A、B、C为三个内角，f（B）＝4cos B·sin2（1）若f（B）＝2，求角B；

（2）若f（B）－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．

＋cos 2B－2cos B.

【答案】（1）【解析】(1)从而（2）转化成由试题解析：(1)=∵∴（2）∵，∴；（2）

化简整理可得

根据，即可得到恒成立．

.

，得到.

3分

∵. 6分

恒成立，即，∴，

恒成立． 8分

，∴. 12分

【考点】1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.转化与化归思想.

86. 在数列中，=1，，则的值为__.

【答案】397

87. 若幂函数的图象不过原点，则是_________．

【答案】1

【解析】幂函数的图象不过原点，所以，解得，符合题意，故答案为.

88. 下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）

A．y=|x|

B．y=3﹣x

C．y=

D．y=﹣x+4

2

【答案】A

【解析】因为，显然在上是增函数，故选A.

89. 李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．

方案二：不收管理费，每度0.58元．

(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系；

(2)李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？

(3)李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

【答案】（1）（2）月用电60度（3）选择方案一比方案二更好．

【解析】（1）分0≤x≤30、x＞30两种情况讨论即可；

（2）通过分别令0≤x≤30、x＞30时L（x）=35计算即得结论；

（3）通过分别令0≤x≤30、x＞30时L（x）＜0.58x计算即得结论．

解：（1）当0≤x≤30时，L（x）=2+0.5x；

当x＞30时，L（x）=2+30×0.5+（x﹣30）×0.6=0.6x﹣1，

∴（注：x 也可不取0）；

（2）当0≤x≤30时，由L（x）=2+0.5x=35得x=66，舍去；

当x＞30时，由L（x）=0.6x﹣1=35得x=60，

∴李刚家该月用电60度；

（3）设按第二方案收费为F（x）元，则F（x）=0.58x，

当0≤x≤30时，由L（x）＜F（x），

得：2+0.5x＜0.58x，解得：x＞25，

∴25＜x≤30；

当x＞30时，由L（x）＜F（x），

得：0.6x﹣1＜0.58x，解得：x＜50，

∴30＜x＜50；

综上，25＜x＜50．

故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．

【考点】函数模型的选择与应用．

90. 如果，那么正确的结论是．( )

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为，所以应选C．

【考点】元素与集合、集合与集合间的基本关系．

91. 已知【答案】1

【解析】由得，，，同理可得，从而得

，则_________________.

【考点】指对式的互化，对数的运算法则．

92. 若函数A．C．的定义域为，值域为B．D．，则的取值范围是（）

【答案】C

【解析】因为对称轴为得的取值范围是

93. 已知函数__________.

【答案】

满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围是,对应函数值为，选C.

；所以;当时,因此,综合可

【解析】已知函数也就是函数满足对任意，都有且成立，所以当，即时都有.

，是递减函数，所以【考点】函数的单调性.

94. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

有时可用函数

描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.

（1）证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；

（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.

【答案】⑴证明：当函数所以当⑵解：由题意知所以【解析】⑴中，要证明掌握程度的增加量时，，单调递减，

总是下降.

整理可得

由此可知，该学科为乙科.

,），表示对该,，

单调递增，故时，掌握程度的增加量总是下降，只需利用函数的单调性证明单调递减即可；⑵中，根据题意，建立方程求的估计值，结合给出的范围，进行判断.

95. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）

① ②A．1个

③ ④B．2个

C．3个

D．4个

【答案】C

【解析】因为故选C.

96. 设偶函数系是（ ）

A．＞C． ＜，所以正确，正确，正确，

的定义域为R，当＞＜时，是增函数，则B．

D．

＞＜＞＜的大小关

【答案】A

【解析】因为函数为偶函数，所以数，所以．因此＞＞【考点】利用函数的奇偶性及单调性比大小。

97. 如果，那么 （ ）

A．。又因，故选A

且函数在为增函

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据集合中的不等式可知是集合的元素即，则，故选D．

【考点】元素与集合的关系.

98. 若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )

A．必是增函数

B．必是减函数

C．是增函数或减函数

D．无法确定单调性

【答案】D

【解析】函数在内递增，在递增，在上递增，函数在递增，在上递增，在【考点】函数单调性

99. 已知函数A．-1

上不是递增函数

.若B．0

有最小值-2，则C．1

的最大值为（）

D．2

【答案】C

【解析】由题可知，f (x)＝－x2＋4x＋a，对称轴为x=2，故x∈[0,1]时，函数始终是增函数，在x=0处取得最小值-2，即有a=-2，此时f (x)＝－x2＋4x—2，故最大值在对称轴处取得，最大值为1.

【考点】?函数的单调性