九年级数学专题09 中心对称 (知识点串讲)(原卷版)

2023年12月23日发(作者：保时捷中国官网选配)

新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题

专题09 中心对称

重点突破

中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.

如图，?ABO绕着点O旋转180?后，与?CDO完全重合，则称?CDO和?ABO关于点O对称，点C是点A关于点O的对称点.

AOBCD

中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称

（1）是针对两个图形而言的.

（2）是指两个图形的（位置）关系.

区别

（3）对称点在两个图形上.

（4）对称中心在两个图形之间.

中心对称图形

（1）是针对一个图形而言的.

（2）是指具有某种性质的一个图形.

（3）对称点在一个图形上.

（4）对称中心在图形上.

（1）都是通过把图形旋转180°重合来定义的.

（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那联系

么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称

中心对称的性质：

1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；

2.中心对称的两个图形是全等图形.

找对称中心的方法和步骤：

方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.

方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.

关于原点对称的点的坐标规律

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点

P’(-x，-y)

“活力课堂”初中数学教研组编

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考查题型

考查题型一中心对称图形的识别

典例1．（2019·夏河县期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)

A． B． C． D．

变式1-1．（2020·扬州市期中）下列图形中，是中心对称图形的是（

）

A． B． C． D．

变式1-2．（2020·沈阳市期中）下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A． B．

C． D．

变式1-3．（2020·昆明市期末）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )

A． B． C． D．

考查题型二判断中心对称图形的对称中心

典例2．（2019·德州市期中）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（

）

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）

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A．点C B．点D C．线段BC的中点 D．线段FC的中点

变式2-1．（2020·绵阳市期末）如图所示的中心对称图形中，对称中心是（

）

A．O1 B．O2 C．O3 D．O4

变式2-2．（2019·济南市期中）如图，将?ABC绕点C?1,1?旋转180?得到?A\'B\'C.设点A的坐标为(a,b)，则点A\'的坐标为( )

A．??a?1,?b?1?

C．??a?2,?b?2?

考查题型三中心对称的性质

B．??a?1,?b?1?

D．(?a?2,?b?2)

典例3．（2020·阜阳市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )

A．点A与点A\'是对称点

B．BO?B\'O

C．AB//A\'B\'

D．?ACB??C\'A\'B\'

变式3-1．（2018·唐山市期末）如图是一个以O为对称中心的中心对称图形，若∠A=30°，

∠C=90°，OC=1，则AB的长为（

）

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A．2 B．4 C．23 D．43

变式3-2．（2020·襄阳市期中）如图所示，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（

）

A．AB=A′B′，BC=B′C′

C．S△ABC=S△A′B′C′

B．AB∥A′B′，BC∥B′C′

D．△ABC≌△A′OC′

变式3-3．（2019·德源市期末）如图，?ABC与?A\'B\'C\'关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（

）

A．?ABC??A\'C\'B\'

C．BC?B\'C\'

考查题型四

根据中心对称的性质求面积

B．OA?OA\'

D．OC?OC\'

典例4．（2018·鹤岗市期中）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（）

A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2

变式4-1．（2019·郑州市期末）用一条直线 m

将如图 1

的直角铁皮分成面积相等的两部分．图 2、图 3

分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（

）

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A．甲正确，乙不正确

C．甲、乙都正确

B．甲不正确，乙正确

D．甲、乙都不正确

变式4-2．（2018·龙岩市期末）如图，在面积为12的□ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向

旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE=2EB，则图中阴影部分的面积等于（

）

A．3 B．1 C．4

3D．2

3考查题型五

在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形

典例5．（2018·银川市期末）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（

）

A．① B．② C．③ D．④

变式5-1．（2018·日照市期中）如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 ( )

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

变式5-2．（2019·宝鸡市期中）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（

）

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A．① B．② C．③ D．④

考查题型六关于原点对称的点的坐标

典例6．（2020·信阳市期末）在平面直角坐标系中，点P??3,?5?关于原点对称的点的坐标是（

）

A．?3,?5? B．??3,5? C．?3,5? D．??3,?5?

变式6-1．（2019·西安市期中）在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（

）

A．33 B．－33 C．－7 D．7

变式6-2．（2019·南通市期中）在平面直角坐标系中，点P?3,m?1关于原点对称点在（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

?2?

变式6-3．（2019·北京市期中）已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则yx的值是（）A．2 B．1

2C．4 D．8

变式6-4．（2019·滨州市期中）若在平面直角坐标系内A(m-1,6),B(-2,n)两点关于原点对称,则m+n的值为(

)

A．9 B．-3 C．3 D．5

巩固训练

一、单选题（共10小题）

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1．（2019春

芜湖市期末）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（

）

A． B． C． D．

2．（2019春

济南市期末）如图，在平面直角坐标系中，?ABC的顶点A在第一象限，点B、C的坐标分别为(2,1)、?6,1?，?BAC?90?，AB?AC，直线AB交y轴于点P，若?ABC与?A?B?C?关于点P成中心对称，则点A?的坐标为（

）

A．(?4,?5) B．(?5,?4) C．(?3,?4) D．(?4,?3)

3．（2019春

济南市期末）已知点P（a+1，?轴上表示正确的是（）

A．C．

a?1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数2B．D．

4．（2019春

黄石市期中）正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是( )

A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1)

5．（2018春

郑州市期末）国产越野车“BJ40”中，哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形( )

A．B B．J C．4 D．0

6．（2018春

德州市期末）已知点A(a＋b，4)与点B(－2，a－b)关于原点对称，则a2－b2等于( )

A.8 B.－8 C.5 D.－5

7．（2019·滨州市期中）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，“活力课堂”初中数学教研组编

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且落在纸板

的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（

）

A．1

2B．1

3C．1

4D．1

68．（2019·西城区期中）如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤△AOE与△COF成中心对称.其中正确的个数为 ( )

A．2 B．3 C．4 D．5

20089．（2018春重庆市期末）已知点p1?a?1,1?和p2?2,b?1?关于原点对称，则?a?b?A．1 B．0 C．-1 D．??3?2005的值为（）

10．（2016春

沈阳市期末）将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（

）

A．（-5，-3） B．（1，-3） C．（-1，-3） D．（5，-3）

二、填空题（共5小题）

11．（2018春

南阳市期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．

12．（2018春泸西县期末）若点（，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则=_______．

13．（2019春

东营市期中）已知M（a，﹣3）和N（4，b）关于原点对称，则（a+b）2002=_____．