福建师范大学2021年8月《常微分方程》作业考核试题及答案参考1

2024年3月4日发(作者：大众suv10万左右的车)

福建师范大学2021年8月《常微分方程》作业考核试题及答案（参考）

1. 边长为b的方形薄膜，边缘固定，开始时膜上各点的位移为Axy(b-x)(b-y)，(A为常数)，求它从静止开始的

边长为b的方形薄膜，边缘固定，开始时膜上各点的位移为Axy(b-x)(b-y)，(A为常数)，求它从静止开始的自由振动情况。

正确答案：该问题的数学模型为rnrnStep1：分离变量rn 令u(xyt)=X(x)Y(y)T(t)rn代入齐次方程及齐次边界条件有rn

x(x)Y(y)T(t)=a2[X\"(x)Y(y)T(t)+X(x)Y\"(y)T(t)]rn两边同除以a2X(x)Y(y)T(t)得rnrn分析可知上式两端必须是常数rnrn得3个常微分方程rn X\"(x)-αX(x)=0rn Y\"(y)-βY(y)=0rn T\"(t)-a2μT(t)=0rn代入齐次边齐条件中有X(0)=X(b)=0Y(0)=Y(b)=0rn Step2：求特征值rn由前面的习题知：rn

该问题的数学模型为Step1：分离变量令u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)代入齐次方程及齐次边界条件有x(x)Y(y)T(t)=a2[X\"(x)Y(y)T(t)+X(x)Y\"(y)T(t)]两边同除以a2X(x)Y(y)T(t)得分析可知上式两端必须是常数得3个常微分方程X\"(x)-αX(x)=0Y\"(y)-βY(y)=0T\"(t)-a2μT(t)=0代入齐次边齐条件中有X(0)=X(b)=0,Y(0)=Y(b)=0Step2：求特征值由前面的习题知：

2. 求在点P(1，2)处的梯度，并求该梯度在方向上的投影，已知与x轴正向成角．

求在点P(1，2)处的梯度，并求该梯度在方向上的投影，已知与x轴正向成角．

13.

3. 设随机变量，求函数y=1-3X的数学期望与方差．

设随机变量，求函数y=1-3X的数学期望与方差．

函数的数字特征．

用函数的数学期望公式，得

由方差公式，有

4. 已知基金F以利息力函数(t≥0)累积，基金G以利息力函数(t≥0)累积．若分别用aF(t)和aG(t)表示两个基金在t(t≥0)时

已知基金F以利息力函数(t≥0)累积，基金G以利息力函数(t≥0)累积．若分别用aF(t)和aG(t)表示两个基金在t(t≥0)时刻的累积函数，并令h(t)=aF(t)-aG(t)，试计算使h(t)达到最大的时刻T．

由题设条件有

根据h(t)定义得

h(t)=t-2t2，

由此求出．

5. 若函数f(x)在(a，b)内存在原函数，则原函数有( )。

A.一个

B.两个

C.无穷多个

D.其他选项都选

参考答案：C

6. 若A为正交矩阵，则其行向量组线性无关． 若A的行向量组线性无关，则A为正交矩阵？

若A为正交矩阵，则其行向量组线性无关．

若A的行向量组线性无关，则A为正交矩阵？

[例] 设，易知A的行向量组线性无关，而A不是正交矩阵．

7. 函数x=xy(1-x-y)的极值点是______． (A)(0，0) (B)(0，1) (C)(1，0) (D)(，)

函数x=xy(1-x-y)的极值点是______．

(A)(0，0) (B)(0，1) (C)(1，0) (D)(，)

D因为=y(1-2x-y)，=x(1-x-2y)．

令，即

解得：，，，

又因为

，，

当(x，y)=(0，0)时，A=0，B=1，C=0，B2-AC=1＞0，所以，点(0，0)不是极值点．

当(x，y)=(0，1)时，A=-2，B=-1，C=0，B2-AC=1＞0，所以，点(0，1)不是极值点．

当(x，y)=(1，0)时，A=0，B=-1，C=-2，B2-AC=1＞0，所以点(1，0)不是极值点，

当(x，y)=(，)时，A=-，B=-，C=-，B2-AC=-＜0．且A＜0，所以，点(，)是函数的极大值点．

故应选(D).

8. 当x→0时，f(x)=tan2x/x的极限是( )。

A.0

B.1

C.2

D.1/2

参考答案：C

9. ∫sin2xdx=( )。

A.(1/2)*cos2x+C

*sinx+C

C.(-1/2)*cos2x+C

D.-cosx*cosx+C

参考答案：BCD

10. 在有界闭区域D上的多元初等函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。( )

A.正确

B.错误

参考答案：A

11. 计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) y＝ex，y＝e-x ，x＝1 ；(2)y＝x3－4x，y＝0； (3) y＝x2，y＝x，y＝2

计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) y＝ex，y＝e-x ，x＝1 ；(2)y＝x3－4x，y＝0；

(3) y＝x2，y＝x，y＝2x； (4)y2＝12(x＋3)，y2＝－1

正确答案：解 (1)另所求平面图形面积为A如图6—12所示则rn

解(1)另所求平面图形面积为A,如图6—12所示,则

12. 设f(x)在[a，b]上连续，且证明：在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使 f(x1)=f(x2)=0

设f(x)在[a，b]上连续，且证明：在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使

f(x1)=f(x2)=0

①证法1 若在[a，b]上f(x)≡0，则命题结论成立，设f(x)不恒为零，且

则F(a)=F(b)=0，又F(x)在[a，b]上连续，可导，可知F\'(x)=f(x),因此

(*)

由于F(x)为[a，b]上的连续函数，且，可知必定存在一点η∈(a，b)，使F(η)=0,否则，与(*)式矛盾，

在[a，η]，[η，b]上对F(x)利用罗尔定理，可知必定存在x1∈(a，η)，x2∈(η，b)，使得

F\'(x1)=f(x1)=0，

F\'(x2)=f(x2)=0

证法2 由题设，f(x)为[a，b]上的连续函数，可知必定存在点x1∈(a，b)，使f(x1)=0,否则不妨设在(a，b)内f(x)＞0，则与题设矛盾

设f(x)在(a，b)内不存在第二个零点，则不妨设

设g(x)=(x1-x)f(x)，

则

可知

又得出矛盾，表明f(x)在(a，b)内至少存在两个零点x1，x2

13. 下列各微分式不正确的是( )。

=d(x^2)

2xdx=d(sin2x)

=-d(5-x)

D.d(x^2)=(dx)^2

参考答案：ABD

14. 设,点到集合E的距离定义为 . 证明：(1) 若E是闭集，,则ρ(x,E)＞0; (2) 若是E连同其全体取点所组成的集合(称

设,点到集合E的距离定义为

.

证明：(1) 若E是闭集，,则ρ(x,E)＞0;

(2) 若是E连同其全体取点所组成的集合(称为E的闭包)，则

.

15. 若一个向量乘以 i，则可以理解为：A、旋转90度B、旋转180度C、乘以－1D、乘以1

若一个向量乘以 i，则可以理解为：

A、旋转90度

B、旋转180度

C、乘以-1

D、乘以1

正确答案： A

16. 设函数,其中，，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1.

设函数,其中，，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式|grad u|=1.

因为,

同理.

所以.

又因为,

所以，使,

即球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=1上的点使|grad u|=1成立.

17. 参数的区间估计与参数的假设检验法都是统计推断的重要内容，它们之间的关系是( )

A．没有任何相似之处 B．

参数的区间估计与参数的假设检验法都是统计推断的重要内容，它们之间的关系是( )

A．没有任何相似之处

B．假设检验法隐含了区间估计法

C．区间估计法隐含了假设检验法

D．两种方法虽然提法不同，但解决问题的途径是相同的

D

18. 为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命为，标准差s1=28h，从乙组

为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命为，标准差s1=28h，从乙组生产的灯泡中任取7只，测得平均寿命为，标准差s2=32h，设这两总体都近似服从正态分布，且方差相等，求总体均值差μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间

(-19.74，59.74)

19. 就p，q的各种情况说明二次曲面z＝x2＋py2＋qz2的类型．

就p，q的各种情况说明二次曲面z＝x2＋py2＋qz2的类型．

正确答案：(1)p＝q＝0时z＝x2是抛物柱面；rn(2)q＝0p≠0时若p＞0z＝x2＋py2是椭圆抛物面若p＜0z＝x2＋py2是双曲抛物面；rn

(1)p＝q＝0时,z＝x2,是抛物柱面；(2)q＝0,p≠0时,若p＞0,z＝x2＋py2是椭圆抛物面,若p

＜0,z＝x2＋py2是双曲抛物面；

20. y\"+4y&39;+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式( )

y\"+4y\'+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式( )

正确

21. 测定预测误差的统计指标主要有( )。 A．总预测误差 B．平均绝对误差 C．相对误差 D．均方根误差 E．平均误

测定预测误差的统计指标主要有( )。

A．总预测误差 B．平均绝对误差

C．相对误差 D．均方根误差

E．平均误差

ABCD

22. 设u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，z=z(x，y)由方程zex－yey=zez所确定，求du

设u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，z=z(x，y)由方程zex-yey=zez所确定，求du

23. 设X0是函数f(x)的可去间断点，则( )

A.f(x)在x0的某个去心领域有界

B.f(x)在x0的任意去心领域有界

C.f(x)在x0的某个去心领域无界

D.f(x)在x0的任意去心领域无界

参考答案：A

24. 下列函数F(x)是的一个原函数的为( )。 A．F(x)=ln2x B． C．F(x)=ln(2＋x) D．

设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）的一个原函数，则（ ）

A.当f（x）为单调函数时，F（x）必为单调函数

B.当f（x）为奇函数时，F（x）必为偶函数

C.当f（x）为有界函数时，F（x）必为有界函数

D.当f（x）为周期函数时，F（x）必为周期函数

Ab

25. 设X的分布函数，求X的分布律。

设X的分布函数，求X的分布律。

X的概率分布律为

X -1 1 3 P 0.4 0.4 0.2

26. 设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是实系数多项式，n≥2，且某个ak=0(1≤k≤n-1)，及当i≠k时，ai≠0。证明：若f(x)有n个

设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是实系数多项式，n≥2，且某个ak=0(1≤k≤n-1)，及当i≠k时，ai≠0。证明：若f(x)有n个相异的实根，则ak-1·ak+1＜0

证法1 由罗尔定理可知，在可导函数的两个零点之间，其导数在某点为零,因此，如果f(k-

1)(x)有n-k+1个相异的零点，则f(k)(x)有n-k个零点，且f(k)(x)的零点位于f(k-1)(x)的每两个相邻零点之间

由于f(x)=anxn+…+a1x+a0，则

f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k11)!ak-1,C1=k！ak=0,

假设ak-1,ak+1同号，不妨设ak-1＞0，ak+1＞0，则f(k-1)(x)在点x=0的左方某邻域内单调减少；在点x=0的右方某邻域内单调增加,而f(k)(0)=0，可知f(k-1)(0)=C0＞0为f(k-1)(x)的极小值

若f(k)(x)无其他零点，则对任意x≠0，应有f(k-1)(x)＞f(k-1)(0)=C0＞0，因此f(k-1)(x)也没有零点，矛盾

若x0是f(k)(x)与x=0相邻的零点，则在x=0与x0之间有f(k-1)(x)≥C0＞0，这与f(k-1)(x)在0与x0为端点的区间内存在零点矛盾

从而可知ak-1·ak+1＜0

证法2 由于

f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k-1)!ak-1≠0,C1=k！ak=0，

f(k-1)(x)有n-k+1个互异的零点，设为x1＜x2＜…＜xn-k+1，

由于C0≠0，可见

x1·x2·…·xn-k+1≠0则多项式

ψ(x)=Cn-k+1+Cn-kx+…+C2xn-k-1+C1xn-k+C0xn-k+1有互异的零点由罗尔定理可知

有不相等的二实根但C1=0，因此

即

ak-1·ak+1＜0由前面几题可以发现，讨论方程根的存在性，常常利用函数的单调性、函数的极值、闭区间上连续函数的介值定理、罗尔定理以及综合运用上述性质

27. 在椭圆上每一点有作用力F，其大小等于该点到椭圆中心的距离，而方向指向椭圆中心

在椭圆上每一点有作用力F，其大小等于该点到椭圆中心的距离，而方向指向椭圆中心

$0

28. 设Ai(i=1，2，3，…．n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证

设Ai(i=1，2，3，…．n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证

(如图所示)因为

，，

以上各式相加得

由于λ≠2，所以

29. 函数在f(x)在x?处有定义，是当x→x?时f(x)有极限的充分必要条件。( )

A.错误

B.正确

参考答案：A

30. 多元复合函数的求导法则，因复合情形不同，求导公式形式各异，怎样才能正确掌握其求导法则?

多元复合函数的求导法则，因复合情形不同，求导公式形式各异，怎样才能正确掌握其求导法则?

多元复合函数的求导法则，虽然因复合情形不同，造成求导形式各异，但其本质特征是一致的．掌握了求导公式的本质特征，就能正确地运用于各种情形．下面以含2个中间变量、2个自变量的复合函数的求导法则为例，来分析它的本质特征．

设 u=ψ(x，y)，v=Ψ(x，y)，z=f(u，v)，复合函数z=f[ψ(x，y)，Ψ(x，y)]有偏导数

，

对这一求导法则，我们简称为2×2法则或标准法则，从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下：

(1)由于函数z=f[ψ(x，y)，Ψ(x，y)]有两个自变量，所以法则中包含与共两个偏导数公式；

(2)由于函数的复合结构中有两个中问变量，所以每一偏导数公式都是两项之和．这两项分别含有

(3)每一项的构成与一元复合函数的求导法则类似，即“因变量对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数”．

由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量．为直观地显示变量之间的复合结构，我们可用结构图(也称树形图)图来表示出因变量z经过中间变量u，v再通向自变量x，y的各条途径．

按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广到m个中间变量n个自变量的情形(如图)：

设函数z=f(u1，u2，…，um)具有连续偏导数，而ui=ψi(x1，x2，…，x3)(i=1．2，……，m)可偏导，则复合函数z=f[ψ1(x1，x2，…，xn)，…，ψm(x1，x2，…．xn)]具有偏导数，且