2023高考数学新课标ⅰ卷

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2023年11月21日发(作者：高尔夫为什么比polo贵那么多)

绝密★启用前

试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页,22小题,满分150分。考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或答字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位昊填

写在答题朴上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码撗贴任

答颕卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小颕答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点

涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答策必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改

液。不按以上要求作答的答蜜无效。

4.考生必须保持答的整的。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2}，N=x∣x

-x-6≥0，则M∩N=

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.已知z=

A.-iB.iC.0D.1

1-i

，则z-z

2+2i

3.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)．若(a+λb)⊥(a+μb)，则

A.λ+μ=1B.λ+μ=-1C.λμ=1D.λμ=-1

4.设函数f(x)=2

A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)

x(x-a)

在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是

3e+y=1(a>1)，C+y=1的离心率分别为e=

112122

，：：，e．著e

5.设椭圆C

则a=

A.B.2C.3D.6

6.过点(0,-2)与圆x

+y-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=

A.1B.C.D.

15106

444

数学试题A 第1页（共4页）

7.记S

nnn

为数列a则为等差数列，

????

的前n项和，设甲：乙：a为等差数列；

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知sin(α-β)=

A.B.C.-D.-

7117

9999

，cosαsinβ=，则cos(2α+2β)=

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据x

12616

，x，?，x，其中x是最小值，x是最大值，则

A.x

234126

，x，x，x的平均数等于x，x，?，x的平均数

B.x

234126

，x，x，x的中位数等于x，x，?，x的中位数

C.x

234126

，x，x，x的标准差不小于x，x，?，x的标准差

D.x

234126

，x，x，x的极差不大于x，x，?，x的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

=20×lg>0是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：

，其中常数p

声源

燃油轮

混合动力汽车

电动汽车

与声源的距离/m声压级/dB

1040

60?90

50?60

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p，p，p，则

123

A.p≥pB.p>10pC.p=100pD.p≤100p

12233012

11.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=yf(x)+xf(y)，则

A.f(0)=0B.f(1)=0

C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点

数学试题A 第2页（共4页）

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不

计)内的有

A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门

课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答)．

14.在正四棱台ABCD-ABCDB

1111111

中，AB=2，A

=1，AA=2，则该棱台的体积

为．

15.已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围

是．

16.已知双曲线C：

-=1a>o,b>0的左、右焦点分别为F

，F．点A在C上，点B在y轴

????????????

上，F，F，则C的离心率为．

1212

ABAFB

⊥F=-

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知在△ABC中,A+B=3C，2sin(A-C)=sinB．

（1）求sinA；

（2）设AB=5，求AB边上的高．

18.（12分）

如图,在正四棱柱ABCD-A中,AB=2，AA，

111112

BCD

=4.点A

2221111222

，C，D分别在棱AA，BB，CC，DD上，AA

=1，BB=DD=2，

=3．

（1）证明：B；

2222

（2）点P在棱BB上，当二面角P-A为150时，求B

12222

CP．

-D

数学试题A 第3页（共4页）

19.（12分）

已知函数f(x)=ae

+a-x．

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）证明：当a>0时,f(x)>2lna+．

20.（12分）

设等差数列a，记S，T分别为数列a

??????

nnnnnn

的公差为d，且d>1．令b=，b的前

n项和．

（1）若3a，S

21333

=3a+a+T=21,求a的通项公式；

（2）若b

为等差数列，且S-T=99，求d．

9999

21.（12分）

甲、两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为

对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为

0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5．

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量X服从两点分布，且P(X，i=1,

iii

=1)=1-P(X=0)=q

2,?,n，则EXq

．记前n次（即从第1次到第n次）投篮中甲投篮的次数为Y，求

EY.

22.（12分）

在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0,记动点P的的距离，

轨迹为W．

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．

数学试题A 第4页（共4页）

2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

N=xx已知集合M=-2,-1,0,1,2，

-x-6≥0，则M∩N=()

A.-2,-1,0,1D.2B.0,1,2C.-2

??????

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【解析】方法一：因为N=xx

-x-6≥0=-∞,-2∪3,+∞，而M=-2,-1,0,1,2，

所以M∩N=-2．

故选：C．

方法二：因为M=-2,-1,0,1,2，将-2,-1,0,1,2代入不等式x

只有-2使不等式成立，所-x-6≥0，

以M∩N=-2．

故选：C．

已知z=

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z

，从而解出．

????

1-i1-i

111-i

-2i

===-==-i．

i，所以zi，即z-z

【解析】因为z=

422

2+2i

21+i1-i

????

故选：A．

???

若a+λb⊥a+μb=1,1,b=1,-1，

????

，则()

已知向量a

????

A.λ+μ=1D.λμ=-1B.λ+μ=-1C.λμ=1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出a

+λb+μb

，a，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．

???

所以a+λb=1+λ,1-λ，a+μb=1+μ,1-μ，=1,1,b=1,-1，

????????

【解析】因为a

????

由a可得，a

????????

+λb⊥a+μb+λb?a+μb=0，

即1+λ1+μ+1-λ1-μ=0，整理得：λμ=-1．

????????

故选：D．

设函数fx=2

A.-∞,-2B.-2,0C.0,2D.2,+∞

????

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【解析】函数y=2在R上单调递增，而函数fx=2在区间0,1上单调递减，

则有函数y=x(x-a)=x-在区间0,1上单调递减，因此

所以a的取值范围是2,+∞.

xx-a

1-i

，则z-z

=()

2+2i

在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是()

aaa

-≥1，解得a≥2，

422

第 1 页

共 17页

博观而约取厚积而薄发

D故选：

则a=．若e，()

设椭圆C

111

:+y=1(a>1),C:+y=1的离心率分别为e,e=3e

222

A.B.2C.3D.6

A【答案】

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

4-123a

-1

【解析】由e，得e，因此而a>1，所以a=，

=3e=3e=3×.

故选：A

则sinα=+y-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，()

过点0,-2与圆x

A.1B.C.D.

【答案】B

15106

444

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k

+8k+1=0，利用韦达定理

结合夹角公式运算求解.

【解析】方法一：因为x

2222

+y-4x-1=0，即x-2+y=5，可得圆心C2,0，半径r=5，

????

过点P0,-2作圆C的切线，切点为A,B，

因为PC=2

2222

+-2=22，则PA=PC-r=3，

????

51036

可得sin∠APC=，

=,cos∠APC==

2222

61510

×=

，则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2×

444

6101

cos∠APB=cos2∠APC=cos

∠APC-sin∠APC=-=-<0，

????

444

即∠APB为钝角，

所以sinα=sinπ-∠APB=sin∠APB=；

法二：圆x

+y-4x-1=0的圆心C2,0，半径r=5，

过点P0,-2作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，

可得PC=2

2222

+-2=22，则PA=PB=PC-r=3，

??????

因为PA

2222

+PB-2PA?PBcos∠APB=CA+CB-2CA?CBcos∠ACB

??????????????

且∠ACB=π-∠APB，则3+3-6cos∠APB=5+5-10cosπ-∠APB，

即3-cos∠APB=5+5cos∠APB，解得cos∠APB=-

<0，

即∠APB为钝角，则cosα=cosπ-∠APB=-cos∠APB=，

且α为锐角，；所以sinα=1-cos

α=

方法三：圆x

+y-4x-1=0的圆心C2,0，半径r=5，

若切线斜率不存在，则切线方程为y=0，则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意；

若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2，即kx-y-2=0，

2k-2

=5，整理得k+8k+1=0，且Δ=64-4=60>0

则

设两切线斜率分别为k，则k

111

,k+k=-8,k=1，

222

第

2 页共 17页

2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学

可得k

111

-k=k+k-4k=215，

222

-k

sinαsinα

所以tanα=，

即可得cosα==15，=15，

cosα

1+kk

sinα

则sin

222

α+cosα=sinα+

=1，

π15

则sinα>0，解得sinα=且α∈0,，

B.故选：

设甲：乙：的前n项和，a为等差数列；

记S

nnn

为数列a则为等差数列，()

????

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判

断作答.

【解析】方法1，甲：，公差为d，a

设其首项为a为等差数列，

n(n-1)

n-1ddd

则S，

=na+=a+-,-=

111

d,d=n+a

n+1

n222n+1n22

因此则甲是乙的充分条件；为等差数列，

n+1

-(n+1)S

Sna

n+1n+1

-S

为等差数列，为常数，反之，乙：即设为t，

-==

nnn+1

n(n+1)n(n+1)

-S

即

n+1

=t，则S=na-t?n(n+1)，有S=(n-1)a-t?n(n-1),n≥2，

n+1n-1

n(n+1)

两式相减得：a

nnn

=na-(n-1)a-2tn，即a-a=2t，对n=1也成立，

n+1n+1

因此a

为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2，甲：，公差为d，即Sa

设数列a的首项a=na+为等差数列，

????

nnn

则，因此即甲是乙的充分条件；为等差数列，

n(n-1)

d，

(n-1)

=a+-

d=n+a

nn222

n+1

SSS

nnn

为等差数列，反之，乙：即

-=D,=S+(n-1)D，

nnnn+1

即S

=nS+n(n-1)D，S=(n-1)S+(n-1)(n-2)D，

1n-11

第

3 页共 17页

专心专注专业

博观而约取厚积而薄发

上两式相减得：S当n≥2时，

-S=S+2(n-1)D，当n=1时，上式成立，

n-11

于是a

=a+2(n-1)D，又a-a=a+2nD-[a+2(n-1)D]=2D为常数，

1n+111

因此a

为等差数列，则甲是乙必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

已知sinα-β=

A.B.C.-D.-

7117

9999

则cos2α+2β=()．，

,cosαsinβ=

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.

111

【解析】因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=，而cosαsinβ=，因此sinαcosβ=，

362

则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=，

所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin

(α+β)=1-2×=.

B故选：

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．

解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角

相同或具有某种关系．

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

其中x是最小值，x是最大值，则，()

有一组样本数据x

,x,???,x

A.x

,x,x,x,x,???,x

的平均数等于x的平均数

B.x

,x,x,x,x,???,x

的中位数等于x的中位数

C.x

,x,x,x,x,???,x

的标准差不小于x的标准差

D.x

,x,x,x,x,???,x

的极差不大于x的极差

【答案】BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【解析】对于选项A：设x的平均数为m，x的平均数为n，

,x,x,x,x,???,x

????

+x-x+x+x+x

+x+x+x+x+x

635

+x+x+x

，则n-m=

4126

因为没有确定2x的大小关系，所以无法判断m,n的大小，

+x,x+x+x+x

例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5；

例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2；

例如1,2,2,2,2,2，可得m=2,n=；故A错误；

对于选项B：不妨设x，

≤x≤x≤x≤x≤x

可知x的中位数等于x的中位数均为，故B正确；

,x,x,x,x,???,x

对于选项C：因为x是最小值，x是最大值，

第

4 页共 17 页

2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学

即x的标准差不大于x的标准则x的波动性不大于x的波动性，

2222

,x,x,x,x,???,x,x,x,x,x,???,x

3535

4141

差，

例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n=

标准差s，

=+4-7+6-7+8-7+10-7+12-7=

2+4+6+8+10+12=7，

105

2-7

222222

??????????

4,6,8,10，则平均数m=4+6+8+10=7，

标准差s

=+6-7+8-7+10-7=5，

4-7

2222

??????

105

即s>s>5，

；故C错误；显然

对于选项D：不妨设x，

≤x≤x≤x≤x≤x

则x，当且仅当x时，等号成立，故D正确；

-x≥x-x=x,x=x

故选：BD.

定义声压级L噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，

=20×lg

p是实际声压．下表为不同声源的声压级：>0是听觉下限阈值，

声源

燃油汽车

混合动力汽车

电动汽车

与声源的距离声压级

/m/dB

1040

，其中常数p

60?90

50?60

()已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p，则

,p,p

A.pB.pC.pD.p

101

≥p>10p=100p≤100p

222

【答案】ACD

【分析】根据题意可知L

ppp

∈60,90,L∈50,60,L=40，结合对数运算逐项分析判断.

????

【解析】由题意可知：L

ppp

∈60,90,L∈50,60,L=40，

????

ppp

对于选项A：可得L，

-L=20×lg-20×lg=20×lg

ppp

因为L，则L

pppp

≥L-L=20×lg≥0，即lg≥0，

所以，故A正确；

≥1且p,p>0，可得p≥p

ppp

对于选项B：可得L，

-L=20×lg-20×lg=20×lg

ppp

因为L，

ppp

-L=L-40≥10，则20×lg≥10，即lg≥

2pp

≥e且p,p>0，可得p≥ep

所以，

当且仅当L

=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为L

=20×lg=40，即lg=2，

可得，故C正确；

=100，即p=100p

对于选项D：由选项A可知：L，

-L=20×lg

第

5 页共 17 页

博观而约取厚积而薄发

且L

-L≤90-50=40，则20×lg≤40，

即lg，故D正确；

≤2，可得≤100，且p,p>0，所以p≤100p

故选：ACD.

fxy=yfx+xfy，则已知函数fx的定义域为R，()

????????

A.f0=0D.x=0为fx的极小值点B.f1=0C.fx是偶函数

????????

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例f(x)=0即可排除选

项D.

xlnx,x≠0

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数f(x)=进行判断即可.

0,x=0

【解析】方法一：

因为f(xy)=y

f(x)+xf(y)，

对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.

对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.

对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，

令y=-1,f(-x)=f(x)+x

f(-1)=f(x)，

又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，

对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误

方法二：

因为f(xy)=y

f(x)+xf(y)，

对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.

对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.

对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，

令y=-1,f(-x)=f(x)+x

f(-1)=f(x)，

又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，

对于D，当x，得到，

222222

yf(x)+xf(y)两边同时除以xy

≠0时，对f(xy)=y=+

f(x)

xlnx,x≠0

，故可以设

=lnx(x≠0)，则f(x)=

0,x=0

当x>0肘，f(x)=x

lnx，则fx=2xlnx+x

?=x(2lnx+1)，

令f；令f；

????

x<0，得0<x<ex>0，得x>e

故f(x)在0,e在e上单调递减，上单调递增，

????

f(x)f(y)f(xy)

xyxy

2222

,+∞

因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e上单调递增，在-∞,e上单调递减，

????

专注专心

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2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学

显然，此时x=0是f(x)的极大值，故D错误.

故选：ABC.

能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有下列物体中，()

A.直径为0.99 m的球体B.所有棱长均为1.4 m的四面体

C.底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体D.底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体

【答案】ABD

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【解析】对于选项A：因为0.99m<1m，即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为2m，且2>1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为3m，且3<1.8，

所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

对于选项D：因为正方体的体对角线长为3m，且3>1.2，

设正方体ABCD-A的中心为O，以AC为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心O到正方体的

111111

BCD

表面的最近的距离为hm，

如图，结合对称性可知：OC

111111

=,C=OC-OO=-0.6，

331

CA=O

222

-0.6

0.6hh1

则，即，解得h=

==->0.34>0.01，

CAAA12

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱的性质分析判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，

选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答)．

第

7 页共 17页

专心专注专业

博观而约取厚积而薄发

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【解析】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C

=16种；

(2)当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C

=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C

=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案：64.

．=1,AA=2，则该棱台的体积为

AB=2,A中，

1111111

B在正四棱台ABCD-ABCD

767

【答案】

结合图像，依次求得A【分析】

111

OM，从而利用棱台的体积公式即可得解.

,AO,A

【解析】如图，过A作A的高，

1111111

M⊥AC，垂足为M，易知AM为四棱台ABCD-ABCD

因为AB=2,A

111

=1,AA=2，

11211

则A

111111

OACBAC=

==×2A=,AO=×2AB=2，

22222

261

，，故AM=则A

AC-ACM=AA

1111

=-AM=2-=

222

1766

所以所求体积为V=

×(4+1+4×1)×=.

326

故答案为：

则ω的取值范围是已知函数fx=cosωx-1(ω>0)在区间0,2π有且仅有3个零点，．

【答案】[2,3)

【分析】令f(x)=0，得cosωx=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.

【解析】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，

令f(x)=cosωx-1=0，则cosωx=1有3个根，

令t=ωx，则cost=1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，

结合余弦函数y=cost的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3，

故答案为：[2,3).

专心

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8 页共 17 页

2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学

???

右焦点分别为F,F⊥-=1(a>0,b>0)的左、

．点A在C上，点B在y轴上，F

A已知双曲线C:

?????????

FBAFB

,F=-

，则C的离心率为．

353

【答案】

方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到AF【分析】

????????

,BF,BF,AF关于a,m的表达

式，从而利用勾股定理求得a=m，进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从而得解.

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x，将点A代入双曲线

==-=4c

C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；

【解析】方法一：

依题意，设AF

????????

=2m，则BF=3m=BF,AF=2a+2m，

在Rt△ABF中，9m，则(a+3m)(a-m)=0，故a=m或a=-3m(舍去)，

222

+(2a+2m)=25m

所以AF

??????????

=4a,AF=2a，则AB=5a，BF=BF=3a，

4a4

故cos∠F，

===

5a5

16a4

222

+4a-4c

所以在△AF中，cos∠F，整理得5c，

FAF

===9a

2×4a×2a5

c35

故e=

c,yt，t

方法二:

依题意，得F

100

(-c,0),F(c,0)，令Ax,y,B(0,t)，

??????

2225

因为F，所以x

AFBc,yt，

=--c,y=--c,t，则x==-

????

0000

3333

????????????

8282

又F，所以F，

1111

ABABc,-tc,t=ct

⊥F?F=-=0，则t=4c

2222

3333

425

4t16c25c25c

2222

又点A在C上，则

222222

-=1，整理得-=1，则-=1，

ab9b9b9a9a

22222222222222

所以25c，即25c

babccc

-16c=9a-a-16a=9a-a，

????

整理得25c或5c，

42422222222

-50c+9a=0，则5c-9a5c-a=0，解得5c=9a=a

????

又e>1，所以e=或e=

53535

(舍去)，.故e=

555

故答案为：

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定

理得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A+B=3C,2sinA-C=sinB．已知在△ABC中，

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博观而约取厚积而薄发

(1)求sinA；

求AB边上的高．(2)设AB=5，

310

【答案】(1)

(2)6

(1)根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；【分析】

(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b，根据等面积

法求解即可.

【解析】(1)∵A+B=3C，

∴π-C=3C，即C=

，

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C)，

∴2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，

∴sinAcosC=3cosAsinC，

∴sinA=3cosA，

即tanA=3，所以0<A<，

∴sinA==.

3310

110

cosA==(2)由(1)知，

，

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=，

23101025

210105

5×

==210，

，由正弦定理，可得b=

sinCsinB

∴

AB?h=AB?AC?sinA，

310

∴h=b?sinA=210×=6.

在正四棱柱ABCD-ABCD如图，

111111111

中，AB=2,AA分别在棱AA

=4．点A,B,C,D,BB,CC,DD

2222

上，AA

2222

=1,BB=DD=2,CC=3．

(1)证明：B∥A

2222

；

(2)点P在棱BB-D

上，当二面角P-A为150°时，求B

2222

CP．

【答案】(1)证明见解析；(2)1

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

第

10 页共 17页

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(2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解.

【解析】(1)

以C为坐标原点，CD,CB,CC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

则C(0,0,0),C

2222

(0,0,3),B(0,2,2),D(2,0,2),A(2,2,1)，

∴B=(0,-2,1),A=(0,-2,1)，

??????

2222

∴BA∥

??????

2222

，

又B，A不在同一条直线上，

2222

∴B∥A.

2222

(2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，

则A

?????????

,2),PC=(-2,-2=(0,-2,3-λ),D=(-2,0,1)，

22222

设平面PA的法向量n

=(x,y,z)，

则，

?A=-2x-2y+2z=0

???

?PC=-2y+(3-λ)z=0

???

令z=2，得y=3-λ,x=λ-1，

∴n=(λ-1,3-λ,2)，

设平面Am的法向量

222

=(a,b,c)，

则，

?A=-2a-2b+2c=0

???

?Dc=0=-2a+

???

令a=1，得b=1,c=2，

∴m=(1,1,2)，

∴cosn,m===cos150°=

????

64+(λ-1)

+(3-λ)

，

化简可得，λ

-4λ+3=0，

解得λ=1或λ=3，

∴P(0,2,1)或P(0,2,3)，

∴B

P=1.

已知函数fx=ae

+a-x．

(1)讨论fx的单调性；

(2)证明：当a>0时，fx>2lna+

．

【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析

第

11 页共 17页

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博观而约取厚积而薄发

(1)先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；【分析】

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为a--lna>0的恒成立问题，构造函数ga=a--

利用导数证得ga>0即可.lnaa>0，

方法二：构造函数hx=e

xx2

-x-1，证得e≥x+1，从而得到f(x)≥x+lna+1+a-x，进而将问题转

化为a

--lna>0的恒成立问题，由此得证.

【解析】(1)因为f(x)=ae

+a-x，定义域为R，所以f-1，

x=ae

由于e当a≤0时，

xxx

>0，则ae≤0，故f-1<0恒成立，

x=ae

所以fx在R上单调递减；

当a>0时，令f

x=ae

-1=0，解得x=-lna，

当x<-lna时，f

????

x<0，则fx在-∞,-lna上单调递减；

当x>-lna时，f

????

x>0，则fx在-lna,+∞上单调递增；

综上：当a≤0时，fx在R上单调递减；

当a>0时，fx在-∞,-lna上单调递减，fx在-lna,+∞上单调递增.

????

(2)方法一：

由(1)得，fx

min

=f-lna=ae+a+lna=1+a+lna，

-lna

331

要证f(x)>2lna+，即证1+a，即证a

+lna>2lna+--lna>0恒成立，

222

112a

-1

令ga=a，

--lnaa>0，则g=

a=2a-

2aa

令g；令g；

????

a<0，则0<a<a>0，则a>

所以ga在0,上单调递减，在上单调递增，

????

,+∞

2212

=-ln=ln2>0，=g-则ga>0恒成立，

所以ga

min

????

2222

所以当a>0时，f(x)>2lna+恒成立，证毕.

方法二：

令hx=e

-x-1，则h-1，

x=e

由于y=e在R上单调递增，所以h

x=e

-1在R上单调递增，

又h

0=e

-1=0，

所以当x<0时，h

????

x<0；当x>0时，hx>0；

所以hx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，

????

故hx≥h0=0，则e

????

≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，

因为f(x)=ae

xx2x+lna22

+a-x=ae+a-x=e+a-x≥x+lna+1+a-x，

当且仅当x+lna=0，即x=-lna时，等号成立，

331

所以要证f(x)>2lna+，即证x+lna+1+a，即证a

-x>2lna+--lna>0，

222

112a

-1

令ga=a，

--lnaa>0，则g=

a=2a-

2aa

令g；；令g

????

a<0，则0<a<a>0，则a>

所以ga在0,上单调递减，在上单调递增，

????

,+∞

2212

=--ln=ln2>0，=g则ga>0恒成立，

所以ga

min

????

2222

证毕.所以当a>0时，f(x)>2lna+恒成立，

第12页

共

17页

2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学

且d>1．令b=,T,b的前n项和．的公差为d，

nnnnnn

，记S分别为数列a

??????

设等差数列a

(1)若3a=3a+a,S+T=21，求a的通项公式；

333

(2)若b为等差数列，且S-T=99，求d．

9999

【答案】(1)a

=3n;(2)d=

(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；【分析】

(2)由{b}为等差数列得出a=d或a=2d，再由等差数列的性质可得a-b=1，分类讨论即可得解.

5050

【解析】(1)∵3a，∴3d=a

=3a+a+2d，解得a=d，

111

∴S=3a=3(a+d)=6d，

26129

又T，

=b+b+b=++=

d2d3dd

∴S+T=6d+=21，

即2d

-7d+3=0，解得d=3或d=(舍去)，

∴a=a+(n-1)?d=3n.

(2)∵{b}为等差数列，

12212

∴2b=b+b=+

，即，

aaa

116d1

∴6-=解得a=d或a=2d，=-3a=0，

即a，

1111

d+2d

aaaaa

∵d>1，∴a>0，

又S

9999

-T=99，由等差数列性质知，99a-99b=99，即a-b=1，

50505050

2550

=1，∴a-即a解得a=51或a=-50(舍去)-a-2550=0，

5050505050

当a

=2d时，a=a+49d=51d=51，解得d=1，与d>1矛盾，无解；

当a

=d时，a=a+49d=50d=51，解得d=.

综上，d=

乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．甲、

无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1

次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X=1=1-PX=0=q,i=1,2,???,n，则E=

iiiii

服从两点分布，且PX

????

i=1

求EY．．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，

i=1

【答案】(1)0.6;(2)

21125n

×+;(3)E(Y)=+

????

5635183

i-1n

【分析】(1)根据全概率公式即可求出；

(2)设PA=p=0.4p+0.2，根据数列知识，构造等比数列即可解出；

iii+1i

，由题意可得p

(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．

【解析】(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件A“，第i次投篮的人是乙”为事件B，

所以，PB

??????????

22222

=PA+PB=PAPB|A+PBPB|B

111111

????

=0.5×1-0.6+0.5×0.8=0.6.

第

13 页共 17页

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博观而约取厚积而薄发

依题可知，PB，则，

????

iiii

=1-p(2)设PA=p

PAAA

??????????

i+1ii+1ii+1ii+1iii+1i

=PA+PB=PAPA|A+PBPA|B，

????

即p

i+1iii

=0.6p+1-0.8×1-p=0.4p+0.2，

????

构造等比数列p

+λ，

21121

设p，则p，

i+1ii+1i

+λ=+λ，解得λ=--=-

53353

111112

是首项为，的等比数列，又p，所以p公比为

=,p-=-

366235

111221

i-1i-1

即p．

-=×,p=×+

????

363655

121

i-1

i=1,2,???,n，，

(3)因为p=×+

356

1n52n

所以当n∈N时，EY=p，

+p+?+p=×+=+

5326318

52n

故E(Y)=．

5318

本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数【点睛】

列的基本知识求解．

点P到x轴的距离等于点P到点0,在直角坐标系xOy中，

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．

【答案】(1)y=x

+;(2)见解析

【分析】(1)设P(x,y)，根据题意列出方程x

+y-=y

，化简即可；

111

(2)法一：设矩形的三个顶点Aa,a+,Bb,b+,Cc,c+=a+b=

??????

222

，且a<b<c，分别令k

444

111

m<0，kC≥n+1+n

=b+c=n>0，且mn=-1，利用放缩法得

????

，设函数f(x)=x+

n2x

利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.，

1+x

法二：设直线AB的方程为y=k(x-a)+a，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得

????

AB+AD≥

的距离，记动点P的轨迹为W．

1+k

，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.

法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.

【解析】(1)设P(x,y),则y=x，两边同平方化简得y=x，

+y-+

故W:y=x

111

(2)法一：设矩形的三个顶点Aa,a+,Bb,b+,Cc,c+

易知矩形四条在W上,且a<b<c，

??????

222

444

边所在直线的斜率均存在，且不为0，

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14 页共 17页

2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学

+-a+

则k

ABAB

?k=-1,a+b<b+c,令k==a+b=m<0，

b-a

同理令k，

=b+c=n>0，且mn=-1，则m=-

设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|≥|n|，k，

-k=c-a=n-m=n+

则

C=|AB|+|BC|=(b-a)1+m1+n.n>0，易知

2222

+(c-b)1+n≥(c-a)1+n=n+

n+1+n

111

则令f(x)=x+

??????

1+x2x-

,x>0,f(x)=2x+,

xxx

解得x=(x)=0，

令f，

f当x∈0,时，

(x)<0，此时f(x)单调递减，

,+∞(x)>0，此时f(x)单调递增，

，f当x∈

227

则f(x)，

min

=f=

331

,即C≥33.=

故

C≥

当C=33时,n=，即m=n时等号成立，矛盾，故C

,m=-2,且(b-a)1+m=(b-a)1+n

>33,

得证.

法二：不妨设A,B,D在W上，且BA⊥DA，

，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0，依题意可设Aa,a

则设BA,DA的斜率分别为k和-，由对称性，不妨设k≤1，

直线AB的方程为y=k(x-a)+a，

y=x

则联立得x

-kx+ka-a=0，

y=k(x-a)+a

第

15 页共 17页

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博观而约取厚积而薄发

则k≠2a-4ka-a=k-2a>0，

Δ=k

222

则|AB|=1+k

|k-2a|，

同理|AD|=1+，

+2a

∴|AB|+|AD|=1+k|k-2a|+1++2a

1+k

≥1+k+2a≥1+k=

k-2a+k+

????

(m+1)

令k

=m，则m∈0,1，设f(m)==m+3m++3，

(2m-1)(m+1)

则f，令f，

(m)=2m+3-=(m)=0，解得m=

f当m∈0,时，

(m)<0，此时f(m)单调递减，

当m∈，f

,+∞(m)>0，此时f(m)单调递增，

127

则f(m)，

min

=f=

∴|AB|+|AD|≥

，

但1+k，此处取等条件为k=1，与最终取

|k-2a|+1++2a≥1+k|k-2a|++2a

????

332

等时k=不一致，故AB+AD>

????

法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线W

:y=x,

矩形ABCD变换为矩形A的周长大于33.

????????

BCDBCD

,则问题等价于矩形A

???

222

设B

??????

t,At,Ct, 根据对称性不妨设t

00110

,t,t,t≥0.

则k

ABBC

=t+t,k=t+t, 由于A⊥B, 则t+tt+t=-1.

100100

????

由于A介于t之间,

????????

????

BtCt

=1+t+t-t,B=1+t+t-t, 且t,t

????

10100001

222

则A

????????

????

BCtt

+B=1+t+t-t+1+t+t-t. 令t+t=tanθ,

????

1010000

222

10010

+t=-cotθ,θ∈0,,则t=tanθ-t,t=-cotθ-t,从而

????

ABCθ2tθtanθ-2t

+B=1+cot+cotθ+1+tan

????

(cosθ-sinθ)

11sinθcosθsinθ+cosθ

????

故A

????

+B=2t-++=+

cosθ

cosθsinθsinθcosθ

2222

sinθsinθcosθ

①当θ∈0,

时,

sinθ+cosθsinθcosθ

≥22==2+B≥+≥2

????

ABC

2222

sinθcosθsin2θ

sinθcosθcosθsinθ

ππ

②当θ∈时,由于t

,<t<t,从而-cotθ-t<t<tanθ-t,

10000

cotθtanθ

<t<≥0,

又t从而-

(cosθ-sinθ)

tanθsinθ+cosθ

????

故0≤t

<,由此A+B=+

????

sinθcosθ

sinθ(cosθ-sinθ)(sinθcosθ)

sinθ+cosθ1cosθ

>+=+

222

cosθ

sinθcosθsinθ

sinθcosθ

222222

sinθsinθ?2cosθ1-cosθθθ

????

1-cos?2cos

第

16 页共 17页

2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学

≥≥=

222

????

1-cosθθθ

+1-cos+2cos

，

当且仅当cosθ=时等号成立，故A，故矩形周长大于32.

333

????

+B>

【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了

C=|AB|+|BC|≥n+1+n

简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.

第

17 页共 17页

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