2021年山东省高考数学试卷(新高考)含答案

2023年11月21日发(作者：雅阁8代和8代半的区分图片)

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.(5分)设集合A={x|-2<x<4}，B={2，3，4，5}，则A∩B=(B)

A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}

【解析】解：∵A={x|-2<x<4}，B={2，3，4，5}，

∴A∩B={x|-2<x<4}∩{2，3，4，5}={2，3}．

故选：B．

【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．

?

2.(5分)已知z=2-i，则z(z+i)=(C)

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【解析】解：∵z=2-i，

?

∴z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i=6+2i．

2

故选：C．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3.(5分)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(B)

A.2B.22C.4D.42

【解析】解：由题意，设母线长为l，

因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，

则有2π?2=π?l，解得l=22，

所以该圆锥的母线长为22．

故选：B．

【点评】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即

为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．

4.(5分)下列区间中，函数f(x)=7sinx-

??

A.0,B.C.π,D.

????????

ππ3π3π

2222

π

单调递增的区间是(A)

6

π，，2π

【解析】解：令-

πππ

+2kπ≤x-≤+2kπ，k∈Z．

262

π2π

则-

+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z．

33

π2π

??

当k=0时，x∈-，

?

??

33

?

，

ππ2π

??

?

??

0,

233

?-，

??

，

?

故选：A．

【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．

y

2

x

2

5.(5分)已知F+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF|?|MF|的最大值为(C)

1212

，F是椭圆C:

94

A.13B.12C.9D.6

y

2

x

2

【解析】解：F，F是椭圆C:

1212

+=1的两个焦点，点M在C上，|MF|+|MF|=6，

94

|MF|+|MF|

12

2

所以|MF

1212

|?|MF|≤=9，当且仅当|MF|=|MF|=3时，取等号，

2

??

1

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

所以|MF

12

|?|MF|的最大值为9．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．

6.(5分)若tanθ=-2，则=(C)

A.-B.-C.D.

6226

5555

sinθ(1+sin2θ)

sinθ+cosθ

sinθ(1+sin2θ)sinθ(sinθ+cosθ+2sinθcosθ)

22

【解析】解：由题意可得：

=

sinθ+cosθsinθ+cosθ

sinθsinθ+cosθ+2sinθ?cosθ

22

=?

sinθ+cosθ

sinθ+cosθ

22

tanθtanθ

2

+2tanθ+1

=?

tanθ+1

tanθ+1

2

2

=

．

5

故选：C．

【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，sin

22

A+cosA=1是解题的关键，属于中等题．

7.(5分)若过点(a,b)可以作曲线y=e

x

的两条切线，则(D)

A.e<aB.e<bC.0<a<eD.0<b<e

baba

【解析】解：法一：函数y=e是增函数，y′=e

xx

>0恒成立，

函数的图象如图，y>0，即切点坐标在x轴上方，

如果(a,b)在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．

点(a,b)在x轴或下方时，只有一条切线．

如果(a,b)在曲线上，只有一条切线；

(a,b)在曲线上侧，没有切线；

由图象可知(a,b)在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0<b<e．

a

故选：D．

法二：设过点(a,b)的切线横坐标为t，

则切线方程为y=e，可得b=e

ttt

(x-t)+e(a+1-t)，

设f(t)=(a+1-t)，可得f′(t)=e

t

(a-t)，t∈(-∞,a)，f′(t)>0，f(t)是增函数，

t∈(a,+∞)，f′(t)<0，f(t)是减函数，

因此当且仅当0<b<e时，上述关于t的方程有两个实数解，对应两条切线．

a

故选：D．

【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．

8.(5分)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出

的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两

2

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

次取出的球的数字之和是7”，则(B)

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【解析】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，

两点数和为7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，

115561

P(甲)=

，P(乙)=，P(丙)=，P(丁)=，

==

666×6366×66

A:P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，

1

B:P(甲丁)=

=P(甲)P(丁)，

36

1

C:P(乙丙)=

≠P(乙)P(丙)，

36

D:P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁)，

故选：B．

【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.(5分)有一组样本数据x=x+c(i=1，2，?，n)，c为非零常

12n12nii

，x，?，x，由这组数据得到新样本数据y，y，?，y，其中y

数，则(CD)

A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同

对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；

对于C，∵标准差D(y

iii

)=D(x+c)=D(x)，

∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；

对于D，∵y

ii

=x+c(i=1，2，?，n)，c为非零常数，

x的极差为x

maxminmaxminmaxmin

-x+c)-(x+c)=x-x

，y的极差为(x，

∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．

故选：CD．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，是基础题．

10.(5分)已知O为坐标原点，点P(cosα,sinα)，P(cosβ,-sinβ)，P(cos(α+β)，sin(α+β))，A(1,0)，则(AC)

123

??????????????????????????

A.|OP|=|OP|B.|AP|=|AP|C.OA?OP=OP?OPD.OA?OP=OP?OP

1212312123

【解析】解：法一、∵P

123

(cosα,sinα)，P(cosβ,-sinβ)，P(cos(α+β)，sin(α+β))，A(1,0)，

????

∴OP=(cosα,sinα)，OP=(cosβ,-sinβ)，

12

?????

OP

3

=(cos(α+β)，sin(α+β))，OA=(1,0)，

????

AP

12

=(cosα-1,sinα)，AP=(cosβ-1,-sinβ)，

????????

则|OP

1212

|=cos|=cos=1，则|OP|=|OP|，故A正确；

222

α+sinα=1，|OPβ+(-sinβ)

2

??

|AP|=(cosα-1)+sin

1

2

222

α=cosα+sinα-2cosα+1=2-2cosα，

??

|AP|=(cosβ-1)+(-sinβ)=cos

2

22

22

β+sinβ-2cosβ+1=2-2cosβ，

????

|AP|≠|AP|，故B错误；

12

?????

OA

?OP=1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β)，

3

???

OP

12

?OP=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)，

?????????

∴OA?OP=OP?OP

312

，故C正确；

?????

OA

?OP=1×cosα+0×sinα=cosα，

1

????

OP

23

?OP=cosβcos(α+β)-sinβsin(α+β)=cos[β+(α+β)]=cos(α+2β)，

3

【解析】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

?????????

∴OA?OP≠OP?OP

123

，故D错误．

故选：AC．

法二、如图建立平面直角坐标系，

A(1,0)，作出单位圆O，并作出角α，β，-β，

使角α的始边与OA重合，终边交圆O于点P，角β的始边为OP，终边交圆O于P，

113

角-β的始边为OA，交圆O于P，

2

于是P

132

(cosα,sinα)，P(cos(α+β)，sin(α+β))，P(cosβ,-sinβ)，

由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、D错误．

故选：AC．

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能

力，是中档题．

11.(5分)已知点P在圆(x-5)+(y-5)=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(ACD)

22

A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2

C.当∠PBA最小时，|PB|=32D.当∠PBA最大时，|PB|=32

【解析】解：∵A(4,0)，B(0,2)，

y

x

∴过A、B的直线方程为+=1，即x+2y-4=0，

42

圆(x-5)

22

+(y-5)=16的圆心坐标为(5,5)，

|1×5+2×5-4|

11115

圆心到直线x+2y-4=0的距离d=

==>4，

5

5

1

22

+2

115115

∴点P到直线AB的距离的范围为-4，+4，

??

?

?

??

55

115115115

∵<5，∴-4<1，+4<10，

555

∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；

如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大(P点位于P时∠PBA最小，位于P时∠PBA最大)，

12

此时|BC|=(5-0)

22

+(5-2)=25+9=34，

∴|PB|=|BC|-4=18=32，故CD正确．

2

2

故选：ACD．

4

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【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．

??????

12.(5分)在正三棱柱ABC-A=1，点P满足BP=λBC+μBB

11111

BC

中，AB=AA，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则

(BD)

A.当λ=1时，△AB

11

P的周长为定值B.当μ=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值

11

C.当λ=

时，有且仅有一个点P，使得A时，有且仅有一个点P，使得A

111

P⊥BPD.当μ=B⊥平面ABP

22

??????????????

【解析】解：对于A，当λ=1时，BP，即CP，所以CP，

=BC+μBB=μBB?BB

111

故点P在线段CC上，此时△AB

1111

P的周长为ABP+AP，

+B

当点P为CC的中点时，△AB

11

P的周长为5+2，

当点P在点C处时，△AB

11

P的周长为22+1，

故周长不为定值，故选项A错误；

????????????????

对于B，当μ=1时，BP，即B，所以B，

=λBC+BB=λBC?BC

111

PP

故点P在线段B上，

11

C

因为B

111

CBC，

?平面A

所以直线B上的点到平面A

111

CBC的距离相等，

又△A

1

BC的面积为定值，

所以三棱锥P-A

1

BC的体积为定值，故选项B正确；

5

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1

对于C，当λ=时，取线段BC，B的中点分别为M，M，连结M

1111

CM，

2

????????????????

1

因为BP，即MP，所以MP，

=+μBB=μBB?BB

BC

111

2

则点P在线段M

1

M上，

当点P在M处时，A，A

11111111

MCMB，

⊥B⊥B

又B，所以A

11111111

CB=BMCC，

∩B⊥平面BB

又BM，即A

1111111

?平面BB⊥BM

CC，所以AMP⊥BP，

同理，当点P在M处，A

1

P⊥BP，故选项C错误；

1

对于D，当μ=时，取CC的中点D，BB的中点D，

111

2

??????????????

1

因为BP，即DP，所以DP，

=λBC+=λBC?BC

BB

1

2

则点P在线的DD上，

1

当点P在点D处时，取AC的中点E，连结A

11

E，BE，

因为BE⊥平面ACC，又AD，所以AD

111111

AA

?平面ACC⊥BE，

在正方形ACC中，AD

1111

AE，

⊥A

又BE∩A

111

E=E，BE，AE?平面ABE，

故AD，

111111

⊥平面A

BE，又AB?平面ABE，所以AB⊥AD

在正方体形ABB中，A，

1111

AB⊥AB

又AD，AB，所以A，

111111111

∩AB=A，AD?平面AB

DB⊥平面ABD

因为过定点A与定直线A

1

B垂直的平面有且只有一个，

故有且仅有一个点P，使得A

11

B⊥平面ABP，故选项D正确．

6

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故选：BD．

【点评】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想

象能力，属于难题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知函数f(x)=x(a?2-2)是偶函数，则a=1．

3x

-x

【解析】解：函数f(x)=x

3x

(a?2-2)是偶函数，

-x

y=x

3

为R上的奇函数，

故y=a?2也为R上的奇函数，

x

-2

-x

所以y|

x=0

=a?2-2=a-1=0，

00

所以a=1．

法二：因为函数f(x)=x

3x

(a?2-2)是偶函数，

-x

所以f(-x)=f(x)，

即-x

3x3x

(a?2-2)=x(a?2-2)，

-x-x

即x

3x3x

(a?2-2)+x(a?2-2)=0，

-x-x

即(a-1)(2

x3

+2)x=0，

-x

所以a=1．

故答案为：1．

【点评】本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．

14.(5分)已知O为坐标原点，抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且

2

x=-

3

2

．PQ⊥OP．若|FQ|=6，则C的准线方程为

p

【解析】解：法一：由题意，不妨设P在第一象限，则P，p，k

??

OP

=2，PQ⊥OP．

2

p

11

所以k，所以PQ的方程为：y-p=-，

PQ

=-

??

x-

222

5p

y=0时，x=

，

2

5pp

|FQ|=6，所以-=6，解得p=3，

22

3

所以抛物线的准线方程为：x=-．

2

p

法二：根据射影定理，可得|PF|

2

=|FO||FQ|，可得p=×6，解得p=3，

2

2

3

因此，抛物线的准线方程为：x=-．

2

3

故答案为：x=-．

2

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

15.(5分)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1．

7

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

【解析】解：法一、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的定义域为(0,+∞)．

1

当0<x≤时，f(x)=|2x-1|-2lnx=-2x+1-2lnx，

2

1

此时函数f(x)在0，

?

?

?

上为减函数，

2

?

1

当x>时，f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，

2

2(x-1)

2

则f′(x)=2-，

=

xx

1

当x∈，1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

??

2

当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∵f(x)在(0,+∞)上是连续函数，

∴当x∈(0,1)时，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递增．

∴当x=1时f(x)取得最小值为f(1)=2×1-1-2ln1=1．

故答案为：1．

法二、令g(x)=|2x-1|，h(x)=2lnx，

分别作出两函数的图象如图：

由图可知，f(x)≥f(1)=1，

则数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1．

故答案为：1．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．

16.(5分)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形

纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S，对折2次共可以得到

1

=240dm

2

5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S

2

=180dm

2

，以此类推．则对折4次共可以得到

3n+

n

2403-

??

n

2

不同规格图形的种数为5；如果对折n次，那么．

?

Sdm

k

=

2

k=1

【解析】解：易知有20dm×

3355

dm,10dm×dm,5dm×3dm,dm×6dm，dm×12dm，共5种规格；

4224

240(k+1)

240

由题可知，对折k次共有k+1种规格，且面积为，故S，

kk

k

=

22

nnnn

k+1k+11k+1

则，记T，则，

?

ST

knn

=240==

???

kkk+1

2

222

k=1k=1k=1k=1

1k+1k+1k+2k+1n+1

∴=-=1+--

T

n

????

kk+1k+1k+1

n+1

2

2

2222

k=1k=1k=1k=1

nnn-1n-1

??

=1+-=-

11

1-

n-1

??

4

2

1

1-

2

n+13n+3

，

n+1n+1

2

22

8

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

n+3

，

2

n

n

n+3

∴=2403-

?

S

k

??

n

．

2

k=1

∴T=3-

n

n+3

．故答案为：5；2403-

2

n

??

【点评】本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知数列{a}满足a=1，a=

n1n+1

?

(2)求{a}的前20项和．

n

【解析】解：(1)因为a，

1n+1

=1，a=

?

所以b

1224

=a=2，b=a=5，

b

nn-12n2n-22n2n-12n-12n-2

-b=a-a=a-a+a-a=1+2=3，n≥2，

所以数列{b

n1

}是以b=2为首项，以3为公差的等差数列，

所以b

n

=2+3(n-1)=3n-1．

另解：由题意可得a

2n+12n-12n+22n

=a+3，a=a+3，

其中a

121

=1，a=a+1=2，

于是b

n2n

=a=3(n-1)+2=3n-1，n∈N*．

(2)由(1)可得a=3n-1，n∈N*，

2n

则a

2n-12n-2

=a+2=3(n-1)-1+2=3n-2，n≥2，

当n=1时，a

1

=1也适合上式，

所以a

2n-1

=3n-2，n∈N*，

所以数列{a

n

}的奇数项和偶数项分别为等差数列，

则{a

n122013192420

}的前20项和为a+a+...+a=(a+a+?+a)+(a+a+?+a)=10+×3+10×2+×3=

300．

【点评】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．

18.(12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机

抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确

与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否

则得0分．

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

【解析】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，

则P(X=0)=1-0.8=0.2，

P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8×0.6=0.48，

所以X的分布列为：

X020100

P0.20.320.48

10×910×9

22

a

n

+1,n为奇数

?

?

a

n

+2,n为偶数

a

n

+1,n为奇数,

?

?

a

n

+2,n为偶数?

(1)记b=a}的通项公式；

n2n12n

，写出b，b，并求数列{b

所以a

213243

=a+1=2，a=a+2=4，a=a+1=5，

9

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4，

若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，

则Y的所有可能取值为0，80，100，

P(Y=0)=1-0.6=0.4，

P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12，

P(Y=100)=0.6×0.8=0.48，

则Y的期望为E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，

因为E(Y)>E(X)，

所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．

【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．

19.(12分)记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC．

2

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

bc

【解析】解：(1)证明：由正弦定理知，

==2R，

sin∠ABCsin∠ACB

∴b=2Rsin∠ABC，c=2Rsin∠ACB，

∵b=ac，∴b?2Rsin∠ABC=a?2Rsin∠ACB，

2

即bsin∠ABC=asinC，

∵BDsin∠ABC=asinC，

∴BD=b；

(2)法一：由(1)知BD=b，

21

∵AD=2DC，∴AD=

b，DC=b，

33

BD13b

+AD-AB-9c

在ΔABD中，由余弦定理知，cos∠BDA=，

==

2BD?AD

22222

22

bb

+-c

??

2

3

2

2b?b

2

3

2

12b

2

10bBD

22222

-9a+CD-BC

==

，在ΔCBD中，由余弦定理知，cos∠BDC=

6b

2

2BD?CD

1

bb

22

+-a

??

3

1

2b?b

3

∵∠BDA+∠BDC=π，

∴cos∠BDA+cos∠BDC=0，

13b10b

2222

-9c-9a

即

+=0，

12b6b

22

得11b，

222

=3c+6a

∵b=ac，

2

∴3c-11ac+6a=0，

22

2

∴c=3a或c=

a，

3

在ΔABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=，

7

>1(舍)；

6

27

当c=；

a时，cos∠ABC=

312

7

综上所述，cos∠ABC=．

12

法二：∵点D在边AC上且AD=2DC，

??????

12

∴BD=+

BABC

，

33

??????????

2

12

∴BD=?BD+?BD

BABC

，

33

而由(1)知BD=b，

当c=3a时，cos∠ABC=

aa

22222

+c-b+c-ac

=

2ac2ac

10

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

12

bc?cos∠ABD+ab?cos∠CBD，

33

即3b=c?cos∠ABD+2a?cos∠CBD，

∴b=

2

14

222222

bbab

+c-+b-

99

由余弦定理知：3b=c?，

+2a?

2bc2ab

∴11b=3c+6a

222

，

∵b=ac，

2

∴3c-11ac+6a=0，

22

2

∴c=3a或c=

a，

3

aa

22222

+c-b+c-ac

在ΔABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=，

=

2ac2ac

7

当c=3a时，cos∠ABC=

>1(舍)；

6

27

当c=；

a时，cos∠ABC=

312

7

综上所述，cos∠ABC=．

12

法三：在ΔBCD中，由正弦定理可知asinC=BDsin∠BDC=bsin∠BDC，

而由题意可知ac=b2?asinC=bsin∠ABC，

于是sin∠BDC=sin∠ABC，从而∠BDC=∠ABC或∠BDC+∠ABC=π．

b

2

若∠BDC=∠ABC，则ΔCBD∽ΔCAB，于是CB2=CD?CA?a2=

?a:b:c=1:3:3，

3

无法构成三角形，不合题意．

若∠BDC+∠ABC=π，则∠ADB=∠ABC?ΔABD∽ΔACB，

2b

2

于是AB2=AD?AC?c2=

?a:b:c=3:6:2，满足题意，

3

a7

222

+c-b

因此由余弦定理可得cos∠ABC=．

=

2ac12

【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题．

20.(12分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若ΔOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-

BCD的体积．

【解析】解：(1)证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中点F，因为ΔOCD为正三角形，所以CF⊥OD，

过O作OM?CF与BC交于点M，则OM⊥OD，

所以OM，OD，OA两两垂直，

以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

11

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

31

,,0

，D(0，1，0)，则B(0，-1，0)，C

22

??

12t

设A(0，0，t)，则E0,，

??

,

33

???

因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA

=(0,0,t)，

?

设平面BCE的法向量为n

=(x,y,z)，

????

3342t

又BC，

=,,0,BE=0,,

??

??

2233

?

??

33

x+y=0

n

?BC=0

22

所以由，得，

?

??

42t

n

?BE=0

33

y+z=0

?

22

令x=3，则y=-1，z=，故n，

=3,-1,

??

tt

因为二面角E-BC-D的大小为45°，

???

?

???

?

|n?OA|

22

所以|cos<n，

,OA>|===

?

???

4

2

|n||OA|

t4+

t

2

?

?

?

?

?

?

解得t=1，所以OA=1，

1333

又S，所以S，

ΔOCDΔBCD

=×1×1×==

2242

1133

故V．

A-BCDΔBCD

=?OA=××1=

S

3326

方法二：

过E作EF⊥BD，交BD于点F，过F作FG⊥BC于点G，连结EG，

由题意可知，EF?AO，又AO⊥平面BCD

所以EF⊥平面BCD，又BC?平面BCD，

所以EF⊥BC，又BC⊥FG，FG∩EF=F

所以BC⊥平面EFG，又EG?平面EFG，

所以BC⊥EG，

则∠EGF为二面角E-BC-D的平面角，即∠EGF=45°，

又CD=DO=OB=OC=1，

所以∠BOC=120°，则∠OCB=∠OBC=30°，

故∠BCD=90°，

所以FG?CD，

DEDFEF2

因为，

===

ADODAO3

312

则AO=，

EF,OF=

,DF=

233

1

1+

3

BFGF2

所以，则GF=，

==

BDCD23

23

所以EF=GF=，则AO=

EF=1，

32

1113

所以V．

A-BCDΔBCD

=?AO=××3×1×1=

S

3326

12

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

【点评】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将

空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(-17，0)，F(17，0)，点M满足|MF|-|MF|=2．记M的轨迹为C．

1212

(1)求C的方程；

1

上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|?|TB|=|TP|?|TQ|，求直线AB

2

的斜率与直线PQ的斜率之和．

y

2

x

2

【解析】解：(1)由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为

22

-=1(a>0,b>0),x≥1，

ab

c=17a=1

根据题意，解得，

2a=2b=4

222

cc=17

=a+b

y

2

2

∴C的方程为x-=1(x≥1)；

16

1

x=

2

+tcosθ

1

(2)(法一)设T,m

??

，直线AB的参数方程为，

?

2

?

?

y=m+tsinθ

(2)设点T在直线x=

??

??

??

将其代入C的方程并整理可得，(16cos

2222

θ-sinθ)t

+(16cosθ-2msinθ)t-(m+12)=0，

mm

22

+12+12

由参数的几何意义可知，|TA|=t，|TB|=t，则t，

1212

t

==

sinθ-16cosθ1-17cosθ

222

1

x=

2

+λcosβ

m

2

+12

设直线PQ的参数方程为，|TP|=λ，|TQ|=λ，同理可得，λ，

?

1212

λ

=

?

?

y=m+λsinβ

1-17cosβ

2

mm

22

+12+12

依题意，则cos，

22

θ=cosβ，

22

=

1-17cosθ1-17cosβ

又θ≠β，故cosθ=-cosβ，则cosθ+cosβ=0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．

111

(法二)设T,t+t，A(x)，B(x)，设<x<x

????

，直线AB的方程为y=k，y，y，

1112212

x-

222

1

将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得，(16-k

11111

22222

)x+(k-2tk)x-+k-16=0，

kt-t

4

1

22

-+k-16

4

kt-t

11

kt

11

2

-2k

由韦达定理有，x，

1212

+x=,x=

22

x

k16-k

11

-16

111

又由Ax可得|AT|=1+k，

??????

111111

,k-+t,T,t-

xkx

2

222

1

同理可得|BT|=1+k，

12

2

??

x

-

2

(1+k)(t+12)

1

22

11

2

∴|AT||BT|=(1+k)x--=

112

????

x

，

22

k

1

2

-16

11

设直线PQ的方程为y=k，

2334434

??

x-

+t,P(x,y),Q(x,y)，设<x<x

22

(1+k)(t+12)

2

22

同理可得|PT||QT|=，

k

2

2

-16

1+k1+k

12

22

又|AT||BT|=|PT||QT|，则，化简可得k，

22

==k

12

22

kk

12

-16-16

又k，则k，即k

121212

≠k=-k+k=0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．

13

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

【点评】本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解

能力，属于中档题．

22.(12分)已知函数f(x)=x(1-lnx)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+<e．

∴x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，

x∈(1,+∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，

则f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减．

111111

(2)证明：由blna-alnb=a-b，得-+=-

lnln

，

aaa

bbb

1111

即，

????

1-ln1-ln

=

aa

bb

由(1)f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，

所以f(x)

max

=f(1)=1，且f(e)=0，

11

令x，x，

12

==

a

b

则x，x为f(x)=k的两根，其中k∈(0,1)．

12

不妨令x

121

∈(0,1)，x∈(1,e)，则2-x>1，

先证2<x，即证x，即证f(x

1221211

+x>2-x)=f(x)<f(2-x)，

令h(x)=f(x)-f(2-x)，

则h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]在(0,1)单调递减，

所以h′(x)>h′(1)=0，

故函数h(x)在(0,1)单调递增，

∴h(x)<h(1)=0．∴f(x)<f(2-x)，∴2<x+x

11112

，得证．

同理，要证x

12

+x<e，

(法一)即证1<x<e-x

21

，

根据(1)中f(x)单调性，

即证f(x

211

)=f(x)>f(e-x)，

令φ(x)=f(x)-f(e-x)，x∈(0,1)，

则φ

?

(x)=-ln[x(e-x)]，令φ′(x)=0，

0

14

11

a

b

【解析】(1)解：由函数的解析式可得f

?

(x)=1-lnx-1=-lnx，

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

x∈(0,x

0

)，φ(x)>0，φ(x)单调递增，

?

x∈(x

0

，1)，φ

?

(x)<0，φ(x)单调递减，

又0<x<e时，f(x)>0，且f(e)=0，

故lim

φ(x)=0，

+

x→0

φ(1)=f(1)-f(e-1)>0，

∴φ(x)>0恒成立，

x

12

+x<e得证，

(法二)f(x)=f(x)，x(1-lnx)=x(1-lnx)，

121122

又x，

11111

∈(0,1)，故1-lnx>1，x(1-lnx)>x

故x，x

121122222

+x<x(1-lnx)+x=x(1-lnx)+x∈(1,e)，

令g(x)=x(1-lnx)+x，g′(x)=1-lnx，x∈(1,e)，

在(1,e)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，

所以g(x)<g(e)=e，

即x

22212

(1-lnx)+x<e，所以x+x<e，得证，

11

则2<

+<e．

a

b

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思

想等知识，属于难题．

15