2024年4月3日发(作者：国产mpv商务车大全7座推荐)
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！ 住在富人区的她
2022-2023年研究生入学《数学二》预测试题（答案解析）
（2）若用清水总量b kg不变，分n 次清洗，n次清洗后的浓度分别为c1,c2,···，cn，
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第壹卷
一.综合考点题库(共50题)
1.已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质
的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后，该
物体温度降至30℃，若要物体的温度继续降至21℃，还需要冷却多长时间？
正确答案：
本题解析：
设t时刻物体的温度为x（t）（t单位：小时），比例常数为k（＞0），介质温度为m，则dx/dt＝k（x
－m），从而x（t）＝Cekt＋m，x（0）＝120，m＝20，所以C＝100。则t时刻物体温度方程为x（t）＝
100ekt＋20。
∵x（1/2）＝30，∵k＝－（ln10）/30。∵当x＝21时，t＝60。故还需要冷却30min。
2.某容器中盛有工业原料，将原料倒出后，容器壁上残留a kg含有该原料浓度为c0的残
液，现用总量为b kg的清水清洗三次，每次清洗后容器壁上仍残留a kg含该原料的残液，
三次清洗后的浓度分别为c1,c2,c3（1）如何分配三次的用水量，使最终浓度c3为最小？
如何分配n次的用水量，使最终浓度cn最小，并求
正确答案：
本题解析：
3.设曲线y=y（x）过（0，0）点，M是曲线上任意一点，MP是法线段，P点在x轴上，已
知MP的中点在抛物线，求此曲线的方程。
正确答案：
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本题解析：
4.设D是由曲线
与
围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
正确答案：
本题解析：
由题可画出D如图4所示。
图4
则D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
又因
则D绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积为
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5.设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax＝0的基础解系中只有2个向量，
则r（A*）＝（ ）。
A.0
B.1
C.2
D.3
正确答案：A
本题解析：
伴随矩阵的秩
由于r（A）＝n－2＜n－1，所以r（A*）＝0。故选A。
6.如图1所示，曲线方程为y＝f（x），函数在区间[0，
在几何上表示（ ）。
a]上有连续导数，则定积分
A.曲边梯形ABOD面积
B.梯形ABOD的面积
C.曲边三角形ACD面积
D.三角形ACD面积
正确答案：C
本题解析：
其中af（a）是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD
的面积。
7.
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A.4
B.5
C.6
D.7
正确答案：C
本题解析：
8.设函数f（u，v）满足f（x＋y，y/x）＝x2－y2，则与依次是（ ）。
A.1/2，0
B.0，1/2
C.－1/2，0
D.0，－1/2
正确答案：D
本题解析：
令u＝x＋y，v＝y/x，则x＝u/（1＋v），y＝uv/（1＋v）。将上式代入f（x＋y，y/x）＝x2－y2，可以
得到f（x＋y，y/x）关于u，v的表达式，即
∵
∵
故答案选D项。
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9.
A.a=-2b
B.a=2b
C.a=-b
D.a=b
正确答案：B
本题解析：
10.
A.取得极大值
B.取得极小值
C.不取极值
D.无法判断
正确答案：B
本题解析：
11.设函数y＝f（x）由参数方程
所确定，其中ψ（t）具有2阶导数，且ψ（1）＝5/2，ψ′（1）＝
6，已知
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求函数ψ（t）。
若P＝（α1，α2，α3），Q＝（α1＋α2，α2，α3），则QTAQ为（ ）。
正确答案：
本题解析：
12.设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：A
本题解析：
即Q＝PE12（1），则
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13.设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（0）＝0，f（1）
＝1/3，证明：存在ξ∈（0，1/2），η∈（1/2，1），使得f′（ξ）＋f′（η）＝ξ2
＋η2。
正确答案：
本题解析：
证明：设函数F（x）＝f（x）－x3/3，由题意知F（0）＝0，F（1）＝0。
在[0，1/2]和[1/2，1]上分别应用拉格朗日中值定理，有
二式相加得：
即f′（ξ）＋f′（η）＝ξ2＋η2。
14.设A,B,C均是3阶方阵，满足AB=C，其中
A.a=—1时，r（A）= 1
B.a=—1时，r（A）= 2
C.a≠—1时，r（A）= 1
D.a≠—1时，r（A）= 2
正确答案：C
本题解析：
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15.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：A
本题解析：
16. 甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图1中实线表示甲的
速度曲线v＝v1（t）（单位：m/s）。虚线表示乙的速度曲线v＝v2（t），三块阴影部分面积
的数值依次为10、20、3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）。
A.t0＝10
B.15＜t0＜20
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C.t0＝25
D.t0＞25
正确答案：C
本题解析：
从0到t0时刻，甲乙的位移分别为与。根据图像，t0＝0时，甲在乙前方10m，
由定积分的几何意义知，乙追上甲满足方程：
而在t0＝25时，乙比甲多跑10m，满足题意，故t0＝25。
17.曲线
在（0，0）处的切线方程为______。
正确答案：y＝2x
本题解析：
暂无解析
18.设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB+2B=O 且r（B）=2，则 |A+4E|=
A.8
B.16
C.2
D.0
正确答案：B
本题解析：
19.
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A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：C
本题解析：
20.设A为2阶矩阵，P＝（α，Aα），其中α是非零向量，且不是A的特征向量。
（Ⅰ）证明P为可逆矩阵；
（Ⅱ）若A2α＋Aα－6α＝0，求P－1AP并判断A是否相似于对角阵。
正确答案：
本题解析：
21.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
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正确答案：B
本题解析：
22.
A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：A
本题解析：
23.
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A.见图A
B.见图B
C.见图C
D.见图D
正确答案：A
本题解析：
24.设函数f（x）在区间[0，1]上具有2阶导数，且f（1）＞0，，证明：
（Ⅰ）方程f（x）＝0在区间（0，1）内至少存在一个实根；
（Ⅱ）方程f（x）f″（x）＋[f′（x）]2＝0在区间（0，1）内至少存在两个不同实根。
正确答案：
本题解析：
25.已知矩阵
则（ ）。
A.A与C相似，B与C相似
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