2020年全国高考新课标1卷理科数学试题(word文档完整版小题也有详解

2023年11月21日发(作者：大众高尔夫系列)

2020年全国高考新课标1卷理科数学试题

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．

1z=1+i|z

．若，则

2

–2z|=( )

A0 B1 C D2

．．．．

2

2A={x|x

．设集合

2

–4≤0}B={x|2x+a≤0}A∩B={x|–2≤x≤1}a=( )

，，且，则

A–4 B–2 C2 D4

．．．．

3

．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视

为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积

等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形

底边上的高与底面正方形的边长的比值为

( )

5?15?15?15?1

A B C D

．．．．

4242

4ACy=2px(p>0)AC12y

．已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴

2

的距离为，则

9p=( )

A2 B3 C6 D9

．．．．

5yx(°C)

．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度单位：的关

系，在个不同的温度条件下

20

进行种子发芽实验，由实验数据

(x y)(i=1,2,···,20)

i.i

得到散点图：

C40°C 10°

至之由此散点图，在

间，下面四个回归方程类型中最

适宜作为发芽率和温度的回

yx

归方程类型的是

( )D

Ay=a+bx By=a+bx Cy=a+be Dy=a+blnx

．．．．

2x

6f(x)=x-2x(1, f(1))( )

．函数的图像在点处的切线方程为

43

Ay=-2x-1 By=-2x+1 Cy=2x-3 Dy=2x+1

．．．．

?

7f(x)=cos(x+)[-,]

．设函数在的图像大致如下图，

?

??

6

则的最小正周期为

f(x)( )

743

??

?

10

?

A B C D

．．．．

632

9

y

2

8xy( )

．的展开式中的系数为

(x?)(x?y)

5

33

x

A5 B10 C15 D20

．．．．

9(0,)3cos2-8cos=5sin= ( )

．已知∈，且，则

?????

21

55

A B C D

．．．．

33

39

1

10A,B,COO?ABCO

．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面

11

积为，，则球的表面积为

4AB=BC=AC=OOO( )

?

1

A64 B48 C36 D32

．．．．

????

11Mx+y-2x-2y-2=0l2x+y+2=0PlP

．已知⊙：，直线：，为上的动点，过点作

22

|AB|AB( ) MPA,PBA,B|PM|·

最小时，直线的方程为⊙的切线，切点为，当

A2x-y-1=0 B2x+y-1=0 C2x-y+1=0 D2x+y+1=0

．．．．

122+loga=4+2logb( )

．若，则

ab

24

Aa>2b Ba<2b Ca>b Da<b

．．．．

22

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

?

2x?y?2?0,

?

13x,yz=x+7y .

．若满足约束条件则的最大值为

?

x?y?1?0,

?

y?1?0,

?

14||=1||= .

．设为单位向量，且，则

a，b

a+ba-b

xy

22

15FC(a>0,b>0)ACBC

．已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为

22

??1

ab

上的点，且垂直于轴若的斜率为，则的离心率为

BFx. AB3C .

16P–ABCAC=1AB=AD=

．如图，在三棱锥的平面展开图中，，，

3

ABACABADCAE=30°cosFCB= .

⊥，⊥，∠，则∠

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。

17．（本小题满分12分）

设是公比不为的等比数列，为的等差中项

{a}1aa,a.

n123

(1){a}

求的公比；

n

(2)a{na}n

若，求数列的前项和．

1n

=1

18．（本小题满分12分）

如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．

DOAEAE=AD

?ABCPDO

是底面的内接正三角形，为上一点，

PO?DO

(1)PAPBC;

证明：⊥平面

(2)B-PC-E

求二面角的余弦值．

2

6

.

6

19．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；

比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下

一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人

继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束

.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为，

.

(1) (2)

求甲连胜四场的概率；求需要进行第五场比赛的概率；

(3).

求丙最终获胜的概率

20．（本小题满分12分）

x

2

已知、分别为椭圆：的左、右顶点，为的上顶点，

ABE(a>1)GE

2

?y?1

2

a

AG?GB?8

，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交

Px=6PAECPBE

1

2

点为

D.

(1)E (2)CD.

求的方程；证明：直线过定点

3

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=e+ax-x.

x2

(1)a=1f(x);

当时，讨论的单调性

1

(2)x≥0f(x)≥x+1a.

当时，，求的取值范围

3

2

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时

请写清题号

22．[选修4–4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

k

?

?

x?cost,

(t) xOyC

为参数．在直角坐标系中，曲线的参数方程为

1

?

k

?

?

y?sint

以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程

xC

2

为

4 cos -16 sin+3=0.

????

(1)k=1C

当时，是什么曲线？

1

(2)k=4CC

当时，求与的公共点的直角坐标．

12

23[4–5] 10

．选修：不等式选讲（本小题满分分）

已知函数

f(x)=|3x+1| - 2|x-1|.

(1)y=f(x)

画出的图像；

(2)f(x)>f(x+1).

求不等式的解集

4

2020年全国高考新课标1卷理科数学试题参考答案

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．

DBCCD BCCAA DB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

1

13．1 14． 15．2 16．

3

?

4

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。

17(1){a}q2a=a+a 2a=aq+aq. …3

．解：设的公比为，依题，即分

n123111

2

所以，解得舍去或，∴公比为分

q+q-2=0 q=1 ()q=-2 {a}. …6

2

n

-2

(2)(1)aS{na}n

由知，设为的前项和，所以

nnn

=(-2)

n-1

S=1+2×(-2)+ 3×(-2)+···+n×(-2) …8

n

2n-1

，分

-2S =-2+2×(-2)+ 3×(-2)···+n×(-2).

n

23+n

··+(-2)-n×(-2) …10 3S=1+(-2)+ (-2)·

n-1n2+

分相减得

n

1?(?2)1?(3n?1)(?2)1?(3n?1)(?2)

nnn

n

∴，∴，分

3S=S=…12

nn

?n?(?2)?

339

18(1)DO=6PO=AE=AD=2AO

．解：设，依题，又．

6

=2 ADO=30°AO=DOtan30°

3

，∴∠，∴

=6. …3 PA=PB=PC=AB=AC=BC=2AOsin60°

分∴，又

6?12?32

从而，∴⊥同理⊥

PA+PB=ABPAPB. PAPC.

222

又，∴⊥平面分

PB∩PC=PPAPBC. …6

(2)O-xyz. (1)

如图建立空间直角坐标系由知

P(0,0,)A(0,-2,0)C(-3,,0)E(0,2,0)

6333

，，，，

平面PBC的法向量为 …8分

PA?(0,?23,?6)

又PE?(0,23,?6),CE?(3,3,0)

设平面PCE的法向量为

u?(x,y,z)

?

?

23y?6z?0u?PE

??

，设y=，解得， …10分

3

u?(?1,3,6)

则?

??

?

u?CE

?

?

3x?3y?0

?

?cos?u,PA?????

u?PA?6?625

|u||PA|

25

，∴所求二面角的余弦值为.

5

5

10?32

…12分

5

19(1) …2

．解：甲连胜四场的概率为．分

1

16

(2)

根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．

比赛四场结束，共有三种情况：

11

；乙连胜四场的概率为；分甲连胜四场的概率为

…4

1616

1

丙上场后连胜三场的概率为．

8

1113

所以需要进行第五场比赛的概率为．分

1????

…6

161684

1

(3)

丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．

8

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始按照丙的胜、负、轮空结果

有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．

因此丙最终获胜的概率为．分

????

20．（本小题满分12分）

x

2

已知、分别为椭圆：的左、右顶点，为的上顶点，

ABE(a>1)GE

2

?y?1

2

a

AG?GB?8

，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交

Px=6PAECPBE

1

11

16

88

11117

…12

8168816

点为

D.

(1)E (2)CD.

求的方程；证明：直线过定点

20(1)A(–a,0)B(a,0)G(0,1). (a,1)·(a,-1)=8

．解：依题，，，∴，

AG?GB?8

x

2

22

即．分

a+y=1 …4

–1=8a=3. E

，解得所以的方程为

9

(2)P(6,t)C(x,y)D(x,y).

依题可设，，

1122

若，则，，直线的方程为，

t=0C(3,0)D(-3,0)CDy=0

若，不平行轴，可设的方程为，依题

t≠0CDxCDx=my+n-3<n<3.

由于直线的方程为，所以同理

PAy=(x+3)y=(x+3). y=(x-3).

1122

联立消去得又，∴

t 3y(x-3) =y(x+3). x+9y=99y=-(x+3)(x-3).

122122222

222

从而可得，∴，

27yy=-(x+3)(x+3)27yy=-(my+n+3)(my+n+3)

12121212

整理得① 分

(m+27)yy+m(n+3)(y+y)+ (n+3)=0 …7

22

1212

将代入整理得

x=my+nx+9y=9(m+9)y+2mny+ n-9=0

22222

2mn

n?9

2

所以，．代入①式可得 分

y?y??

12

2

yy?

12

2

: …9

m?9

m?9

ttt

993

(m+27)(n-9) -2mn(n+3)+(m+9)(n+3)=02n+3n-9=0.

222222

，化简得

解得舍去或故直线的方程为，

n=-3()n=. CD

x=my?

即直线过定点也过此点综上，直线过定点分

CD(,0). y=0. CD(,0). …12

6

33

22

33

22

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=e+ax-x.

x2

(1)a=1f(x);

当时，讨论的单调性

1

(2)x≥0f(x)≥x+1a.

当时，，求的取值范围

3

2

21(1)a=1f(x)=e+x-xf \'(x)=e+2x–1. f \'(x)=0x=0

．解：当时，，则令，解得，

x2x

∴在上，，单调递减；

(–∞,0)f \'(x)<0f(x)

在上，，单调递增分

(0,∞)f \'(x)>0f(x). …4

1

(2)x≥0f(x)≥x+12e-x+2ax-2x-2≥0x=0.

当时，，等价于，当时，显然成立

3x32

2

x?2x?2?2ex?2x?2?2e

3x3x

(x>0)…6 x>0a≥g(x)=

，分当时，等价于，设

22

2x2x

x?2x?4?2(x?2)e(x?2)(x?2x?2?2e)

3x2x

?

则，

g\'(x)=

2x2x

33

设，则，，分

h(x)=x+2x+2-2e(x>0)h\'(x)=2x+2-2eh\'\'(x)=2-2e<0 …8

2xxx

∴在上，单调递减，∴；∴在上，单调递减

(0,∞)h\'(x)h\'(x)<h\'(0)=0(0,∞)h(x).

∴，即，从而在上递增，在上递减

h(x)<h(0)=0x+2x+2-2e<0g(x)(0,2)(2,+∞).

2x

7?e7?e7?e

222

,??)[

. …12 g(x)=g(2)=a≥a

分∴，∴，综上，的取值范围是

max

444

1

3x32

x+12e-x+2ax-2x-2≥0 (2)x≥0f(x)≥

，等价于另解：当时，

2

32-x32-x

即，分

(x-2ax+2x+2)e-2ax+2x+2)e (x≥0) …6

≤2g(x)=(x

，设

则且分

g(0)=2. g\'(x)=-[x-(2a+3)x+2(2a+1)x]e =-x(x-2)(x-2a-1)e. …8

32-x-x

(i)2a+1≤0(0,2)g\'(x)>0g(x)

若，即时，在上，，单调递增，

a??

g(x)>g(0)=2..

不合题意

(ii)0<2a+1<2(0, 2a+1)(2,+∞)g\'(x)<0

若，即时，在与上，，

??a?

g(x)(2a+1,2)g\'(x)>0g(x). g(x)≤2

单调递减；在上，，单调递增所以，

7?e7?e1

22

?a?

时，∴当当且仅当

g(x)≤2. . g(2)=(14?8a)e

≤2a≥

，即

442

1

7?e1

2

3-x

,)0?[

，若，即时，则由于

(iii)2a+1≥2g(x)≤(x+2x+2)e (x≥0).

a?

2

42

1

故由可得时，

(ii)(x+2x+2)eg(x)≤2.

3-x

≤2.

∴当

a?

2

7?e

2

,??)[

. …12 a

分综上，的取值范围是

4

?2

1

2

11

22

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时

请写清题号

7

22．[选修4–4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）

k

?

?

x?cost,

(t) xOyC

为参数．在直角坐标系中，曲线的参数方程为

1

?

k

?

?

y?sint

以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程

xC

2

为

4 cos -16 sin+3=0.

????

(1)k=1C

当时，是什么曲线？

1

(2)k=4CC

当时，求与的公共点的直角坐标．

12

?

x?cost,

22(1)k=1 C tx+y=1

．解：当时，：消去参数得，

1

?

22

?

y?sint,

故曲线是圆心为坐标原点，半径为的圆．分

C1 …3

1

4

?

?

x?cost,

(2)k=4 C tC. …5

当时，：消去参数得方程为分

11

?

x?y?1

4

y?sint,

?

?

将，代入可得的极坐标方程

x=cosy=sinC

????

2

化简整理的直角坐标方程为分

C4x-16y+3=0. …7

2

联立消去得，解得．

x?y?1

y12x-32+13=0

x

x?或x?(舍去)

11

44

11

44

113

26

∴，∴与的公共点的直角坐标为分

x?,y?

CC. …10

12

(,)

23[4–5] 10

．选修：不等式选讲（本小题满分分）

已知函数

f(x)=|3x+1| - 2|x-1|.

(1)y=f(x)

画出的图像；

(2)f(x)>f(x+1).

求不等式的解集

1

?

?x?3,x??,

?

3

?

1

?

23(1) …3

．解：依题分

f(x)?5x?1,??x?1,

?

3

?

?

?

x?3,x?1.

?

y=f(x)

的图像如图所示．

…5

分

(2)y=f(x)1y=f(x+1).

函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像

y=f(x)y=f(x+1). …8

的图像与的图像的交点坐标为分

(?,?)

依图不等式的解集为分

f(x)>f(x+1). …10

(??,?)

8

711

66

7

6

附：小题详解

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．

1z=1+i|z

．若，则

2

–2z|=( )D

A0 B1 C D2

．．．．

2

解：z

2

–2z=2i-(2+2i)=-2，|z|=2，故选D.

2A={x|x

．设集合

2

–4≤0}B={x|2x+a≤0}A∩B={x|–2≤x≤1}a=( )B

，，且，则

A–4 B–2 C2 D4

．．．．

解：A={x|-2≤x≤2}，B={x| x≤-a/2}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，∴-a/2=1，解得a=-2.

3

．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视

为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积

等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形

底边上的高与底面正方形的边长的比值为

( )C

5?15?15?15?1

A B C D

．．．．

4242

解：设四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形的高为，依题，

h2amh=am

2

h1?5

且，联立消去得，，舍去负号，故选

h+a=mhm-am -a=0C.

22222

??

m2

4ACy=2px(p>0)AC12y

．已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴

2

的距离为，则

9p=( )C

A2 B3 C6 D9

．．．．

解：根据定义：，解得，故选

12=9+p/2p=6C.

5yx(°C)

．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度单位：的关

系，在个不同的温度条件下

20

进行种子发芽实验，由实验数据

(x y)(i=1,2,···,20)

i.i

得到散点图：

C40°C 10°

至之由此散点图，在

间，下面四个回归方程类型中最

适宜作为发芽率和温度的回

yx

归方程类型的是

( )D

Ay=a+bx By=a+bx Cy=a+be Dy=a+blnx

．．．．

2x

解：根据散点图可排除去．．．故选

ABCD.

6f(x)=x-2x(1, f(1))( )B

．函数的图像在点处的切线方程为

43

Ay=-2x-1 By=-2x+1 Cy=2x-3 Dy=2x+1

．．．．

解：f′(x)=4x-6x，∴k= f′(1)=-2。又切点为(1,-1)，

32

∴切线方程分别为y+1=-2(x-1)，化简得y=-2x+1。故选B.

9

7f(x)=cos(x+)[-,]

．设函数在的图像大致如下图，

?

?

??

6

则的最小正周期为

f(x)( )C

743

??

?

10

?

A B C D

．．．．

632

9

43

???

4

?

解：依图是的一个零点。∴，故选

?

(-,0)C.

?

??????

?

?

9622

9

y

2

8xy( )C

．的展开式中的系数为

(x?)(x?y)

5

33

x

A5 B10 C15 D20

．．．．

y

2

55

解：原式可化为，依题两部分(x+y)中的x分别要取2

x(x?y)?(x?y)

6

x

个、取4个，故所求系数为C+ C=15，故选C.

55

24

9(0,)3cos2-8cos=5sin= ( )A

．已知∈，且，则

?????

21

55

A B C D

．．．．

33

39

2

5

解：原式可化为，∴，∴，故选

3cos-4cos-4=0cos=sin=A.

2

????

?

3

3

10A,B,COO?ABCO

．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面

11

积为，，则球的表面积为

4AB=BC=AC=OOO( )A

?

1

A64 B48 C36 D32

．．．．

????

OROrr=4r=2AB=BC=AC=OO

解：设球半径为，⊙的半径为，依题，∴。又，

11

??

2

=R=12+4=1664A. OO=AB=2rsin60°

23

，∴，∴球的表面积为，故选∴

2

?

1

11Mx+y-2x-2y-2=0l2x+y+2=0PlP

．已知⊙：，直线：，为上的动点，过点作

22

|AB|MPA,PBA,B|PM|·AB( )D

最小时，⊙的切线，切点为，当直线的方程为

A2x-y-1=0 B2x+y-1=0 C2x-y+1=0 D2x+y+1=0

．．．．

解：的方程可化为，∴圆心为半径为，

⊙M(x-1)+(y-1)=4M(1,1),2

22

|AB|PAMB PM⊥AB|PM|·

最小时，四边形面积最小，易知：。当

∴面积最小，又是常数，所以只要最小，此时。

Rt?PAMAM=2PMPM⊥l

∴，的方程为，即，联立

k=1/2PMy-1=(1/2)(x-1)x-2y+1=02x+y+2=0

PM

解得交点P(-1,0)

设切点坐标为(x,y)，依题切点在以PM为直径的圆上，

由圆的直径式方程得(x+1)(x-1)+y(y-1)=0， 又的方程为

⊙Mx+y-2x-2y-2=0，

22

两圆方程相减可得公共弦AB的方程为2x+y+1=0.

故选D.

10

122+loga=4+2logb( )B

．若，则

ab

24

Aa>2b Ba<2b Ca>b Da<b

．．．．

22

解：2+loga=2+logb，∴a>0, b>0，设f(x)=2+logx，

依题

a2bx

222

易知f(x)在(0,+∞)上是增函数。又2+loga=2+logb<2+logb，

a2b2b

222

2

即f(a)<f(2b)，∴a<2b。故选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

?

2x?y?2?0,

?

13x,yz=x+7y . 1

．若满足约束条件则的最大值为

?

x?y?1?0,

?

y?1?0,

y x-y-1=0

?

2

解：作出可行域，如图.

画出直线l： x+7y =0，平移l到l，

00

O

A

x

当l经过点A(1,0)时z最大

B C

y+1=0

所以，z=1.

max

2x+y-2=0

14||=1||= .

．设为单位向量，且，则

a，b

a+ba-b

3

依题

(a+b)?2?2a?b?1?2a?b??1(a-b)?2?2a?b?3

22

，，解：∴||=

a-b

3

xy

22

15FC(a>0,b>0)ACBC

．已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为

22

??1

ab

上的点，且垂直于轴若的斜率为，则的离心率为

BFx. AB3C . 2

cyb

222

解：依题A(a,0), B(c,y)(y>0)，且，解得y=。由k=3得，

22

??1

AB

aba

2

b

=3(c-a)，∴c-3ac+2a=0，即e-3e+2=0，解得e=1(舍去)或e=2.

222

a

16P–ABCAC=1AB=AD=

．如图，在三棱锥的平面展开图中，，，

3

ABACABADCAE=30°cosFCB= .

⊥，⊥，∠，则∠

解：依题，，，

BF=BD=BC=2AE=AD=

63

CE=1+3-2×1×cos30°=1CF=CE=1

由余弦定理得，∴，

2

3

4?1?61

??

. cosFCB=

∴∠

2?2?14

11