2021年山东省高考数学试卷(含答案)(新高考ⅰ)

2023年11月21日发(作者：开ct6一般什么档次)

2021年山东省高考数学试卷（新高考Ⅰ）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝

（ ）

A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}

2．（5分）已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（ ）

A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i

3．（5分）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则

该圆锥的母线长为（ ）

A．2 B．2 C．4 D．4

4．（5分）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区

间是（ ）

A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）

+5．（5分）已知F，F是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C

12

上，则|MF|?|MF|的最大值为（ ）

12

A．13 B．12 C．9 D．6

＝（ ） 6．（5分）若tanθ＝﹣2，则

C． D． A．﹣ B．﹣

7．（5分）若过点（a，b）可以作曲线y＝e的两条切线，则（ ）

x

A．e＜a B．e＜b C．0＜a＜e D．0＜b＜e

baba

8．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中

第1页（共26页）

有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出

的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙

表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取

出的球的数字之和是7”，则（ ）

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得

2分，有选错的得0分。

9．（5分）有一组样本数据x，x，…，x，由这组数据得到新样本

12n

数据y，y，…，y，其中y＝x+c（i＝1，2，…，n），c为非零

12nii

常数，则（ ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

10．（5分）已知O为坐标原点，点P（cosα，sinα），P（cosβ，﹣

12

sinβ），P（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（ ）

3

A．||＝|| B．||＝||

C．?＝? D．?＝?

11．（5分）已知点P在圆（x﹣5）+（y﹣5）＝16上，点A（4，0），

22

B（0，2），则（ ）

第2页（共26页）

A．点P到直线AB的距离小于10

B．点P到直线AB的距离大于2

C．当∠PBA最小时，|PB|＝3

D．当∠PBA最大时，|PB|＝3

12．（5分）在正三棱柱ABC﹣ABC中，AB＝AA＝1，点P满足

1111

＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）

A．当λ＝1时，△ABP的周长为定值

1

B．当μ＝1时，三棱锥P﹣ABC的体积为定值

1

C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得AP⊥BP

1

D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得AB⊥平面ABP

11

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知函数f（x）＝x（a?2﹣2）是偶函数，则a＝ ．

3xx

﹣

14．（5分）已知O为坐标原点，抛物线C：y＝2px（p＞0）的焦点

2

为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ

⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为 ．

15．（5分）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为 ．

16．（5分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿

纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对

折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，

它们的面积之和S＝240dm，对折2次共可以得到5dm×12dm，

1

2

10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S

2

＝180dm，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种

2

第3页（共26页）

数为 ；如果对折n次，那么S＝ dm．

k

2

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列{a}满足a＝1，a＝

n1n+1

（1）记b＝a，写出b，b，并求数列{b}的通项公式；

n2n12n

（2）求{a}的前20项和．

n

18．（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每

位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个

问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一

类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学

比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；

B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题

的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的

分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并

说明理由．

19．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已

知b＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．

2

（1）证明：BD＝b；

第4页（共26页）

（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．

20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，

AB＝AD，O为BD的中点．

（1）证明：OA⊥CD；

（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE

＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD

的体积．

21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点F（﹣，0），F

12

（，0），点M满足|MF|﹣|MF|＝2．记M的轨迹为C．

12

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B

两点和P，Q两点，且|TA|?|TB|＝|TP|?|TQ|，求直线AB的斜率与

直线PQ的斜率之和．

22．（12分）已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：

2＜+＜e．

第5页（共26页）

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 参考答案：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，

∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜4}∩{2，3，4，5}＝{2，3}．

故选：B．

点拨：本题考查交集及其运算，是基础题．

2． 参考答案：∵z＝2﹣i，

∴z（+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i

2

＝6+2i．

故选：C．

点拨：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，

是基础题．

3． 参考答案：由题意，设母线长为l，

因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为

侧面展开图半圆的半径，

则有，解得，

． 所以该圆锥的母线长为

故选：B．

点拨：本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底

面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图

第6页（共26页）

半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力和空间思维能力，属

于基础题．

4． 参考答案：令，k∈Z．

则，k∈Z．

当k＝0时，x∈[，]，

（0，）?[，]，

故选：A．

点拨：本题考查正弦函数单调性，是简单题．

5． 参考答案：F，F是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C

12

上，|MF|+|MF|＝6，

12

所以|MF|?|MF|≤＝9，当且仅当|MF|＝|MF|＝3

1212

时，取等号，

所以|MF|?|MF|的最大值为9．

12

故选：C．

点拨：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基

础题．

6． 参考答案：由题意可得：

＝

＝

＝．

第7页（共26页）

故选：C．

点拨：本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等

知识，sinA+cosA＝1是解题的关键，属于中等题．

22

7． 参考答案：函数y＝e是增函数，y′＝e＞0恒成立，

xx

函数的图象如图，y＞0，即切点坐标在x轴上方，

如果（a，b）在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．

点（a，b）在x轴或下方时，只有一条切线．

如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；

（a，b）在曲线上侧，没有切线；

由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切

线，可知0＜b＜e．

a

故选：D．

点拨：本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，

考查数形结合思想，是中档题．

8． 参考答案：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），

（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），

第8页（共26页）

两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），

（5，2），（6，1），

P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（丁）＝

＝，

A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），

B：P（甲丁）＝＝P（甲）P（丁），

C：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），

D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），

故选：B．

点拨：本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和

发生事件的个数，属于中档题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得

2分，有选错的得0分。

9． 参考答案：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；

对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；

对于C，∵标准差D（y）＝D（x+c）＝D（x），

iii

∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；

对于D，∵y＝x+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，

ii

x的极差为x﹣x，y的极差为（x+c）﹣（x+c）＝x

maxminmaxminmax

﹣x，

min

∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．

第9页（共26页）

故选：CD．

点拨：本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、

极差的定义等基础知识，是基础题．

10． 参考答案：∵P（cosα，sinα），P（cosβ，﹣sinβ），P（cos

123

（α+β），sin（α+β）），A（1，0），

∴＝（cosα，sinα），＝（cosβ，﹣sinβ），

＝（cos（α+β），sin（α+β）），＝（1，0），

，，

则，，则||

＝||，故A正确；

＝＝，

＝＝

，

||≠||，故B错误；

＝1×cos（α+β）+0×sin（α+β）＝cos（α+β），

＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cos（α+β），

∴?＝?，故C正确；

＝1×cosα+0×sinα＝cosα，

＝cosβcos（α+β）﹣sinβsin（α+β）＝cos[β+（α+β）]＝cos

（α+2β），

∴?≠?，故D错误．

故选：AC．

第10页（共26页）

点拨：本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数

基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．

11． 参考答案：∵A（4，0），B（0，2），

∴过A、B的直线方程为，即x+2y﹣4＝0，

圆（x﹣5）+（y﹣5）＝16的圆心坐标为（5，5），

22

圆心到直线x+2y﹣4＝0的距离d＝＝＞4，

∴点P到直线AB的距离的范围为[，]，

∵＜5，∴＜1，＜10，

∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B

错误；

如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大（P点

位于P时∠PBA最小，位于P时∠PBA最大），

12

此时|BC|＝，

∴|PB|＝，故CD正确．

故选：ACD．

点拨：本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思

想，是中档题．

第11页（共26页）

12． 参考答案：对于A，当λ＝1时，＝+μ，即，

所以，

故点P在线段CC上，此时△ABP的周长为AB+BP+AP，

1111

当点P为CC的中点时，△ABP的周长为，

11

当点P在点C处时，△ABP的周长为，

11

故周长不为定值，故选项A错误；

对于B，当μ＝1时，，即，所以，

故点P在线段BC上，

11

因为BC∥平面ABC，

111

所以直线BC上的点到平面ABC的距离相等，

111

又△ABC的面积为定值，

1

所以三棱锥P﹣ABC的体积为定值，故选项B正确；

1

第12页（共26页）

对于C，当λ＝时，取线段BC，BC的中点分别为M，M，连

111

结MM，

1

因为，即，所以，

则点P在线段MM上，

1

当点P在M处时，AM⊥BC，AM⊥BB，

11111111

又BC∩BB＝B，所以AM⊥平面BBCC，

11111111

又BM?平面BBCC，所以AM⊥BM，即AP⊥BP，

1111111

同理，当点P在M处，AP⊥BP，故选项C错误；

1

对于D，当μ＝时，取CC的中点D，BB的中点D，

111

因为，即，所以，

则点P在线的DD上，

1

当点P在点D处时，取AC的中点E，连结AE，BE，

11

因为BE⊥平面ACCA，又AD?平面ACCA，所以AD⊥BE，

111111

在正方形ACCA中，AD⊥AE，

1111

又BE∩AE＝E，BE，AE?平面ABE，

111

故AD⊥平面ABE，又AB?平面ABE，所以AB⊥AD，

111111

在正方体形ABBA中，AB⊥AB，

1111

第13页（共26页）

又AD∩AB＝A，AD，AB?平面ABD，所以AB⊥平面ABD，

111111111

因为过定点A与定直线AB垂直的平面有且只有一个，

1

故有且仅有一个点P，使得AB⊥平面ABP，故选项D正确．

11

故选：BD．

点拨：本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的

体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属

于难题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 参考答案：函数f（x）＝x（a?2﹣2）是偶函数，

3xx

﹣

y＝x为R上的奇函数，

3

故y＝a?2﹣2也为R上的奇函数，

xx

﹣

所以y|＝a?2﹣2＝a﹣1＝0，

x0

＝

00

所以a＝1．

法二：因为函数f（x）＝x（a?2﹣2）是偶函数，

3xx

﹣

所以f（﹣x）＝f（x），

即﹣x（a?2﹣2）＝x（a?2﹣2），

3xx3xx

﹣﹣

即x（a?2﹣2）+x（a?2﹣2）＝0，

3xx3xx

﹣﹣

第14页（共26页）

即（a﹣1）（2﹣2）x＝0，

xx3

﹣

所以a＝1．

故答案为：1．

点拨：本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于

基础题．

14． 参考答案：由题意，不妨设P在第一象限，则P（，p），k

OP

＝2，PQ⊥OP．

所以k＝﹣，所以PQ的方程为：y﹣p＝﹣（x﹣），

PQ

y＝0时，x＝，

|FQ|＝6，所以，解得p＝3，

所以抛物线的准线方程为：x＝﹣．

故答案为：x＝﹣．

点拨：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算

能力，是中档题．

15． 参考答案：函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的定义域为（0，+∞）．

当0＜x时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝﹣2x+1﹣2lnx，

此时函数f（x）在（0，]上为减函数，

所以f（x）≥f（）＝﹣2×+1﹣2ln＝2ln2；

当x＞时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝2x﹣1﹣2lnx，

则f′（x）＝＝，

当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

第15页（共26页）

∴当x＝1时f（x）取得最小值为f（1）＝2×1﹣1﹣2ln1＝1．

∵2ln2＝ln4＞lne＝1，

∴函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1．

故答案为：1．

点拨：本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，

考查运算求解能力，是中档题．

16． 参考答案：易知有，

，共5种规格；

由题可知，对折k次共有k+1种规格，且面积为，故，

则，记，则，

∴＝

，

∴，

∴．

故答案为：5；．

点拨：本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，

考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤。

第16页（共26页）

17． 参考答案：（1）因为a＝1，a＝，

1n+1

所以a＝a+1＝2，a＝a+2＝4，a＝a+1＝5，

213243

所以b＝a＝2，b＝a＝5，

1224

b﹣b＝a﹣a＝a﹣a+a﹣a＝1+2＝3，n≥2，

nn12n2n22n2n12n12n2

﹣﹣﹣﹣﹣

所以数列{b}是以b＝2为首项，以3为公差的等差数列，

n1

所以b＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．

n

（2）由（1）可得a＝3n﹣1，n∈N*，

2n

则a＝a+2＝3（n﹣1）﹣1+2＝3n﹣2，n≥2，

2n12n2

﹣﹣

当n＝1时，a＝1也适合上式，

1

所以a＝3n﹣2，n∈N*，

2n1

﹣

所以数列{a}的奇数项和偶数项分别为等差数列，

n

则{a}的前20项和为a+a+...+a＝（a+a+…+a）+（a+a+…

n1220131924

+a）＝10+×3+10×2+×3＝300．

20

点拨：本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能

力，属于中档题．

18． 参考答案：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，

则P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，

P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32

P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，

所以X的分布列为：

X 0 20 100

第17页（共26页）

P 0.2 0.32 0.48

（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E（X）

＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，

若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，

则Y的所有可能取值为0，80，100，

P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，

P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，

P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，

则Y的期望为E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，

因为E（Y）＞E（X），

所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．

点拨：本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算

求解能力，属于中档题．

19． 参考答案：（1）证明：由正弦定理知，，

∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，

∵b＝ac，∴b?2Rsin∠ABC＝a?2Rsin∠ACB，

2

即bsin∠ABC＝asinC，

∵BDsin∠ABC＝asinC，

∴BD＝b；

（2）法一：由（1）知BD＝b，

∵AD＝2DC，∴AD＝，DC＝，

＝在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA＝

第18页（共26页）

＝，

＝在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC＝

＝，

∵∠BDA+∠BDC＝π，

∴cos∠BDA+cos∠BDC＝0，

即＝0，

得11b＝3c+6a，

222

∵b＝ac，

2

∴3c﹣11ac+6a＝0，

22

∴c＝3a或c＝，

＝在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC＝，

当c＝3a时，cos∠ABC＝＞1（舍）；

当c＝时，cos∠ABC＝；

． 综上所述，cos∠ABC＝

法二：∵点D在边AC上且AD＝2DC，

∴，

∴，

而由（1）知BD＝b，

∴，

即3b＝c?cos∠ABD+2a?cos∠CBD，

第19页（共26页）

由余弦定理知：，

∴11b＝3c+6a，

222

∵b＝ac，

2

∴3c﹣11ac+6a＝0，

22

∴c＝3a或c＝，

在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC＝＝，

当c＝3a时，cos∠ABC＝＞1（舍）；

当c＝时，cos∠ABC＝；

． 综上所述，cos∠ABC＝

点拨：本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题．

20． 参考答案：（1）证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以

AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面

ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，

所以AO⊥CD；

（2）方法一：

取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，

过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，

所以OM，OD，OA两两垂直，

以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建

立空间直角坐标系如图所示，

第20页（共26页）

则B（0，﹣1，0），，D（0，1，0），

设A（0，0，t），则，

， 因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为

设平面BCE的法向量为，

又，

所以由，得，

令x＝，则y＝﹣1，，故，

因为二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，

所以，

解得t＝1，所以OA＝1，

又，所以，

故＝．

方法二：

过E作EF⊥BD，交BD于点F，过F作FG⊥BC于点G，连结

EG，

由题意可知，EF∥AO，又AO⊥平面BCD

所以EF⊥平面BCD，又BC?平面BCD，

所以EF⊥BC，又BC⊥FG，FG∩EF＝F

所以BC⊥平面EFG，又EF?平面EFG，

所以BC⊥EG，

第21页（共26页）

则∠EGF为二面角E﹣BC﹣D的平面角，即∠EGF＝45°，

又CD＝DO＝OB＝OC＝1，

所以∠BOC＝120°，则∠OCB＝∠OBC＝30°，

故∠BCD＝90°，

所以FG∥CD，

因为，

则，

所以，则，

， 所以EF＝GF＝，则

． 所以

点拨：本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角

问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转

化为空间向量问题，属于中档题．

第22页（共26页）

21． 参考答案：（1）由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的

右支，设C的方程为，

根据题意，解得，

∴C的方程为；

（2）（法一）设，直线AB的参数方程为，

将其代入C的方程并整理可得，（16cos+（16cosθ﹣

222

θ﹣sinθ）t

2msinθ）t﹣（m+12）＝0，

2

由参数的几何意义可知，|TA|＝t，|TB|＝t，则

12

，

设直线PQ的参数方程为，|TP|＝λ，|TQ|＝λ，同理

可得，，

依题意，，则cos

22

θ＝cosβ，

12

又θ≠β，故cosθ＝﹣cosβ，则cosθ+cosβ＝0，即直线AB的斜率

与直线PQ的斜率之和为0．

（法二）设，直线AB的方程为，A（x，y），

B（x，y），设，

22

11

将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得，

第23页（共26页）

，

由韦达定理有，，

又由可得，

同理可得，

∴＝，

设直线PQ的方程为，设

，

同理可得，

又|AT||BT|＝|PT||QT|，则，化简可得，

又k≠k，则k＝﹣k，即k+k＝0，即直线AB的斜率与直线

121212

PQ的斜率之和为0．

点拨：本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的

位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中

档题．

22．【解答】（1）解：由函数的解析式可得f\'（x）＝1﹣lnx﹣1＝﹣lnx，

∴x∈（0，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，

x∈（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，

则f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．

（2）证明：由blna﹣alnb＝a﹣b，得，

第24页（共26页）

即，

由（1）f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，

所以f（x）＝f（1）＝1，且f（e）＝0，

max

令，，

则x，x为f（x）＝k 的两根，其中k∈（0，1）．

12

不妨令x∈（0，1），x∈（1，e），则2﹣x＞1，

121

先证2＜x+x，即证x＞2﹣x，即证f（x）＝f（x）＜f（2﹣x），

1221211

令h（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），

则h′（x）＝f′（x）+f′（2﹣x）＝﹣lnx﹣ln（2﹣x）＝﹣ln[x

（2﹣x）]在（0，1）单调递减，

所以h′（x）＞h′（1）＝0，

故函数h（x）在（0，1）单调递增，

∴h（x）＜h（1）＝0．∴f（x）＜f（2﹣x），∴2＜x+x，得证．

11112

同理，要证x+x＜e，

12

（法一）即证1＜x＜e﹣x，

21

根据（1）中f（x）单调性，

即证f（x）＝f（x）＞f（e﹣x），

211

令φ（x）＝f（x）﹣f（e﹣x），x∈（0，1），

则φ\'（x）＝﹣ln[x（e﹣x）]，令φ′（x）＝0，

0

x∈（0，x），φ\'（x）＞0，φ（x）单调递增，

0

x∈（x，1），φ\'（x）＜0，φ（x）单调递减，

0

又0＜x＜e时，f（x）＞0，且f（e）＝0，

第25页（共26页）

故，

φ（1）＝f（1）﹣f（e﹣1）＞0，

∴φ（x）＞0恒成立，

x+x＜e得证，

12

（法二）f（x）＝f（x），x（1﹣lnx）＝x（1﹣lnx），

121122

又x∈（0，1），故1﹣lnx＞1，x（1﹣lnx）＞x，

11111

故x+x＜x（1﹣lnx）+x＝x（1﹣lnx）+x，x∈（1，e），

121122222

令g（x）＝x（1﹣lnx）+x，g′（x）＝1﹣lnx，x∈（1，e），

在（1，e）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

所以g（x）＜g（e）＝e，

即x（1﹣lnx）+x＜e，所以x+x＜e，得证，

22212

则2＜+＜e．

点拨：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极

值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属

于难题．

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