2023年12月27日发(作者：世界上十大恐怖的车)

2023年新高考1卷

数学

一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

1. 已知集合M=??2,?1,0,1,2?，N=?x|x2?x?6?0?，MN=（ ）

A.

??2,?1,0,1? B.

?0,1,2? C.

??2? D.

?2?

【答案】C；

【解析】N=(??,?2??3,+?)，则MN=??2?，故选C．

2. 已知z=1?i2+2i，则z?z=（ ）

A.

?i B.

i C.

0 D.

1

【答案】A；

2【解析】z=1(1?i)2?(1+i)(1?i)=?2i4=?12i，则z=12i，则z?z=?i，故选A．

3. 已知向量a=(1,1)，b=(1,?1)．若(a+?b)⊥(a+?b)，则（ ）

A.

?+?=1 B.

?+?=?1 C.

??=1 D.

??=?1

【答案】D；

【解析】a+?b=(1+?,1??)，a+?b=(1+?,1??)，

由题意可得(1+?)(1+?)+(1??)(1??)=0，则??=?1，故选D．

4. 设函数f(x)=2x(x?a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是（ ）

A.

(??,?2? B.

??2,0) C.

(0,2? D.

?2,+?)

【答案】D；

【解析】由y=2x在R上递增，由题意可得y=x2?ax在(0,1)单调递减，则a2?1，故选D．

设椭圆Cx2x25.21:a2+y=1(a?1)，C2:4+y2=1的离心率分别为e1,e2．若e2=3e1，则a=（

A.

233 B.

2 C.

3 D.

6

【答案】A；

【解析】椭圆Cea2?13231离心率1=a，椭圆C2离心率e2=2，由e2=3e1，则a=3，故选A．6. 过点(0,?2)与圆x2+y2?4x?1=0相切的两条直线的夹角为?，则sin?=（ ）

）

A. 1

【答案】B；

B.

15

4C.

10

4D.

6

4【解析】圆C:(x?2)+y2=5，设P(0,?2)，则PC=22，r=5，

切线与PC夹角?满足sin?=5222，cos?=322，

则sin?=sin2?=2sin?cos?=15，故选B．

4?S?7. 记Sn为数列?an?的前n项和，设甲：?an?为等差数列；乙：?n?为等差数列，则（ ）

?n?A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C；

【解析】?an?为等差数列时，Sn=na1+n(n?1)2d，Snn?1d?S?=a1+d=a1+(n?1)?，?n?为等差数列；

n22?n?Sn?Sn?=An+B，Sn=An2+Bn，则an=A(2n?1)+B，?an?为等差数列；

??为等差数列时，n?n?故选C．

8. 已知sin(???)=A.

7

911，cos?sin?=，则cos(??+2?)=

36B.

1

91C.

?

97D.

?

9【答案】B；

【解析】由sin(???)=111可得sin?cos??cos?sin?=，由cos?sin?=，

6332112则sin?cos?+cos?sin?=+?2=，即sin(?+?)=，

3363cos(2?+2?)=1?2sin2(?+?)=1?81=，故选B．

98二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的的得0分）

9. 有一组样本数据x1,x2,,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ ）

,x6的平均数

,x6的平均数

A.

x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,B.

x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,

C.

x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,D.

x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,【答案】BD；

,x6的标准差

,x6的极差

【解析】A选项，错误，例如数据1,1,1,1,1,2；

B选项，正确，由x1最小，x6最大，可得x2~x5与x1~x6从小到大排列后中间两个数相同；

C选项，错误，例如数据0,1,1,1,1,2；

D选项，正确，由x1最小，x6最大显然．

故选BD．

10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20?lgp，其中常数p0p0(p0?0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源

燃油汽车

混合动力汽车

电动汽车

与声源的距离/m

10

10

10

声压级/dB

60~90

50~60

40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（ ）

A.

p1?p2

【答案】ACD；

【解析】Lp关于P递增，则A正确；

由表格可得Lp1?Lp2?40，则lgLp2?Lp3?10，则lgLp3=40，则lgpp1p?lg2?2，即lg1?2，即p1?102p2=100p2，D正确；

p0p0p2B.

p2?10p3 C.

p3=100p0 D.

p1?100p2

pp2p11?lg3?，即lg2?，则p2?10p3，B不一定正确；

p0p02p32p3=2，则p3=100p0，C正确；

p0故选ACD．

11. 已知函数f(x)定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（ ）

A.

f(0)=0

C.

f(x)是偶函数

【答案】ABC；

【解析】A选项，令x=y=0，可得f(0)=0，A正确；

B选项，令x=y=1，可得f(1)=f(1)+f(1)，则f(1)=0，B正确；

C选项，令x=y=?1，可得f(1)=f(?1)+f(?1)，f(?1)=0，

B.

f(1)=0

D.

x=0为f(x)的极小值点

令y=?1，可得f(?x)=f(x)+x2f(?1)=f(x)，C正确；

D选项，若f(x)=0，

x?R，则满足题目要求，但x=0不是极小值点，D错误

故选ABC．

12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）

A. 直径为0.99m的球体

B. 所有棱长均为1.4m的四面体

C. 底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体

D. 底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

【答案】ABD；

【解析】A选项，显然正确，球心为正方体中心即可；

B选项，正方体中，如图正四面体棱长为2?1.4，则B正确；

C选项，正方体中最长线段为体对角线长3?3.24=1.8，

因此高为1.8m的圆柱无法放入正方体，C错误；

D选项，正方体如图正六边形截面，边长为 中心到边的距离为2，

2

63==0.375?0.36，且超过较多，

48 故高为0.01m的圆柱体可以放入正方体中，D正确；

故选ABD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．

【答案】64；

11221【解析】C14C4+C4C4+C4C4=64．

14. 在正四棱台ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=2，则该棱台的体积为 ．

【答案】76；

6【解析】由题意AC=22，AC2，棱台的高为等腰梯形ACC1A1的高，由AA1=CC1=2，

11=?2?6176=V=S+SS+Sh=可得高h=2??，棱台体积．

?11?2?236??2()15. 已知函数f(x)=cos?x?1(??0)在区间?0,2π?有且仅有3个零点，则?的取值范围 ．

【答案】[2,3)

【解析】由??0，可得x??0,2π?时?x??0,2?π?，由cos?x=1有且仅有3个零点，

可得4π?2?π?6π，则??[2,3)

x2y216. 已知双曲线C:2?2=1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2．点A在C上，点B在y轴上，ab2F1A⊥F1B，F2A=?F2B，则C的离心率为 ．

3A【答案】35；

5【解析】设AF2=2t，则BF2=3t，由对称性可得BF1=3t，

由双曲线定义可得AF1=2t+2a，

由F1A⊥F1B可得(2t+2a)+(3t)=(5t)，则a=t，

222F1F2B则AF2=2a,BF1=BF2=3a,AF1=4a，由cos?F1F2A+cos?F1F2B=0，F1F2=2c，

354c2+4a2?16a24c2+9c2?9c2．

+=0，解得5c2=9a2，则e=52?2a?2c2?3a?2c三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上

17. （本小题满分10分）

已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A?C)=sinB．

⑴ 求sinA；

⑵ 设AB=5，求AB边上的高．

【答案】⑴

310；⑵ 6；

10【解析】⑴ 三角形ABC中，A+B+C=π，由A+B=3C可得C=3ππ，A+B=，

44π???3π?由2sin(A?C)=sinB，则2sin?A??=sin??A?，

4???4?ππ?3π3π?则2?sinAcos?cosAsin?=sincosA?cossinA，

44?44?则2sinA?2cosA=22cosA+sinA，则sinA=3cosA，

22由sin2A+cos2A=1，可得sin2A=则sinA=310；

109，三角形ABC中，A?(0,π)，则sinA?0，

10

⑵ 由sinA=10310，sinA=3cosA可得cosA=，

101022?3π?则sinB=sin??A?=(cosA+sinA)=，

5?4?2设A,B,C所对边分别为a,b,c，则c=5，

由正弦定理b5bc，可得，则b=210，

==2sinBsinC252113=15， 则S△ABC=bcsinA=?210?5?2210设三角形ABC中18. （本小题满分12分）

15边上的高为h ，则S△ABC=ch=h，则h=6．

22如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3．

C1D1C2A1B1⑴ 证明：B2C2//A2D2；

⑵ 点P在棱BB1上，当二面角P?A2C2?D2为150?时，求B2P．

【答案】⑴ 证明详见解析；⑵ 1；

【解析】⑴ 以C为原点，射线CD,CB,CC1方向为x,y,z轴正方向建系，

正四棱柱中，四边形ABCD为正方形，

则AB=BC=CD=DA=2，AA1=BB1=CC1=DD1=4，

则B2(0,2,2)，C2(0,0,3)，A2(2,2,1)，D2(2,0,2)，

PB2A2AD2CDB则B2C2=(0,?2,1)，A2D2=(0,?2,1)，则A2D2//B2C2，A2D2和B2C2不共线，则B2C2//A2D2；

⑵ 设P(0,2,t)，t??0,4?，则C2D2=(2,0,?1)，C2A2=(2,2,?2)，C2P=(0,2,t?3)，

设平面A2C2D2法向量n1=(x1,y1,z1)，平面A2C2P法向量n2=(x2,y2,z2)，

则n1?C2D2=0，n1?C2A2=0，n2?C2A2=0，n2?C2P=0，

则2x1?z1=0,2x1+2y1?2z1=0,2x2+2y2?2z2=0,2y2+(t?3)z2=0，

则可取n1=(1,1,2)，n2=(1?t,t?3,?2)，

由二面角P?A2C2?D2为150?，可得cosn1,n2=解得t=1,3，则B2P=1．

1?t+t?3?433=，则，

22226?(1?t)+(t?3)+4

19. （本小题满分12分）

已知函数f(x)=a(ex+a)?x．

⑴ 讨论f(x)的单调性；

⑵ 证明：当a?0时，f(x)?2lna+【答案】⑴ 详见解析；⑵ 详见解析；

【解析】⑴

f?(x)=aex?1，

①

a?0时，f?(x)?0恒成立，f(x)在R上递减；

②

a?0时，f?(x)=0时x=?lna，

x?(??,?lna)时，f?(x)?0，x?(?lna,+?)时f?(x)?0，

则f(x)在(??,?lna)递减，(?lna,+?)递增；

⑵ 法一：a?0时，由第一问可得f(x)?f(?lna)=a(e?lna+a)+lna=a2+1+lna，

11 令?(a)=a2?lna?，则??(a)=2a?，

2a?2??2???a?,+?a?0, 则????2?时?(a)?0，

?2??时?(a)?0，??????2?2?0,,+? 则?(a)在?递减，???2??2??递增，

?????2?121232=?ln?=?ln?0 则?(a)???，则．

fx?a+1+lna?2lna+()??2?22222??3．

2法二：令p(x)=ex?x?1，则p?(x)=ex?1，

则x?0时p?(x)?0，x?0时p?(x)?0，则p(x)在(??,0)递减，(0,+?)递增，

则p(x)?p(0)=0，即ex?x+1，则ex+lna?x+lna+1，

则f(x)=ex+lna+a2?x?x+lna+1+a2?x=lna+a2+1，

由e?x+1可得e2xlna2a21?lna+1，即a?2lna+1，则?lna+，

2222a2113 则a?0时a??lna+，则f(x)?lna+a2+1?lna+lna++1=2lna+．

2222

20. （本小题满分12分）

n2+n设等差数列?an?的公差为d，且d?1．令bn=，记Sn,Tn分别为数列?an?,?bn?的前n项和．

an⑴ 若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求?an?的通项公式；

⑵ 若?bn?为等差数列，且S99?T99=99，求d．

【答案】⑴

an=3n；⑵

51；

50【解析】⑴

a2=a1+d，a3=a1+2d，由3a2=3a1+a3，代入化简可得a1=d，则a2=2d,a3=3d，

则S3=6d，b1=则6d+9261243，b2==，则T3=，

=，b3=d2dd3ddd9=21，则2d2?7d+3=0，即(2d?1)(d?3)=0，由d?1可得d=3，

d则an=3n；

⑵

an=a1+(n?1)d=dn+(a1?d)n，令a1?d=t，则an=dn+t，

由?bn?为等差数列，设公差为d?，b??d?=t?，则bn=d?n+t?，

n2+n由bn=，可得dd?n2+(dt?+d?t)n+tt?=n2+n，

an即(dd??1)n2+(dt?+d?t?1)n+tt?=0对任意n?N?成立，

则dd?=1，dt?+d?t=1，tt?=0，

①

t=0时d?=

S99=11n+1，

,t?=,a1=d，则an=dn，bn=ddd1?2100?d+99d?99，T99=?+??99，

2?dd?25151，

=1，即50d2?d?51=0，解得d=?1或50d 由S99?T99=99，可得50d? 由d?1可得d=②

t?=0时d?=

S99=51；

50n11,t==d，则an=(n+1)d，bn=，

ddd?1?199?2d+100d?99，T99=?+??99，

2?dd?2 由S99?T99=99，可得51d? 在d?1时无解；

综上，d=51．

505050=1，即51d2?d?50=0，解得d=1或?，

d51

21. （本小题满分12分）

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮是甲、乙的概率均是0.5．

⑴ 求第二次投篮的人是乙的概率；

⑵ 求第i次投篮的人是甲的概率；

⑶ 已知随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1?P(Xi=0)=qi，i=1,2,,n，则?n?nE??Xi?=?qi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮次数为Y，求E(Y)．

?i=1?i=1nn5??2??【答案】⑴

0.6；⑵

E(Y)=+?1????；

318???5???【解析】⑴ 若第一次投篮是甲，第二次投篮是乙，概率为0.5?0.4=0.2；

若前两次投篮均为乙，概率为0.5?0.8=0.4；

则第二次投篮的人是乙的概率为0.2+0.4=0.6；

⑵ 设第i次投篮的人是甲的概率为pi，i=1,2,3,，由题意可得p1=1=31，

2则pi+1=pi?0.6+(1?pi)?0.2=0.2+0.4pi，则pi+1?2?1??pi??，

5?3?1?211?则?pi+1??是首项为p1?=，公比为的等比数列，

3?536?11?2?则pi?=???36?5?i?11?2?，即pi=???6?5?i?11+；

3⑶ 设随机变量Xi为两点分布，第i次为甲投篮时Xi=1，否则Xi=0，

1?2?则P(Xi=1)=???6?5?i?11+，

3n?2?1?i?1n??nnn?1?2?1?n1n5??2??5??则Y=?Xi，则E(Y)=?pi=?????+?=+?=+?1????．

265336318?i=1i=1i=1????????5???1?5

22. （本小题满分12分）

?1?在直角坐标系xOy中，点P到x轴距离等于点P到点?0,?的距离，记动点P的轨迹为W．

?2?⑴ 求W的轨迹方程；

⑵ 已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．

【答案】⑴

y=x2+1；⑵ ；

4221?1?【解析】⑴ 设P(x,y)，由题意可得y=x+?y??，解得y=x2+，

2?4?即W的轨迹方程为y=x2+1；

41??1??1??22+?,A?x1,x12+?,C?x2,x2+?， ⑵ 不妨设A,B,C在W上，BA⊥BC，设B?x0,x04??4??4??若BA斜率不存在，则BA与y=x2+1仅有一个交点，不符合题意，

41则BA斜率存在，同理BC斜率存在，由BA⊥BC，可设BA斜率为k，BC斜率为?，

k1?21?1?21?+?=0，

+?=k(x?x0)，与y=x2+联立，可得x2?k(x?x0)+??x0则BA:y??x04?4?4?4?即(x?x0)(x+x0?k)=0，则x1=k?x0，

则BA=k2+1x1?x0=k2+1k?2x0，

111?1?同理BC=???+1??2x0=，

+12x+02kkk?k?2BA+BC=f(x0)=k2+12x0?k+11，

+12x+02kk法一：k?0时，f(x0)在x0??

k?0时，f(x0)在x0?1k1k递减，x0?递增，??x0?时f(x0)为一次函数；

2k22k2k1k1递减，x0??递增，?x0??时f(x0)为一次函数；

2k222k?k? 则f(x0)的最小值为f??与?2??1?f???中的较小值，

?2k??k?

f??=?2?k+1k+1=k2k22(k2+1k2)3t3?k?，令t=k+1?1，则f??=2，

?2?t?122t2?1)3t2?2t?t3t4?3t2tt+3t?3(t3 令g(t)=2，则g?(t)=，

==222222t?1(t?1)(t?1)(t?1)()()

则t?1,3时g?(t)?0，t?()(3,+?时g?(t)?0，则g(t)?g3)(3)=323，

1?1?

f???=k2+1??k=k?2k?(k+1k2)3??1?2????+1???k????=g?1+1??33，

=?22???k2?1??????k? 则f(x0)的最小值大于等于 而x0=

x0=?k133，x0=或?时可能取到最值，

22k2k时x1=x0，A,B重合，不符合题意；

21时x2=x0，B,C重合，不符合题意；

2k 则BA+BC?法二：

33，则矩形ABCD周长大于33；

2

BA+BC=f(x0)=k2+12x0?k+ 而?111中，用替换k形式不变，

+x+12?0k2kk11?k=1，?,k中至少一个不小于1，则不妨设k?1，

kk2 则k+1?k2+1=k2k2+1，

k2 则BA+BC? 后同法一．

k+1?12x?k+2x+00k2?k?????k+11k?=2kk2(k2+1k2)3，

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