新高考全国II卷:2022年[数学]考试真题与答案解析

2023年12月14日发(作者：宝马官方商城)

新高考全国II卷：2022年[数学]考试真题与答案解析一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A???1,1,2,4?,B?xx?1?1，则A?B?（ ）A.

{?1,2}B.

{1,2}C.

{1,4}D.

{?1,4}答案：B答案解析：B??x|0?x?2?，故A?B??1,2?，故选：B.2.

(2?2i)(1?2i)?（ ）A.

?2?4iB.

?2?4iC.

6?2iD.

6?2i答案：D答案解析：?2?2i??1?2i??2?4?4i?2i?6?2i，故选：D.3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1,CC1,BB1,AA1是举，

OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为??DD1CCBBAA?0.5,1?k1,1?k2,1?k3，若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率OD1DC1CB1BA1为0.725，则k3?（ ）

A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9答案：D答案解析：设OD1?DC1?CB1?BA1?1，则CC1?k1,BB1?k2,AA1?k3，依题意，有k3?0.2?k1,k3?0.1?k2，且所以DD1?CC1?BB1?AA1?0.725，OD1?DC1?CB1?BA10.5?3k3?0.3?0.725，故k3?0.9，4故选：D?????????4. 已知a?(3,4),b?(1,0),c?a?tb，若?a,c???b,c?，则t?（ ）A.

?6B.

?5C. 5D. 6答案：C9?3t?163?t??????,解得t?5,?答案解析：解：c??3?t,4?,cosa,c?cosb,c,即5cc故选：C

5. 有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种答案：B答案解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!?2?2?24种不同的排列方式，故选：B????,?sin(???)?cos(???)?22cos??6. 角满足??sin?，则（ ）4??A.

tan(???)?1B.

tan(???)??1C.

tan(???)?1D.

tan(???)??1答案：D答案解析：由已知得：sin?cos??cos?sin??cos?cos??sin?sin??2?cos??sin??sin?,即：sin?cos??cos?sin??cos?cos??sin?sin??0，即：sin??????cos??????0,所以tan???????1,故选：D7. 正三棱台高为1，上下底边长分别为33和43，所有顶点在同一球面上，则表面积是（ ）A.

100πB.

128πC.

144πD.

192π答案：A

答案解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r1?3343,2r?，即2sin60?sin60?r1?3,r2?4，设球心到上下底面的距离分别为d1,d2，球的半径为R，所以d1?R2?9，d2?R2?16，故d1?d2?1或d1?d2?1，即R2?9?R2?16?1或R2?9?R2?16?1，解得R2?25符合题意，所以球的表面积为S?4πR2?100π．故选：A．8. 若函数f(x)的定义域为R，且f(x?y)?f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?1，则?f(k)?（ ）k?122A.

?3B.

?2C. 0D. 1答案：A答案解析：因为f?x?y??f?x?y??f?x?f?y?，令x?1,y?0可得，2f?1??f?1?f?0?，所以f?0??2，令x?0可得，f?y??f??y??2f?y?，即f?y??f??y?，所以函数f?x?为偶函数，令y?1得，f?x?1??f?x?1??f?x?f?1??f?x?，即有f?x?2??f?x??f?x?1?，从而可知f?x?2???f?x?1?，f?x?1???f?x?4?，故f?x?2??f?x?4?，即f?x??f?x?6?，所以函数f?x?的一个周期为6．因为f?2??f?1??f?0??1?2??1，f?3??f?2??f?1???1?1??2，f?4??f??2??f?2???1，f?5??f??1??f?1??1，f?6??f?0??2，所以一个周期内的f?1??f?2????f?6??0．由于22除以6余4，所以?f?k??f?1??f?2??f?3??f?4??1?1?2?1??3．故选：A．k?122

二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.?2π?9. 函数f(x)?sin(2x??)(0???π)的图象以?,0?中心对称，则（ ）?3?A.

y?B.

y?f(x)在?0,??5π??单调递减12?f(x)在???π11π?,?有2个极值点?1212?C. 直线x?D. 直线y?答案：AD7π是一条对称轴63?x是一条切线24π?2π??4π?f?sin???0???kπ，k?Z，答案解析：由题意得：??，所以??333????即???4π?kπ,k?Z，32π?2π?，故f(x)?sin?2x??．3?3?又0???π，所以k?2时，??2π?2π3π??5π??5π?y?f(x)y?sinu2x??,x?0,对A，当图象知在?0,?上??时，??，由正弦函数3?32??12??12?是单调递减；2π?π5π??π11π?x??,2x???,?，由正弦函数y?sinu图象知y?f(x)只有1个对B，当??时，3?22??1212?极值点，由2x?对C，当x?5π5π2π3π?x?x?，解得，即为函数的唯一极值点；3212122π7π7π7πx?2x??3πf()?0时，，，直线不是对称轴；66362π?2π?1??y??2cos2x???1cos2x???对D，由得：，????3?3?2??解得2x?2π2π2π4π??2kπ或2x???2kπ,k?Z,3333

从而得：x?kπ或x?π?kπ,k?Z,3???3?2πk?y??2cos??1，?处的切线斜率为x?02?3?所以函数y?f(x)在点?0,切线方程为：y?33??(x?0)即y??x．故选：AD．22210. 已知O为坐标原点，过抛物线C:y?2px(p?0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|?|AM|，则（ ）A. 直线AB的斜率为26B.

|OB|?|OF|C.

|AB|?4|OF|D.

?OAM??OBM?180?答案：ACD答案解析：pF(,0)，由AF?AM可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为对于A，易得2p?p3p，2?246p3p323p6p2?p，则A(,?26，A)，则直线AB的斜率为2代入抛物线可得y?2p?3pp4242?42正确；1px?y?对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为2，联立抛物线方程得26

y2?1py?p2?0，62?6p?666pB(x,y)??2p?x1，解得p?y1?p，则y1??设，代入抛物线得??11，则??3?263?x1?pp6p)，，则B(,?333226p?7pp?p?????OF?则OB?????，B错误；???3?32?3??对于C，由抛物线定义知：AB?3pp25p??p??2p?4OF，C正确；4312????????3p6pp6p3pp6p?6p?3p2)?(,?)?????????0，则?AOB为钝?对于D，OA?OB?(,??4233432?3?4角，????????p6p2p6pp?2p?6p?6p?5p2)?(?,?)?????????又MA?MB?(?,?????6?0，则?AMB为42334?3?2?3??钝角，又?AOB??AMB??OAM??OBM?360?，则?OAM??OBM?180?，D正确.故选：ACD.11. 如图，四边形ABCD为正方形，ED?平面ABCD，FB∥ED,AB?ED?2FB，记三棱锥E?ACD，F?ABC，F?ACE的体积分别为V1,V2,V3，则（ ）A.

V3?2V2B.

V3?2V1

C.

V3?V1?V2D.

2V3?3V1答案：CD答案解析：设AB?ED?2FB?2a，因为ED?平面ABCD，FB?ED，则11142V1??ED?S?ACD??2a???2a??a3，332311122V2??FB?S?ABC??a???2a??a3，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，易得3323BD?AC，又ED?平面ABCD，AC?平面ABCD，则ED?AC，又ED?BD?D，ED,BD?平面BDEF，则AC?平面BDEF，又BM?DM?1BD?2a，过F作FG?DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则2FG?BD?22a,EG?a，则EM??2a??2?2a?2?6a,FM?a2??2a?2?3a，EF?a2?22a??2?3a，EM2?FM2?EF2，则EM?FM，S?EFM?1322EM?FM?a，AC?22a，22则V3?VA?EFM?VC?EFM?C、D正确.故选：CD.1AC?S?EFM?2a3，则2V3?3V1，V3?3V2，V3?V1?V2，故A、B错误；32212. 对任意x，y，x?y?xy?1，则（ ）A.

x?y?1B.

x?y??222C.

x?y?2

22D.

x?y?1答案：BCa2?b2?a?b?22a,b?x?y?xy?1可变形为，?答案解析：因为ab??（R），由?2?2?2?x?y?2?x?y??1?3xy?3??，解得?2?x?y?2，当且仅当x?y??1时，x?y??2，当且仅2??2当x?y?1时，x?y?2，所以A错误，B正确；x2?y222由x?y?xy?1可变形为?x?y??1?xy?，解得x?y?2，当且仅当x?y??1时22222取等号，所以C正确；y?32y3?y?sin?，所以因为x?y?xy?1变形可得?x???y?1，设x??cos?,2422??222x?cos??12sin?,y?sin?，33因此52111x2?y2?cos2??sin2??sin?cos??1?sin2??cos2??33333?42?π??2??sin?2?????,2?，所以当x?3,y??3时满足等式，但是x2?y2?1不成立，所33?6??3?33以D错误．故选：BC．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。213. 已知随机变量X服从正态分布N?2,??，且P(2?X?2.5)?0.36，则P(X?2.5)?____________．答案：7．50X?N?2,?2?，所以P?X?2??P?X?2??0.5，因此答案解析：因为P?X?2.5??P?X?2??P?2?X?2.5??0.5?0.36?0.14。14. 写出曲线y?ln|x|过坐标原点的切线方程：____________，____________．

1答案：①.

y?x

e1②.

y??xe答案解析：解： 因为y?lnx，当x?0时y?lnx，设切点为?x0,lnx0?，由y??y?lnx0?1?x?x0?，x011?y|?x?x0，所以x0，所以切线方程为x又切线过坐标原点，所以?lnx0?1??x0?，解得x0?e，所以切线方程为y?1?1?x?e?，即x0e1y?x；e当x?0时y?ln??x?，设切点为?x1,ln??x1??，由y??y?ln??x1??1?x?x1?，x11??x1?，解得x1??e，所以切线方程为y?1?1?x?e?，x1?e11?y|?，所以x?x1x，所以切线方程为x1又切线过坐标原点，所以?ln??x1??1y??x；即e2215. 已知点A(?2,3),B(0,a)，若直线AB关于y?a的对称直线与圆(x?3)?(y?2)?1存在公共点，则实数a的取值范围为________．?13?答案：?,??32?答案解析：解：A??2,3?关于y?a对称的点的坐标为A???2,2a?3?，B?0,a?在直线y?a上，所以A?B所在直线即为直线l，所以直线l为y?22a?3x?a，即?a?3?x?2y?2a?0；?2圆C:?x?3???y?2??1，圆心C??3,?2?，半径r?1，依题意圆心到直线l的距离d??3?a?3??4?2a?a?3?2?22?1，13?13?222a?,?；?a?5?5a?a?3?2???即?，解得，即?332?2?

?13?故答案为：?,??32?x2y216. 已知椭圆??1，直线l与椭圆在第一象限交于63A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|?|NB|,|MN|?23，则直线l的方程为___________．答案：x?2y?22?0答案解析：解：令AB的中点为E，因为MA?NB，所以ME?NE，22x12y12xy22??1，??1，设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则6363?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0x12x22y12y22????0所以，即663363?y1?y2??y1?y2???11k?k??所以，即OEAB，设直线AB:y?kx?m，k?0，m?0，x?xx?x2?12??12?2令x?0得y?m，令y?0得x??m?m??mm?，即M??,0?，N?0,m?，所以E??,?，k?2k2??k?m222??1k?k??k?即，解得或（舍去），m222?2k又MN?23，即MN?m2?所以直线AB:y???2m?2?23，解得m?2或m??2（舍去），2x?2，即x?2y?22?0；2

故答案为：x?2y?22?0四、解答题本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 已知?an?为等差数列，?bn?是公比为2的等比数列，且a2?b2?a3?b3?b4?a4．（1）证明：a1?b1；（2）求集合?kbk?am?a1,1?m?500?中元素个数．答案：（1）证明见解析；（2）9．?a1?d?2b1?a1?2d?4b1第（1）问解析：设数列?an?的公差为d，所以，?，即可解得，a?d?2b?8b?a?3d??1111?b1?a1?d，所以原命题得证．2dk?1，所以bk?am?a1?b1?2?a1??m?1?d?a1，即2第（2）问解析：由（1）知，b1?a1?2k?1?2m，亦即m?2k?2??1,500?，解得2?k?10，所以满足等式的解k?2,3,4,?,10，故集合?k|bk?am?a1,1?m?500?中的元素个数为10?2?1?9．18. 记?ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1?S2?S3?31,sinB?．23

（1）求?ABC的面积；（2）若sinAsinC?答案：（1）2，求b．312（2）28第（1）问解析：由题意得S1?则S1?S2?S3?123323232?a??a,S2?b,S3?c，224443232323a?b?c?，4442即a2?c2?b2?2，1a2?c2?b2sinB?cosB?0accosB?1cosB?由余弦定理得，整理得，则，又，32ac2213212?1??则cosB?1????，ac?，则S?ABC?acsinB?；cosB4283?3?bac??第（2）问解析：由正弦定理得：，sinBsinAsinC232bacacb3314?9?????b?sinB?则2，则，.sinBsinAsinCsinAsinC4sinB22223219. 在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总

人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）答案：（1）44.65岁；（2）0.89；（3）0.0014．第（1）问解析：平均年龄x?(5?0.001?15?0.002?25?0.012?35?0.017?45?0.023?55?0.020?65?0.012?75?0.006?85?0.002)?10?44.65（岁）．第（2）问解析：设A?{一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以P(A)?1?P(A)?1?(0.001?0.002?0.006?0.002)?10?1?0.11?0.89．第（3）问解析：设B?{任选一人年龄位于区间[40,50)?，C?{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得：P(C|B)?P(BC)0.1%?0.023?100.001?0.23???0.0014375?0.0014．P(B)16%0.1620. 如图，PO是三棱锥P?ABC的高，PA?PB，AB?AC，E是PB的中点．（1）求证：OE//平面PAC；（2）若?ABO??CBO?30?，PO?3，PA?5，求二面角C?AE?B的正弦值．11答案：（1）证明见解析（2）13第（1）问解析：证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥P?ABC的高，所以PO?平面ABC，AO,BO?平面ABC，所以PO?AO、PO?BO，又PA?PB，所以△POA?△POB，即OA?OB，所以?OAB??OBA，又AB?AC，即?BAC?90?，所以?OAB??OAD?90?，?OBA??ODA?90?，所以?ODA??OAD

所以AO?DO，即AO?DO?OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE//PD，又OE?平面PAC，PD?平面PAC，所以OE//平面PAC第（2）问解析：过点A作Az//OP，如图建立平面直角坐标系，因为PO?3，AP?5，所以OA?AP2?PO2?4，

又?OBA??OBC?30?，所以BD?2OA?8，则AD?4，AB?43，3??所以AC?12，所以O23,2,0，B43,0,0，P23,2,3，C?0,12,0?，所以E?33,1,?，2??????????????????3????AE?33,1,AB?43,0,0则，AC??0,12,0?，??，2?????3??????n?AE?33x?y?z?0?2设平面AEB的法向量为n??x,y,z?，则????，令z?2，则y??3，???n??AB?43x?0?x?0，所以n??0,?3,2?；?3????????m?AE?33a?b?c?02设平面AEC的法向量为m??a,b,c?，则?????，令a?3，则c??6，b?0，???m?AC?12b?0

??所以m????????n?m?1243??3,0,?6；所以cosn,m?????1313?39nm?设二面角C?AE?B为?，由图可知二面角C?AE?B为钝二面角，所以cos???1111432，所以sin??1?cos??，故二面角C?AE?B的正弦值为；131313x2y221. 设双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y??3x．ab（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P?x1,y1?,Q?x2,y2?在C上，且x1?x2?0,y1?0．过P且斜率为?3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|?|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.y2?1（2）见解析答案：（1）x?32第（1）问解析：右焦点为F(2,0)，∴c?2,∵渐近线方程为y??3x，∴b?3，∴ab?3a，∴c2?a2?b2?4a2?4，∴a?1，∴b?3．y2?1；∴C的方程为：x?32第（2）问解析：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1?x2，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y?k?x?2?,2则条件①M在AB上，等价于y0?k?x0?2??ky0?k?x0?2?；222222两渐近线的方程合并为3x?y?0,联立消去y并化简整理得：?k?3?x?4kx?4k?0

x3?x42k26k?2,yN?k?xN?2??2设A?x3,y3?,B?x3,y4?,线段中点为N?xN,yN?,则xN?,2k?3k?3设M?x0,y0?,则条件③AM?BM等价于?x0?x3???y0?y3???x0?x4???y0?y4?,2222移项并利用平方差公式整理得：?x3?x4???2x0??x3?x4?????y3?y4???2y0??y3?y4????0，2y3?y48k?；?2x0??x3?x4????x?x??2y0??y3?y4????0,即x0?xN?k?y0?yN??0,即x0?ky0?2k?334由题意知直线PM的斜率为?3, 直线QM的斜率为3,∴由y1?y0??3?x1?x0?,y2?y0?3?x2?x0?,∴y1?y2??3?x1?x2?2x0?,所以直线PQ的斜率m?3?x1?x2?2x0?y1?y2??,x1?x2x1?x2直线PM:y??3?x?x0??y0,即y?y0?3x0?3x,22代入双曲线的方程3x?y?3?0,即?3x?y??3x?y?3中，?23x?y0?3x0??3,得：y0?3x0?????1?31?3?y0?3x0?,同理：x2???y0?3x0?，??解得P的横坐标：x1?????23?y0?3x023?y0?3x0??????∴x1?x2?3x0?3x01?3y0m??y,x?x?2x???x,,?20?1200∴222yy?3x3?y0?3x0000?∴条件②PQ//AB等价于m?k?ky0?3x0，综上所述：2条件①M在AB上，等价于ky0?k?x0?2?；条件②PQ//AB等价于ky0?3x0；8k2条件③AM?BM等价于x0?ky0?2；k?3选①②推③:2k28k2,?x0?ky0?4x0?2由①②解得：x0?2,∴③成立；k?3k?32k26k2选①③推②，由①③解得：x0?2，ky0?2，∴ky0?3x0，∴②成立；k?3k?3

62k26k2x?2?x?ky?选②③推①，由②③解得：0，0，∴0，k2?3k2?3k2?32∴ky0?k?x0?2?，∴①成立.axx22. 已知函数f(x)?xe?e．（1）当a?1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x?0时，f(x)??1，求a的取值范围；（3）设n?N，证明：?11?12?12?22???1n?n2?ln(n?1)．1（3）见解析2答案：（1）f?x?的减区间为???,0?，增区间为?0,???.（2）a?xx第（1）问解析：当a?1时，f?x???x?1?e，则f??x??xe，当x?0时，f?(x)<0，当x?0时，f?(x)>0，故f?x?的减区间为???,0?，增区间为?0,???.axx第（2）问解析：设h?x??xe?e?1，则h?0??0，axxaxx2axx又h??x???1?ax?e?e，设g?x???1?ax?e?e，则g??x???2a?ax?e?e，若a?1，则g??0??2a?1?0，2因为g??x?为连续不间断函数，故存在x0??0,???，使得?x??0,x0?，总有g?(x)>0，故g?x?在?0,x0?为增函数，故g?x??g?0??0，故h?x?在?0,x0?为增函数，故h?x??h?0???1，与题设矛盾.ax?ln?1?ax?axx?ex，若0?a?2，则h??x???1?ax?e?e?e1下证：对任意x?0，总有ln?1?x??x成立，证明：设S?x??ln?1?x??x，故S??x??1?x?1??0，1?x1?x故S?x?在?0,???上为减函数，故S?x??S?0??0即ln?1?x??x成立.由上述不等式有eax?ln?1?ax??ex?eax?ax?ex?e2ax?ex?0，

故h??x??0总成立，即h?x?在?0,???上为减函数，所以h?x??h?0???当a?0时，有h??x??e?e?axe?1?1?0?0，

所以h?x?在?0,???上为减函数，所以h?x??h?0???1.综上，a?第（3）问解析：取a?11，则?x?0，总有xe2x?ex?1?0成立，211.22x令t?e2x，则t?1,t?e,x?2lnt，故2tlnt?t2?1即2lnt?t?t对任意的t?1恒成立.所以对任意的n?N*，有2ln整理得到：ln?n?1??lnn?故11?121n?1n?1n??，nnn?11n?n2，?12?22???1n?n2?ln2?ln1?ln3?ln2???ln?n?1??lnn?ln?n?1?，故不等式成立.