2024年3月4日发(作者：敞篷跑车4座)

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4．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．（1）求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少；（2）求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少．15．已知函数f(x)?lnx?ax2?2ax，a?0．2（1）讨论函数f(x)的单调性；22．（2）若a?1，实数x1，x2?(0,??)，且f(x1)?f(x2)??3，证明：x12?x24p26．已知圆M:x?(y?1)?经过抛物线C:x2?2py的焦点．922（1）求p的值；（2）当p?0时，直线l与抛物线C、圆M均只有一个公共点，求直线l的方程．7．如图，四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC?底面BCDE，BC?2，CD?2，AB?AC，CE与平面ABE所成的角为45?．（1）证明：AD?CE；第2页（共8页）

（2）求二面角A?CE?B的正切值．第3页（共8页）

参考答案与详解1.【详解】（1）因为bsin(A?C)?2asinC，可得bsinB?2asinC，所以b2?2ac，?（2分）因为a?b，可得c?1b，22b2b??b2222a?c?b14??，?（4分）所以cosB?12ac42?b?b2因为0?B??，所以sinB?1?cos2B?15．?（6分）411152（2）因为?ABC的面积为acsinB??b?15，244所以b?4，?（8分）所以a?4，c?2，?（9分）故?ABC的周长为a?b?c?4?4?2?10?（12分）2.【详解】（1）当0?a?1时，1?ax?0，则x?0即定义域为(0,??)；当a?1时，1?ax?0，则x?0，则定义域为(??,0)（2）loga(1?ax)?f（1）?loga(1?a)当0?a?1时，1?ax?1?a?x?(0,1)；当a?1时，1?ax?1?a?x?(??,0)3.【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，d?0，依题意，?2a1?2d?8?a1?2，解得．??2a(a?8d)?(a?2d)d?2??111从而{an}的通项公式为an?2n；证明：（2）?bn?111111???(?)，2a?1(2n)?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?12n1111111111?Sn?[(?)?(?)???(?)]?(1?)?．213352n?12n?122n?124.【详解】5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，第4页（共8页）

把3个选择题记为x1、x2、x3，2个判断题记为p1、p2．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x2，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种，（1）“甲抽到选择题，乙轴到判断题”的概率为“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为63，?201063，?2010333??．10105故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为题”的概率为1?19?．101021，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择?20101ax2?2ax?15.【详解】（1）f(x)的导函数f?(x)??ax?2a?，xx因为a?0，所以y?ax2?2ax?1为开口向上的二次函数，①△?4a2?4a?4a(a?1)0，即0?a1时，f?(x)0恒成立，所以函数f(x)在(0,??)单调递增；②△?4a(a?1)?0，即a?1时，f?(x)?0有两个根x1和x2，由韦达定理知x1?x2?2,x1x2?且x1?所以(1?0，?x1?0，x2?0，aa?a(a?1)a?a(a?1)，,x2?aaf(x)在(0,a?a(a?1)a?a(a?1))和(??)上单调递增，在aaa?a(a?1)a?a(a?1),)上单调递减．aa第5页（共8页）

（2）证明：a?1时，f(x)在(0,??)单调递增，且f(x)?lnx??f(1)?12x?2x，213?2??，22?x1?x2?1时，f(x1)?f(x2)??3，若x1?x2，则不妨设x1?x2，则x1?(0,1)，x2?(1,??)，于是f(x1)?f(2?x1)?3?lnx1?121x1?2x1?ln(2?x1)?(2?x1)2?2(2?x1)?322?lnx1?ln(2?x1)?x12?2x1?1，令g(x)?lnx?ln(2?x)?x2?2x?1，112?2x2(1?x)(x?1)2则g?(x)???2x?2??2x?2??0恒成立，x2?xx(2?x)x(2?x)那么g(x)在(0,1)单调递增，又因为g（1）?0，则g(x1)?0，?f(x1)?f(2?x1)?3?0即f(x1)?f(2?x1)??3，?f(2?x1)?f(x2)，?2?x1?x2，?x1?x2?2，2)，?x1?0，x2?0，(x1?x2)22(x12?x22?x12?x22．p6.【详解】（1）抛物线C:x2?2py的焦点为(0,)，2p24p2可得0?(1?)??，296解得p?6或?；7（2）当p?0时，p?6，可得圆M:x2?(y?1)2?16，抛物线C:x2?12y，①当直线l的斜率不存在时，设方程为x?n，由l与M中只有一个公共点，即相切，可得n?4或n??4，4l:x?4与抛物线C交于(4,)；3第6页（共8页）

4l:x??4与C交于(?4,)；3②当直线l的斜率存在时，设方程为y?kx?m，由l与圆M相切，可得|m?1|1?k2?4，即m2?2m?15?16k2，?y?kx?m由?2只有一个实数解，x?12y?即方程x2?12kx?12m?0有两个相等的实数解，则△?144k2?48m?0，化为m??3k2，代入m2?2m?15?16k2，可得9k4?22k2?15?0，即为(k2?3)(9k2?5)?0，解得k?3，m??9；或k??3，m??9．综合①②可得，直线l的方程为x?4?0，x?4?0，3x?y?9?0，3x?y?9?0．7.【详解】证明：（1）如图，取BC的中点H，连接HD交CE于点P，连接AH、AP．?AB?AC，?AH?BC又?平面ABC?平面BCDE，?AH?平面BCDE，?AH?CE，又?HCCD1??，CDDE2?Rt?HCD∽Rt?CDE??CDH??CED，?HD?CE?CE?平面AHD?AD?CE．（2）由（1）CE?平面AHD，?AP?CE，第7页（共8页）

又HD?CE??APH就是二面角A?CE?B的平面角，过点C作CG?AB，垂足为G，连接CG、EG．?BE?BC，且BE?AH，?BE?平面ABC，?BE?CG，?CG?平面ABE，??CEG就是CE与平面ABE所成的角，即?CEG?45?，又CE?6，?CG?EG?3．又BC?2，??ABC?60?，?AB?BC?AC?2，?AH?3CH23又HD?3，?HP?，?HD3AH?tan?APH??3．HP第8页（共8页）

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