_高中数学第三章不等式1不等关系与不等式2作业含解析新人教版必修

不等关系与不等式

基础巩固

一、选择题

1．已知、、、均为实数，有下列命题

abcd

①若＜0，－＞0，则－＞0；

abbcad

cd

ab

②若＞0，－＞0，则－＞0；

abbcad

cd

ab

③若－＞0，－＞0，则＞0.

bcadab

cd

ab

其中正确命题的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案] C

[解析] ①∵＜0，∴＜0，

ab

1

ab

又∵－＞0∴·(－)＜0即－＜0，

bcadbcad

1

abab

cd

∴①错；

②∵＞0，－＞0，

ab

cd

ab

∴(－)＞0，

ab

cd

ab

即：－＞0，

bcad

∴②正确；

③∵－＞0∴＞0，

cdbcad

－

abab

又∵－＞0∴＞0∴③正确．

bcadab

2．若<<0，则下列不等式不能成立的是( )

ab

A．> B．2>2

11

ab

ab

C．||>|| D．()>()

ab

11

ab

22

[答案] B

[解析] ∵<，∴2<2，

ab

ab

故选B．

3．设＋<0，且>0，则( )

aba

1

A．<－< B．<－<

aabbbaba

C．<<－ D．<<

abababba

[答案] A

2222

2222

[解析] ∵＋<0，且>0，∴0<<－，

abaab

∴<－<.

aabb

4．已知＋＜0，那么，，－，－的大小关系是( )

aaaaaa

A．＞＞－＞－ B．－＞＞－＞

aaaaaaaa

C．－＞＞＞－ D．＞－＞＞－

aaaaaaaa

[答案] B

[解析] ∵＋<0，∴0<<－，∴0>－>，

aaaaaa

∴<－<<－，故选B．

aaaa

111

222

[点评] 可取特值检验，∵＋<0，即(＋1)<0，令＝－，则＝，－＝－，

aaaaaaa

244

11111

22

－＝，∴>>－>－，即－>>－>，排除A、C、D，选B．

aaaaa

22442

5．已知||<1，则与1－的大小关系为( )

aa

A．<1－ B．>1－

C．≥1－ D．≤1－

11

aa

aa

＋1＋1

11

aa

aa

＋1＋1

1

a

＋1

22

222

2222

2222

222

22

[答案] C

[解析] 解法一：检验法：令＝0，则＝1－，排除A、B；

aa

1

a

＋1

11

令＝，则>1－，排除D，故选C．

aa

2＋1

a

解法二：∵||<1，∴1＋>0，

aa

1

a

∴－(1－)＝≥0，

a

1＋1＋

aa

∴≥1－.

1

a

a

＋1

2

6．若>>0，则下列不等式中总成立的是( )

ab

A．> B．＋>＋

bb

＋111

aaab

＋1

baabb

ab

112＋

C．＋>＋ D．>

ab

[答案] C

aba

＋2

2

1111

[解析] 解法一：由>>0?0<<>＋，故选C．

abb

?＋

a

abba

11

解法二：(特值法)令＝2，＝1，排除A、D，再令＝，＝，排除B．

abab

23

二、填空题

7．已知三个不等式：①>0；②>；③>.以其中两个作条件，余下一个为结论，

abbcad

写出两个能成立的不等式命题________．

[答案]

cd

ab

①①②

???

???

???

?③，?②，?①中任选两个即可．

???

②③③

???

?

[解析] ＞0.若③成立，则①成立∴②③?①；若③成立即＞，

cd

>

ab

bcad

－

bcad

ab

若①成立，则＞，∴＞∴①③?②；若①与②成立显然有③成立．

bcadcd

ababab

8．实数、、、满足下列两个条件：①>；②＋<＋.则、的大小关系为________．

abcddcadbcab

[答案] <

ab

[解析] ∵>，∴－>0，

dcdc

又∵＋<＋，

adbc

∴－>－>0，

badc

∴>.

ba

三、解答题

9．(1)已知＞＞＞0.求证：＞.

cab

ab

cacb

－－

(2)已知、、均为正数，且＜，求证：＞.

abmab

ama

＋

bmb

＋

[解析] (1)∵＞＞＞0∴－＞0，－＞0，

cabcacb

11

由＞＞0?＜

ab

?

?

ab

?

?

cc

＜

ab

?

＞0

c

?

3

?

?

ab

?

＞.

－＞0

ca

?

cacb

－－

?

－＞0

cb

?

?＜

cacb

－－

ab

(2)证法一：－＝，

amamba

＋－

bmbbbm

＋＋

mbaama

－＋

∵0＜＜，＞0，∴＞0，∴＞.

abm

bbmbmb

＋＋

证法二：＝＝1＋＝1－＞

amabmbabba

＋＋＋－－－

bmbmbmbm

＋＋＋＋

1－＝.

baa

－

bb

证法三：∵、、均为正数，∴要证＞，

abm

ama

＋

bmb

＋

只需证(＋)＞(＋)，

ambabm

只需证＋＞＋，

abbmabam

只要证＞，

bmam

要证＞，只需证＞，又已知＞，

bmambaba

∴原不等式成立．

10．已知2<<4,3<<5，求下列各式的取值范围．

mn

(1)＋2；

mn

(2)－；

mn

(3)；

mn

(4).

m

n

[解析] (1)∵3<<5，∴6<2<10.

nn

又∵2<<4，∴8<＋2<14.

mmn

(2)∵3<<5，∴－5<－<－3.

nn

又∵2<<4，∴－3<－<1.

mmn

(3)∵2<<4,3<<5，

mn

∴6<<20.

mn

(4)∵3<<5，∴<<.

n

111

53

n

由2<<4，可得<<.

m

24

m

53

n

一、选择题

1．已知、为非零实数，且<，则下列命题成立的是( )

abab

A．< B．<

ababab

2222

C．< D．<

11

ababab

22

ba

[答案] C

4

[解析] 对于A可举反例，如－2<1，可得(－2)>1故A错，对于B要使<成立，

abab

即(－)<0成立，而此时的符号不确定，故B错．

abbaab

2222

baba

22

－

对于D要使<成立，即<0成立，的符号也不确定．故D错．

ab

abab

ππ

2．若－<<<，则－的取值范围是( )

αβαβ

22

A．(－π，π) B．(0，π)

C．(－π，0) D．{0}

[答案] C

ππππ

[解析] ∵－<<，∴－<－<，

ββ

2222

ππ

又－<<，∴－π<－<π，

ααβ

22

又<，∴－<0，∴－π<－<0.

αβαβαβ

3．已知函数()＝，、、∈R，＋<0，＋<0，＋<0，那么()＋()

fxxxxxxxxxxxfxfx

12312233112

＋()的值( )

fx

3

A．一定大于0 B．一定小于0

C．等于0 D．正负都有可能

[答案] B

[解析] ∵()＝是单调递增函数，<－，<－，<－，∴()<(－)，

fxxxxxxxxfxfx

12233112

3

3

fxfxfxfx

()<(－)，()<(－)，

2331

又∵()为奇函数，

fx

∴()<－()，()<－()，()<－()，

fxfxfxfxfxfx

122331

∴()＋()<0，()＋()<0，()＋()<0

fxfxfxfxfxfx

122331

∴()＋()＋()<0.

fxfxfx

123

11

ba

4．若＜＜0，给出下列不等式：①＋＜；②||＞||；③＜；④＋＞2.其中

abababab

abab

正确的有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

[答案] B

11

[解析] ∵＜＜0，∴＜0，＜0，＞，故③错；

abab

ab

∴＞0，∴＋<0<，故①成立；

ababab

又0＞＞，∴||＜||.∴②错；

abab

5

babaababab

2222

＋－＋2－

∵＋＝＝＝＋2

abababab

ba

ab

且－＜0，＞0，∴＋＞2，∴④成立．

abab

∴①④正确．选B．

二、填空题

5．若>0，>0则＋________＋(填上适当的等号或不等号)．

ababab

[答案] >

[解析] ∵>0，>0，∴(＋)＝＋＋2，

abababab

(＋)＝＋，∴(＋)>(＋)，即＋>＋.

abababababab

6．设＞＞0，＞0，＞0，则＝，＝，＝，＝的大小顺序是

abmnpqrs

________________．

[答案] ＜＜＜

prsq

155

[解析] 取＝4，＝2，＝3，＝1，则＝，＝2，＝，＝则＜＜＜(特

abmnpqrsprsq

273

值探路)．

具体比较如下：

222

2

babman

abambn

＋＋

＋＋

bbmbam

＋－

prpr

－＝－＝＜0，∴＜.

aamaam

＋＋

∵＞＞0，＞0，＞0，

abmn

∴＋＞＋＞0.＋＞＋＞0，

ambmanbn

∴＜1，＞1，∴＜.

bman

＋＋

rs

ambn

＋＋

bmanbabamn

＋＋－＋＋＋

－＝＜0. 或－＝

ambnambn

＋＋＋＋

anaban

＋－·

－＝＜0， ∴＜.－＝

bnbbbn

＋＋

rs

rssq

∴＜.∴＜＜＜.

sqprsq

三、解答题

7．如果30＜＜42,16＜＜24.分别求＋、－2及的取值范围．

xyxyxy

[解析] 46＜＋＜66；－48＜－2＜－32；

xyy

∴－18＜－2＜10；

xy

1113042

x

∵30<<42，＜＜，∴＜＜，

x

24162416

yy

x

y

6

521

x

即＜＜.

48

y

8．已知＞0，＞0，≠，∈N且≥2，比较＋与＋的大小．

ababnnababab

[解析] (＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝(－)(－)，

abababaabbbaabab

(1)当＞＞0时，＞，∴(－)(－)＞0，

abababab

(2)当0＜＜时，＜，∴(－)(－)＞0，

abababab

nnnnnnnn

－1－1－1－1－1－1

nnnn

－1－1

nnnn

－1－1－1－1

)＞0.∴＋＞∴对任意＞0，＞0，≠，总有(－)(－＋.

abaababababbab

nnnnnn

－1－1－1－1

nnnn

－1－1－1－1

9. 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，

其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队

的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

[解析] 设该单位职工有人(∈N)，全票价为元，坐甲车需花元，坐乙车需花

nnxy

1

*

y

2

元，

3134

则＝＋·(－1)＝＋，＝，

yxxnxxnyxn

12

4445

yyxxnxn

12

－＝＋－

111

n

＝－＝(1－)．

xxnx

42045

当＝5时，＝；当>5时，<；

nyynyy

1212

当<5时，>.

nyy

12

因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；

少于5人时，选乙车队更优惠．

134

445

7