2022年新高考全国I卷数学真题含答案解析

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2023年11月21日发(作者：全车喷漆后悔了)

绝密启用前试卷类型：

☆ A

2022

年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共页，小题，满分分考试用时分钟

422150.120.

注意事项：

．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填

写在答题卡上用铅笔将试卷类型（）填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡

.2BA.

右上角“条形码粘贴处”

22B

．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上

．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不

按以上要求作答的答案无效

4..

．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项

8540.

是符合题目要求的

若集合，则（）

M?{x∣x?4},N?{x∣3x?1}

A. B. C. D.

x0?x?2x3?x?16

【答案】

【解析】

【分析】求出集合后可求

M,N

M?N

M?N?

????

xx2xx16

????

∣0?x?16},N?{x∣x?}M?{x

，故

MNxx16

????

【详解】，

故选：

若，则（）

i(1?z)?1

z?z?

A. B. C. 1D. 2

【答案】

【解析】

【分析】利用复数的除法可求，从而可求

z?z

【详解】由题设有

1?z????i

故选：

，故，故，

z?1+i

z?z?1?i?1?i?2

????

3. DAB

在中，点在边上，．记

VABC

BD?2DA

A. C. B. D.

3m?2n3m?2n?2m?3n2m?3n

【答案】

【解析】

????????

????

，则（）

CA?mCD?n

，

????????

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

????????????????

????????

【详解】因为点在边上，，所以，即，

DAB

BD?2DA

CD?CB?2CA?CD

???????????

????

所以．

3CD?2CA?3n?2m

??2m?3n

故选：．

4. .

南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔

148．5m

时，相应水面的面积为

140．180．0km0km

5m157．

时，相应水面的面积为；水位为海拔，将该

水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约

148．5m157．5m

为（）（）

7?2.65

A. B. C. D.

1.0?10m1.2?10m1.4?10m1.6?10m

93939393

【答案】

【解析】

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．

【详解】依题意可知棱台的高为，所以增加的水量即为棱台的体积．

MN?157.5?148.5?9

(m)

棱台上底面积，下底面积，

S?140.0km?140?10mS?180.0km?180?10m

262262

∴

V?hS?S?SS??9?140?10?180?10?140?180?10

6612

?3?320?607?10?96?18?2.65?10?1.437?10?1.4?10(m)

67993

．

故选：．

5. 28722

从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数互质的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解

【详解】从至的个整数中随机取个不同的数，共有

2872

C?21

种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：，共种，

??????????????

2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8

故所求概率

故选：

2172

213

记函数

f(x)sinxb(0)

????

的

，且的图象关于点最小正周期为．若

y?f(x)

中心对称，则（）

A. 1B. C. D. 3

【答案】

【解析】

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解

【详解】由函数的最小正周期满足，解得，，得

2??3

又因为函数图象关于点对称，所以，且，

???

k,kZ

b?2

所以，，

???k,k?Z

，所以

f(x)sinx2

???

所以

fsin21

????

424

????

故选：

设，则（）

a?0.1e,b?，c??ln0.9

A. B. C. D.

a?b?c

【答案】

【解析】

0.1

c?b?ac?a?b

a?c?b

【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小

f(x)?ln(1?x)?x

a,b,c

【详解】设，因为，

f(x)?ln(1?x)?x(x??1)

f(x)1

????

1x1x

当时，，当时，

x?(?1,0)f(x)?0x?(0,??)f(x)?0

所以函数在单调递减，在上单调递增，

f(x)?ln(1?x)?x

(0,??)

(?1,0)

所以，故，即，

f()?f(0)?0ln0lnln0.9

，所以

1101110

99999

?????

b?c

191

911

+0f(?)?f(0)?0ln

，故，所以，所以

1010

，所以

101010

10109

故，

a?b

x1e1

设,

gx?x??x?x?

()eln(1)(01)

，则

g(x)x+1e

???

x1x1

令

h(x)?e(x?1)+1h(x)?e(x?2x?1)

x2x2

，，

当时，，函数

0?x?2?1

h(x)?0

h(x)?e(x?1)+1

单调递减，

当时，，函数

2?1?x?1

h(x)?0

h(x)?e(x?1)+1

单调递增，

又，

h(0)?0

所以当时，，

0?x?2?1

所以当时，，函数

0?x?2?1

h(x)?0

g(x)?0

gx?x??x

()eln(1)

单调递增，

所以，即，所以

g(0.1)?g(0)?0

0.1e??ln0.9

0.1

a?c

故选：

8. l.

已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上若该球的体积为，且

3?l?33

，则该正

四棱锥体积的取值范围是（）

??????

8127812764

A. B. C. D.

??????

18,,,

44443

??????

【答案】

【解析】

[18,27]

【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正

四棱锥体积的取值范围.

【详解】∵球的体积为，所以球的半径,

36R?3

设正四棱锥的底面边长为，高为，

2ah

则，

l?2a?h

222

3?2a?(3?h)

222

所以，

6h?l2a?l?h

2222

112ll1l

426

422

所以正四棱锥的体积，

VSh4ah(l)=l

?????????

333366936

1l124l

????

所以，

V4ll

???

????

9696

????

当时，，当时，，

3?l?2626?l?33

V?0V?0

所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，

l?26

2781

，,

l?33

时，又时，

V?V?

所以正四棱锥的体积的最小值为，

l?3

所以该正四棱锥体积的取值范围是

故选：

2764

，

二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合

4520

题目要求．全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分．

520

已知正方体

ABCD?ABCD

1111

，则（）

A. B.

直线所成的角为直线所成的角为

BCBC

与与

90?90?

C. D.

直线所成的角为直线

BCBC

与平面与平面所成的角为

BBDD

45?

【答案】

ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可

【详解】如图，连接，因为与与

BCBC

、，所以直线所成的角即为直线所

BCBCBC

111

DA//BC

成的角，

因为四边形，故直线与

BBCC

为正方形，则所成角为，正确；

BC?

BCBC

的

90?

ABCD

45?

连接

ACAB?BC?AB?BC

1111111

，因为平面，平面，则，

BBCCBBCC

1111

因为，

BC?ABC

111

AB?BC?BBC?

11111

，所以平面，

?AC

平面，所以，故正确；

ABC

BC?CA

又

连接

ACAC?BD?O

111111

，设，连接，

因为

BB?CO?

平面，平面，则，

ABCDABCD

11111111

CO?BB

因为，

CO?BD

111

BD?BB?BCO?

11111

，所以平面，

BBDD

所以与平面

?CBO

为直线所成的角，

BBDD

CO1

sinCBO

???

，设正方体棱长为，则，

CO?

BC?2

，

BC2

所以，直线与平面，故错误；

BBDD

所成的角为

因为与平面所成的角，易得，故正

CC??CBC

平面，所以为直线

ABCD

?CBC?45

确

故选：

ABD

10.

已知函数，则（）

f(x)?x?x?1

f(x)f(x)

有两个极值点有三个零点

点是曲线

(0,1)

y?f(x)y?f(x)

的对称中心直线是曲线的切线

【答案】

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断，结合的单调性、极值可判断，利用平移可判断；利用导数

ABC

f(x)

的几何意义判断

【详解】由题，或，

fx?3x?1fx?0

，令得

x?x??

y?2x

令得，

f(x)?0

??x?

333

所以在上单调递减，在，上单调递增，

f(x)

(,)(,)

???

(,)

???

333

所以是极值点，故正确；

x??

因，，，

f(?)?1??0f()?1??0

323323

f?2??5?0

3939

???

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在

0fxf

上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故错误；

f(x)

令

h(x)?x?x

，该函数的定义域为，，

h?x??x??x??x?x??hx

????????

则是奇函数，是的对称中心，

h(x)h(x)

(0,0)

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

h(x)

f(x)

所以点是曲线的对称中心，故正确；

(0,1)

y?f(x)

令

fx?3x?1?2

，可得，又，

x??1

f(1)?f?1?1

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，

(1,1)

y?2x?1

(?1,1)

y?2x?3

故错误

故选：

AC.

11. OCPQ

已知为坐标原点，点在抛物线上，过点直线交于，两

A(1,1)

C:x?2py(p?0)

B(0,?1)

的

点，则（）

A. CB. ABC

的准线为直线与相切

y??1

C. D.

OP?OQ?|OA

【答案】

BCD

【解析】

【分析】求出抛物线方程可判断，联立与抛物线的方程求交点可判断，利用距离公式及弦长公式

AABB

可判断、

CD.

【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为

1?2p

x?y

，故准线方程为，错

y??

误；

|BP|?|BQ|?|BA|

联立，可得，解得，故正确；

1(1)

，所以直线的方程为，

y?2x?1

y2x1

x?2x?1?0

x?1

设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，

lll

所以，直线的斜率存在，设其方程为，

y?kx?1

P(x,y),Q(x,y)

1122

，

联立，得，

ykx1

x?kx?1?0

Δk40

???

所以，所以或，

xxk

k?2

k??2

yy?(xx)?1

1212

，

xx1

又，，

|OP|?x?y?y?y|OQ|?x?y?y?y

11112222

222222

所以

|OP|?|OQ|?yy(1?y)(1?y)?kx?kx?|k|?2?|OA|

121212

，故正确；

因为，，

|BP|?1?k|x||BQ|?1?k|x|

所以

|BP|?|BQ|?(1?k)|xx|?1?k?5

，而，故正确

|BA|?5

故选：

BCD

12.

已知函数，若的定义域均为，记

f(x)

及其导函数，均为偶

函数，则（）

A. B. C. D.

f(0)?0f(?1)?f(4)

【答案】

【解析】

g(x)?f(x)

f2x

g(2?x)

()

g(?1)?g(2)

【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可

得解

f2x

【详解】因为，均为偶函数，

g(2?x)

所以即，，

f2xf2x

????

???

????

fxfx

????

???

g(2?x)?g(2?x)

????

所以，，则，故正确；

f3?x?fx

????

g(4?x)?g(x)

f(?1)?f(4)

函数，的图象分别关于直线

f(x)

g(x)

x?,x?2

对称，

又，且函数可导，

g(x)?f(x)

f(x)

所以，

g0,g3xgx

????

所以，所以，

g(4?x)?g(x)??g3?xg(x?2)??g(x?1)?gx

????

所以，，故正确，错误；

gg0

????

???

????

g?1?g1??g2

??????

????

若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，

f(x)f(x)

f(x)?C

故错误

故选：

BC.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象

间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解

三、填空题：本题共小题，每小题分，共分．

4520

13. ________________

1(xy)

．的系数为（用数字作答）

的展开式中

【答案】

-28

【解析】

【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解

1xy

xyxy

???

????

888

1xy=xyxy

?????

【详解】因为，

??????

所以，的展开式中含

1xy

53562626

CxyCxy28xy

???

的项为

1xy

的展开式中

的系数为

-28

故答案为：

-28

14. ________________

写出与圆和都相切的一条直线的方程．

x?y?1(x?3)?(y?4)?16

【答案】

y??x?

【解析】

725

或或

y?x?

x??1

2424

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可

【详解】圆为，半径

x?y?1(x?3)?(y?4)?16

的圆心为，半径为，圆的圆心

O0,0

(3,4)

为，

两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，

3?4?5

如图，

当切线为时，因为

，所以，设方程为

k??

y??x?t(t?0)

?1d?

，所以的方程为，到的距离

lOl

y??x?

|t|

，解得

当切线为时，设直线方程为，其中，，

kx?y?p?0p?0

k?0

725

x?y?

由题意，解得，

2424

3k4p

当切线为时，易知切线方程为，

x??1

故答案为：

y??x?

725

或或

y?x?

x??1

2424

15. a________________

若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是．

y?(x?a)e

【答案】

????

?,?4?0,?

【解析】

【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，

根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【详解】∵

y?x?a

()e

，∴，

y?(x?1?a)e

设切点为

x,yy?x?aek?x?1?ae

,则,切线斜率,

000

????

切线方程为：

y?x?ae?x?1?aex?x

??????

000

∵切线过原点，∴

?x?ae?x?1?ae?x

??????

000

整理得：

x?ax?a?0

∵切线有两条，∴,解得或,

??a?4a?0

a<-4

a?0

∴的取值范围是,

????

??,?4?0,??

故答案为：

????

??,?4?0,??

16.

已知椭圆，，离心率为且垂

C:1(ab0)

????

，的上顶点为，两个焦点为．过

FFF

121

直于

的直线与交于，两点，，则的周长是．

CDE________________

|DE|?6

VADE

【答案】13

【解析】

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线

??，即???

13x4y12c0

222

4c3c

的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入

DEDE

x?3y?c

椭圆方程

3x?4y?12c?0

222

，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得

13y?63cy?9c?0

，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

VADE

△FDE

4a?13

【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为

a?2c

b?a?c?3c

2222

a?2c?

??，即???

13x4y12c0

222

，不妨设左焦点为

，右焦点为，如图所示，∵

4c3c

AF?a，OF?c，a?2cAF

，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与

AFO

，∴

△AFF

交于，两点，为线段，斜率倒数为，直线

DEDE

的垂直平分线，∴直线的斜率为

的方程：，代入椭圆方程

x?3y?c

3x?4y?12c?0

222

，整理化简得到：，

13y?63cy?9c?0

判别式

??63c?4?13?9c?6?16?c

∴，

DE?1?3y?y?2??2?6?4??6

∴

c?a?2c?

222

，

Δc

1313

，得，

∵为线段

AFAD?DF，AE?EF△FDE

的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于

VADE

的周长，利用椭圆的定义得到

△FDE

周长为

DF?EF?DE?DF?EF?DF?EF?DF?DF?EF?EF?2a?2a?4a?13

2222111212

故答案为：13.

四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

670

Sa1,

17. n

记为数列的前项和，已知

是公差为的等差数列．

（）求

的通项公式；

111

?????

．（）证明：

aaa

12n

【答案】（）

（）见解析

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，利用和与项的关，得到

1n2

????

1n1

a33

n2an1a

????

nn1

系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得

n?2

aSS

nnn1

????

an1

nnnn

????

?1?1

，检验对于也成立，得到；

n?1

的通项公式

1111

?????

，进而证得.（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到

aaan1

12n

【小问详解】

∵,

a?1

，∴,∴

S?a?1

又∵是公差为的等差数列，

1n2

,∴,∴

????

1n1

a33

∴当时，，

n?2

∴,

aSS

nnn1

????

n1a

????

n2an1a

nn1

整理得：,

????

n1an1a

???

nn1

即,

an1

aaa

3n1n

???????

aaaa

12n2n1

∴

34?1

，

????????

12n2n12

显然对于也成立，

n?1

∴；

的通项公式

【小问详解】

1211

???

ann1nn1

111

????????

111111

????

?????????

21212

????????

∴

aaa

12n

????????

nn1n1223

18. ABCabc

记的内角，，的对边分别为，，，已知

VABC

（）若，求；

cosAsin2B

．

1sinA1cos2B

（）求的最小值．

【答案】（）；

（）．

42?5

【解析】

【分析】（）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成

cosAsin2B

1sinA1cos2B

cosA?B?sinB

，再结合

0?B?

，即可求出；

ππ

（）由（）知，化成

C??BA??2B

，，再利用正弦定理以及二倍角公式将

4cosB5

，然后利用基本不等式即可解出．

cosB

【小问详解】

因为，即

cosAsin2B2sinBcosBsinB

???

1sinA1cos2B2cosBcosB

sinB?cosAcosB?sinAsinB?cosA?B??cosC?

而

0?B?

，

，所以；

【小问详解】

由（）知，，所以

sinB??cosC?0

ππ

?C?π,0?B?

，

而，

sinBcosCsinC

????

所以

C??BA??2B

ππ

，即有．

absinAsinBcos2B1cosB

222222

????

所以

222

csinCcosB

2cosB11cosB

????????

???

cosBcosB

4cosB5285425

．

当且仅当时取等号，所以的最小值为．

cosB?

42?5

19. 4

如图，直三棱柱体积为，的面积为

ABC?ABC

111

的

VABC

．

（）求到平面

ABC

的距离；

（）设为

ACAA?ABABC?ABBA

11111

的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

A?BD?C

【答案】（）

（）

【解析】

【分析】（）由等体积法运算即可得解；

（）由面面垂直的性质及判定可得平面

BC?

ABBA

，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解

【小问详解】

在直三棱柱

ABC?ABCABC

1111

中，设点到平面的距离为，

则，

VShhVSAAV

AABCABCAABCABC1ABCABC

???

????????

111111

122114

33333

解得，

h?2

所以点到平面；

ABC

的距离为

【小问详解】

取

ABAA?ABAE?AB

111

的中点连接如图，因为，所以

E,AE,,

又平面

ABC?ABBA

111

平面，平面平面，

ABC?ABBA?AB

1111

且平面

AE?

ABBAABC

111

，所以平面，

AE⊥

在直三棱柱

ABC?ABCBB?

1111

中，平面，

ABC

由平面

BC?

ABCBB?BC

，平面可得，，

BC?ABC

AE?BC

又

AE,BB?ABBAABBA

11111

平面且相交，所以平面，

BC?

所以

BC,BA,BB

两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（）得，所以

AE?2

AA?AB?2

，，所以，

AB?22

BC?2

则

A0,2,0,A0,2,2,B0,0,0,C2,0,0

????????

所以的中点，

D1,1,1

????????????

则，

BD?1,1,1BA?0,2,0,BC?2,0,0

??????

????

mBDxyz0

?????

????

设平面的一个法向量，则，

ABD

m?x,y,z

mBA2y0

???

可取，

m?1,0,?1

????

mBDabc0

?????

????

设平面的一个法向量，则，

BDC

n?a,b,c

mBC2a0

???

可取，

n?0,1,?1

???

mn11

cosm,n

???

则，

所以二面角的正弦值为

A?BD?C

20.

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两

类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机

100

调查了人（称为对照组），得到如下数据：

100

不够良好良好

病例组

对照组

4060

1090

（）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

199%

（）从该地的人群中任选一人，表示事件选到的人卫生习惯不够良好，表示事件选到的人患有该

2A“”B“

疾病．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标

”

为．

（ⅰ）证明：；

P(B|A)

P(A|B)P(A|B)

（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．

P(A|B),P(A|B)

n(adbc)

附，

(ab)(cd)(ac)(bd)

????

PK?k

k3.8416.63510.828

0.0500.0100.001

【答案】（）答案见解析

（）（）证明见解析；；

2i(ii)

R?6

【解析】

【分析】由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为

(1)

患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；

(ii)i.

根据（）结合已知数据求

【小问详解】

n(adbc)200(40906010)

????

=24K

，由已知

(ab)(cd)(ac)(bd)50150100100

???????

又

P(K?6.635)=0.01

，，

24?6.635

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

【小问详解】

(i)

因为

?????

P(B|A)P(B|A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)

，

P(B|A)P(B|A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以

????

P(AB)P(B)P(AB)P(B)

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

P(A|B)P(A|B)

，所以

P(A|B)P(A|B)

(ii)

4010

，，

P(A|B)?P(A|B)?

100100

6090

又

P(A|B)?P(A|B)?

，，

100100

由已知

所以

R=6

P(A|B)P(A|B)

21.

已知点

A(2,1)

在双曲线上，直线交于，两点，直线的斜率

C:1(a1)

???

lCPQ

AP,AQ

aa1

之和为．

（）求的斜率；

（）若，求的面积．

tan?PAQ?22

△PAQ

【答案】（）；

（）．

162

【解析】

【分析】（）由点在双曲线上可求出，易知直线的斜率存在，设，

A(2,1)

l:y?kx?m

Px,y,Qx,y

????

1122

，再根据

k?k?0

APAQ

，即可解出的斜率；

（）根据直线的斜率之和为可知直线的倾斜角互补，再根据即可

AP,AQAP,AQ

tan?PAQ?22

求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线

AP,AQAP,AQ

P,Q

的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．

PQPQ

△PAQ

【小问详解】

，解得，即双曲线因点在双曲线上，所以

a?2

为

A(2,1)

C:1(a1)

???

aa1

C:?y?1

易知直线的斜率存在，设，

l:y?kx?m

Px,y,Qx,y

????

1122

，

ykxm

222

1?2kx?4mkx?2m?2?0

，

联立可得，

4mk2m2

222222

Δ?16mk?42m?22k?1?0?m?1?2k?0

所以，，

xx,xx

1212

????

2k12k1

且．

k??

所以由可得，，

k?k?0

APAQ

y1y1

x2x2

即

????????

x?2kx?m?1?x?2kx?m?1?0

1221

，

即

2kxx?m?1?2kx?x?4m?1?0

1212

??????

，

2m24mk

????????

m12k2k4m10

所以，

????

2k12k1

化简得，

8k?4k?4?4mk?1?0k?12k?1?m?0

，即，

????

所以或，

k??1

m?1?2k

当时，直线过点，与题意不符，舍去，

m?1?2k

l:y?kx?m?kx?2?1

A2,1

故．

k??1

【小问详解】

不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，

PA,AQ

????

,??

由（）知，

xx?2m?2?0

，

当均在双曲线左支时，，所以，

P,Q

?PAQ?2

tan2?22

即，解得（负值舍去）

2tan?tan?2?0

tan

k?k?0

APAQ

??π

此时与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；

当均在双曲线右支时，

P,Q

因为，所以，即，

tan?PAQ?22

tan??22

tan2??22

即，（负值舍去）

2tan?tan?2?0

，解得

tan?2

于是，直线，直线，

PA:y?2x?2?1

AQ:y??2x?2?1

y2x21

???

联立可得，

x?22?4x?10?42?0

因为方程有一个根为，所以，，

，

1042

425

同理可得，，．

1042425

???

所以

PQ:x?y??0PQ?

516

，，

点到直线的距离，

故的面积为．

△PAQ

11622162

???

2339

22.

已知函数和有相同的最小值．

f(x)?e?ax

g(x)?ax?lnx

（）求；

（）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三

y?b

y?f(x)

y?g(x)

个交点的横坐标成等差数列．

【答案】（）

a?1

（）见解析

【解析】

【分析】（）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求注意分类讨论

1a..

（）根据（）可得当时，的解的个数、的解的个数均为，构建新函数

212

b?1

?x?b

x?lnx?b

h(x)?e?lnx?2x

，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线

fx,gx

????

y?b

与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明

y?fxy?gx

三根成等差数列

【小问详解】

f(x)?e?ax

的定义域为，而，

f(x)?e?a

若，则，此时无最小值，故

a?0

f(x)?0

f(x)

a?0

g(x)?ax?lnx

的定义域为，而

0,?

g(x)a

???

1ax1

当时，，故在上为减函数，

x?lna

f(x)?0

f(x)

??,lna

当时，，故在上为增函数，

x?lna

f(x)?0

f(x)

lna,??

故

f(x)?flna?a?alna

min

当时，，故在上为减函数，

g(x)?0g(x)

当时，，故在上为增函数，

g(x)?0g(x)

g(x)g1ln

???

故

min

因为

fx??ax

()e

和有相同的最小值，

g(x)?ax?lnx

故，整理得到，其中，

1lnaalnalna

????

1a1

a?0

a1a

21a1

????

0ga

，，则设

???

lna,a0ga

a1a1a

????

故为上的减函数，而，

gag1?0

????

0,?

故的唯一解为，故的解为

ga?0

a?1a?1

综上，

a?1

【小问详解】

由（）可得

fx??x

()e

和的最小值为

g(x)?x?lnx

1ln11ln1

????

当时，考虑的解的个数、的解的个数

b?1

?x?b

x?lnx?b

设

Sx??x?bSx?e?1

，，

lna

当时，，当时，，

x?0

Sx?0Sx?0

x?0

故在上为减函数，在上为增函数，

????

?,00,?

所以

Sx?S0?1?b?0

????

min

，

而，

SbSb??b

????

??e?0e2

，

设

ub??bub?e?2?0

，其中，则，

b?1

故在上为增函数，故，

ubub?u1?e?2?0

??????

1,??

故，故的解的个数为

Sb?0e

????

Sx??x?b

有两个不同的零点，即

e?x?b

设，，

Tx?x?lnx?b

当时，，当时，，

0?x?1

Tx?0Tx?0

????

x?1

故在上为减函数，在上为增函数，

0,1

1,??

所以

Tx?T1?1?b?0

????

min

，

而，

Tee0Te?e?2b?0

????

bbbb

，

Tx?x?lnx?b

有两个不同的零点即的解的个数为

x?lnx?b

当，由（）讨论可得、仅有一个解，

b?1

x?lnx?b

?x?b

当时，由（）讨论可得、均无根，

b?1

x?lnx?b

?x?b

故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，

y?b

y?fxy?gx

则

b?1

设，

hx??x?x

()eln2

，其中，故

x?0

h(x)e2

???

设

sx??x?

，，则，

x?0

sx?e?1?0

故在上为增函数，故即，

0,?

sx?s0?0

所以，所以在上为增函数，

h(x)x1210

??????

????

?x?

h(x)

0,?

122

而，，

h(1)?e?2?0

h()?e?3??e?3??0

333

eee

故在上有且只有一个零点，

0,?

?x?1

且：

当即，

0?x?x

时，即

hx?0

e?x?x?lnx

fx?gx

????

当即，

x?x

时，即

hx?0

e?x?x?lnx

fx?gx

????

因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，

y?b

y?fxy?gx

故

b?fx?gx?1

????

，

此时有两个不同的根

?x?b

x,x(x?0?x)

1010

，

此时有两个不同的根

x?lnx?b

x,x(0?x?1?x)

0404

，

故

e?x?be?x?b

，，，

x?lnx?b?0x?lnx?b?0

4400

所以即，

x?b?lnx

即

exbb0

????

故的解，同理的解

x?bx?b

为方程也为方程

e?x?be?x?b

又

e?x?be?x?b

可化为即即，

x?lnx?b?0x?b?lnx?b?b?0

1111

??????

故

x?bx?b

为方程的解，同理也为方程的解，

x?lnx?bx?lnx?b

所以

????

x,x?x?b,x?b

1004

，而，

b?1

故即

xxb

x?x?2x

140

xxb

【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨

论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系

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