2024年4月1日发(作者：宝马x4报价2022款价格及图片)
2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学
期期末数学试题
一、单选题
1
．设
P
1
、P
2
、P
3
、P
4
为空间中的四个不同点，则
“
P
1
、P
2
、P
3
、P
4
中有三点在同一条直线上
”
是
“
P
1
、P
2
、P
3
、P
4
在同一个平面上
”
的（
）
A
．充分非必要条件
C
．充要条件
【答案】
A
【分析】由公理
2
的推论
?
1
??
2
?
即可得到答案
.
【详解】由公理
2
的推论
:
过一条直线和直线外一点
,
有且只有一个平面
,
可得
P
1
、P
2
、P
3
、P
4
在同一平面
,
故充分条件成立
;
由公理
2
的推论：
过两条平行直线
,
有且只有一个平面
,
可得
,
当
P
1
?l
1
、P
2
?l
1
、P
3
?l
2
、P
4
?l
2,
l
1
P
1
、P
2
、P
3
、P
4
在同一个平面上
,
B
．必要非充分条件
D
．既非充分又非必要条件
l
2
时
,
但
P
1
、P
2
、P
3
、P
4
中无三点共线
,
故必要条件不成立
;
故选
:A
【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断
,
重点考查公理
2
及其推论
;
属于中档题
;
公理
2
的三个推论：
?
1
?
经过一条直线和直线外一点
,
有且只有一个平面
;
?
2
?
经过两条平行直线
,
有且只有一个平面
;
?
3
?
经过两条相交直线
,
有且只有一个平面
;
2
．在正四面体
A?BCD
中，点
P
为
?BCD
所在平面上的动点，若
AP
与
AB
所成角为定
?
?
?
值
?
,
?
?
?
0,
?
，
则动点
P
的轨迹是（
）
?
4
?
A
．圆
B
．椭圆
C
．双曲线
第 1 页 共 17 页
D
．抛物线
【答案】
B
【解析】把条件转化为
AB
与圆锥的轴重合，面
BCD
与圆锥的相交轨迹即为点
P
的轨迹
后即可求解
.
【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭
圆、圆
.
令
AB
与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与
AB
所成角为定值，所以面
BCD
与圆锥的相交轨迹即为点
P
的轨迹
.
根据题意，
AB
不可能垂直于平面
BCD，
即轨迹
不可能为圆
.
面
BCD
不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线
.
可进一步计算
AB
与平面
BCD
所成角为
arctan2
，即
?
?arctan2
时，轨迹为抛物线，
?
?arctan2
时，
轨迹为椭圆，
故选：
B.
?
?
?
?
?
?
0,
?
，所以轨迹为椭圆
.
4
??
【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题
.
3
．在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
P
，
Q
两点分别从点
B
和点
A
1
出发，以相同的速度在
棱
BA
和
A
1
D
1
上运动至点
A
和点
D
1
，在运动过程中，直线
PQ
与平面
ABCD
所成角
?
的
变化范围为
A
．
[,]
43
C
．
[,arctan2]
4
【答案】
C
??
??
2
arctan,arctan2
B
．
??
2
??
D
．
[arctan
2π
,]
22
?
【分析】先过点
Q
作
QO?AD
于点
O
，连接
OP
，根据题意，得到
?QPO
即为直线
PQ
与平面
ABCD
所成的角
?
，设正方体棱长为
2
，设
BP?x
?
0?x?2
?
，推出
第 2 页 共 17 页
tan
?
?
2
2(x?1)
2
?2
，进而可求出结果
.
【详解】过点
Q
作
QO?AD
于点
O
，连接
OP
，
因为四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体，所以易得
QO?
平面
ABCD
，
因此
?QPO
即为直线
PQ
与平面
ABCD
所成的角
?
，
设正方体棱长为
2
，设
BP?x
?
0?x?2
?
，则
QO?2
，
AP?2?x
，
因为
P,Q
两点分别从点
B
和点
A
1
出发，以相同的速度在棱
BA
和
A
1
D
1
上运动至点
A
和点
D
1
，所以
AO?AQ?BP?x
，
1
因此
OP?AO
2
?AP
2
?x
2
?(2?x)
2
?2x
2
?4x?4
，
所以
tan
?
?
QO22
??
，
OP
2x
2
?4x?42(x?1)
2
?2
?
?
1,2
?
??
，
2(x?1)?2
2
2
因为
0?x?2
，所以
2(x?1)?2?
?
2,4
?
，则
tan
?
?
2
因此
?
4
?
?
?arctan2
.
故选：
C.
【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型
.
4
．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，
-
些优美的曲线是数学形象美、
对称美、和谐美的产物
.
曲线
C
：
(x
2
?y
2
)
3
?16x
2
y
2
为四叶玫瑰线
.
①
方程
(x
2
?y
2
)
3
?16x
2
y
2
(xy<0)
表示的曲线在第二和第四象限；
②
曲线
C
上任一点到坐标原点
0
的距离都不超过
2
；
③
曲线
C
构成的四叶玫瑰线面积大于
4π
；
④
曲线
C
上有
5
个整点
(
横、纵坐标均为整数的点
).
则上述结论中正确的个数是（
）
第 3 页 共 17 页
A
．
1
【答案】
B
B
．
2 C
．
3 D
．
4
【分析】对于
①
，由
xy?0
判断，对于
②
，利用基本不等式可判断，对于
③
，以
O
为圆
心，
2
为半径的圆的面积与曲线
C
围成的面积进行比较即可，对于
④
，将
x
2
?y
2
?4
和
(x
2
?y
2
)
3
?16x
2
y
2
联立，求解出两曲线的切点，从而可判断
【详解】对于
①
，由
xy?0
，得
x,y
异号，方程
(x
2
?y
2
)
3
?16x
2
y
2
(xy<0)
关于原点及
y=x
对称，
所以方程
(x
2
?y
2
)
3
?16x
2
y
2
(xy<0)
表示的曲线在第二和第四象限，所以
①
正确，
x
2
?y
2
对于
②
，因为
x?y?2xy(x?0,y?0)
，所以
xy
?
，所以
2
22
(x
2
?y
2
)
2
22
(x?y)?16xy?16??4(x
2
?y
2
)
2
，所以
x?y?4
，所以由曲线的对称性可
4
22322
知曲线
C
上任一点到坐标原点
0
的距离都不超过
2
，所以
②
正确，
对于
③
，由
②
可知曲线
C
上到原点的距离不超过
2
，而以
O
为圆心，
2
为半径的圆的面
积为
4
?
，所以曲线
C
构成的四叶玫瑰线面积小于
4π
，所以
③
错误，
对于
④
，将
x
2
?y
2
?4
和
(x
2
?y
2
)
3
?16x
2
y
2
联立，解得
x
2
?y
2
?2
，所以可得圆
x
2
?y
2
?4
与曲线
C
相切于点
(2,2)
，
(?2,2)
，
(?2,?2)
，
(2,?2)
，而点（
1
，
1
）不满
足曲线方程，所以曲线在第一象限不经过任何整数点，由曲线的对称性可知曲线在其它
象限也不经过任何整数点，所以曲线
C
上只有
1
个整点（
0
，
0
），所以
④
错误，
故选：
B
二、填空题
5
．若直线
l
1
:x?y?1?0
与
l
2
:x?ay?1?0
平行，则实数
a?
________.
【答案】
?1
【分析】根据两直线平行可得出关于实数
a
的等式与不等式，即可解得实数
a
的值
.
1a?1
?
【详解】因为
l
1
//l
2
，则
?
，解得
a??1
.
1?11
故答案为：
?1
.
第 4 页 共 17 页
6
．若圆
x
2
?y
2
?2x?4y?0
被直线
3x?y?a?0
平分，则
a
的值为
__________
．
【答案】
a?1
；
【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可．
【详解】解：
x
2
?y
2
?2x?4y?0
?
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?5
22
?x
2
?y
2
?2x?4y?0
的圆心
(?1,2)
．
圆
x
2
?y
2
?2x?4y?0
被直线
3x?y?a?0
平分，可知直线经过圆的圆心，
可得
?3?2?a?0
解得
a?1
；
故答案为：
1
．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．
?1)
为圆心，且与直线
x?y?7
相切的圆的方程是
__________
．
7
．以点
(2，
【答案】
(x?2)
2
?(y?1)
2
?18
；
【分析】根据相切可得圆心到直线距离即为圆的半径
,
利用点到直线距离公式解出半径
,
即可得到圆的方程
【详解】由题
,
设圆心
?
2,?1
?
到直线
x?y?7?0
的距离为
d
,
所以
d?
2?1?7
1?1
22
?32
,
因为圆与直线相切
,
则
r?32
,
所以圆的方程为
(x?2)
2
?(y?1)
2
?18
,
故答案为：
(x?2)
2
?(y?1)
2
?18
【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程
,
考查点到直线距离公式的应用
8
．已知球的表面积为
36
?
,
则该球的体积为
______.
【答案】
36
?
【分析】设球半径为
R
，由球的表面积求出
R?3
，然后可得球的体积．
【详解】设球半径为
R
，
∵
球的表面积为
36
?
，
∴
4πR
2
?36
?
，
∴
R?3
，
∴
该球的体积为
V?
4
3
4
πR??π?3
3
?36
?
．
33
第 5 页 共 17 页
故答案为
36
?
．
【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后
可得所求结果．
9
．已知长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱
AB?BC?3,CC
1
?4
，则异面直线
AB
1
与
CD
1
所成
角的大小是
________________.
（结果用反三角函数值表示）
【答案】
arccos
7
25
【分析】建立空间直角坐标系，求出异面直线
AB
1
与
CD
1
的方向向量，再求出两向量的
夹角，进而可得异面直线
AB
1
与
CD
1
所成角的大小．
【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系：
在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB?BC?3
，
CC
1
?4
，
?A
?
3,0,0
?
，
B
1
?
3,3,4
?
，
C
?
0,3,0
?
，
D
1
?
0,0,4
?
，
?AB
1
?
?
0,3,4
?
，
CD
1
?
?
0,?3,4
?
，
AB
1
?CD
1
|AB
1
|?|CD
1
|
0?9?16
0?9?16?0?9?16
7
，
25
?cos?AB
1
,CD
1
?
???
第 6 页 共 17 页
?
异面直线
AB
1
与
CD
1
所成角的大小是
arccos
故答案为：
arccos
7
．
25
7
．
25
B
1
D
1
?F
，若
10
．如图所示，在平行六面体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AC
11
AF?xAB?yAD?zAA
1
，则
x?y?z?
___________.
【答案】
2
【分析】题中
几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，
AF?AB?BB
1
?B
1
F?AB?BB
1
?
1
B
1
D
1
,
再将
A
1
D
1
转化为
AD
，以及将
A
1
B
1
转化为
2
AB
,
BB
1
?AA
1
,
总之等式右边为
AB
，
AD
，
AA
1
,
从而得出
x?y?
1
【详解】解：因为
AF?AB?BB
1
?B
1
F?AB?BB
1
?B
1
D
1
2
?AB?BB
1
?
?AB?BB
1
?
?
1
A
1
D
1
?A
1
B
1
2
1
，
z?1
.
2
??
11
AD?AB
22
11
AB?AD?AA
1
，
22
又
AF?xAB?AD?zAA
1
，
所以
x?y?
1
，
z?1
，
2
则
x?y?z?2
.
故答案为：
2.
【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将
AF?xAB?AD?zAA
1
作为转化的目标，
从而得解
.
11
．给出下列命题：
①
若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
②
若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；
③
若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；
第 7 页 共 17 页
④
若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直
.
其中所有正确命题的序号为
________.
【答案】
②③
【分析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断
①
；由直线与平面垂直的性质判断
②③
；由空间中平面与平面的位置关系判断
④
．
①
若两条不同的直线垂直于第三条直线，【详解】则这两条直线有三种位置关系：平行、
相交或异面，故错误；
②
根据线面垂直的性质知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，
故正确；
③
由线面垂直的性质知：若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相
平行，故正确．
④
若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，这两个平面相交或平行，故错误
.
?
其中所有正确命题的序号为
②③
．
故答案为：
②③
．
12
．如图，已知椭圆
C
1
和双曲线
C
2
交于
P
1
、
P
2
、
P
3
、
P
4
四个点，
F
1
和
F
2
分别是
C
1
的
左右焦点，也是
C
2
的左右焦点，并且六边形
PP
12
F
1
P
3
P
4
F
2
是正六边形
.
若椭圆
C
1
的方程为
x
2
y
2
??1
，则双曲线方程为
______.
4?2323
x
2
y
2
??1
【答案】
4?2323
【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，然后根据
PP
12
F
1
P
3
P
4
F
2
为正六边形求得点
P
1
的
坐标，即点
P
1
在双曲线上，然后解出方程即可
x
2
y
2
【详解】设双曲线的方程为：
2
?
2
?1
ab
x
2
y
2
??1
可得：
F
1
?
?2,0
?
,F
2
?
2,0
?
根据椭圆的方程
4?2323
又
PP
12
F
1
P
3
P
4
F
2
为正六边形，则点
P
1
的坐标为：
1,3
??
第 8 页 共 17 页
则点
P
1
在双曲线上，可得：
又
a
2
?b
2
?4
解得：
13
??1
a
2
b
2
x
2
y
2
??1
故答案为：
4?2323
x
2
y
2
13
．类比教材中推导球的体积公式的方法，试计算椭圆
T
：
??1
绕
y
轴旋转一周
425
后所形成的旋转体
(
我们称为橄榄球
)
的体积为
________.
【答案】
80
?
3
【分析】类比球的体积公式的方法，将橄榄球细分为无数个小圆柱体叠加起来
x
2
y
2
a
2
y
2
2
【详解】设椭圆的方程为：
2
?
2
?1
，则令
x?a?
2
（根据对称性，我们只需
ab
b
算出
x
轴上半部分的体积）
不妨设
y?0
，按照
y?[0,b]
平均分为
n
等份，则每一等份都是相同高度的圆柱体，
第
1
个圆柱体的体积的半径为：
r
1
?a
?
b
?
a
??
第
2
个圆柱体的体积的半径为：
n
2
r
2
?a?
?
2
?
b
2
2
?
?
i?1
?
b
?
a
2
??
第
i
个圆柱体的体积的半径为：
n
?
?
2
r
2
?a?
b
2
2
??
i?1b
??
??
?
a
2
??
?
?
2
?
n
?
?
?
b
则第
i
个圆柱体的体积为：
V
i
?
?
?
a?
?
n
b
2
??
??
??
2
2
??
b
ai?1b
??
??
2
??
?
化简可得：
V
i
?
?
a?
22
??
nbn
??
2
?
?
?
i?1
?
b
?
2
?
b
?
??
?
a
2
?
1?
22
??
nbn
??
?
n
2
?
?
i?1
?
2
?
?
?
ab
??
3
??
n
??
2
n
?
n
3
?
?
0?1
2
?2
2
?????
?
n?1
?
2
?
?
??
?
2
则有：
?
V
i
?
?
ab
?
3
??
n
i?1
??
??
第 9 页 共 17 页
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直线,平面,曲线,考查,方程
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