2023年12月14日发(作者：本田皓影图片)

2022-2023学年湖南省新高考教学教研联盟高二5月联考数学试题及参考答案一、选择题1.已知集合A???1，0，1?，B?xx?1?0，则下列结论中正确的是（2??）A.A?B??0?B.A?B???1，0，1?C.A?BD.B?CRA）2.已知随机变量?服从正态分布N4，?A.0.84B.0.66?2?，且P???6??0.84，则P???2??（C.0.34D.0.163.2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛.高二学生代表队由A,B,C,D,E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（A.）C.13B.12??23D.344.函数f?x??Asin??x????A?0,??0,??析式为（）??则函数f?x?的解?的部分图像如图所示，2?A.f?x??33sin?2x?B.f?x??3sin?2x?C.f?x??3sin?2x??????6??????6????3????3???D.f?x??33sin?2x?929??5.已知?1?x??a0?a1?2x?1??a2?2x?1????a9?2x?1?，随机变量?~B?32,p?，其中p?a1，则E????（A.）C.916B.93295121D.92566.若???0，?，则????3?21的最小值为（?tan?3?tan?B.20231）A.233?22C.35?22D.26?33k?1??1?xk?x??1?，函数g?x??f?x?2?的零点均在区间?m,n?7.已知函数f?x??1??k内，其中m?n，且m,n都是整数.当n?m取最小值时，若复数z?A.2B.5C.10D.13m?ni，则z?（i）足球最早起源于我国古代“蹴鞠”8.2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，.被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A,B,C,D，连接着四点构成三棱锥A?BCD.如图所示，顶点A在底面的射影落在?BCD内，它的体积为72933cm，其中2）?BCD和?ABC都是边长为18cm的正三角形，则该“鞠”的表面积为（A.234?cm二、多选题2B.468?cm2C.189?cm2D.756?cm29.下列有关说法正确的是（2）2A.用决定系数R来刻画回归的效果时，R的值越小，说明模型拟合的效果越好??1.5x?1.2，则样本?2,4.25?的残差为0.05B.已知回归模型为yC.数据2,3,5,6,8,11,13,14的第80百分位数为13D.一组样本数据x1,x2,?,xn的平均数是3，则2x1?1,2x2?1,?,2xn?1的平均数是7210.如图，已知在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面?PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD?2，AB?4，O,N分别为BD，PC的中点，则下列说法中正确的是（）∥平面PADB.三棱锥C?PBD的体积为433C.二面角P?AB?D的大小为30°D.直线PB与平面ABCD所成角的余弦值为151011.已知定义在R上的可导函数f?x?，记g?x??f??x?为f?x?的导函数，若f?x?2023??f?2023?x??0且f?x??f?2??f?4?x?，又f?1??2023，则下列说法正确的是（）A.f?x?的图象关于x?2对称B.g?x?为偶函数C.g?2018??0D.f?2023??202312.已知点C为抛物线E：y?4x的焦点，O为坐标原点，以C为圆心，半径为5的圆C与抛物线E交于M,N两点.在圆C的劣弧MN上有异于M,N的动点A，过点A作垂直于2?y轴的直线l与抛物线E相交于点B，则下列说法中正确的是（A.过点N且与抛物线C仅有一个公共点的直线只有1条B.?MON?90?C.点A横坐标的取值范围是?4,6?D.若l不经过原点O，则?ABC周长的取值范围是?10,12?.）3三、填空题13.某冰淇淋工厂的制冷设备使用年限与产生的维修费用关系如下表：使用年限x（单位：年）维修费用y（单位：万元）21.434.545.556.567??1.3x?a?，据此模型预测，若使用年限为10根据上表可得y关于x的经验回归方程为y年，估计维修费用约为万元.14.我们定义n?1n?N?为数列?mn?的“特别数”.现已知数列?an?的“特m1?m2???mn??别数”为2111，则?????na1?a2a2?a3a2022?a2023.15.如果10个篮球中有7个已打足气，3个没有打足气.已知小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为0.72，若小明用打足气的篮球投篮，命中率为0.9，现小明用没有打足气的篮球投篮，则不能命中的概率为.16.已知函数f?x??mx?nx，曲线y?f?x?在点?1,0?处的切线斜率为2，当关于?的方3程f?cos???f?sin???t有解时，则实数t的最小值为四、解答题.17.已知?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c向量m??b,cosB?，n??cosC,c?，且4sinAcosC?m?n，若?ABC的外接圆的直径为2.（1）求?C（2）请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.①求?ABC的周长的最大值.②求?ABC的面积的最大值.418.苏迪曼杯，又称世界羽毛球混合团体锦标赛，它是代表羽毛球最重要的世界大赛.1989年考试举办，两年一届，在奇数年举行，2023年苏迪曼杯于5月14日至21日在中国苏州举行.为了研究人们喜爱羽毛球是否与性别有关，从某高校全体学生中随机抽取100人进行问卷调查，根据统计结果得到如下2?2列联表：喜爱羽毛球男生人数女生人数6015不喜爱羽毛球1510（1）根据小概率值??0.05的独立性检验，是否认为“人们喜欢羽毛球与性别有关”？（2）按性别采用分层随机抽样的方法从该校接受问卷调查且不喜爱羽毛球的学生中，随机抽取5人开设羽毛球选修课，若从这5人中随机选取3人赠送羽毛球球拍，记选中得到3人中女生人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.n?ad?bc?附：??，其中n?a?b?c?d?a?b??c?d??a?c??b?d?22?x?0.053.8410.016.63519.已知在递增数列?an?中，a1，a2分别为直线y??2x?4在x,y轴的截距，数列?an?1?an?是公比为2的等比数列.（1）求数列?an?的通项公式；?log2an,n?5（2）设bn??，Tn是数列?bn?的前n项和，求T40.2b,n?5?n?5520.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为棱DD1上异于D点的动点.（1）求证：平面ACF⊥平面BDF；（2）若正方体的棱长为2，求点A到平面BEF距离的最大值.y2x2y2x221.对于椭圆：2?2?1?a?b?0?，我们称双曲线：2?2?1为其伴随双曲线.abab2y2x2已知椭圆C：?2?10?b?3，它的离心率是其伴随双曲线?离心率的倍.23b??（1）求椭圆C伴随双曲线?的方程；（2）如图，点E,F分别为?的下顶点和上焦点，过F的直线l与?上支交于A,B两点，设?ABO的面积为S，?AOB??（其中O为坐标原点）.若?ABE的面积为6?33，求?22.已知函数f?x??lnx?ax?a?R?.（1）若f?x??0恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g?x??f?x??x?1，若关于x的方程g?x??0有两个不同的解x1,x2，且axex1?x21?ln2eax1?x2.当a?0时，证明：6参考答案一、二、选择题1C2D3B4C5A6D7B8B9BCD10AB11ABC12BD1.解析：∵B?xx?1?0?x?1?x?1，∴A?B???1，0，1?，A?B???1,1?，2????则A?B，故选C2.解析：由题意知，正态分布曲线的对称轴为x?4，则P???2??P???6??1?P???6??1?0.84?0.16，故选D.3.解析：记事件A：学生A被抽到，记事件B：学生B被抽到，则1n?AB?C31P?BA???2?，故选Bn?A?C424.解析：由图象可知：又?0，??T??，则T??，∴??2.3124???3333?????2???，?，在函数图像上，则有，?Asin?00?Asin????y?fx???，?22??3??3?解得??????，A?3，∴f?x??3sin?2x??，故选C33??9t?1?t1?295.解析：设2x?1?t，则x?，∴????a0?a1t?a2t???a9t，2?22?通项Tr?1即p??t??C???2?r99?r9?1?r?1?9?r8?1??Cta?C?，令，则，r?8??9??19??92?2??2??2?r99999??E??32p?32??，∴，故选A.2929166.解析：∵tan??∴?3?tan??3，???tan????3?2121????3?tan?3?tan?3?tan??tan????3?tan?????3?23?tan?tan?3262???1?3?22??3，??3?tan?333?tan?????当且仅当2?3?tan??2?tan2?，即tan??23?6时取等号，7∴2621?3，故选D.的最小值为?3tan?3?tan?x2x3x4x20237.解析：∵f?x??1?x?.?????2342023∴f??x??1?x?x?x?x???x23420221?x2023，?1?x∵x??1，∴f??x??0，即f?x?在??1，???上单调递增，又f??1??1?1?111?????0，f?0??1?0.2320231?2i?2?i，∴z?5，故选B.i则函数f?x?有唯一零点在??1,0?内，故g?x??f?x?2?的零点在?1,2?内，∴当n?m取最小值时，m?1，n?2，故z?8.如图，取BC的中点E，连接DE，AE，设?BCD和?ABC的中心分别是为H，F，过H，F分别作平面BCD与平面ABC的垂线交于点O，即球心为O，设“鞠”的半径为R，连接OE，∵BC?DE，BC?AE，∴BC?平面AED.则VA?BCD?VB?AED?VC?AED?1S?AED?BC3即729311??AE?DE?sin?AED?BC，又BC?18，AE?DE?93.2323，即?AED?60?.易知OE为?AED的角平分线，∴?OEH?30?.21ED?33，则OH?EH?tan30??33tan30??3.3222∴sin?AED?在Rt?OEH中，∵EH?在Rt?OEH中，CH?63，R?OH?CH∴该“鞠”的表面积为4?R?468?，故选B.2?32?63??2?117.9.解析：用决定系数R来刻画回归的效果时，R的值越大，说明模型拟合的效果越好，故A错误；228??1.5?2?1.2?4.2，∵4.25-4.2=0.05.故B正确；当x?2时，y第80百分位数为第7个数，即为13，故C正确；2x1?1,2x2?1,?,2xn?1的平均数为2?3?1?7，故D正确.10.解析：连接AC，则ON∥AP，又AP?平面PAD，ON?平面PAD，∴ON∥平面PAD，故A正确；取AD的中点H，连接PH，则PH?AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD?AD，∴PH?平面ABCD，则VC?PBD?VP?BCD?∵S?BCD?1BC?CD?4，又PH?3，2143?4?3?，故B正确；331S?BCD?PH3∴VC?PBD?∵AB?PH，AB?AD，∴AB⊥平面PAD，又AP?平面PAD，∴AP?AB，则?PAD为二面角P?AB?D的平面角，易知?PAD?60?，∴二面角P?AB?D的大小为60°，故C错误；∵PH⊥平面ABCD，∴?PBH为直线PB与平面ABCD所成角，又PH?3，BH?17，PB?25，BH1785，故D错误.??PB2510∴在Rt?PHB中，cos?PBH?11.解析：令x?2则f?2??f?2??f?2?，∴f?2??0，∴f?x??f?4?x?，于是函数f?x?的图象关于x?2对称，故A正确；∵f?x?2023??f?2023?x??0，则函数f?x?的图象关于?0,0?对称，有f??x?2023??f??2023?x??0，即g?x?2023??g?2023?x?，∴g?x?为偶函数，故B正确；∵f??x???f??4?x?，即g?x???g?4?x?∴函数g?x?图象关于?2,0?对称，且g?2??0，又g?x?为偶函数，∴g?4?x??g?x?4?，则g?x???g?4?x???g?x?4?，因此g?x??g?x?8?，∴8是函数g?x?的一个周期，则g?2018??g?2??0，故C正确；9∵f?x??f?4?x???f?x?4?，则f?x??f?x?8?，∴8是函数f?x?的一个周期，则f?2023??f?7??f??1???f?1???2023，故D错误.12.解析：过点N且与抛物线C仅有一个公共点的直线有2条，一条是切线，另一条是平行于x轴的直线，故A错误；由题意知C?1，0?，圆的方程为?x?1??y?25与抛物线：y?4x联立得?x?1??25，2222解得M?4,4?，N?4，?4?，则OM?ON?0，∴?MON?90?，故B正确；∵A是圆C的劣弧MN上异于M,N的动点，∴xA??4,6?，故C错误；如图，设直线l与抛物线的准线交于点H，根据抛物线的定义，可得BC?BH，??ABC的周长AB?BC?AC?AB?BC?5?AB?BH?5?AH?5?xA?1?5?xA?6∵l不经过原点O，则xA??4,6?，∴?ABC周长的取值范围是?10,12?，故D正确.三、填空题13.12.8解析：由图表计算出x?4，y?5，则有5?1.3?4?a，∴a??0.2，故得y??1.3x?0.2，当x?10时，y??1.3?10?0.2?12.8，故维修关于x的经验回归方程为y费约为12.8万元.14.2023?1解析：由题知n?n?1?n?12?，∴a1?a2???an?.2a1?a2???ann设Sn?a1?a2???an，当n?2时，an?Sn?Sn?1?n，当n?1时，a1?1符合上式，∴an?n，故1a1?a212?3?1a2?a31???1a2022?a2023??11?2????2022?2023?2?1???3?2?????2023?2022?2023?1?1015.0.7解析：设事件A1：打足气的篮球；事件A2：未打足气的篮球.事件B：小明任拿一个篮球投篮命中，A1、A2互斥，P?A1??0.7，P?A2??0.3，P?BA1??0.9，P?B??0.72.由P?B??P?A1?PBA1?P?A2?PBA2得0.72?0.7?0.9?0.3?PBA2，则PBA2?0.3，∴PBA2?0.7.16.??????????22解析：∵f??x??3mx?n，则f??1??3m?n?2，且m?n?0.23∴m?1,n??1，故f?x??x?x.f?cos???f?sin???cos3??cos??sin3??sin??cos3??sin3???cos??sin????cos??sin??cos2??sin2??cos?sin???cos??sin????cos??sin????cos?sin??设k?cos??sin?，则k??????2sin??????2,2.4?????k2?1?k?k3k2?1?∴cos?sin??，故f?cos???f?sin????k????222??k?k31?3k2设g?k??易知g?k?为奇函数，当k?0,2时，g??k??，,k??2,2，22??????3?3??当k??0,?时，g?k??0，则g?k?在?0,?上单调递增；33????当k???3??3???,2,2????时，，则在gk?0gk??上单调递减.?3?3?????3?3??∴g?k?的极大值为g?，而g?0??0，g?3?9??于是f?cos???f?sin???g?2???2，2?2??22，∴t的最大值为.2211四、解答题17.解析：（1）由题意知4sinAcosC?bcosC?ccosB由正弦定理abc???2R?2，sinAsinBsinC1?，则C?.23∴2sinAcosC?sin?B?C??sinA，∵sinA?0，∴cosC?（2）选①由c?2R?2，则c?222222由余弦定理可得：c?a?b?2abcosC，即3?a?b?ab??a?b??3ab.?a?b??1??a?b?，∴?a?b?2?12，即a?b?23，?a?b?∵ab???，则有??3?2??2?222则a?b?c?33，当且仅当a?b?故?ABC周长的最大值为33.选②由3时等号成立.c?2R?2，则c?22222由余弦定理可得：c?a?b?2abcosC，即3?a?b?ab?2ab?ab?ab.∴S?ABC?11333absinC??3??，当且仅当a?b?3时等号成立，222433.4故?ABC面积的最大值为18.解析：（1）设零假设为H0，喜欢羽毛球与性别无关，100?60?10?15?15??4?3.841.根据列联表中的数据得??75?25?75?2522根据小概率??0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为喜欢羽毛球与性别有关.（2）由题设条件知随机选取5人中，有3人为男生，2人为女生.故随机变量X的取值可能是0,1,2，3112C3C32C2C3C2133???PX?2??则P?X?0??3?；P?X?1??；.33510C510C5C512随机变量X的分布列为：XP因此，E?X??0??1??2??.1.解析：（1）由题设条件可得：a1?2，a2?4，数列?an?1?an?是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an?1?an?2，na2?a1?2，a3?a2?22，……an?an?1?2n?1?n?2?，累加得：an?a1?2?2???22n?1?2n?2，∴an?2n?n?2?，n经检验a1?2也满足上式，∴an?2.（2）由（1）知bn???n,n?5，2b,n?5?n?5设t?b1?b2?b3?b4?b5?1?2?3?4?5?15，t1?28故T40?b1?b2???b40?t?2t?2t???2t??255t?3825.1?227??20.解析：（1）∵正方体ABCD?A1B1C1D1，则DF⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，，∴AC?DF，又AC?BD，DF?BD?D，∴AC⊥平面BDF.又AC?平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDF.（2）如图，以点A为原点，建立空间直角AB,AD,AA1分别为x,y,z轴的正方向，坐标系，则A?0，0，0?，B?2，0，0?，E?1，0,2?，13设F?0,2,t?，t??0,2?，有BE???1，0，2?，BF???2，2,t?，AB??2,0,0?设平面BEF的一个法向量为n??x,y,z?，???x?2z?0t??n?BE?0?则有?，即?，不妨取x?2，则n??2,2?,1?，2?????2x?2y?tz?0?n?BF?0∴点A到平面BEF的距离d?AB?nn?4t??5??2??2??2?41?t?4?2?54?26，3当t?2时，即点F与点D1重合时，等号成立.∴点A到平面BEF的最大距离为26.321.解析：（1）设椭圆C与伴随双曲线?的离心率分别为e1,e2，2123?b21?3?b22e2，则e1?e2，即由题设条件可知a?3，e1???2232??32???，∴b?1.?y2故椭圆C伴随双曲线?的方程为?x2?1.3（2）由（1）可知F?0，?3，设直线l的斜率为k，A?x1,y1?，B?x2,y2?，2?，E0，??y22则直线l的方程：y?kx?2与双曲线?：?x?1联立并消去y得：3?k2?3x2?4kx?1?0，则有??12k2?12?0，?4k1,xx??0，即k2?31222k?3k?3?∴x1?x2?又x1?x2??x1?x2?223k2?1，且EF?2?3，?4x1x2?23?k∴S?ABE1123?k2?1，?EF?x1?x2??2?3?223?k2??3?k2?11322即6?33?2?3?，解得或（舍去）.k?2k?233?k??14∵S?S1OAOBsin?11???OAOBcos?OAOBsin?，∴2tan?2tan?211OA?OB??x1x2?y1y2?22S11故??x1x2??kx1?2??kx2?2???1?k2x1x2?2k?x1?x2??4tan?22?????1??7k2?1????4?2?2?k?3??∵k?2，∴2S117.??4?13??tan?2222.解析：（1）函数f?x?的定义域为?0，???lnx在?0，???上恒成立，xlnx1?lnx设??x??，则???x??xx2若f?x??0恒成立，即a?当x??0,e?时，???x??0，则??x?在?0,e?上单调递增；当x??e，???时，???x??0，则??x?在?e，???上单调递减.∴??x?max???e??lne11?1??，则a???x?max?，故a的取值范围为?,???.eee?e?111?x?1???????gx??1?ax?a?1?ax?，则?ax?1??，axxeaxxeeax??1??1??????时，，在gx?0gx??0,?上单调递增；a??a??1?a??（2）函数g?x??lnx?∵a?0，故当x??0,?????时，g??x??0，g?x?在?，???上单调递减，当x??，∵limg?x??limg?x????，x???x????1?a??要使关于x的方程g?x??0有两个不同的解x1,x2，故只需g?x?max?g??1???0，a??即g?11?1??2?0，??ln?aaae??1t11，k?t???lnt?2，则有k??t????0，aeet15设t?故k?t?在?0，???上单调递增.1.e211先证明：x1?x2?，其中0?x1??x2，且a?.aae22要证明x1?x2?，只要证明x2??又k?e??0，∴a?∵21?1????上单调递减，只要证明g?x2???x1?，且g?x?在?，aa?a??2?g??x1?，?a?即证明：g?x1??g?1?2??2??x1?，设h?x??g?x??g??x?，其中0?x?.a?a??a?????1?1???????0??2???x?x???a???????11?2?则h??x??g??x??g???x???1?ax???ax?2?axe?a???e??∴h?x?在?0，?上单调递增，∴h?x??h???1?a?2?1???0.∴x1?x2?得证a?a?再证x1?x2111?ln2，其中0?a?，只要证明x1?x2?2eln，eaea211?2eln，即证?elna?11设??a???elna，（0?a?），ae只要证明则???a???1eae?1?1???，即在???0?a?0，?上单调递减，22aaa?e?1?elna?0得证.a∴??a??????0，则?1??e?故x1?x21?16

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