2021年上海市高考数学试卷(含答案)

2024年3月4日发(作者：车展买车便宜还是4s店便宜)

2021年上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）

1．（4分）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝ ．

2．（4分）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝ ．

3．（4分）若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为 ．

4．（4分）如图正方形ABCD的边长为3，求?＝ ．

5．（4分）已知f（x）＝+2，则f﹣1（1）＝ ．

56．（4分）已知二项式（x+a）展开式中，x2的系数为80，则a＝ ．

7．（5分）已知，z＝x﹣y，则z的最大值为 ．

8．（5分）已知{an}为无穷等比数列，a1＝3，an的各项和为9，bn＝a2n，则数列{bn}的各项和为 ．

9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为 ．

10．（5分）已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．

11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛第1页（共19页）

物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 ．

12．（5分）已知ai∈N*（i＝1，2，…，9）对任意的k∈N*（2≤k≤8），ak＝ak﹣1+1或ak＝ak+1﹣1中有且仅有一个成立，a1＝6，a9＝9，则a1+…+a9的最小值为 ．

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

13．（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）

A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x

14．（5分）已知参数方程该方程（ ）

，t∈[﹣1，1]，以下哪个图符合A． B．

C． D．

15．（5分）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的值是（ ）

第2页（共19页）

A． B． C． D．

16．（5分）已知x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（ ）

A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3

三、解答题

17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3．

（1）若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥C﹣PAD的体积；

（2）求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小．

C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3

18．（14分）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．

（1）若A＝，求S△ABC．

（2）若2sinB﹣sinC＝1，求C△ABC．

19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．

（1）求今年起的前20个季度的总营业额；

（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？

第3页（共19页）

20．（16分）已知Γ：+y2＝1，F1，F2是其左、右交焦点，直线l），交椭圆于A，B两点，且A，B在x过点P（m，0）（m≤﹣轴上方，点A在线段BP上．

（1）若B是上顶点，|（2）若的方程；

（3）证明：对于任意m＜﹣条．

21．（16分）已知x1，x2∈R，若对任意的x2﹣x1∈S，f（x2）﹣f（x1）∈S，则有定义：f（x）是在S关联的．

（1）判断和证明f（x）＝2x﹣1是否在[0，+∞）关联？是否有[0，1]关联？

（2）若f（x）是在{3}关联的，f（x）在x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，求解不等式：2≤f（x）≤3．

（3）证明：f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”．

，使得∥的直线有且仅有一?|＝||，求m的值；

，求直线l＝，且原点O到直线l的距离为第4页（共19页）

参考答案

一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）

1． 参考答案：因为z1＝1+i，z2＝2+3i，

所以z1+z2＝3+4i．

故答案为：3+4i．

点拨：本题考查了复数的加法运算，属基础题．

2． 参考答案：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x所以A∩B＝{﹣1，0}．

故答案为：{﹣1，0}．

点拨：本题考查了交集及其运算，属基础题．

3． 参考答案：由x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可得圆的标准方程为（x?1）2}，B＝{﹣1，0，1}，

+（y?2）2＝5，

所以圆心坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

点拨：本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题．

4． 参考答案：由数量积的定义，可得因为故答案为：9．

点拨：本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．

第5页（共19页）

，

＝9． ，所以

5． 参考答案：因为f（x）＝+2，

令f（x）＝1，即+2＝1，解得x＝﹣3，

故f﹣1（1）＝﹣3．

故答案为：﹣3．

点拨：本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题．

6． 参考答案：（x+a）5的展开式的通项公式为Tr+1＝所以x2的系数为故答案为：2．

点拨：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．

7． 参考答案：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

a3＝80，解得a＝2．

x5﹣rar，

目标函数即：y＝x﹣z，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距的相反数，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，

联立直线方程：

，可得点的坐标为：B（3，?1），

第6页（共19页）

据此可知目标函数的最大值为：zmax＝3?（?1）＝4．

故答案为：4．

点拨：本题主要考查线性规划的应用，利用线性规划求最值的方法等知识，属于中等题．

8． 参考答案：设{an}的公比为q，

由a1＝3，an的各项和为9，可得解得q＝，

所以an＝3×（）n﹣1，

bn＝a2n＝3×（）2n﹣1，

可得数列{bn}是首项为2，公比为的等比数列，

则数列{bn}的各项和为故答案为：．

＝．

＝9，

点拨：本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

9． 参考答案：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O\'，

连结OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，

则，

根据题意，AB为定值2，所以S△ABC的大小随着CM的长短变化第7页（共19页）

而变化，

如图2所示，当点M与点O重合时，CM＝OC＝此时S△ABC取得最大值为；

，

如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2，

此时S△ABC取得最小值为综上所述，S△ABC的取值范围为故答案为：．

．

．

点拨：本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段CM的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．

10． 参考答案：甲选2个去参观，有有＝6种，共有6×6＝36种，

＝4种，然后从剩＝6种，乙选2个去参观，若甲乙恰有应该馆相同，则选确定相同的馆有余3个馆种选2个进行排列，有则对应概率P＝故答案为：．

＝，

＝6种，共有4×6＝24种，

点拨：本题主要考查概率的计算，利用古典概型的概率公式是解决本题的关键，是基础题．

11． 参考答案：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E，

第8页（共19页）

由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，

∴∴直线AB的斜率故答案为：．

，

．

点拨：本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．

12． 参考答案：设bk＝ak+1﹣ak，由题意可得，bk，bk﹣1恰有一个为1，

如果b1＝b3＝b5＝b7＝b9＝1，那么a1＝6，a2＝7，a3≥1，a4＝a3+1≥2，

同样也有，a5≥1，a6＝a5+1≥2，a7≥1，a8＝a7+1≥2，

全部加起来至少是6+7+1+2+1+2+1+2+9＝31；

如果b2＝b4＝b6＝b8＝1，那么a8＝8，a2≥1，a3＝a2+1≥2，

同样也有，a4≥1，a5≥2，a6≥1，a7≥2，

全部加起来至少是6+1+2+1+2+1+2+8+9＝32．

第9页（共19页）

综上所述，最小应该是31．

故答案为：31．

点拨：本题考查了数列的概念的理解和应用，递推公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

13． 参考答案：y＝﹣3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意；

因为y＝x3在R上是增函数，B不符合题意；

y＝log3x，y＝3x为非奇非偶函数，C不符合题意；

故选：A．

点拨：本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．

14． 参考答案：利用特殊值法进行排除，

当y＝0时，t＝0，1，﹣1，

当t＝0时，x＝0，

当t＝1时，x＝﹣1，

当t＝﹣1时，x＝1，

故当y＝0时，x＝0或1或﹣1，即图象经过（﹣1，0），（0，0），（1，0）三个点，

对照四个选项中的图象，只有选项B符合要求．

故选：B．

点拨：本题考查了函数图象的识别问题，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、第10页（共19页）

函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．

15． 参考答案：∵x1∈[0，∴sinx1∈[0，1]，

∴f（x1）∈[2，5]，

∵都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，

，

]，

∴f（x2+θ）min≤0，∵f（x）＝3sinx+2，

∴y＝sinx在x∈当∴当∴时，时，，，

上单调递减，

，

，故A选项错误，

，

，

，故B选项正确，

当时，x2+θ，

，故C选项错误，

，

，故D选项错误．

sin（x2+θ）max＝当时，sin（x2+θ）max＝故选：B．

点拨：本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．

第11页（共19页）

16． 参考答案：设x1+y1＝x2+y2＝x3+y3＝2m，

，，，

， 根据题意，应该有且m2﹣a2+m2﹣c2＝2（m2﹣b2）＞0，

则有，

则x1+x3﹣2x2＝（m﹣a）+（m﹣c）﹣2（m﹣b）＝2b﹣（a+c），

因为（2b）2﹣（a+c）2＝2（a2+c2）﹣（a+c）2＞0，

所以x1+x3﹣2x2＝2b﹣（a+c）＞0，

所以A项正确，B错误．

x1x3﹣x22＝（m﹣a）（m﹣c）﹣（m﹣b）2＝（2b﹣a﹣c）m+ac﹣b2＝（2b﹣a﹣c）m﹣因为不知道m的正负，

所以该式子的正负无法恒定．

故选：A．

点拨：本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．

三、解答题

17． 参考答案：（1）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（2）连接A1C1∩B1D1＝O，

∵AB＝BC，

第12页（共19页）

，而上面已证（2b﹣a﹣c）＞0，

；

∴四边形A1B1C1D1为正方形，则OB1⊥OA1，

又AA1⊥OB1，OA1∩AA1＝A1，

∴OB1⊥平面ACC1A1，

∴直线AB1与平面ACC1A1所成的角为∠OAB1，

∴．

． ∴直线AB1与平面ACC1A1所成的角为

点拨：本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题．

18． 参考答案：（1）由余弦定理得cosA＝﹣＝解得c2＝，

∴S△ABC＝＝＝；

＝，

（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sinB＝2sinC，又∵2sinB﹣sinC＝1，

∴sinC＝，sinB＝，∴sinC＜sinB，∴C＜B，∴C为锐角，

∴cosC＝＝．

由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，又∵a＝3，b＝2c，

第13页（共19页）

∴c2＝9+4c2﹣8当c＝当c＝c，得：3c2﹣8c+9＝0，解得：c＝+﹣；

．

．

时，b＝时，b＝，∴C△ABC＝3+4，∴C△ABC＝3+4点拨：本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．

19． 参考答案：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，

则首项a1＝1.1，公差d＝0.05，

∴S20＝20a1+d＝20×1.1+10×19×0.05＝31.5，

即营业额前20季度的和为31.5亿元．

（2）假设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，

则0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）?18%，

令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）?18%，（n∈N*），

即要解f（n）＞0，

则当n≥2时，f（n）﹣f（n﹣1）＝0.0064?（1+4%）n﹣1﹣0.009，

令f（n）﹣f（n﹣1）＞0，解得：n≥10，

即当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增，

由于f（1）＜0，因此f（n）＞0的解只能在n≥10时取得，

经检验，f（24）＜0，f（25）＞0，

所以今年第一季度往后的第25个季度，即2027年第二季度的利润首次超过该季度营业额的18%．

第14页（共19页）

点拨：本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．

20． 参考答案：（1）因为Γ的方程：所以a2＝2，b2＝1，

所以c2＝a2﹣b2＝1，

所以F1（﹣1，0），F2（1，0），

若B为Γ的上顶点，则B（0，1），

所以|BF1|＝＝，|PF1|＝﹣1﹣m，

+y2＝1，

又|BF1|＝|PF1|，

所以m＝（2）设点A（则；

cosθ，sinθ），

＝，

因为A在线段BP上，横坐标小于0，

解得故，

，

，

，

＝设直线l的方程为由原点O到直线l的距离为则＝，

＝，化简可得3k2﹣10k+3＝0，解得k＝3或k故直线l的方程为

或（舍去，无法满足m＜），

第15页（共19页）

所以直线l的方程为（3）联立方程组＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则因为∥，

；

，可得（1+2k2）x2﹣4k2mx+2k2m2﹣2，

所以（x2﹣1）y1＝（x1+1）y2，又y＝kx﹣km，

故化简为又，

＝，

两边同时平方可得，4k2﹣2k2m2+1＝0，

整理可得当m＜时，，

＞0，

因为点A，B在x轴上方，

所以k有且仅有一个解，

故对于任意m＜﹣，使得∥的直线有且仅有一条．

点拨：本题考查了平面向量与圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．

21． 参考答案：（1）f（x）在[0，+∞）关联，在[0，1]不关联，

第16页（共19页）

任取x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，+∞），∴f（x）在[0，+∞）关联；

取x1＝1，x2＝0，则x1﹣x2＝1∈[0，1]，

∵f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）＝2?[0，1]，∴f（x）在[0，1]不关联；

（2）∵f（x）在{3}关联，∴对于任意x1﹣x2＝3，都有f（x1）﹣f（x2）＝3，

∴对任意x，都有f（x+3）﹣f（x）＝3，

由x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，得f（x）在x∈[0，3）的值域为[﹣1，3），

∴f（x）在x∈[3，6）的值域为[2，6），

∴2≤f（x）≤3仅在x∈[0，3）或x∈[3，6）上有解，

x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，令2≤x2﹣2x≤3，解得3，

x∈[3，6）时，f（x）＝f（x﹣3）+3＝x2﹣8x+18，令2≤x2﹣8x+18≤3，解得3＜x≤5，

∴不等式2≤f（x）≤3的解为[，5]，

≤x＜（3）证明：①先证明：f（x）是在{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的?f（x）在[1，2]是关联的，

∵f（x）是在{1}关联的，∴当x1﹣x2＝1时，f（x1）﹣f（x2）＝1，即f（x+1）﹣f（x）＝1，

∵f（x）是在[0，+∞）关联的，∴当x1﹣x2≥0时，f（x1）﹣f（x2）第17页（共19页）

≥0，

任取x1﹣x2∈[1，2]，即1≤x1﹣x2≤2，∴x1≥x2+1，x1≤x2+2，∴f（x2+1）≤f（x1）≤f（x2+2），

∴f（x1）﹣f（x2）≥f（x2+1）﹣f（x2）＝1，f（x1）﹣f（x2）≤f（x2+2）﹣f（x2）＝f（x2+2）﹣f（x2+1）+f（x2+1）﹣f（x2）＝2，

∴f（x）在[1，2]是关联的；

②再证明：f（x）在[1，2]是关联的?f（x）是在{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，

∵f（x）在[1，2]是关联的，∴任取x1﹣x2∈[1，2]，都有f（x1）﹣f（x2）∈[1，2]成立，

即满足1≤x1﹣x2≤2，都有1≤f（x1）﹣f（x2）≤2，

下面用反证法证明f（x+1）﹣f（x）＝1，

若f（x+1）﹣f（x）＞1，则f（x+2）﹣f（x）＝f（x+2）﹣f（x+1）+f（x+1）﹣f（x）＞2，与f（x）在[1，2]是关联的矛盾，

若f（x+1）﹣f（x）＜1，则f（x+2）﹣f（x）＝f（x+2）﹣f（x+1）+f（x+1）﹣f（x）＜2，与f（x）在[1，2]是关联的矛盾，

∴f（x+1）﹣f（x）＝1成立，即f（x）是在{1}关联的，

再证明f（x）是在[0，+∞）关联的，

任取x1﹣x2∈[n，n+1]（n∈N），有1≤x1﹣（n﹣1）﹣x2≤2，

∵f（x）在[1，2]是关联的，∴1≤f[x1﹣（n﹣1）]﹣f（x2）≤2，

∵f（x）是在{1}关联的，∴f（x+1）﹣f（x）＝1，∴f（x+k）﹣f（x）＝k，

第18页（共19页）

∴f[x1﹣（n﹣1）]﹣f（x2）＝f（x1）﹣（n﹣1）﹣f（x2）∈[1，2]，∴n≤f（x1）﹣f（x2）≤n+1，

∴对任意n∈N，f（x）在[n，n+1]是关联的，∴f（x）是在[0，+∞）关联的；

综上所述，f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”，

故得证．

点拨：该题考查了函数求解析式，解不等式，函数恒成立的知识，对学生逻辑推理能力提出了很高的要求，属于难题．

第19页（共19页）