2023届高三新高考数学原创模拟试题(含答案解析)

2023年11月21日发(作者：10万左右7座mpv)

2023届高三新高考数学原创模拟试题

学校姓名：班级：考号：

:____________________________________________

一、单选题

，｛，｝，则集合｛︱∈∈｝中的元素的个数．若集合｛，｝

B=02zz=x+y,xA,yB1A=-11

为（）

A5C3D2B4

．．．．

??

???

aa

?

??

???

?

2．若向量

aba

与不共线，，且与的夹角为

a?b?0

cab

??()

??

，则向量

c

ab

?

A．B．

0

C．D．

?

3

?

6

?

2

3

．在财务审计中，我们可以用本福特定律来检验数据是否造假．本福特定律指出，在

一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零数字是，，，

129

L

这九个事件并不是等可能的．具体来说，假设随机变量是一组没有人为编造的数据的

X

首位非零数字，则，．根据本福特定律，首位非零数字是

PXk

()lg

??

k

?

1

k?1,2,?,9

k

18

的概率与首位非零数字是的概率之比约为（）

（参考数据：，）

lg2?0.301

lg3?0.477

A4B5C6D7

．．．．

4·1048-1131

．十一世纪，波斯（今伊朗）诗人奥马尔海亚姆（约）发现了三次方程

x?ax?b(b?0)

32

的几何求解方法，如图是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑兰大学．奥

马尔采用了圆锥曲线的工具，画出图像后，可通过测量的方式求出三次方程的数值解．在

??

b

平面直角坐标系上，画抛物线轴上取点，以为直

xOy

x?ay

2

，在

x

Cb

??

2

,0(0)

?

OC

??

a

径画圆，交抛物线于点．过作轴的垂线，交轴于点．下面几个值中，哪个是

PP

xx

Q

方程

x?ax?b

32

的解？（）

试卷第1页，共6页

ABCD

．．．．

|OQ|

5．若，则

????

1?2x?a?ax???axx?R

ABC0D2

．．．．

?2

2023

|QP|

|QC|

|OP|

）（

012023

2023

a

aa

12

?????

22023

2023

222

?1

a

6．函数y=ax+bx与y=

2

log

b

x

（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图像可能是（）

A．B．

C．D．

7．以

?

??

x

表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布

??

??,x

?

N,

??

2

，则概率等于

P(??)

???

??

??????

????

???

A．B．

??

1

?

?

??

C．D．

?

??

?

1??1

????

??

2?

???

??

8“”

．若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的基本量．已知长方体

ABCD?ABCD

1111

，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（）

A．

AB

1

，，的长度

AC

AD

1

B．，

AC

BD

1

，的长度

AC

1

C．

BCBD

11

，，的长度

AD

1

试卷第2页，共6页

D．

AC

1

，BD，的长度

CC

1

二、多选题

9

．在正四面体中，，，分别是，，的中点，则（）

P?ABC

DEF

AB

BC

CA

A//

．平面

BC

PDF

B

．

PA?DE

C

．平面平面

PAE?

ABC

D

．平面平面

PDF?

ABC

10．设

S

n

是数列的前项和．下面几个条件中，能推出是等差数列的为（）

????

aa

nn

n

A．当时，B．当时，

n?Nn?N

**

S?a

nn

C．当时，D．当时，

n?Nn?N

**

Saa

nnn1

?

?

S?na

nn

Sa

nn

?

n

?

1

2

118

．投掷一枚均匀的骰子次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断一

定出现点数的是（）

6

A2524

．第百分位数为，极差为

B75

．平均数为，第百分位数为

3.53.5

C33

．平均数为，方差为

D4

．众数为，平均数为

4.75

12

．设，函数的定义域为．记

n?N

*

f(x)?ln[sin(πx)?sin(2πx)???sin(nπx)]

D

E?D?[0,1]

．两个集合，不交指的是．则（）

A

B

A?B??

A

．若，则

n?2

f(x)

是定义在上的偶函数

D

1

B．若，则

n?2

f(x)

在

x?

处取到最大值

3

C4

．若，则可表示成个两两不交的开区间的并

n?4

E

D6

．若，则可表示成个两两不交的开区间的并

n?6

E

三、双空题

13．设是虚数单位，已知是关于的一个根，则

i

2i?3

x

的方程

2x?px?q?0(p,q?R)

2

p?q?

________________

，．

四、填空题

试卷第3页，共6页

14．设曲线：

C

y

??

x

33

1

x

．已知曲线满足如下性质：曲线是双曲线，且其渐近

CC

线分别为直线与轴．根据以上信息，可得位于第一象限的焦点坐标为

x?3y?0

y

________

．

15

．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为

x?y?2?0

与，原点在等腰三

x?7y?4?0

角形的底边上，则底边所在直线的斜率为．

______

五、双空题

16

．正方形位于平面直角坐标系上，其中

ABCD

A(1,1)B(?1,1)

，，，．考

C(?1,?1)

D(1,?1)

R

：虑对这个正方形执行下面三种变换：（）逆时针旋转．（）顺时针旋转．（）：

123

90?90?

L

S

：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是，，，四个

A

B

C

D

点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换之后，顶点从移动到，

R

A

(1,1)

(1,?1)

然后再作一次变换之后，移动到．对原来的正方形按，，，的顺序

S

A

(?1,1)

aa

12

L

a

k

作次变换记为．如果经过次变换之后，顶

kk

aa?aa?{L,R,S}

12k

，其中，

i

i?1,2,?,k

点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是恒等变换．例如，是一

k

-

RRS

个恒等变换．则恒等变换共种；对于正整数，

3-3-________

nn

-________

恒等变换共

种．

六、解答题

17

．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，

PABCD

?

AD∥BC

?BAD?90?

PA?

底面，且，，分别为，的中点．

ABCD

PA?AD?AB?2BC

M

N

PC

PB

(1)

证明：．

PB?DM

(2)

求与平面所成角的正弦值．

BD

ADMN

18

．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方

位，便于船员确定位置．如图所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是

1

AB

CDCD

E

的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图，手持

2

试卷第4页，共6页

十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得，在同一水平面上，并

AA

CD

C

且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通

D

DE

AE

过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通

AE

?CAD

过查阅地图来确定船员所在的位置．

(1)20

在某次测量中，，横档的长度为，求太阳高度角的正弦值．

AE?40

(2)在杆上有两点

AB

A

1

，满足时，记太阳高

A

2

AA?AA

12

1

．当横档的中点位于

CD

E

A

i

2

度角为，都是锐角．证明：．

?

i

(1,2)

i?

，其中

?

1

?

2

??

12

?2

19．设正项数列

??

ax

n

满足，，满足，其中

a?1

1n

a

n

?

2

a

n

?

1

*

2

n?N

．数列

??

a?x

nn

tan

1

?

a

n

?

1

??

π

??

π

x

n

?

??

0,

，时，．

n?N

*

．已知如下结论：当

x

?

??

0,

sinx?x?tanx

??

2

??

2

(1)求

??

x

n

的通项公式．

π111

2

??????

222

?

nn

．

(2)证明：

12111

aaa

12

???

n

xy

22

20．椭圆：

C

22

????

1(0)

ab

的右焦点为，为坐标原点．过点的直线交

F(1,0)

O

F

l

ab

椭圆于，两点．

C

A

B

(1)

若直线与

l

xa

轴垂直，并且，求的值．

OA?OB

(2)

若直线绕点任意转动，当，，不共线时，都满足恒为钝角，求

l

F

A

O

B

?

AOB

a

的

取值范围．

21．某校20名学生的数学成绩

xi??yi??

ii

(1,2,,20)(1,2,,20)

和知识竞赛成绩如下表：

学生编号12345678910

i

数学成绩

x

i

知识竞赛成绩

y

i

100999693908885838077

29016022020065709010060270

试卷第5页，共6页

学生编号11121314151617181920

i

数学成绩

x

i

知识竞赛成绩

y

i

75747270686660503935

4535405025302015105

计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且

x?75

y?90

??

????

xxyy

????

ii

??

11

ii

2020

22

6464149450

，，．

?

????

xxyy

ii

???

21650

i

?

1

20

(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）．

0.01

(2)

设，变量

N?N

*

x

和变量的一组样本数据为

y

??

??

xyi??N

ii

,|1,2,,

，其中

xi??Ny(i?1,2,?,N)

ii

(1,2,,)

两两不相同，两两不相同．记在

x

i

??

x|n?1,2,?,N

n

中

的排名是第位，．定义变量

R

i

位，在中的排名是第

y

i

??

y|n?1,2,?,N

n

S

i

i?1,2,?,N

x

和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关

yy

?

x

系数．

N

6

2

d

?

i

（）记．证明：．

i

d?R?S

iii

，

i?1,2,?,N

?

??

1

NN

??

2

?

1

i

?

1

（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精

确到）．

0.01

(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的

优势．

注：参考公式与参考数据．；；

r

?

?

????

xxyy

??

i

?

1

ii

nn

22

ii

??

11

ii

n

??

????

xxyy

??

6464?149450?31000

．

2

?

k

?

k

?

1

n

nnn

(1)(21)

??

6

22

．设函数

fxxax

()esin

??

?

x

，是的导函数．

g(x)

f(x)

(1)求的所有极值点．

g(x)

(2)下面三个问题的满分分值分别为（i）4分；（ii）7分；（iii）9分．请在下面三个问题

中选一个进行解答．若选择了多于一个问题分别解答，则按照序号较小的解答计分．

（i）若在区间中有极值点，求的取值范围．

f(x)

(0,??)

a

*

（）若在区间中有且只有个极值点，求的取值范围．

ii

f(x)

(0,??)

2kk?N

a

*

（）若在区间中有且只有个极值点，求的取值范围．

iii

f(x)

(0,??)

kk?N

??

a

??

试卷第6页，共6页

参考答案：

1C

．

【详解】，，或是，，根据集合

元素的互异性，集合为，共含有3个元素，故选C.

考点：元素与集合

2D

．

????

????????

??

??

aaaa

??

??

222

【详解】由题意可得：，

acaabaabaa

???????????

??

??

??

??

??

abab

??

??

?

?

??

?

故：，即向量与的夹角为

a?c

a

c

.

2

本题选择选项

D.

3C

．

【分析】根据题意结合对数运算求解

.

0

??

PX

(1)lg2lg2lg20.301

?

?????

6

9

lg9lg82lg33lg230.47730.301(8)

??????

【详解】由题意可得：．

PX

lg

8

故选：

C.

4A

．

【分析】求出圆的方程，联立圆与抛物线的方程求出的横坐标满足的方程可得解

P.

bb

??

2

2

【详解】由题意，圆的方程为，如图，

??

xy

???

24

24

aa

??

2

答案第页，共页

120

2

?

??

bb

2

2

?

xy

???

24

??

联立，

?

24

aa

??

?

xay

2

?

?

消去可得：

y

4ax?4ax?4abx?0

24422

，

即

x(x?ax?b)?0

32

，

可得或

x?0

x?ax?b?0

32

，

即点的横坐标满足方程

P

x?ax?b?0

32

，

故点的横坐标可以满足的方程

Q

|OQ|

x?ax?b

32

.

故选：

A

5B

．

【分析】根据题意利用赋值法运算求解

.

【详解】因为

(1?2x)?a?ax?L?ax

20232023

012023

，

2023

令，则

x?0

a?1?1

0

，

令

x?

所以

a

2023

1

aa

?L??a??

0

，，则

0

12

22023

2

222

a

aa

12

??L???a??

22023

2023

01

0

.

222

故选：

B.

6D

．

【详解】解：对于A、B两图，而y=ax，且两根之和为，

由图知得，矛盾，

0???1?1??0

b

bb

?

1

2

+bx的两根为0和

??

aa

a

bb

aa

b

b

b

对于C、D两图，，在C图中两根之和，即矛盾，C错，D正确．

01

??

???1

?1

a

a

a

故选：．

D

7B

．

【分析】利用正态分布的性质计算即得

.

【详解】

P(|?|?)P(????)?P(??)?P(??)

??????????????

?

????

??????

????

-

?

??

????

?1??1

??

????

，

??

????

故选：．

B

答案第页，共页

220

8A

．

【分析】根据题意列式求解，逐项分析判断即可

a,b,c

.

【详解】设，

AB?a,AD?b,AA?c

1

?

ABac

??

22

?

1

?

22

对于选项A：可得，据此可以解出，故A正确；

?

ACab

??

a,b,c

?

ADbc

1

??

22

?

?

22

?

?

ACab

??

对于选项B：可得，据此无法解出，故B错误；

?

a,b,c

222

?

?

BDACabc

11

????

22

?

?

BCADbc

11

???

对于选项C：可得，据此无法解出，故C错误；

?

a,b,c

222

?

?

BDabc

1

???

?

ACabc

???

222

?

1

?

22

对于选项D：可得，据此无法解出，故D错误；

?

BDab

??

a,b,c

?

CCc

?

1

?

?

故选：

A.

9AC

．

【分析】对于：根据线面平行分析判断；对于：根据异面直线夹角分析判断；对于、

ABC

D.

：根据线面、面面垂直的判定定理分析判断

【详解】对于选项：因为，分别是，的中点，则，

A//

DF

AB

CA

BC

DF

DF?PDFPDF

平面，平面，

BC?

所以平面，故正确；

BC∥

PDF

A

对于选项：因为，分别是，的中点，则，

B

DE

AB

BC

DE∥AC

且与夹角为，所以异面直线与夹角为，故错误；

PAPA

AC

60?60?

DE

B

对于选项：因为是的中点，且是等边三角形，则，

C

E

BC

?PBC

PE?BC

答案第页，共页

320

同理可得：，

AE?BC

PE?AE?E

，

PE,AE?

平面，所以平面，

PAEPAE

DF

?

且平面，所以平面平面，故正确；

DF?

ABCABC

PAE?

C

对于选项：取底面的中心，连接，则平面，

D

ABCABC

O

PO

PO

?

但与平面相交，所以平面与平面不垂直，故错误；

PO

PDFPDF

ABC

D

故选：

AC.

10ABD

．

【分析】由与的关系得出与的关系式即可判断ABD，通过举反例即可判断出C．

S

n

aa

nn

a

n1

?

【详解】对于A，当时，且，

n?2

S?a

nn

Sa

n1n1

??

?

两式相减可得，即．

aSSaaa

nnn1nn11

?????

???

n

0

所以是恒为0的数列，即是公差为0的等差数列，故A正确；

????

aa

nn

对于B，当时，，

n?2

S?na

nn

且

Sna

nn

??

11

??

(1)

两式相减可得，即，

aSSnananana

nnnnnnn

????????

???

111

(1)(1)(1)

所以，即是常数列，是公差为0的等差数列，故B正确；

aa

nn1

?

?

??

a

n

对于C，如果，令可得，

a?0a?1

12

n?1

当时，且，

n?2

Saa

nnn1

?

?

Saa

n1n1n

??

?

两式相减可得，

aSSaaa

nnn1nn1n1

????

???

??

如果，则，这并不能推出是等差数列，

a?

n

0

aa

nn

??

11

??

1

??

a

n

L

，．例如：考虑如下定义的数列：1，1，2，2，3，3，则其通项公式可写成，

an

2n1

?

?

??

a

n

a?n

2n

则，

Saaknnaa

2221221

nkknn

??????

??

??

??

(2)(1)

kk

??

11

nn

答案第页，共页

420

SSannnnaa

2122212

nnnnn

??

???????

(1)

2

．

即数列1，1，2，2，3，3，满足对任意正整数成立，但它并不是等差数列，

L

Saa

nnn1

?

?

n

故错误；

C

对于D，当时，且，

n?2

Sa

nn

?

n

?

1

n

Sa

nn

??

11

?

2

2

nn

?

1

aaaSS

nnnnn

????

??

11

，两式相减可得

22

所以，即

(1)

nana

??

nn

?

1

aa

nn

?

1

a

???

?

1

，

nn

?

11

故，即是公差为的等差数列，故D正确；

a?na

n1

??

a

n

a

1

故选：．

ABD

11BD

．

【分析】对于可采用特值法，对于根据平均数和百分位数，即可判断，对于可采用

A,B,C,

特值法，对于可假设这个数没有点，根据题设推出矛盾，即可判断

D,86.

【详解】解：不妨设，则

1?x?x?x?x?x?x?x?x?6

12345678

对于这个数可以是，故不一定出现点数，故错误

A,86A.

1,2,2,2,3,3,4,5

对于B,因为平均数为，所以

3.5

x?x?x?x?x?x?x?x?3.5?8?28

12345678

,

又第75百分位数为，所以，所以，

3.5

x?x?7

67

x?3,x?4

67

所以，且，

x?x?x?x?x?x?21x?x?x?x?x?3,4?x?6

123458123458

所以，所以

x?x?x?x?x?15

12345

x?6

8

.所以一定出现点数6,故B正确.

对于这个数可以是，故不一定出现点数，故错误

C,86C.

1,1,1,3,3,5,5,5

1

??

111335553

????????

,

8

1

22222222

s

2

?????????????????

??

????????????????

13131333335353533

??

8

对于D,因为平均数为，所以

4.75

x?x?x?x?x?x?x?x?4.75?8?38

12345678

,

又众数为，假设这个数没有点，则和最大的情况为，

486

4?4?4?4?4?5?5?5?35?38

和题设矛盾，故一定出现点数故正确

6.D.

故选：

BD.

12ACD

．

答案第页，共页

520

【分析】当时，利用三角函数恒等变换，结合三角函数的性质，即可判断；并变形

n?2

A

后构造函数，利用导数求函数的最大值，判断；当和时，首先求得函数的零点，

B

n?4

n?6

再根据函数的正负，结合函数的定义域，即可判断；

CD

【详解】（）若，则

i

n?2

f(x)?ln[sin(πx)sin(2πx)]

?ln[sin(πx)?2sin(πx)cos(πx)]

2

??

ln21cos(πx)cos(πx)

??

??

??

．

由于是偶函数，所以根据复合函数的奇偶性，也是偶函数，故正确．

y?cos(πx)

f(x)

A

2

令，，定义，，则．

t?cos(πx)t?[?1,1]

x?[?1,1]

h(t)?1?tt

??

f(x)?ln[2h(t)]

1

??

??

11

??

1

,

,1

??

单求导单调递增，在单调递减，在

h(t)?1?3t

?

2

，所以在

h(t)

??

??

1,

??

?

33

3

3

??

??

??

调递减．由于，所以的最大值在处取到．于是对于满足

h(?1)?h(0)?h(1)?0

h(t)

t?

cosπ

??

x?

0

1

3

1

3

x

0

，当时取到最大值．但此时

x?x

0

f(x)

x?

0

1

，故B错误;

3

（）下面记．

ii

g(x)?sin(πx)?sin(2πx)???sin(nπx)

g(x)

在

[0,1]q?0

上的所有零点是，其中，，．

p

p

q?{0,1,2,?,n}

q

1

3

1

2

1

对于，所有零点为0，，1，，，，，共7个．

n?4

2

3

3

4

4

我们把这个零点从小到大排列之后构成的个区间和的正负性写出来：

76

g(x)

??

1111123

??

0,,,,

??

4433234

sin(πx)

sin(2πx)

sin(3πx)

sin(4πx)

??????

???

??

?

?

??????

??????

??????

??

??

??

???

??

12

??

,

??

23

???

??

??

??

3

??

,1

??

4

g(x)

所以在4个开区间上，是正的，从而可写成4个两两不交开区间的并，C正确．

g(x)

E

1

31

1

24

3

51

2

1

对于，所有零点为0，，1，，，，，，，，，，，共13个．

n?6

2

36

3

4

46

5

55

5

答案第页，共页

620

我们把这个零点从小到大排列之后构成的个区间和的正负性写出来：

1312

g(x)

??

15

??????????

111112212345

????

1134

??

0,,1

????????????

,,,,,,

????

,,

??

66

??????????

654335523456

????

5445

??

13

??

32

??

,

??

,

??

25

??

53

??

??

??

??

??

sin(πx)

????????????

sin(2πx)

??????

??????

sin(3πx)

????????

????

sin(4πx)

??????

??????

sin(5πx)

??????

??????

sin(6πx)

??????

??????

g(x)

?

??????

?????

所以在6个区间上是正的，从而可写成6个两两不交开区间的并，D正确．

g(x)

E

故选：ACD

13．1226

2

【分析】分析：把代入方程得

2i?3

22i?3?p2i?3?q?0

????

，再化简方程利用复数相等

的概念得到p，q的值.

【详解】把代入方程得

2i?3

22i?3?p2i?3?q?0

????

，

所以，

2?4?9?12i?2pi?3p?q?0

??

所以，

10?24i?2pi?3p?q?0,?2p?24i?10?3p?q?0

??

2

答案第页，共页

720

?

2240

p

??

,12,26.

???

pq

所以

?

1030

???

pq

?

故答案为：；．

1226

??

6

,2

14．

??

??

3

??

【分析】根据条件知两条渐近线方程为，再利用双曲线的对称性求出实轴的直

x?y?

0,

x

3

线方程，从而求出两个顶点坐标，进而可求出，再利用焦点在实轴上，即可求

a,b,c

y?3x

出结果

.

【详解】由于该双曲线的两条渐近线一条为轴，其倾斜角为，另一条为直线，

y

90?

y?

其倾斜角为，

30?

由双曲线的对称性知，该双曲线的实轴的倾斜角是，从而实轴为直线，

60?

y?3x

x

3

?

yx

?

3

1

?

??

顶点坐标是直线与曲线的交点，联立，，解得

y?3x

y

?

x

1

x??

2

33

x

y

??

?

33

x

?

x

1

y??

3

，

2

??

13

??

13

B

??

,

A

,

所以顶点分别为．与

??

??

??

??

22

22

??

??

从而长轴的长为．双曲线的两条渐近线的夹角为，所以，

2a?|AB|?22

60?

b

3

???

tan30

a

3

解得．

b?

c

2

8

22

222

，故，．所以离心率

c?a?b?

c?

?

a

3

3

3

3

2

??

6

2

F

,2

．所以

1

??

??

3

．假设，解得

3

??

F(t,3t)

1

是位于第一象限的焦点，则

OF?c?2t

1

t?

故答案为：.

（）

153

．

6

,2

3

【分析】由题意设出底边所在直线的方程，再根据等腰三角形两底角相等，结合两直线的夹

kkkk

12

??

?

角公式即可得到，带入数据，解方程即可求出结果.

11

??

kkkk

12

答案第页，共页

820

1

，设底边为

l:y?kx

3

7

kkkk

12

??

kk

??

171

???

由题意，所成的角等于，解得

lll

323

到到所成的角于是有

l

1

11173

????

kkkkk

12

【详解】

l:x?y?2?0,k??1

11

，

lx?y??k?

22

:740,

k?3

，

故答案为：

3.

16．6

3(1)3

???

nn

4

【分析】根据恒等变换必定含可列举求解；作用一次变换相当于两次变换；作用一

3-

SS

L

次变换相当于三次变换．我们记为数字，为数字，为数字，作用相应的变化

RR

LL

123

S

就增加相应的数字．那么如果作了次变换（其中包含个、个、个），

n

aa?a

12n

p

L

q

S

r

R

当是的倍数时，就能得到一个次变换之后得到的

p?2q?3r

4

nn

-

恒等变换．我们假设作了

bd

nn

，，，相应数字除以4的余数是0，1，2，3的情况数分别为，

.求得

abcd

nn1n1n1

???

???

c

n

a

n

bacdcabddabc

nn1n1n1nn1n1n1nn1n1n1

?????????

?????????

，，，从而可得，

aaa

nnn

??

11

??

23

nnn

?

1

n

利用构造法求得，从而有，再利用累加法求得

aa

nn

?

1

??

3

(1)(1)(3)

??????

aa

nn

?

1

3(1)3

???

nn

.

a

n

?

4

【详解】恒等变换必定含，所以一共有，，，，，这种

3-6

S

LLSRSRSRR

LSLSLL

RRS

3-

恒等变换；

注意到，作用一次变换相当于两次变换；作用一次变换相当于三次变换．我们记为

S

LLL

R

数字，为数字，为数字，作用相应的变化就增加相应的数字．那么如果作了次变

123

S

R

n

换（其中包含个、个、个），当是4的倍数时，就能得到一

aa?a

12n

p

L

q

S

r

R

p?2q?3r

个次变换之后得到的相应数字除以的余数是，，，的

nn

-

恒等变换．我们假设作了

40123

情况数分别为，，，

a

n

bd

nn

c

n

.

把这次变换分解成次变换和第次变换，

nn

n?1

假设经过次变换之后余数为．如果经过次变换后的余数是，则第次变换余数不

nn

00

n?1

可能为；如果经过次变换后的余数分别是，，，则第次变换余数必须分别为，

01233

n?1

n

21

，．其他完全类似，因此

abcd

nn1n1n1

???

???

，

bacd

nn1n1n1

???

???

，

答案第页，共页

920

cabd

nn1n1n1

???

???

，

dabc

nn1n1n1

???

???

．

把后三个式子相加可得，

bcdabcd

nnnnnnn

??????

32

????

1111

??

代入第一个式子可得，．

aaa

nnn

??

11

??

23

????

aaaa

nnnn

??

11

3

??

所以是公比为3的等比数列．

??

aa

n1n

?

?

已经算出，而2-恒等变换有，，这三种，故．因此，，从

a?6a?3

32

LR

RL

SS

a?a?9

32

nnn

??

22

而．

aaaa

nn

?

132

???????

??

3933

两边同乘，可得．

(1)

?

n?

1

(1)(1)(3)

??????

nnn

?

1

aa

nn

?

1

n

?

1

n

?

2

91(3)

??

??

9(3)

??

n

nk

2

根据累加法可得

(1)(1)(3).

??????????

aa

n

2

?

1(3)4

??

k

?

2

3(1)3

???

nn

于是．

a

n

?

4

3(1)3

???

nn

故答案为：6；

4

【点睛】关键点睛：

这道题的关键是要注意到作用一次变换相当于两次变换；作用一次变换相当于三次

S

LL

R

变换．我们记为数字，为数字，为数字，作用相应的变化就增加相应的数字．那

L

123

S

R

么如果作了次变换（其中包含个、个、个），当是4的倍数

n

aa?a

12n

p

L

q

S

r

R

p?2q?3r

时，就能得到一个次变换之后得到的相应数字除以的余数是，

nn

-

恒等变换．假设作了

40

1，2，3的情况数分别为.把这

a

n

，，，次变换分解成次变换和第次变换，

bd

nn

c

n

nn

n?1

从而得到，，，，

abcdbacdcabddabc

nn1n1n1nn1n1n1nn1n1n1nn1n1n1

????????????

????????????

进而得到，至此思路就清晰明朗了

aaa

nnn

??

11

??

23

.

17(1)

．证明见解析

(2)

2

．

1

【分析】（）要证，只需要证明平面，根据直线与平面垂直的判定

1

PB?DMPB?

ADMN

定理，只需要证明平面平面内的两条相交直线，即，则问题就可得以

PB?

ADMN

AN,AD

答案第页，共页

1020

解决；

（）第一问已经找到了平面的垂线段，连接，则是与平面所

2

ADMNADMN

DN

?BDN

BD

成角，在直角三角形中即可求出

BDN

.

【详解】（）因为，分别为，的中点，所以，又，

1

M

N

PC

PB

MN//BC

AD//BC

所以，则四点共面

MN//AD

M,N,A,D

.

因为是的中点，，所以．

N

PB

PA?AB

AN?PB

因为平面，所以．在直角梯形中，．而，，

PA?

ABCD

PA?AD

AB?AD

PA?AB?A

PA

AB

?

平面，因此平面．所以．

PABPABAD?PB

AD?

又因为，且，，平面，

AN?PBAN

AN?AD?A

AD?

ADMN

所以平面．

PB?

ADMN

因为平面，所以．

DM

?

ADMN

PB?DM

（2）

连接．由（）可知平面，

DN

1

PB?

ADMN

所以是与平面所成角．

?BDN

BD

ADMN

设，于是，

PA?AD?AB?2BC?a

PB?PA?AB?2a

22

BN?PB?a

另一方面，．

BD?AB?AD?2a

22

BNa

1

????

．因此，在直角三角形中，

BDa

22

12

．

22

BDN

sin

BDN

1

所以与平面所成角的正弦值为．

BD

ADMN

2

18．(1)

8

17

(2)

证明见解析

【分析】（）方法一，根据三边长度，利用余弦定理，求，再求正弦值；

1

cos?CAD

方法二，先求，再根据二倍角公式求；

sin?CAE

sin?CAD

答案第页，共页

1120

（2）首先由正切公式，求得，再根据不等关系，放缩为，

tan2tan2tantan

???

122

222

??

?

2

再结合函数的单调性，即可比较角的大小

.

【详解】（）方法一，

1

由题意，．由于是的中点，且，所以，

CD?20CE?10

E

CD

AE?CD

且．

AD?AC?AE?CE?1017

由余弦定理，

ADACCD

222

????

1700170040015

．

cos

????

CAD

22170017

ADAC

??

8

8

2

从而．

sin1cos

?CAD???CAD?

，即太阳高度角的正弦值为

17

17

22

方法二

由题意，．由于是的中点，且，所以，

CD?20CE?10

E

CD

AE?CD

且．

AC?AE?CE?1017

22

CEAE

??????

ACAC

14

1717

于是，并且，

sincos

CAECAE

从而

184

??CAD??CAE??CAE?CAE???

.sinsin(2)2sincos2

1717

17

8

．即太阳高度角的正弦值为

17

??

12

CECE

??

（2）由题意，，．

tantan

22

AAAA

12

?

??

π

??

π

由于，是锐角，则，，所以，

??

11

?

2

?

2

?

??

0,

?

??

0,

24

??

??

2

2

?

从而．

01tan1

???

2

2

根据

AA?AA

12

1

，可知

2

2tan

tantan2tan

??

12

22

?????

CECE

2

?

．

2

AA

1

1

AA

2

?

2

1tan

?

2

2

2

??

??

π

?

2

由于函数在单调递增，且，，

y?tanx

??

0,

2

所以，即．

?

1

??

π

?

?

??

0,

2

??

2

?

1

2

?

?

2

??

12

?2

π

2

n

?

1

19．(1)

x

n

?

答案第页，共页

1220

(2)

证明见解析

【分析】（1）根据正切的二倍角公式可推出，可知是公比为的等比数列，

xx

nn

?

2

?

1

??

x

n

2

利用等比数列的通项公式即可求解；

2

（2）由于，化简，由已知可得

a?

n

0

，可证

1

1111

??????

2222

?

nx

1sin

2

n

aaaa

????

1111

21

nn

1ππ111

22

???????

1

n

?

12222

，再利用等比数列的求和公式可证，得证.

n

?

aaaa

nn

????

1412111

12

【详解】（1）由于，则，

a?x

nn

tan

tantan2

xx

nn

??

2tan

x

n

?

1

??

?

1

1tan

?

2

x

n

?

1

x

n

?

1

1

??

π

?

，由于，所以，即

x

n

?

??

0,

xx

nn

?

2

?

1

x

2

2

??

n

π

又由可知

a?1

1

x?

1

，

4

从而是首项为，公比为的等比数列，

??

x

n

π1π

??

因此

x

n

???

??

422

??

n

?

1

π

1

2

4

n

?

1

.

111

????????

??

111

?????

n

．（2）一方面，由于

222

aaa

12

???

111

n

n

11

????

cos1sin

22

xx

nn

．另一方面，由（1）中，可得

22

ax

nn

??

1tan1

2

a?

n

0

，因此

a?x

nn

tan

22

nn

1π

2

2

????

11

x

n

n

?

12

，由于，则

sinx?x

1sin1

?x??x

，即

a

n

?

14

111π

?????

2221

?

因此，

aaa

12

???

1114

n

11

??

1

?

??

416

n

??

2

???

n

π

1

1

?

4

π1

2

??

???

n

??

1

n

124

??

π

2

?n?

，

12

??

2

?

??

1

n

?

??

k

?

1

n

π111

2

??????

222

?

nn

.

综上，

12111

aaa

12

???

n

答案第页，共页

1320

20．(1)

a

?

(2)

??

??

15

?

2

??

15

?

,

??

??

2

【分析】（）求出直线：，联立直线与椭圆方程，求出，两点坐标，将，

1

l

x?1

A

B

OA?OB

????????

转化为，求解即可；

OA?OB?0

uuruuur

（2）直线斜率存在与不存在进行分类讨论，将恒为钝角转化为，求解即

?

AOB

OA×OB<0

可

.

【详解】（1）如图：

1

y

2

x

由于与轴垂直，则直线：，联立直线与椭圆方程可得，

ll

x?1

22

??

1

ab

??

??

b

2

b

2

1

b

2

化简得．所以不妨设，．

yb

?????

1

2

A

??

1,

B

??

1,

?

a

??

aa

??

a

????????

b

4

b

2

由于，所以，则．

OA?OB

OAOB

????

10

2

?

1

a

a

由条件，或（舍去）．

a?b?1

22

，所以，解得

a?a?1?0

2

a

?

15

?

15

-

a

=

2

2

（2）

??

??

b

2

b

2

如图：（i）若直线与轴垂直，由（1）可知，，因此为了让是

AB

x

A

??

1,

B

??

1,

?

?

AOB

a

??

??

a

????????

b

4

b

2

15

?

钝角，只需，即．代入

OAOB

????

10

2

?

1

a?b?1

22

可得，解得

a?a?1?0

2

a

?

a

a

2

或（舍去）．

a

=

15

-

2

（ii）若直线与轴不垂直，设，，直线的方程为．

ABAB

x

Ax,yBx,y

????

1122

y?k(x?1)

xy

22

代入．联立直线与椭圆方程

b?a?1

，椭圆方程变为

22

??

1

aa

?

1

22

答案第页，共页

1420

?

xy

22

??

1,

?

22

222222

aa

?

1

，即，

????

a?1x?ay?aa?1?0

?

?

ykx

??

??

1,

?

消去，可得

y

????

a?1x?ak(x?1)?aa?1?0

2222222

?a?ak?1x?2akx?ak?a?1?0

????

222222222

．

aka

222

??

??

1

2

ak

22

根据韦达定理，，．

xx

12

??

222

xx

12

?

222

aak

??

1

aak

??

1

uuruuur

为了让恒为钝角，则对任意的，都有．

?

AOB

k

OA×OB<0

因此

????????

OA?OB?xx?yy?xx?kx?1x?1

12121212

2

????

?k?1xx?kx?x?k

222

1212

??

??

????

akak

2222

????

???

11

aakaak

222222

????

11

2

ak

24

2

k

0

．

整理得

ak?ak?2k?a?1?2ak?ka?ak?1?0

242222242222

????

??a?3a?1k?aa?1?0

????

42222

因此只需

?a?3a?1?0

42

，

3515

??

??

15

?

35

?

2

??

??

解得，或（舍去）．因此．

a

2

a

?

a

?

??

22

2

2

??

综上，的取值范围是．

a

??

??

??

15

?

,

??

??

2

2

????????

【点睛】圆锥曲线里一般情况下将，转化为，将恒为钝角转化

OA?OB

OA?OB?0

?

AOB

uuruuur

为，求解即可.

OA×OB<0

21(1)0.70

．

（）（）证明见解析；

ii(2)i

0.91

(3)

答案见解析

答案第页，共页

1520

【分析】（）利用相关系数的公式进行计算即可；

1

（2）（i）根据题意即相关系数的公式进行计算即可证明；（ii）利用表格写出对应的得

R

i

与

S

i

值，然后用斯皮尔曼相关系数的公式进行计算即可；

“”

（）只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可

3

【详解】（）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为

1

r

?

?

????

xxyy

??

i

?

1

ii

2020

22

ii

??

11

ii

20

???

2165021650

646414950

?

??

????

xxyy

??

0.70

31000

（2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以

??

R

i

??

S

i

L

N

??

RS

??

ii

??

11

NN

ii

ii

??

11

22

ii

NN

NN

(1)

?

，

2

NNN

(1)(21)

??

，

6

N

?

1

．从而和的平均数都是

2

NNNNN

??

RS

??

??

R

i

??

S

i

RS

??

因此，

?????

??

RRRRRRRNR

??????

iiiii

?????

11111

iiii

2

2222

2

NN?N?NN?

(1)(21)(1)

2

??

64

?

NN?N?

(1)(1)

，

12

N

2

i

?

1

同理可得，

?

??

SS

i

??

由于

NNN

(1)(1)

??

12

???

dRRSS

??????

??

??

RSRRSS

iiii

iii

???

111

N

2

iii

ii

??

11

NNN

NN

2

??

??

?????

??

2

??

??

??

2

2

2

N

NNN

(1)(1)

??

?????

22

?

??

RRSS

ii

??

，

??

RRSS

ii

??

??

?

12

i

?

1

i

?

1

所以；

?

????

NNN

(1)(1)1

??

NN

2

???

??

dRRSS

iii

??

??

N

6

122

ii

??

11

1

d

i

2

?

2

NN

NNN

(1)(1)

??

2

NN

??

?

1

i

?

1

2

RRSS

??

??

??

??

ii

12

ii

??

11

（ii）由题目数据，可写出的值如下：

R

i

与

S

i

同学编号12345678910

i

答案第页，共页

1620

数学成绩排名

R

i

知识竞赛成绩排名

S

i

同学编号

i

数学成绩排名

R

i

知识竞赛成绩排名

S

i

N

12345678910

15349876102

11121314151617181920

11121314151617181920

12141311161517181920

2222222

所以，并且．

N?20

?

d

i

?????????????

904132231418114

i

?

1

因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是

?

????

11140.91

6

2

20201

??

?

（）答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么

3

用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；

答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只

与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔

曼相关系数刻画线性关系．

【点睛】方法点睛新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出

::

几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，

联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的遇到新定义问题，应耐心

:

读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，照章办事，逐条分析、

“”

验证、运算，使问题得以解决

.

22．(1)极小值点为

π

π

π

?mm?Z

2π()

，极大值点为

??mm?Z

2π()

2

2

ππππ

(2)（i）

???

1ae

?

2

；（ii）；（iii）

eeee

?????????

2222

2π2(1)π(3)π(1)π

kkkk

??????

aa

【分析】（）求导，利用导数判断原函数的单调性与极值；

1

（）由（）可得在上的极值和最值对于（）（）（），根据的极值分析

21.iiiiii

g(x)g(x)

(0,??)

其零点，进而可得的极值点个数

f(x)

.

【详解】（1）由题意可得：，

gxfxxxa

()?()?e(cos?sin)?

?

?

x

答案第页，共页

1720

则，

gxxxxxx

?

()?e(?sin?cos?cos?sin)??2ecos

??

xx

因为，则有：

?2e?0

?x

ππ

??

当时，；

xmmm

?????

??

2π,2π()

Z

g(x)?0

?

22

??

3ππ

??

????

2π()2π,

mmxm

??

Z

时，；当

g(x)?0

?

22

??

π3πππ

????

???????

2π()2π,2π()2π,

mmmmmm

????

ZZ

上单则在上单调递减，在

g(x)g(x)

2222

????

调递增，

所以的极小值点为

g(x)

（2）记，

a??mm?Nb???mm?N

m

π

π

?mm?Z

2π()

，极大值点为．

??mm?Z

2π()

2

2

ππ

2π()2π

，．

b?0

0

m

*

22

??

由于，，，

gaa

??

m

??e?

?

a

m

gba

??

m

?e?

?

b

m

gb?1?a

??

0

所以，①

ga?ga?ga???ga??

????????

012m

gb?gb?gb???gb??

????????

012m

，②

所以在上的最大值为，最小值为．

g(x)

(0,??)

1?a

gaea

??

0

???

?

π

2

选做（i）问：由于在上有极值点，则（即）在上有零点，

f(x)

(0,??)(0,??)

f(x)

?

g(x)

故，解得．

?????

ea01a

?

2

???

1ae

?

2

π

π

选做（）问：根据的单调性，可知：

ii

g(x)

3ππ

??

g(x)

在区间

??

???

2π,2π()

mmm

Z

即中的值域为；

??????

abgagb

mmmm

,,

??

11

??

22

??

ππ

??

g(x)

在

??

????

2,2π()

mmm

?

Z

即中的值域为．

??

ba

mm

,

??

gagb

????

mm

,

22

??

结合①②两式以及，

g(0)?gb

??

1

ππ

??

可知当时，在上的值域满足．

m?N

g(x)

??

???I??

mm

π,π[0,)

AA

m

A

m1

?

22

??

m

当时，；当时，．

m?2k?1

Agagb

211

kkk

??

?

??

????

,

m?2k

A?gagb

2

kkk

??

????

,

答案第页，共页

1820

如果，则当时，．

0

?

A

m

?

1

i?{0,1,?,m}

0

?A

i

为了使得在区间中有且只有个极值点，只需让在区间中有且只有

f(x)

(0,??)(0,??)

2k

g(x)

2k

个零点（不含极值点）．

于是，只需让且，即，

0,

??

Agagb

211

kkk

??

??

????

0,

?A?gagb

2

kkk

??

????

0,

?

?

gaga

????

kk

?

1

?

?

从而，

??????

e0e

?????

22

2(1)π2π

kk

aa

解得的取值范围是．

a

ee

?????

22

2π2(1)π

kk

??

a

选做（）问：根据的单调性，可知：

iii

g(x)

ππ

ππ

3ππ

??

g(x)

在区间

??

???

2π,2π()

mmm

Z

即中的值域为；

??????

abgagb

mmmm

,,

??

11

??

22

??

ππ

??

g(x)

在

??

????

2π,2π()

mmm

Z

即中的值域为；

??

ba

mm

,

??

gagb

????

mm

,

22

??

结合①②两式以及，

g(0)?gb

??

1

ππ

??

可知当时，在上的值域满足．

m?N

g(x)

??

???I??

mm

π,π[0,)

AA

m

A

m1

?

22

??

m

当时，；当时，．

m?2k?1

Agagb

211

kkk

??

?

??

????

,

m?2k

A?gagb

2

kkk

??

????

,

如果，则当时，．

0

?

A

m

?

1

i?{0,1,?,m}

0

?A

i

为了使得在区间中有且只有个极值点，只需让在区间中有且只有

f(x)

(0,??)(0,??)

kk

g(x)

个零点（不含极值点）．

*

①当是偶数时，

k?2mm?N

??

只需让且，

0,

??

Agagb

211

mmm

??

??

????

0,

?A?gagb

2

mmm

??

????

?????

2(1)π2π

mm

即，从而，

0,

?

?

gaga

????

mm

?

1

?

?

??????

e0e

22

aa

ππ

解得的取值范围是．

a

ee

?????

22

kk

π(2)π

??

a

*

②当是奇数时，

k?2m?1m?N

??

ππ

只需让且，

0,

??

Agagb

2211

mmm

???

??

????

0,

??

Agagb

211

mmm

??

??

????

即．

0,

?

?

?

gbgb

????

mm

?

1

?

对于，有，解得的取值范围是．

m?1

ea01a

2

?

2π

????

a

????

1ae

?

2

π

3π

答案第页，共页

1920

对于，有，

m

?1

e0e

22

???

2π2(1)π

mm

????

aa

解得的取值范围是．

a

????

ee

22

????

(3)π(1)π

kk

a

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求

解．这类问题求解的通法是：

（）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

1

（）求导数，得单调区间和极值点；

2

（）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况进而求解．

3x

ππ

ππ

答案第页，共页

2020