2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题(解析版)

2023年12月14日发(作者：奥迪q3最低报价)

2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题

一、单选题

1．已知?an?为等差数列，a5?4，则a4?a6?（

）

A．4

【答案】C

【分析】由等差数列性质，a4?a6?2a5，求出式子的值.

【详解】因为?an?是等差数列，所以a4?a6?2a5?2?4?8.

故选：C.

2．已知点(a,2)(a?0)到直线l:x?y?3?0的距离为1，则a等于（

）

A．2

【答案】C

【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.

【详解】解：由题意得B．2?2 C．2?1 D．2?1

B．6 C．8 D．10

|a?2?3|?1．

1?1解得a??1?2或a??1?2．?a?0，?a??1?2．

故选：C.

3．设函数f(x)?x?lnx，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为（

）

A．x?y?1?0

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义求在x?1处切线的斜率，进而即可得切线方程.

【详解】因为f(x)?x?lnx，所以f?(x)?1?即y?f(x)在x?1处切线方程的斜率为2，

又因为f(1)?1，所以切线方程为y?1?2(x?1)，整理得2x?y?1?0，

故选：B

4．已知F是抛物线C:y2?4x的焦点，点P?3,y0?在抛物线C上，则|PF|?（

）

A．23

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义可得：PF?xP?p，代入数据即可求解.

2B．2x?y?1?0 C．x?y?2?0 D．2x?y?2?0

1，所以f?(1)?2，

xB．23?1 C．3 D．4

第 1 页 共 15 页【详解】因为抛物线方程为C:y2?4x，所以p?1，

2又因为点P?3,y0?在抛物线C上，由抛物线的定义可得：

PF?xP?故选：D.

p?3?1?4，

25．已知直线l1:x?ay?1?0，直线l2:(a?2)x?3y?1?0，则“a?1”是“l1∥l2”的（

）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

【答案】C

【分析】根据直线的平行的判定即可求解.

【详解】l1∥l2等价于解得a2?2a?3?0，

所以(a?3)(a?1)?0，

解得a??3或a?1，

当a??3时，l1:x?3y?1?0，l2:?x?3y?1?0，此时l1,l2重合，

故“a?1”是“l1∥l2”的充分必要条件.

故选：C.

1a1??，

a?23?1D．既不充分也不必要条件

???????????????????6．如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设OA?a，OB?b，OC?c，则AG?（

）

?1?1?A．a?b?c

22?1?1?B．?a?b?c

22

1???C．?a?b?c

21???D．a?b?c

2【答案】B

????????????【分析】根据三角形法则先求得向量AB、AC，进而求得AG．

??????????????【详解】解：AC?OC?OA?c?a，

??????????????AB?OB?OA?b?a，

????1????????1????1?1??AG?AC?AB??2a?b?c??a?b?c．

2222????故选：B．

第 2 页 共 15 页7．已知函数f(x)?x3?ax2?x?1(a?R)有两个极值点x1,x2?x1?x2?，则（

）

A．a??3或a?3 B．x1是f(x)的极小值点

【答案】A

【分析】根据函数f(x)?x3?ax2?x?1(a?R)有两个极值点，

则导数为0有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.

【详解】因为函数f(x)?x3?ax2?x?1(a?R)有两个极值点x1,x2?x1?x2?，

所以f?(x)?3x2?2ax?1=0有两个根x1,x2?x1?x2?,

所以x1+x2=12a,x1x2=,故CD选项错误;

3311C．x1?x2? D．x1x2??

33因为f?(x)?3x2?2ax?1=0有两个根x1,x2?x1?x2?,

所以?=?2a??4?3?1?0,即得a2?3?0,解得a??3或a?3,故A选项正确;

因为f?(x)?3x2?2ax?1=0有两个根x1,x2?x1?x2?,

f(x)在???,x1?上单调递增,在?x1,x2?上单调递减,所以x1是f(x)的极大值点,故B选项错误;

2故选: A.

y28．在平面直角坐标系xOy中，设F1,F2是双曲线C:x??1的两个焦点，点M在C上，且2??????????MF1?MF2?0，则△F1F2M的面积为（

）

2A．3

【答案】B

B．2 C．5 D．4

【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.

【详解】因为点M在C上，F1,F2是双曲线的两个焦点,

由双曲线的对称性不妨设MF1?MF2，

第 3 页 共 15 页 则MF1?MF2?2a?2①，F1F2?2c?2a2?b2?23，

??????????因为MF1?MF2?0，所以MF1?MF2，

由勾股定理得MF1?MF2?F1F2?12②，

①②联立可得MF1?5?1，MF2?5?1，

所以S?F1F2M?故选：B

9．如图，平面??平面?，????l，A，B是直线l上的两点，C，D是平面?内的两点，且2221MF1MF2?2，

2DA?l，CB?l，DA?4，AB?6，CB?8，若平面?内的动点P满足?APD??BPC，则四棱锥P?ABCD的体积的最大值为（

）

A．24

【答案】C

【分析】根据已知可得SADCB?36，则当四棱锥的高h最大，即?PAB的高PE最大即可.根据面面垂直的性质得出线线垂直关系结合?APD??BPC，可得BP?2AP.设?APB??，AP?m，在△APB根据余弦定理结合面积公式得出h?，代入体积公式即可求出结果.

21??m2?20??256.由三边关系得到2?m?6，即可得到h?44B．243 C．48 D．483

【详解】

第 4 页 共 15 页在平面?内，由DA?l，CB?l，可得DA//BC.

11又DA?4，CB?8，所以四边形ADCB为直角梯形，SADCB???AD?BC??AB???4?8??6?36.

22要使四棱锥P?ABCD的体积的最大值，则只要四棱锥的高h最大即可.

因为平面??平面?，????l，过点P向l作垂线交l于E，根据面面垂直的性质可得，PE??，则PE?h.

又PE是?PAB的高，且由DA?l，CB?l可知，DA??，CB??，

又AP??，PB??，所以DA?AP，BC?PB.

ADBC.在Rt?PBC中，tan?BPC?.

BPAPAPAD41ADBC????，即BP?2AP.

又?APD??BPC，所以，所以APBPBPBC82在Rt△PAD中，tan?APD?AP2?BP2?AB25m2?36.

设?APB??，AP?m，在△APB中，由余弦定理可得cos???2AP?BP4m223?5m2?36?22??m?20因为sin??0，所以sin??1?cos??1?????256，

2?24m?4m?2则SVPAB?2131PA?PBsin????m2?20??256，又SVPAB?AB?h?3h，

22421??m2?20??256.

4所以，h??PA?PB?AB?6?3m?6根据三角形三边关系可得?，即?，

PA?PB?AB?6m?6??所以2?m?6，4?m2?36.

所以，当m2?20时，h?211??m2?20??256有最大值为256?4.

4411又四棱锥P?ABCD的体积为V??SADCB?h??36?4?48，

33所以，四棱锥P?ABCD的体积的最大值为48.

故选：C.

?10．斐波那契数列?Fn??n?N?在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：F1?F2?1，当n?2时，Fn?Fn?1?Fn?2．若F100A．98

【答案】B

B．99

2F12?F22?F32???Fm?，则m?（

）

FmC．100 D．101

2【分析】根据题意推出Fm?Fm(Fm?1?Fm?1)?FmFm?1?FmFm?1,再利用累加法化简即可求出m的值.

第 5 页 共 15 页2【详解】由题意得，F1?F2F1，因为n?3,n?N?,Fn?1?Fn?Fn?2，

2所以F2?F2(F3?F1)?F2F3?F2F1，

F32?F3(F4?F2)?F3F4?F3F2，

L，

Fm2?Fm(Fm?1?Fm?1)?FmFm?1?FmFm?1，

222累加得F1?F2???Fm?FmFm?1，

因为F1002F12?F22?F32???FmFF??mm?1，所以Fm+1=F100

FmFm当n?2,n?N?,Fn?Fn?1?Fn?2?Fn?1,?Fn?是递增数列.

所以m?1?100，所以m?99.

故选：B.

二、填空题

11．函数f(x)?xex的导函数f?(x)?______.

【答案】(x?1)?ex

【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果.

【详解】∵f(x)?xex，

xxx∴f?(x)?e?xe??x?1?e.

故答案为：(x?1)?ex.

???12．已知平面的法向量为n?(1,2,?2)，直线l的方向向量为u?(?2,m,4)，且l??，则实数m?_________．

【答案】?4

【分析】根据直线与平面垂直可得直线l的方向向量与平面?的法向量平行，利用两向量平行的充要条件即可求解.

???【详解】因为平面的法向量为n?(1,2,?2)，直线l的方向向量为u?(?2,m,4)，且l??，所以????n//u，则存在实数?使得u??n，

第 6 页 共 15 页也即(?2,m,4)?(?,2?,?2?)，解得：???2，m??4，

故答案为：?4.

13．过圆C:(x?1)2?y2?1的圆心且与直线x?y?0平行的直线的方程是__．

【答案】x?y?1?0

【分析】设出与直线x?y?0平行的直线，将圆心代入即可.

【详解】由C:(x?1)2?y2?1的圆心为??1,0?，

设与直线x?y?0平行的直线为：

x?y?a?0，

因为x?y?a?0过圆心??1,0?，

所以?1?0?a?0?a?1，

故所求直线为：x?y?1?0，

故答案为：x?y?1?0.

14．已知?an?是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，2a2n?1?a2n?0恒成立，则q的值可以是____________________．（只需写出一个）

【答案】-3（答案不唯一，q??2即可）

【分析】根据已知可推出a1q2n?2?q?2??0恒成立，进而得到q?2?0，q??2.

2n?2?a1q2n?1?a1q2n?2?q?2??0恒成立，

【详解】由2a2n?1?a2n?0可得，2a1q因为q?0，显然有q2n?2??qn?1??0，

又a1?0，所以q?2?0，q??2.

故答案为：-3.

15．数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D在平面直角坐标系xOy中的方程为x3?y3?3axy?0．当a?1时，给出下列四个结论：

2①曲线D不经过第三象限；

②曲线D关于直线y?x轴对称；

③对任意k?R，曲线D与直线y??x?k一定有公共点；

④对任意k?R，曲线D与直线y?k一定有公共点．

其中所有正确结论的序号是________________．

【答案】①②④

第 7 页 共 15 页【分析】当x,y?0时，判断x3?y3?3xy?0是否成；点(y，x)代入方程，判断与原方程是否相同；

联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解分别逐一判断选项即可.

【详解】当a?1时,

方程为x3?y3?3xy?0

当x,y?0时，x3?y3?3xy?0，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确；

将点?y,x?代入曲线方程得x3?y3?3xy?0，故曲线关于直线y?x对称，②正确；

?x3?y3?3xy?0,3322当k??1,联立?其中x?y?3xy??x?y??x?y?xy??3xy?0，

?x?y??1,将x?y??1代入得?(x?y)2?0，即x?y?0，则方程组无解，

故曲线D与直线x?y??1无公共点，③错误;

?x3?y3?3xy?0,联立?可得x3?k3?3xk?0有解,

?y?k332设t?x??x?k?3xk,t??x??3x?3k?3x?k???x+k? ,

当k?0时,

t?x?在??,?k,当k?0时t?0??0成立.

???k,??单调递增,

?k,k单调递减,值域为R所以t?x??0成立,

???2当k?0时,

t??x??3x?3k?0,t?x?单调递增,

332332

t??k???k?k?3k?0,t?k??k?k?3k?0,所以?x0??k,?k?,t?x0??0成立,

所以曲线D与直线y?k一定有公共点

故④选项正确.

故答案为：①②④.

三、双空题

x216．设点F1,F2分别为椭圆C:?y2?1的左、右焦点，则椭圆C的离心率为______________；经过2?????????PF?PF原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当四边形PFQF的面积最大时，1212?_____________．

【答案】

2；

0.

2【分析】根据已知求出a,b,c的值，即可得到离心率；根据对称性可得，SPF1QF2?2S?PF1F2?2y0，第 8 页 共 15 页所以P,Q为短轴顶点.写出P,F1,F2的坐标，即可得到结果.

【详解】由已知可得，a?2，b?1，所以c?1，则离心率e?c2.

?a2根据椭圆的对称性可得，P,Q点关于原点对称，设P?x0,y0?，Q??x0,?y0?.

且SPF1QF2?2S?PF1F2?2?1F1F2y0?2y0，

2当y0最大时，面积最大，则此时P,Q为短轴顶点.

?????????P0,1F?1,0F1,0PF??1,?1PF??????.1?，2??1,?1?，

不妨设，2，所以1??????????所以PF1?PF2??1?1???1????1??0.

故答案为：20；.

2

四、解答题

17．设函数f(x)?13x?x2?3x?1．

3(1)求f(x)的单调区间；

(2)当x?[0,4]时，求f(x)的最大值与最小值．

【答案】(1)单调递增区间是???,?1?,?3,???，单调递减区间是??1,3?

(2)最大值f?0??1,最小值f?3???8

【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间；

（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.

2【详解】（1）f??x??x?2x?3??x?1??x?3?，

当f??x??0，解得：x?3或x??1，所以函数的单调递增区间是???,?1?,?3,???，

当f??x??0，解得：?1?x?3，所以函数的单调递减区间是??1,3?，

所以函数的单调递增区间是???,?1?,?3,???，单调递减区间是??1,3?；

（2）由（1）可得下表

x

0

?0,3?

3

?3,4?

4

第 9 页 共 15 页f??x?

?

单调递0

?

单调递

f?x?

1

减

?8

?增

173

所以函数的最大值是f?0??1，函数的最小值是f?3???8

?18．已知?an?是等差数列，其前n项和为Sn?n?N?,a1?1,a5?9．

(1)求数列?an?的通项公式及Sn；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列?bn?的前n项和Tn．

a条件①：bn?2n；

n条件②：bn?2?an；

条件③：bn?1．

an?an?1注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

2【答案】(1)an?2n?1，Sn?n

22n?1?2(2)若选①：Tn?；

3n?12若选②：Tn?2?2?n；

若选③：Tn?

n

2n?1【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式即可求解；

（2）根据等比数列求和公式、分组求和方法、乘公比错位相减法即可分别求解.

【详解】（1）设数列{an}的公差为d.

a1?1,a5?9，

4d?a5?a1?9?1?8，

d?2，

a1?1,

所以an?1?(n?1)?2?2n?1，

第 10 页 共 15 页所以Sn??a1?an?n?n2.

2a2n?1（2）若选①：bn?2n?2，

Tn?b1?b2?...?bn?2?2?2?...?2n若选②：bn?2?2n?1，

1352n?121(1?4n)22n?1?2；

??1?4321(1?2n)??1??2n?1???n?2n?1?2?n2?Tn?b1?b2?...?bn?(2?2?...?2)??1?3?5?...?2n?1??????1?2212n.

若选③：bn?111?11??????，

an?an?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?1??11??11??11??11?1???1????????...?????????????

2??2n?12n?1????13??35??57??79?Tn?b1?b2?...?bn???1?11??

?2?12n?1??1?2n?

2??2n?1???n.

2n?119．如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAB?平面ABCD，AD//BC，?ABC?，BC?1，AB?2，AD?3，点O是AB的中点．

π，PA?PB?32

(1)求证：PO?CD；

(2)求二面角A?PO?D的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点M，使得BM//平面POD?若存在，求【答案】(1)证明过程见解析；

(2)CM的值；若不存在，说明理由．

CP5；

20CM1?.

CP4(3)存在，

第 11 页 共 15 页【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可；

（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

（3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】（1）因为PA?PB，点O是AB的中点，

所以PO?AB，因为平面PAB?平面ABCD，平面PAB?平面ABCD?AB，

所以PO?平面ABCD，而CD?平面ABCD，

所以PO?CD；

（2）设E为CD的中点，连接OE，

因为AD//BC，?ABC?π，所以OE?AB，由（1）可知：PO?平面ABCD，而AB,OE?平面2ABCD，所以PO?OE,PO?AB，

因此建立如图所示的空间直角坐标系，

P(0,0,22),O(0,0,0),A(?1,0,0),D(?1,3,0),C(1,1,0),B(1,0,0),，

因为平面PAB?平面ABCD，平面PAB?平面ABCD?AB，OE?AB，

????所以OE?平面PAO，因此平面APO的法向量为OE?(0,1,0)，

?????????设平面DPO的法向量为n?(x,y,z)，OP?(0,0,22),OD?(?1,3,0)，

???????22z?0n?OP?0?????n?(3,1,0)，

于是有????????n?OD?0???x?3y?z?0??????OE?n15????二面角A?PO?D的余弦值为：???；

OE?n22?32?1220?????????（3）假设在棱PC上存在点M，使得BM//平面POD，且CM??CP(??[0,1])，可得：?????M(1??,1??,22?)，因此BM?(??,1??,22?)，

?由（2）可知平面DPO的法向量为n?(3,1,0)，

第 12 页 共 15 页????????????1因为BM//平面POD，所以BM?n?BM?n?0??3??1???0????[0,1]，

4因此假设成立，CM1?.

CP4?3?x2y21,20．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的长轴长为4，且点P?在椭圆C上．

???2ab??(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(4,0)的直线l椭圆C交于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点，且y1y2?0．问：x轴上是否存在点N使得直线NA，直线NB与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．

x2【答案】(1)?y2?1

4(2)存在，N?1,0?

【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；（2）转化为kNA?kNB?0后，根据直线与椭圆联立即可求解.

【详解】（1）因为

PF1?PF2?2a?4,

解得a?2.

?3?1,所以点

P??2??

在椭圆

C

上.

???3?13x2y21,??1. ,

将

?代入得??1?2222?2?a4bab??b?1.

从而

a2?4.

x2C:?y2?1.

4（2）显然直线

l

的斜率存在且不为 0 ,

设直线l的方程为

y?k?x?4?.

设

A?x1,y1?,B?x2,y2?.

假设存在点

N?t,0?,

因为直线

NA,NB

与

y

轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形，

kNA?kNB?0，

第 13 页 共 15 页即

kNA?kNB?k?x1?4?k?x2?4?2xx??t?4??x1?x2??8ty1y?2???k?12?0,

x1?tx2?tx1?tx2?tx?tx?t?1??2?即

2x1x2??t?4??x1?x2??8t?0.

?y?k?x?4?,?

由

?x22?y?1??42222消去

y

并整理,

得

?1?4k?x?32kx?64k?4?0.

由

????32k2??4?1?4k2??64k2?4??0,

2求得

0?k?21,

1232k264k2?4.

则

x1?x2?,x1x2?1?4k21?4k264k2?432k2所以

2???t?4???8t?0,

221?4k1?4k解得

t?1.

于是在

x

轴上存在定点

N?1,0?,

使得直线

NA,NB

与

y

轴围成的三角形始终为底边在y

轴上的等腰三角形.

?21．在无穷数列?an?中，a1?2,a2?1,an?2?an?1?an,n?N．

(1)求a7a4与的值；

a1a4(2)证明：数列?an?中有无穷多项不为0；

(3)证明：数列?an?中的所有项都不为0．

【答案】(1)aa4?2?1，7?2?1

a1a4(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用递推公式求a4,a7的值即可；

（2）假设数列?an?中有限个项不为0，然后推出与题意矛盾即可求证；

（3）由（2）可得在无穷处能找到一个an?0，利用递推公式可得数列?an?呈周期变化，an?3,an?6,an?9,an?12,???,an?3k?0

(k?N*)，令n?3k?1,2,3即可证明.

第 14 页 共 15 页?【详解】（1）由a1?2,a2?1,an?2?an?1?an,n?N可得，

a3?a2?a1?2?1，a4?a3?a2?2?2，a5?a4?a3?3?22，

a6?a5?a4?2?1，a7?a6?a5?32?4，

所以aa42?232?4??2?1，7??2?1.

a1a42?22（2）假设数列?an?中有限个项不为0，

则会存在一个数m，当n?m时，an?0，

则am?0,am?1?0，

由am?1?am?am?1可得am?1?0；

由am?am?1?am?2可得am?2?0???

由a3?a2?a1可得a1?0，与题意矛盾，故假设不成立，

所以数列?an?中有无穷多项不为0

（3）由（2）可得在无穷处能找到一个an?0，

因为an?an?1?an?2，所以an?1?an?2，

所以由an?1?an?2?an?3可得an?3?0，

同理可得an?6,an?9,an?12,???,an?3k?0(n?3k?0,k?N)，

当n?3k?1即n?1?3k时，因为k?N，且a1?0，所以数列{a3k?1}所有项都不为0，

当n?3k?2即n?2?3k时，因为k?N，且a2?0，所以数列{a3k?2}所有项都不为0，

当n?3k?3即n?3?3k时，因为k?N，且a3?0，所以数列{a3k?3}所有项都不为0，

综上可得数列?an?中的所有项都不为0．

【点睛】关键点睛：第（3）问一开始用到了第（2）问的结论，关键是利用递推数列能得到数列的周期变化，考查分析问题与解决问题的能力.

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