2021年上海市高考数学和答案

2024年3月4日发(作者：众泰大迈x5多少钱一辆)

2021年上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）

1．（4分）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝．

2．（4分）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝．

3．（4分）若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为．

4．（4分）如图正方形ABCD的边长为3，求?＝．

5．（4分）已知f（x）＝+2，则f﹣1（1）＝．

56．（4分）已知二项式（x+a）展开式中，x2的系数为80，则a＝．

7．（5分）已知，z＝x﹣y，则z的最大值为．

8．（5分）已知{an}为无穷等比数列，a1＝3，an的各项和为9，bn＝a2n，则数列{bn}的各项和为．

9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为．

10．（5分）已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为．

第1页（共20页）

11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为．

12．（5分）已知ai∈N*（i＝1，2，…，9）对任意的k∈N*（2≤k≤8），ak＝ak﹣1+1或ak＝ak+1﹣1中有且仅有一个成立，a1＝6，a9＝9，则a1+…+a9的最小值为．

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

13．（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）

A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x

14．（5分）已知参数方程该方程（）

，t∈[﹣1，1]，以下哪个图符合A． B．

C． D．

15．（5分）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的第2页（共20页）

值是（）

A． B． C． D．

16．（5分）已知x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（）

A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3

三、解答题

17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3．

（1）若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥C﹣PAD的体积；

（2）求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小．

C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3

18．（14分）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．

（1）若A＝，求S△ABC．

（2）若2sinB﹣sinC＝1，求C△ABC．

19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．

（1）求今年起的前20个季度的总营业额；

第3页（共20页）

（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？

20．（16分）已知Γ：+y2＝1，F1，F2是其左、右交焦点，直线l），交椭圆于A，B两点，且A，B在x过点P（m，0）（m≤﹣轴上方，点A在线段BP上．

（1）若B是上顶点，|（2）若的方程；

（3）证明：对于任意m＜﹣条．

21．（16分）已知x1，x2∈R，若对任意的x2﹣x1∈S，f（x2）﹣f（x1）∈S，则有定义：f（x）是在S关联的．

（1）判断和证明f（x）＝2x﹣1是否在[0，+∞）关联？是否有[0，1]关联？

（2）若f（x）是在{3}关联的，f（x）在x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，求解不等式：2≤f（x）≤3．

（3）证明：f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”．

，使得∥的直线有且仅有一?|＝||，求m的值；

，求直线l＝，且原点O到直线l的距离为第4页（共20页）

答案

一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）

1．解析：直接根据复数的运算性质，求出z1+z2即可．

答案：因为z1＝1+i，z2＝2+3i，

所以z1+z2＝3+4i．

故答案为：3+4i．

2．解析：直接根据交集的运算性质，求出A∩B即可．

答案：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x所以A∩B＝{﹣1，0}．

故答案为：{﹣1，0}．

3．解析：将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可．

答案：由x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可得圆的标准方程为（x?1）2+（y?2）2}，B＝{﹣1，0，1}，

＝5，

所以圆心坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

4．解析：根据答案：由数量积的定义，可得因为故答案为：9．

5．解析：利用反函数的定义，得到f（x）＝1，求解x的值即可．

第5页（共20页）

，直接求解即可．

，

＝9．，所以

答案：因为f（x）＝+2，

令f（x）＝1，即+2＝1，解得x＝﹣3，

故f﹣1（1）＝﹣3．

故答案为：﹣3．

6．解析：由二项展开式的通项公式可得x2的系数，再根据x2的系数为80，求出a的值．

答案：（x+a）5的展开式的通项公式为Tr+1＝所以x2的系数为故答案为：2．

7．解析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得目标函数的最大值．

答案：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

a3＝80，解得a＝2．

x5﹣rar，

目标函数即：y＝x﹣z，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距的相反数，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，

第6页（共20页）

联立直线方程：，可得点的坐标为：B（3，?1），

据此可知目标函数的最大值为：zmax＝3?（?1）＝4．

故答案为：4．

8．解析：设{an}的公比为q，由无穷递缩等比数列的求和公式，解方程可得q，进而得到an，bn，求得数列{bn}的首项和公比，再由无穷递缩等比数列的求和公式，可得所求和．

答案：设{an}的公比为q，

由a1＝3，an的各项和为9，可得解得q＝，

所以an＝3×（）n﹣1，

bn＝a2n＝3×（）2n﹣1，

可得数列{bn}是首项为2，公比为的等比数列，

则数列{bn}的各项和为故答案为：．

＝．

＝9，

9．解析：上顶面圆心记为O，下底面圆心记为O\'，连结OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，由于AB为定值，则S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，

分别求解CM的最大值和最小值，即可得到答案．

答案：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O\'，

第7页（共20页）

连结OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，

则，

根据题意，AB为定值2，所以S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，

如图2所示，当点M与点O重合时，CM＝OC＝此时S△ABC取得最大值为；

，

如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2，

此时S△ABC取得最小值为综上所述，S△ABC的取值范围为故答案为：．

．

10．解析：根据古典概型的概率公式进行计算即可．

答案：甲选2个去参观，有种，共有6×6＝36种，

若甲乙恰有应该馆相同，则选确定相同的馆有余3个馆种选2个进行排列，有则对应概率P＝故答案为：．

11．解析：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据第8页（共20页）

＝6种，乙选2个去参观，有＝6＝4种，然后从剩＝6种，共有4×6＝24种，

＝，

已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可．

答案：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E，

由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，

∴∴直线AB的斜率故答案为：．

，

．

12．解析：设bk＝ak+1﹣ak，由题意可得，bk，bk﹣1恰有一个为1，然后分两种情况分别求解a1+…+a9的值，即可得到答案．

答案：设bk＝ak+1﹣ak，由题意可得，bk，bk﹣1恰有一个为1，

如果b1＝b3＝b5＝b7＝b9＝1，那么a1＝6，a2＝7，a3≥1，a4＝a3+1≥2，

同样也有，a5≥1，a6＝a5+1≥2，a7≥1，a8＝a7+1≥2，

全部加起来至少是6+7+1+2+1+2+1+2+9＝31；

第9页（共20页）

如果b2＝b4＝b6＝b8＝1，那么a8＝8，a2≥1，a3＝a2+1≥2，

同样也有，a4≥1，a5≥2，a6≥1，a7≥2，

全部加起来至少是6+1+2+1+2+1+2+8+9＝32．

综上所述，最小应该是31．

故答案为：31．

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

13．解析：结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．

答案：y＝﹣3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意；

因为y＝x3在R上是增函数，B不符合题意；

y＝log3x，y＝3x为非奇非偶函数，C不符合题意；

故选：A．

14．解析：利用特殊值y＝0时，x的取值情况，即图象与x轴的交点情况进行判断，即可得到答案．

答案：利用特殊值法进行排除，

当y＝0时，t＝0，1，﹣1，

当t＝0时，x＝0，

当t＝1时，x＝﹣1，

当t＝﹣1时，x＝1，

故当y＝0时，x＝0或1或﹣1，即图象经过（﹣1，0），（0，0），（1，0）三个点，

对照四个选项中的图象，只有选项B符合要求．

第10页（共20页）

故选：B．

15．解析：由题意可知，x1∈[0，∈[2，5]，将存在任意的x1∈[0，]，即sinx1∈[0，1]，可得f（x1）]，都存在x2∈[0，]，使得f，，（x）＝2f（x+θ）+2成立，转化为f（x2+θ）min≤0，又由（fx）＝3sinx+2，可得，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．

答案：∵x1∈[0，∴sinx1∈[0，1]，

∴f（x1）∈[2，5]，

∵都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，

，

]，

∴f（x2+θ）min≤0，∵f（x）＝3sinx+2，

∴y＝sinx在x∈当∴当∴时，时，，，

上单调递减，

，

，故A选项错误，

，

，故B选项正确，

当时，x2+θ，

，故C选项错误，

，

第11页（共20页）

sin（x2+θ）max＝当

时，

sin（x2+θ）max＝故选：B．

16．解析：设，，，故D选项错误．

，根据题意，则有，可得x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c），通过求解（2b）2﹣（a+c）2＞0，可得x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，可得A正确，B错误；利用作差法可得x1x3﹣x22＝（2b﹣a﹣c）m﹣，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，因无法知道m的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断CD，即可得解．

答案：设x1+y1＝x2+y2＝x3+y3＝2m，

，，，

，根据题意，应该有且m2﹣a2+m2﹣c2＝2（m2﹣b2）＞0，

则有，

则x1+x3﹣2x2＝（m﹣a）+（m﹣c）﹣2（m﹣b）＝2b﹣（a+c），

因为（2b）2﹣（a+c）2＝2（a2+c2）﹣（a+c）2＞0，

所以x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，

所以A项正确，B错误．

x1x3﹣x22＝（m﹣a）（m﹣c）﹣（m﹣b）2＝（2b﹣a﹣c）m+ac﹣b2＝（2b﹣a﹣c）m﹣因为不知道m的正负，

第12页（共20页）

，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，

所以该式子的正负无法恒定．

故选：A．

三、解答题

17．解析：（1）直接由三棱锥的体积公式求解即可；

（2）易知直线AB1与平面ACC1A1所成的角为∠OAB1，求出其正弦值，再由反三角表示即可．

答案：（1）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（2）连接A1C1∩B1D1＝O，

∵AB＝BC，

∴四边形A1B1C1D1为正方形，则OB1⊥OA1，

又AA1⊥OB1，OA1∩AA1＝A1，

∴OB1⊥平面ACC1A1，

∴直线AB1与平面ACC1A1所成的角为∠OAB1，

；

∴．

． ∴直线AB1与平面ACC1A1所成的角为

18．解析：（1）由余弦定理求得c2，从而求得△ABC面积；

第13页（共20页）

（2）由正、余弦定理求得b、c值，从而求得△ABC周长．

答案：（1）由余弦定理得cosA＝﹣＝解得c2＝，

∴S△ABC＝＝＝；

＝，

（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sinB＝2sinC，又∵2sinB﹣sinC＝1，

∴sinC＝，sinB＝，∴sinC＜sinB，∴C＜B，∴C为锐角，

∴cosC＝＝．

由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，又∵a＝3，b＝2c，

∴c2＝9+4c2﹣8当c＝当c＝c，得：3c2﹣8c+9＝0，解得：c＝+﹣；

．

时，b＝时，b＝，∴C△ABC＝3+4，∴C△ABC＝3+419．解析：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项a1＝1.1，公差d＝0.05，再利用等差数列的前n项和公式求解即可．

（2）假设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）?18%，令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）?18%，（n∈N*），递推作差可得当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增，注意到f（1）＜0，所以若f（n）＞0，则只需考虑n≥10的情况即可，再验证出f（24）＜0，f（25）＞0，即可得到利润首次超过第14页（共20页）

该季度营业额的18%的时间．

答案：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，

则首项a1＝1.1，公差d＝0.05，

∴S20＝20a1+d＝20×1.1+10×19×0.05＝31.5，

即营业额前20季度的和为31.5亿元．

（2）假设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，

则0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）?18%，

令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）?18%，（n∈N*），

即要解f（n）＞0，

则当n≥2时，f（n）﹣f（n﹣1）＝0.0064?（1+4%）n﹣1﹣0.009，

令f（n）﹣f（n﹣1）＞0，解得：n≥10，

即当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增，

由于f（1）＜0，因此f（n）＞0的解只能在n≥10时取得，

经检验，f（24）＜0，f（25）＞0，

所以今年第一季度往后的第25个季度，即2027年第二季度的利润首次超过该季度营业额的18%．

20．解析：（1）利用椭圆的方程，求出a，b，c的值，求出|BF1|和|PF1|，由||＝||，即可求出m的值；

cosθ，sinθ），利用平面向量数量积的坐标表示化，求出点A的坐标，设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式列出关于k的第15页（共20页）

（2）设点A（简?＝

方程，求出k的值即可得到答案．

（3）联立直线l与椭圆的方程，得到韦达定理，利用向量平行的坐标表示，化简可得，然后再利用韦达定理化简|x1，利用m﹣x2|，由此得到关于k和m的等式，整理可得的取值范围以及题中的条件，即可证明．

答案：（1）因为Γ的方程：+y2＝1，

所以a2＝2，b2＝1，

所以c2＝a2﹣b2＝1，

所以F1（﹣1，0），F2（1，0），

若B为Γ的上顶点，则B（0，1），

所以|BF1|＝＝，|PF1|＝﹣1﹣m，

又|BF1|＝|PF1|，

所以m＝；

（2）设点A（cosθ，sinθ），

则＝，

因为A在线段BP上，横坐标小于0，

解得，

故，

设直线l的方程为，

由原点O到直线l的距离为，

第16页（共20页）

＝

则＝，

＝，化简可得3k2﹣10k+3＝0，解得k＝3或k故直线l的方程为所以直线l的方程为（3）联立方程组＝0，

或；

（舍去，无法满足m＜），

，可得（1+2k2）x2﹣4k2mx+2k2m2﹣2设A（x1，y1），B（x2，y2），

则因为∥，

，

所以（x2﹣1）y1＝（x1+1）y2，又y＝kx﹣km，

故化简为又，

＝，

两边同时平方可得，4k2﹣2k2m2+1＝0，

整理可得当m＜时，，

＞0，

因为点A，B在x轴上方，

所以k有且仅有一个解，

故对于任意m＜﹣，使得∥的直线有且仅有一条．

21．解析：（1）任取x1﹣x2∈[0，+∞），证明f（x1）﹣f（x2）∈[0，+第17页（共20页）

∞），证明f（x）＝2x﹣1在[0，+∞）关联，取x1＝1，x2＝0，证明f（x）在[0，1]不关联；（2）先得到f（x+3）﹣f（x）＝3，再得到x∈[0，3）和x∈[3，6）的解析式，进而得到答案；（3）先证明f（x）在{1}是关联的?f（x）是在{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，再证明f（x）在[1，2]是关联的?f（x）是在{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的．

答案：（1）f（x）在[0，+∞）关联，在[0，1]不关联，

任取x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，+∞），∴f（x）在[0，+∞）关联；

取x1＝1，x2＝0，则x1﹣x2＝1∈[0，1]，

∵f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）＝2?[0，1]，∴f（x）在[0，1]不关联；

（2）∵f（x）在{3}关联，∴对于任意x1﹣x2＝3，都有f（x1）﹣f（x2）＝3，

∴对任意x，都有f（x+3）﹣f（x）＝3，

由x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，得f（x）在x∈[0，3）的值域为[﹣1，3），

∴f（x）在x∈[3，6）的值域为[2，6），

∴2≤f（x）≤3仅在x∈[0，3）或x∈[3，6）上有解，

x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，令2≤x2﹣2x≤3，解得3，

x∈[3，6）时，f（x）＝f（x﹣3）+3＝x2﹣8x+18，令2≤x2﹣8x+18第18页（共20页）

≤x＜