别克纯电动汽车价格-一汽大众揽境2022款最新款价格
2023年11月21日发(作者：全新宝马x6)
第二十三章 数据分析
23．1 第1课时 算术平均数
知识要点分类练 夯实基础
知识点 算术平均数的计算
1．[2017·苏州] 有一组数据：2，5，5，6，7，则这组数据的平均数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．某校五个小组参加植树活动，平均每个小组植树10株，已知一、二、三、五小组
分别植了9株、12株、9株、8株，那么第四小组植树( )
A．12株 B．11株 C．10株 D．9株
3．[2018·柳州] 一名同学进行五次投实心球的练习，每次投出的成绩如下表：
投实心球序次
成绩(m)
1 2 3 4 5
10.5 10.2 10.3 10.6 10.4
求该同学这五次投实心球的平均成绩．
4．一次数学测验中，若以60分为标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数
表示，则其中5名学生的成绩(单位：分)如下：＋36，0，＋12，－18，＋20.
(1)这5名学生中，最高分是多少？最低分是多少？
(2)这5名学生的平均分是多少？
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规律方法综合练 提升能力
5．A，B，C，D，E五名学生在一次数学测验中的平均成绩是80分，而A，B，C三
名同学的平均成绩是78分，那么下列说法一定正确的是( )
A．学生D，E的成绩比其他三人都好
B．学生D，E两人的平均成绩是82分
C．得最高分的学生不是A，B，C，D
D．学生D，E中至少有一人的成绩不少于83分
6．某商场经理为了了解甲、乙两个不同产地的同一种水果的销售情况，收集了10个
省会城市该种水果的销售批发价格(单位：元/千克)如下表：
产地 长沙 武汉 广州 海口 福州 昆明 南宁 南昌 南京 郑州
甲 0.85 0.83 0.90 0.90 0.88 0.86 0.82 0.81 0.95 0.84
乙 0.80 0.82 0.95 0.91 0.86 0.82 0.83 0.79 0.84 0.80
(1)哪个产地的该种水果的平均批发价格较高？
(2)如果你是商场经理，你将做出怎样的经营决策？
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拓广探究创新练 冲刺满分
7．已知一组数据x的平均数为x.
123n
，x，x，…，x
(1)求一组新数据3x的平均数；
123n
，3x，3x，…，3x
(2)求一组新数据x＋5，x＋5，x＋5，…，x＋5的平均数；
123n
(3)你发现了什么规律？
(4)若已知a，b，c，d，e的平均数是x，则a＋5，b＋12，c＋22，d＋9，e＋2的平均
数是多少呢？
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教师详解详析
【备课资源】
教材的地位
和作用
本节课主要让学生认识数据统计中的平均数，这是一堂概念
课，也是学生学会分析数据、做出决策的基础．本节课的内容
与学生生活密切相关，能直接指导学生的生活实践
1. 理解算术平均数的概念.
知识与技能
教
学
过程与方法
目
标
情感、态度
与价值观 2.通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系
教学重
点难点
重点 算术平均数的计算公式
难点 求实际问题中的算术平均数
2.会求一组数据的算术平均数
1. 通过对数据的处理，培养学生初步的统计意识和处理数据
的能力.
2.通过有关平均数的问题的解决，培养学生的合作意识和能力
1.通过小组合作的活动，培养学生的合作意识
从甲、乙两块试验田各取10株小麦，测得它们的株高(单位：
cm)分别如下：
甲：76, 90, 84, 83, 85, 82, 86, 87, 81, 86；
教学
导入 活动想一想
设计
乙：74, 79, 89, 91, 80, 79, 89, 85, 84, 82.
要想比较这两块试验田小麦的株高情况，用什么数据比较好
呢？如何比较呢？
[答案] 可计算这两块试验田小麦的株高平均数，用平均数来比
较其株高情况较好．甲块试验田小麦的平均株高为84 cm，乙
块试验田小麦的平均株高为83.2 cm，由此可知甲块试验田小
麦的株高相对高些
【详解详析】
1．C [解析] (2＋5＋5＋6＋7)÷5＝25÷5＝5，即这组数据的平均数是5.
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2．A [解析] 设第四小组植树为x株，则(9＋12＋9＋8＋x)÷5＝10，
解得x＝12.
3．解：该同学这五次投实心球的平均成绩为
10.5＋10.2＋10.3＋10.6＋10.4
＝10.4(m)．
5
故该同学这五次投实心球的平均成绩为10.4 m.
4．解：(1)∵在记录结果中，＋36最大，－18最小，
∴60＋36＝96(分)，60－18＝42(分)，
∴这5名学生中，最高分为96分，最低分为42分．
(2)∵(36＋0＋12－18＋20)÷5＝10(分)，
∴他们的平均分＝60＋10＝70(分)，
故这5名学生的平均分是70分．
5．D [解析] 由题意知，D，E两人的平均成绩为(80×5－78×3)÷2＝83(分)，∴D，E
中至少有一人的成绩不少于83分，由此不能判断D，E比其他三人的成绩好，故D选项正
确，A选项不正确；D，E两人的平均成绩是83分，故B选项不正确；由此不能判断A，
B，C，D四人成绩怎样，故C选项不正确．
6．[解析] 先计算其平均数，再根据所得结果去分析求解．
解：(1)甲产地该种水果的平均批发价格为
1
×(0.85＋0.83＋0.90＋0.90＋0.88＋0.86＋0.82＋0.81＋0.95＋0.84)＝0.864(元/千克)；
10
乙产地该种水果的平均批发价格为
1
×(0.80＋0.82＋0.95＋0.91＋0.86＋0.82＋0.83＋0.79＋0.84＋0.80)＝0.842(元/千克)．
10
因此甲产地该种水果的平均批发价格较高．
(2)答案不唯一，只要合理即可．如：进货进乙产地的该种水果．
7．[解析] 将探索的规律直接应用到以后的运算中，可以快速、准确地达到解题目的．
解：(1)这组新数据的平均数为
1
(3x＋3x＋3x＋…＋3x)
23n1
n
5 / 279
3
＝(x＋x＋x＋…＋x)
123n
n
1
＝3·(x＋x＋x＋…＋x)＝3x.
123n
n
(2)这组新数据的平均数为
1
[(x＋5)＋(x＋5)＋(x＋5)＋…＋(x＋5)]
23n1
n
1
＝[(x＋x＋x＋…＋x)＋5n]
123n
n
11
＝(x＋x＋x＋…＋x)＋·5n
123n
nn
＝x＋5.
(3)规律：若一组数据x的平均数为x，则数据ax
123n123
，x，x，…，x，ax，ax，…，
ax的平均数为ax；数据x＋b，x＋b，x＋b，…，x＋b的平均数为x＋b.
n123n
(4)∵a，b，c，d，e的平均数是x，
∴a＋5＋b＋12＋c＋22＋d＋9＋e＋2＝5x＋50，
∴a＋5，b＋12，c＋22，d＋9，e＋2的平均数是(5x＋50)÷5＝x＋10.
第2课时 加权平均数
知识要点分类练 夯实基础
知识点 加权平均数
1．一组数据为3，4，3，3，5，6，3，那么这组数据中3的权重是________，这组数
据的平均数是________．
2．[2018·保定高新区期末] 某快递公司快递员张海六月第三周投放快递物品件数如下：
有1天是41件，有2天是35件，有4天是37件，则这周张海日平均投放快递物品件数为
( )
A．36 B．37
C．38 D．38.5
3．[2018·中山期末] 某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表
达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩(单位：分)如下表：
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应聘者 阅读能力 思维能力 表达能力
甲 85 90 80
乙 95 80 95
(1)若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，则谁将被录用？
(2)若将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1∶3∶1的比例确定每人的最
后成绩，则谁将被录用？
规律方法综合练 提升能力
4．教材习题A组第1题变式某班有50名学生，平均身高为166 cm，其中20名女生
的平均身高为163 cm，则30名男生的平均身高为________cm.
5．某校九年级有200名学生，为了向团市委推荐本年级一名学生参加团代会，按如下
程序进行了民主投票，推荐的程序：首先由全年级学生对六名候选人进行投票，每名学生
只能给一名候选人投票，选出票数多的前三名，然后再对这三名候选人(记为甲、乙、丙)
进行笔试和面试，两个程序的结果统计如下表和图23－1－
1.
测试成绩/分
测试项目
甲 乙 丙
笔试
面试
92 90 95
85 95 80
23－1－1
请你根据以上信息解答下列问题：
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(1)请分别计算甲、乙、丙的得票数；
(2)若规定每名候选人得一票记1分，将投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比
例计入每名候选人的总成绩，成绩最高的将被推荐，请通过计算说明甲、乙、丙哪名学生
将会被推荐．
拓广探究创新练 冲刺满分
6．某调查小组采用简单随机抽样的方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动的
时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如图23－1－2的统计图．根据图中信息，
回答下列问题：
(1)该调查小组抽取的样本容量是多少？
(2)求所抽样本中中小学生一天中阳光体育运动的时间为1.5小时的人数，并补全条形
统计图；
(3)请计算样本中中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
图23－1－2
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9 / 279
教师详解详析
本节课主要通过繁杂的平均数的计算，从中找到计算平均数的一
教材的地位和作用
种较简单的方法，从而理解权重在计算平均数中的作用，为解决
实际生活中的一些问题打下基础
1. 认识和理解数据的权及其作用.
知识与技能
教
1. 通过加权平均数的学习，经历运用数据描述信息、做出推断
学
目
标
情感、态度
与价值观
教学重
点难点
重点 加权平均数的概念
难点 对数据的权及其作用的理解
活动1 忆
一忆
活动2想一
想
【详解详析】
27
[解析] 这组数据中，3出现了4次，所以3的权重为4；这组数据的平均数1．4
7
27
为(3＋4＋3＋3＋5＋6＋3)÷7＝.
7
2．B [解析] 由题意可得，这周张海日平均投放快递物品件数为
1×41＋2×35＋4×37
＝37.故选B.
7
3．[解析] (1)根据平均数的计算公式分别进行计算即可；
(2)根据加权平均数的计算公式分别进行计算即可．
解：(1)x＝(85＋90＋80)÷3＝85(分)，
甲
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2. 通过实例了解加权平均数的意义，会根据加权平均数的计算公
式进行有关计算
的过程，形成统计观念
过程与方法
2.通过加权平均数的学习，进一步认识数据的作用，体会统计的
思想方法
通过对加权平均数的学习，初步认识数学与人类生活的密切联
系，感受数学结论的确定性，激发学生学好数学的热情
平均数的定义：__一般地，我们把n个数据x的和
12n
，x，…，x
与n的比叫做这n个数据的平均数__
小明所在班级学生的平均身高是1.4 m，小强所在班级学生的平
均身高是1.5 m，小明一定比小强矮吗？本节我们就来解决这个
问题 .
教学
导入
设计
x＝(95＋80＋95)÷3＝90(分)．
乙
∵x＜x，∴乙将被录用．
甲乙
(2)根据题意，得
85×1＋90×3＋80×1
x＝＝87(分)，
甲
1＋3＋1
95×1＋80×3＋95×1
x＝＝86(分)．
乙
1＋3＋1
∵x＞x，∴甲将被录用．
甲乙
4．168 [解析] 设男生的平均身高为x cm.根据题意，得(20×163＋30x)÷50＝166，
解得x＝168.
5．解：(1)甲的得票数是200×34%＝68(票)；
乙的得票数是200×30%＝60(票)；
丙的得票数是200×28%＝56(票)．
68×2＋92×5＋85×3
(2)甲的成绩为＝85.1(分)；
2＋5＋3
60×2＋90×5＋95×3
乙的成绩为＝85.5(分)；
2＋5＋3
56×2＋95×5＋80×3
丙的成绩为＝82.7(分)．
2＋5＋3
∵乙的成绩最高，∴乙将会被推荐．
6．解：(1)由题意，得运动时间为0.5小时的人数有100人，所占比例为20%，100÷
20%＝500(人)．
∴该调查小组抽取的样本容量是500.
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(2)运动时间为1.5小时的人数为500×24%＝120(人)．
补全条形统计图如图所示．
(3)根据题意，得
100×0.5＋200×1＋120×1.5＋80×2
＝1.18(时)，即样本中中小学生一天中阳光体育运
100＋200＋120＋80
动的平均时间约为1.18小时．
第3课时 算术平均数和加权平均数的应用
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 算术平均数的应用
1．某电视台举办校园歌曲比赛，七位评委给某参赛队的打分(单位：分)为92，86，88，
87，92，94，86，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数是( )
A．90 B．87 C．89 D．88
2．小明期末测试中语文、数学、英语三科的平均成绩为92分，已知小明的语文成绩
是88分，英语成绩是95分，则小明的数学成绩为( )
A．93分 B．95分 C．92.5分 D．94分
3．张华与王强两名学生期末六科考试成绩如下：
政治 语文 英语 数学 物理 化学
张华 88 84 91 96 76 81
王强 83 95 89 93 89 67
(1)分别求张华、王强的平均成绩；
(2)现要从中选一名同学参加除政治外其他五科竞赛，应选谁去？
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知识点 2 加权平均数的应用
4．2017·聊城为了满足顾客的需求，某商场将5千克奶糖，3千克酥心糖和2千克水果
糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖的售价为每千克20元，水
果糖的售价为每千克15元，混合后什锦糖的售价应为每千克( )
A．25元 B．28.5元
C．29元 D．34.5元
5．教材“观察与思考”变式假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓的
价格和数量如下表．从平均价格看，谁买得比较划算( )
价格/(元/千克) 合计/千克
小菲购买的数量/千克
小琳购买的数量/千克
A. 一样
B．小菲
C．小琳
D．无法确定
6．某商场欲招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项
测试，他们各自的成绩(百分制)如下表所示：
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12 10 8
2 2 2 6
1 2 3 6
计算机 语言 商品知识
甲 70 50 80
乙 60 60 80
(1)若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权
2，3，5，请计算两名应试者的平均成绩，从平均成绩看，谁将被录取？
(2)若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言和商品知识成绩分别占50%，30%，
20%，请计算两名应试者的平均成绩．从平均成绩看，谁将被录取？
知识点 3 用组中值求平均数
7．某中学积极开展跳绳活动，九年级(1)班的体育委员统计了全班同学1分钟跳绳的
次数，并列出了频数分布表：
次数 频数
60≤x<80
80≤x<100
100≤x<120
120≤x<140
140≤x<160
160≤x<180
求全班同学1分钟跳绳的平均次数．(保留整数)
14 / 279
5
6
14
9
7
4
规律方法综合练 提升能力
8．某中学九年级(1)班的一次数学测试的平均成绩为80分，男生的平均成绩为82分，
女生的平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为( )
A．1：2 B．2：1
C．3：2 D．2：3
9．某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行专业知识测试，
成绩如下表所示，并依照录用的程序，组织200名职工对三人进行民主评议投票推荐，三
人的得票率如图23－1－3所示(没有弃权票，且每位职工只能投1票，每得1票记作1分)．
测试成绩(单位：分)
候选人 甲 乙 丙
专业知识
73 74 67
图23－1－3
请填出三人的民主评议得分：甲得________分，乙得________分，丙得________分；
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(2)根据招聘简章，人事部将专业知识、民主评议两项得分按6∶4的比例确定个人成
绩，成绩优者将被录用．那么________将被录用，他的成绩为__________分．
10．徐老师本学期教授九年级(1)班和九年级(2)班两个班的数学课(两班学生各方面的
程度相同)，一章的课程学习结束后，徐老师对两个班进行了单元测试，并从两个班中各随
机选取20名学生的成绩，根据成绩划分A，B，C，D，E五个等级(两班的等级划分标准
相同，每组数据包括右端点不包括左端点)，画出统计图如图23－1－4.
图23－1－4
(1)补全频数分布直方图，求a的值及相应扇形的圆心角度数；
(2)以每组的组中值(每组的中点对应的数据)作
为这个等级的成绩，判断九年级(1)班、(2)班这两个班哪个班的平均成绩较高．
拓广探究创新练 冲刺满分
11．某班为了从甲、乙两名同学中选出一名当班长，进行了一次演讲答辩和民主测
评．A，B，C，D，E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如下表．全班
50名同学参与民主测评进行投票，结果如图23－1－5.
演讲答辩情况统计表
16 / 279
A B C D E
甲 90 92 94 95 88
乙 89 86 87 94 91
图23－1－5
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民
主测评得分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分．
(1)求甲、乙两名同学各自演讲答辩的平均分；
(2)试求民主测评投票情况统计图中a，b的值是多少；
(3)若演讲答辩得分和民主测评得分按6∶4的权重比计算甲、乙两名同学的综合得分，
则应选谁当班长？
17 / 279
教师详解详析
92＋86＋88＋87＋92
1．C [解析] 平均数＝＝89.
5
2．A [解析] 设小明的数学成绩为x分，则(88＋95＋x)÷3＝92，解得x＝93.故选A.
3．解：(1)张华的平均成绩＝(88＋84＋91＋96＋76＋81)÷6＝86(分)，
王强的平均成绩＝(83＋95＋89＋93＋89＋67)÷6＝86(分)．
(2)张华除政治外其他五科的平均成绩＝(84＋91＋96＋76＋81)÷5＝85.6(分)，
王强除政治外其他五科的平均成绩＝(95＋89＋93＋89＋67)÷5＝86.6(分)．
因为王强除政治外其他五科的平均成绩高，所以应选王强去．
4．C [解析] 混合后的什锦糖的售价应为(40×5＋20×3＋15×2)÷(5＋3＋2)＝29(元/
千克)．
5．C [解析] ∵小菲购买水果的平均价格是(12×2＋10×2＋8×2)÷6＝10(元/千克)，
28
小琳购买水果的平均价格是(12×1＋10×2＋8×3)÷6＝(元/千克)，∴小琳买得比较划算．
3
70×2＋50×3＋80×560×2＋60×3＋80×5
6．解：(1)x＝＝69(分)，x＝＝70(分)．
甲乙
2＋3＋52＋3＋5
∵x＜x，∴乙将被录取．
甲乙
(2)x＝70×50%＋50×30%＋80×20%＝66(分)，x＝60×50%＋60×30%＋80×20%
甲乙
＝64(分)．
∵x＞x，∴甲将被录取．
甲乙
7．解：六组数据的组中值分别为70，90，110，130，150，170，频数之和为5＋6＋
1
14＋9＋7＋4＝45.加权平均数为×(5×70＋6×90＋14×110＋9×130＋7×150＋
45
4×170)≈118(次)．
答：全班同学1分钟跳绳的平均次数约是118次．
8．C
9．(1)70 68 62
(2)甲 71.8
[解析] (1)甲、乙、丙三人的民主评议得分分别为200×35%＝70(分)，200×34%＝
68(分)，200×31%＝62(分)．
(2)如果将专业知识、民主评议两项得分按6∶4的比例确定个人成绩，那么
18 / 279
6×73＋4×70
甲的个人成绩为＝71.8(分)，
6＋4
6×74＋4×68
乙的个人成绩为＝71.6(分)，
6＋4
6×67＋4×62
丙的个人成绩为＝65(分)．
6＋4
由于甲的个人成绩最高，所以候选人甲将被录用．
10．解：(1)补全频数分布直方图如图所示．
由扇形统计图可知B等级所占比例为1－10%－20%－15%－45%＝10%，∴a＝10，
圆心角的度数为360°×10%＝36°.
95×5＋85×6＋75×5＋65×3＋55×1
(2)九年级(1)班成绩的平均数x＝＝80.5(分)，
1
20
九年级(2)班成绩的平均数x＝95×15%＋85×10%＋75×45%＋65×20%＋55×10%＝
2
75(分)．
∵80.5＞75，
∴九年级(1)班的平均成绩较高．
11．解：(1)甲演讲答辩的平均分为(90＋92＋94)÷3＝92(分)；
乙演讲答辩的平均分为(89＋87＋91)÷3＝89(分)．
(2)a＝50－40－3＝7；b＝50－42－4＝4.
(3)甲民主测评得分为40×2＋7＝87(分)；
乙民主测评得分为42×2＋4＝88(分)，
19 / 279
92×6＋87×4
∴甲综合得分为＝90(分)；
6＋4
89×6＋88×4
乙综合得分为＝88.6(分)．
6＋4
∵90＞88.6，
∴应选甲当班长．
23.2 中位数和众数
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 中位数
1．[2018·温州] 某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分(单位：分)如下：9，
7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是( )
A．9分 B．8分 C．7分 D．6分
2．[2018·嘉兴期末] 某校田径运动会上，参加男子跳高的16名运动员成绩如下表：
成绩(m) 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70
人数 3 4 3 2 3 1
则这些运动员成绩的中位数是( )
A．1.5 m B．1.55 m
C．1.60 m D．1.65 m
3．2017·扬州为了了解某班的数学成绩情况，从该班随机抽取13份数学试卷成绩，结
果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分，则这
组数据的中位数为________．
知识点 2 众数
4．[2018·岳阳] 在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，
96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是( )
A．90，96 B．92，96
C．92，98 D．91，92
20 / 279
5．学校附近的商店一段时间内销售了甲、乙、丙、丁四种品牌的饮料共100瓶，各种
饮料的销售量如下表：
品牌 甲 乙 丙 丁
销售量(瓶)
12 32 13 43
则甲、乙、丙、丁四种品牌的饮料中，建议该商店进货数量最多的品牌是( )
A．甲品牌 B．乙品牌
C．丙品牌 D．丁品牌
6．某演出小分队由20名年龄在25岁到30岁的演员组成，请根据表格中提供的数据
(其中28岁和29岁的人数未知)，试写出这20名演员年龄数据的众数的所有可能情况为
__________________．
年龄(岁) 25 26 27 28 29 30
人数(名) 2 5 4 3
知识点 3 平均数、中位数和众数的综合
7．某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不
相同．其中一名学生要想知道自己能否进入前5名，则他不仅要了解自己的成绩，还要了
解这9名学生成绩的( )
A．众数
B．加权平均数
C．平均数
D．中位数
8．[2018·十堰] 某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的
鞋的销售量如下表所示：
鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 3 3 6 2
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为( )
A．24.5，24.5 B．24.5，24
21 / 279
C．24，24 D．23.5，24
9．[2018·牡丹江] 一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，则这组数据的众数和中位
数分别是( )
A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．2，4
10．为筹备班级毕业晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，最终买什
么水果由调查数据的________决定．(填“平均数”“中位数”或“众数”)
11．两组数据3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是8，若将这两组数据合并为一组数
据，则这组新数据的众数为________，中位数为________．
规律方法综合练 提升能力
12．[2018·黑龙江模拟] 已知一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，这样的x
有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个以上(含4个)
13．某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图23－2－1所示的扇形统计
图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是( )
图23－2－1
A．94分，96分
B．96分，96分
C．94分，96.4分
22 / 279
D．96分，96.4分
14．甲、乙、丙三个家电厂在广告中都声称他们的某种电子产品的使用寿命为8年，
质量检测部门对这三个厂家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：
甲厂：4，5，5，6，6，7，7，8，8，8；
乙厂：4，5，5，5，8，8，9，10，11，12；
丙厂：4，5，6，6，6，9，9，11，11，13.
请解答以下问题：
(1)请填写下表：
甲厂
乙厂
丙厂
平均数 众数 中位数
6.4 ________ 6.5
7.7 5 ________
________ 6 7.5
(2) 这三个厂家的广告分别利用了统计中的哪一个特征数(平均数、中位数、众数)进行
宣传？
23 / 279
(3)如果三个厂家产品的售价一样，你认为顾客应该选购哪个厂家的产品？请说明理由．
拓广探究创新练 冲刺满分
15．[2018·南通] 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目
标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统
计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
24 / 279
对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下．
频数分布表
组别 一 二 三 四 五 六 七
销售额 13≤ 16≤x 19≤ 22≤ 25≤ 28≤ 31≤
(万元) x＜16 ＜19 x＜22 x＜25 x＜28 x＜31 x＜34
频数
7 9 3 a 2 b 2
数据分析表
平均数(万元) 众数(万元) 中位数(万元)
20.3 c 18
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：a＝________，b＝________，c＝________；
(2)若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有________位营业员获得奖励；
(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明
理由．
25 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的地位和作用
本节课主要让学生通过对具体实际问题的探究过程，了解平均
数、中位数、众数与实际生活的紧密联系并学会具体应用
知识与技
能
过程与方
法 获取能力，增强学生的数据处理和评判意识
情感、态
度与价值
观
重点 掌握中位数与众数的概念
难点
1.掌握中位数、众数的概念，会求一组数据的中位数、众
数. 2.能结合具体情况体会平均数、中位数、众数三者之
间的区别，并能初步选择适当的数据做出自己的判断
从各类统计图中获取信息，巩固学生对各种信息的识别与
培养学生求真的科学态度，深刻体会现实世界离不开数学
的事实，同时培养学生的合作意识
理解平均数、中位数、众数三者的区别，并能在具体情境
中选择适当的数据代表值，对数据做出自己的评判
某地有一期的电脑福利彩票中奖号码为5253595，这里面
教学
活动
导入
想一想
设计
[答案] 略
【详解详析】
1．C [解析] 利用中位数的定义，中位数是一组数据从小到大或从大到小排列后中间
位置的数(当数的个数为偶数时为中间两个数的平均数)．这道题的数据从小到大排列为6，
7，7，7，8，9，9，所以中间位置的数是7.故选C.
2．B [解析] 将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数都是1.55
m，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是1.55 m．故选B.
3．135 [解析] ∵将13份试卷成绩按从小到大的顺序排列后，第7个数是135，∴中
位数为135.
4．B [解析] 将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98，可得中位数为92，
众数为96.
5．D
26 / 279
教
学
目
标
教学重
点难点
出现次数最多的数字是什么？它叫5，2，5，3，5，9，5
这组数据的什么数？有人在研究彩票时，就爱研究这类数
字，你知道为什么吗？
6．26或28或29或26，28或26，29 [解析] 28岁和29岁的人数为20－2－5－4－3
＝6，因此28岁可以是6人，这时众数为28岁；29岁可以是6人，这时众数为29岁；28
岁可以是5人，这时众数为26，28；29岁可以是5人，这时众数为26，29；也可以都小
于5人，这时众数为26岁．因此这20名演员年龄的众数的所有可能值是26，28，29
岁．故答案为26，28，29.
7．D [解析] 9名选手的得分各不相同，则这组得分的中位数为第5名的分数，知道
第5名的分数和自己的分数，就可判断自己能否进入前5名．故选D.
8．A
9．C [解析] ∵一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，∴(4＋2＋x＋3＋9)÷5＝4，解
得x＝2，∴这组数据按照从小到大的顺序排列是2，2，3，4，9，∴这组数据的众数是2，
中位数是3.
10．众数
11．12 6 [解析] ∵两组数据3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是8，∴
?
?
?
1
（3＋a＋2b＋5）＝8，
4
1
（a＋6＋b）＝8，
3
?
?
a＝12，
解得
?
?
b＝6.
?
若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，5，6，6，12，12，12，
一共有7个数，第4个数是6，所以这组数据的中位数是6；12出现了3次，出现的次数最
多，所以这组数据的众数是12.故答案为12，6.
12．C [解析] (1)如果将这组数据按从大到小的顺序排列为10，8，x，6，处于中间位
置的数是8，x，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是(8＋x)÷2，平均数为(10＋
8＋x＋6)÷4.∵数据10，8，x，6的中位数与平均数相等，∴(8＋x)÷2＝(10＋8＋x＋6)÷4，
解得x＝8，x的位置与8对调，不影响结果；(2)如果将这组数据按从大到小的顺序排列为
10，8，6，x，那么中位数是(8＋6)÷2＝7，此时平均数是(10＋8＋x＋6)÷4＝7，解得x＝4，
符合排列顺序；(3)如果将这组数据按从大到小的顺序排列为x，10，8，6，那么中位数是
(10＋8)÷2＝9，平均数是(10＋8＋x＋6)÷4＝9，解得x＝12，符合排列顺序，∴x的值为4，
8或12，共3个．
13．D [解析] 总人数为6÷10%＝60(人)，则得94分的有60×20%＝12(人)，得98分
的有60－6－12－15－9＝18(人)，第30与31个数据都是96分，所以这些职工成绩的中位
数是(96＋96)÷2＝96(分)；这些职工成绩的平均数是(92×6＋94×12＋96×15＋98×18＋
100×9)÷60＝96.4(分)．
14．解：(1)丙厂的平均数是(4＋5＋6＋6＋6＋9＋9＋11＋11＋13)÷10＝8，甲厂中8出
现了3次，出现的次数最多，则众数是8，乙厂的中位数是8.
27 / 279
(2)甲厂家用的是众数，乙厂家用的是中位数，丙厂家用的是平均数．
(3)顾客应该选购丙厂家的产品．理由：答案不唯一，如顾客在选购产品时，一般以平
均数为依据，选平均数大的厂家的产品，因此应选丙厂家的产品．
15．解：(1)3 4 15
(2)8
(3)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，则月销售额定为18万元合适．理由：
因为中位数为18万元，所以月销售额定为18万元，有一半左右的营业员能达到销售目标．
23.3 方差
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 方差的计算
1．在方差的计算公式s＝[(x－30)＋(x－30)＋…＋(x－30)]中，数2019和
2222
30分别表示的意义是( )
A．数据的个数和方差
B．数据的方差和平均数
C．数据的个数和数据的平均数
D．数据的平均数和数据的个数
2．图23－3－1是某年6月1日至6月7日每天最高、最低气温的折线统计图．
1
122019
2019
图23－3－1
请你根据折线统计图，回答下列问题：
(1)在这7天中，日温差最大的一天是6月______日；
28 / 279
(2)这7天中的日最高气温的平均数是________℃；
(3)这7天日最高气温数据的方差是________．
知识点 2 方差的意义
3．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( )
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频率
4．[2018·烟台] 甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数(cm) 177 178 178 179
方差(cm) 0.9 1.6 1.1 0.6
2
身高更为整齐的仪仗队是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．[2018·安顺] 学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选
拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如下表：
选手 甲 乙
平均数(环) 9.5 9.5
方差(环) 0.035 0.015
2
则参加运动会射击比赛最适合的人选是________．
6．[2018·荆州] 为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两班学生
进行了预选，其中班上前5名学生的成绩(百分制)分别为：八(1)班86，85，77，92，85；
八(2)班79，85，92，85，89.通过数据分析，列表如下：
班级 平均分(分) 中位数(分) 众数(分) 方差(分)
八(1) 85 b c 22.8
八(2) a 85 85 19.2
2
(1)直接写出表中a，b，c的值；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．
29 / 279
规律方法综合练 提升能力
7．[2018·葫芦岛] 在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图23－3－
2所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是( )
图23－3－2
A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15分
2
8．[2018·南京] 某排球队6名场上队员的身高(单位 cm)是180，184，188，190，192，
194.现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员，与换人前相比，场上队
员的身高( )
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
30 / 279
9．2017·舟山已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a－2，b－2，
c－2的平均数和方差分别是( )
A．3，2 B．3，4
C．5，2 D．5，4
10．[2018·巴彦淖尔] 两组数据m，n，6与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两
组数据合并成一组数据，则这组新数据的方差是________．
11．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，
则这组数据的方差是________．
12．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．
工种 人数 每人每月工资/元
电工
木工
瓦工
5 7000
4 6000
5 5000
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工，瓦工各1名．与调整前相比，
该工程队员工月工资的方差________(填“变小”“不变”或“变大”)．
13．[2018·唐山路南区期末改编] 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中
的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩，测试规则为连续垫球10个，每垫球到
位1个记1分．
运动员甲测试成绩表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩(分) 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7
图23－3－
3
(1)小明将三人的成绩整理后制作了下面的表格：
31 / 279
平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 方差(分)
甲 7 b 7 0.8
乙 7 7 d 0.4
丙 a c e 0.81
2
则表中a＝________，b＝________，c＝________，d＝________，e＝________；
(2)若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为
选谁更合适？并说明理由．
拓广探究创新练 冲刺满分
14．某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩不低于6分
为合格，不低于9分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩的条形统计图如图23－3
－4所示．
图23－3－4
(1)补充完成下面的成绩统计分析表：
组别 平均分(分) 中位数(分) 方差 合格率 优秀率
32 / 279
(分)
2
甲组 6.7 3.41 90% 20%
乙组 7.5 1.69 80% 10%
(2)小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可
知，小明是________(填“甲”或“乙”)组的学生；
(3)甲组同学说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙
组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩好于甲组．请你给出两条支持乙组同学
观点的理由．
33 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的地
位和作用
本节课让学生亲身经历平均数的运算过程，从而顺理成章地使学生关注数据的
离散程度，即它们与平均数偏差的大小，培养学生发现问题、分析问题、解决
问题的能力
知识与技能
教
学
目
标
情感、态度与
价值观
重点
难点
经历探索如何表示一组数据的离散程度，感受数学来源于实
践，又应用于实践，感知数学的抽象美，提高学生参与数学学
习的积极性
了解方差的意义，并根据它的定义计算一组数据的方差
在具体情况下，具体分析方差对问题的影响
1. 某校艺术节演出中，5位评委给某个节目打分如下：9分，
9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，则该节目的平均得分是__9__
分.
活动1
忆一忆
教学
导入
设计
2. 某班40名学生的年龄情况如下表，则这40名学生的年龄的
中位数是__15.5__岁
通过具体的实例让学生全面理解方差以及它在现实生活中的应
用，发展学生初步的统计意识和提高数据处理能力
通过学习描述一组数据离散程度的统计量：方差，对实际问题
做出解释，培养学生解决问题的能力
过程与方法
教学重
点难点
年龄/岁
人数/名
14 15 16 17
4 16 18 2
从甲、乙两块麦田里各抽取8株小麦，测得各株的高度(单位：
cm)如下：
活动2
想一想
甲：76，86，81，90，84，87，86，82；
乙：83，84，89，79，80，85，91，81.
哪块麦田的小麦长得整齐些？这节课我们就来解决这个问题
【详解详析】
1．C
34 / 279
10
2．(1)6 (2)26 (3) [解析] 由图像直接可以看出日温差最大的一天是6月6日，
7
这7天的日最高气温分别是24 ℃，26 ℃，25 ℃，28 ℃，26 ℃，27 ℃，26 ℃，日最高气
温的平均数是26 ℃，然后代入方差公式进行计算．
3．C
4．D [解析] ∵甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的方差中丁的方差最小，∴丁仪
仗队的身高更为整齐．
5．乙 [解析] 因为s＝0.035＞s＝0.015，方差小的为乙，所以成绩比较稳定的是
甲乙
22
乙．
6．解：(1)a＝86，b＝85，c＝85.
(2)八(2)班前5名同学的成绩较好．
理由：∵86＞85，19.2＜22.8，
即八(2)班的平均分大于八(1)班，方差小于八(1)班，∴八(2)班前5名同学的成绩较好．
7．A
8．A [解析] 原数据的平均数为＝188，则原数据的
180＋184＋188＋190＋192＋194
6
1
方差为×[(180－188)＋(184－188)＋(188－188)＋(190－188)＋(192－188)＋(194－
22222
6
180＋184＋188＋190＋186＋194
68
188)]＝＝187，则新数据的方差为
2
， 新数据的平均数为
36
159
×[(180－187)＋(184－187)＋(188－187)＋(190－187)＋(186－187)＋(194－187)]＝
222222
，
63
所以平均数变小，方差变小．
9．B [解析] ∵数据a，b，c的平均数为5，
∴(a＋b＋c)÷3＝5，∴(a－2＋b－2＋c－2)÷3＝(a＋b＋c)÷3－2＝5－2＝3，∴数据a－
2，b－2，c－2的平均数是3.
∵数据a，b，c的方差为4，
11
∴[(a－5)＋(b－5)＋(c－5)]＝4，∴a－2，b－2，c－2的方差s＝[(a－2－3)＋(b
22222
33
－2－3)＋(c－2－3)]＝[(a－5)＋(b－5)＋(c－5)]＝4.故选B.
22222
10．6 [解析] ∵数据m，n，6与1，m，2n，7的平均数都是6，∴错误!解得错误!
∴这组新数据的方差为
1
×[(8－6)＋(4－6)＋(6－6)＋(1－6)＋(8－6)＋(8－6)＋(7－6)]＝6.
2222222
7
35 / 279
5
11. [解析] ∵数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，这组数据的中位数
3
为3，∴x＝3，
1
∴这组数据的平均数是(1＋2＋3＋3＋4＋5)÷6＝3，∴这组数据的方差是×[(1－3)＋
2
6
5
(2－3)＋(3－3)＋(3－3)＋(4－3)＋(5－3)]＝.
22222
3
12．变大
13．解：(1)运动员甲测试成绩按从小到大的顺序排列为5，6，7，7，7，7，7，8，8，
8，所以中位数b＝(7＋7)÷2＝7.
运动员乙的测试成绩中，数据7出现了6次，次数最多，所以众数d＝7.
1
运动员丙测试成绩的平均数a＝×(2×5＋4×6＋3×7＋1×8)＝6.3，中位数c＝(6＋
10
6)÷2＝6，众数e＝6.故答案为6.3，7，6，7，6.
(2)选运动员乙更合适．
理由：∵甲、乙、丙三人的众数分别为7，7，6，中位数分别为7，7，6，平均数分别
为7，7，6.3，
∴甲、乙较丙优秀一些．
∵s＞s
甲乙
22
，
∴选运动员乙更合适．
14．解：(1)从条形统计图上看，甲组的成绩分别为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，
1
因此甲组的中位数为6分．乙组成绩分别为5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，平均分为
10
×(5×2＋6＋7×2＋8×4＋9)＝7.1(分)，故填表如下：
组别 平均分(分) 中位数(分) 方差(分) 合格率 优秀率
甲组 6.7 6 3.41 90% 20%
乙组 7.1 7.5 1.69 80% 10%
2
(2)观察上表可知，甲组的中位数是6分，乙组的中位数是7.5分，小明的得分是7分，
超过甲组的中位数，低于乙组的中位数，所以小明应该是甲组的学生．
(3)答案不唯一，如从表格中可以看出：乙组的平均分、中位数都高于甲组，方差小于
甲组，且成绩集中在中上游，所以乙组成绩好于甲组．
36 / 279
23.4 用样本估计总体
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 用样本平均数估计总体平均数
1．某班主任想了解本班学生平均每月有多少零用钱，随机抽取了10名同学进行调查，
他们每月的零用钱数目(单位：元)分别是10，20，20，30，20，30，10，10，50，100，则
该班每名同学平均每月的零用钱数约为( )
A．10元 B．20元 C．30元 D．40元
2．2017·洛宁三模某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果(单位：万元)分别如下：
2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，则该商场4月份的总营业额大约是________万元．
3．为了解在“爱护地球，绿化祖国”的植树活动中，全校600名学生的植树情况，随
机调查了30名学生的植树情况，统计数据如下表所示：
植树数量(棵)
人数
4 5 6 8 10
5 8 10 5 2
(1)这30名学生平均每人植树________棵；
(2)根据这30名学生植树棵数的情况，估计该校600名学生在本次活动中共植树多少
棵．
知识点 2 用样本方差估计总体方差
37 / 279
4．为了比较甲、乙两种水稻秧苗哪种出苗更整齐，从每种秧苗中各随机抽取50株，
分别量出每株的长度，发现两组秧苗的平均长度一样，且甲、乙两组数据的方差分别是3.5，
10.9，则下列说法正确的是( )
A．甲种秧苗出苗更整齐
B．乙种秧苗出苗更整齐
C．甲、乙两种秧苗出苗一样整齐
D．无法确定哪种秧苗出苗更整齐
5．[2018·陇南] 甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各
投掷10次，他们成绩的平均数x与方差s如下表：
2
平均数x(米)
方差s(米)
22
甲 乙 丙 丁
11.1 11.1 10.9 10.9
1.1 1.2 1.3 1.4
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：吨/公顷)如下：
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
经计算，x＝10吨/公顷，x＝10吨/公顷，试根据这两组数据估计________种水稻试验品
甲乙
种的产量比较稳定．
规律方法综合练 提升能力
7．某社区开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动的一个月以来节约用水的情
况，从该小区的1000个家庭中随机选出20个家庭统计了解一个月的节水情况，如下表：
38 / 279
节水量/m 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
3
家庭数/个 2 4 6 7 1
请你估计这1000个家庭一个月节约用水的总量大约是( )
A．325 m B．330 m
33
C．400 m D．650 m
33
8．某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调查了70名学
生读书的数量，根据所得数据绘制了如图23－4－1所示的条形统计图，请估计该校九年级
学生在此次读书活动中共读书________本．
图23－4－1
9．某学校有两个校区：南校和北校，这两个校区九年级学生各有300名，为了解这两
个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下：
①收集数据，从南校和北校两个校区的九年级各随机抽取10名学生，进行英语单词测
试，测试成绩(百分制)如下：
南校：92，100，86，89，73，98，54，95，98，85；
北校：100，100，94，83，74，86，75，100，73，75.
②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩
x 50≤ 60≤ 70≤ 80≤ 90≤
人数
部门
南校
北校
1 0 1 3 5
0 0 4 2 4
39 / 279
x≤59 x≤69 x≤79 x≤89 x≤100
(说明：成绩90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为合格，60分以下为不
合格)
③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众
数、方差如下表：
校区 平均数 中位数 众数 方差
南校
北校
87 90.5 ______ 179.4
86 ______ ______ 121.6
④得出结论．
结合上述统计全过程，回答下列问题：
(1)补全③中的表格；
(2)请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数；
(3)你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好？说明你的理由(至少从两个不
同的角度说明推断的合理性)．
拓广探究创新练 冲刺满分
10．2017·福建自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可以随时使用的共享
单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：
一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费
减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
40 / 279
使用次数 0 1 2 3 4 5次及5次以上
累计车费 0 0.5 0.9 a b 1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意
愿，得到如下数据：
使用次数 0 1 2 3 4 5
人数 5 15 10 30 25 15
(1)写出a，b的值；
(2)已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估
计收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
41 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的地位
和作用
本节内容是统计知识数据分析的综合应用，主要是让学生通过对样本数据的
分析来估计总体．此节内容为中考高频考点
知识与技能
教
从各种统计图中获取信息，巩固学生对各种信息的识别与获
学
目
标
情感、态度
与价值观 数学知识来源于生活，也服务于生活
重点 平均数、众数、中位数及方差的综合运用 教学重
过程与方法
取能力，并能把所学的知识运用到实际生活中去，培养学生
综合运用知识和解决问题的能力
培养学生求真的科学态度，深刻体会现实世界离不开数学，
平均数、众数、中位数的区别，在不同的情况下，怎样选
点难点 难点
择不同的统计量来表示一组数据的集中趋势．方差怎样反映
一组数据的波动大小
1.会用样本平均数估计总体平均数.2.会用样本方差估计总体方
差
易错点 用样本估计总体时易犯错
【详解详析】
10＋20＋20＋30＋20＋30＋10＋10＋50＋100
1．C [解析] 这组数据的平均数x＝＝30，
10
因此可以估计该班每名同学平均每月的零用钱数约为30元．故选C.
2．96 [解析] 数据2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1的平均数为(2.8＋3.2＋3.4＋3.7＋3.0
＋3.1)÷6＝3.2，3.2×30＝96，所以该商场4月份的总营业额大约是96万元．故答案为96.
3．解：(1)平均每人植树为(5×4＋5×8＋6×10＋8×5＋10×2)÷30＝180÷30＝
6(棵)．故应填6.
(2)6×600＝3600(棵)．
答：估计该校600名学生在本次活动中共植树3600棵．
4．A
5．A [解析] 从平均数看，成绩好的同学为甲、乙，从方差看，甲、乙两人中，甲的
方差小，即甲发挥稳定．故应选择甲．
42 / 279
1
6．甲 [解析] 甲组数据的方差是×[(9.8－10)＋(9.9－10)＋(10.1－10)＋(10－10)＋
2222
5
1
(10.2－10)]＝0.02；乙组数据的方差是×[(9.4－10)＋(10.3－10)＋(10.8－10)＋(9.7－
2222
5
10)＋(9.8－10)]＝0.244.∵0.02＜0.244，∴甲种水稻试验品种的产量比较稳定．
22
7．A [解析] 这20个家庭平均每个家庭一个月节约用水量为(0.2×2＋0.25×4＋0.3×
6＋0.4×7＋0.5×1)÷20＝0.325(m)，因此这1000个家庭一个月节约用水的总量大约是
3
1000×0.325＝325(m)．故选A.
3
8．2040
9．解：(1)由题可得，南校的九年级随机抽取的10名学生的成绩数据的众数为98，
北校的九年级随机抽取的10名学生的成绩数据从小到大排列为73，74，75，75，83，
86，94，100，100，100，
∴北校的九年级随机抽取的10名学生的成绩数据的中位数为84.5，而众数为100.
故答案为98，84.5，100.
4
(2)北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为×300＝120(人)．
10
(3)答案不唯一，如我认为南校的九年级学生英语单词掌握得比较好，理由如下：
①南校的九年级学生在英语单词测试中，成绩的平均数较高，表示南校的九年级学生
的英语单词掌握情况较好；②南校的九年级学生在英语单词测试中，成绩的中位数较高，
表示南校的九年级学生的英语单词掌握情况较好．
10．解：(1)a＝0.9＋0.3＝1.2，b＝1.2＋0.2＝1.4.
(2)不能获利．理由：根据用车意愿调查结果，可知抽取的100名师生每人每天使用A
品牌共享单车的平均车费为(0×5＋0.5×15＋0.9×10＋1.2×30＋1.4×25＋1.5×15)÷100＝
1.1(元)，
所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为5000×1.1＝5500(元)．
因为5500＜5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．
第二十四章 一元二次方程
24．1 一元二次方程
43 / 279
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 一元二次方程及其解的概念
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．2x＋1＝0 B．y＋x＝0
2
1
C．x－x＝0 D.＋x＝0
22
x
2．若(m－1)x＋2x－3＝0是关于x的一元二次方程，则( )
2
A．m≠0 B．m≠1
C．m＝0 D．m≠－12
3．[2018·宁夏] 若2－3是方程x－4x＋c＝0的一个根，则c的值是( )
2
A．1 B．3－3
C．1＋3 D．2＋3
4．[2018·扬州] 若m是方程2x－3x－1＝0的一个根，则6m－9m＋2015的值为
22
________．
5．教材习题B组第1题变式当a＝________时，方程4x＋2x－3＝0是关于x的一
|a|1
＋
元二次方程．
知识点 2 一元二次方程的一般形式
6．一元二次方程2x－6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
2
A．6，2，9 B．2，－6，9
C．2，－6，－9 D．－2，6，－9
7．若关于x的一元二次方程(k－2)x＋2(k＋1)x＋2k－1＝0的一次项系数为－1，则k
2
的值为( )
31
A．－ B．－ C．0 D．3
22
8．将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数
项．
(1)x＋1＝2x；
2
44 / 279
(2)－2＝3x；
2
(3) x(2x－1)＝x;
(4)(x＋1)(x－1)＝2x－4.
知识点 3 根据题意列一元二次方程
9．2017·兰州王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个
长方体工具箱．
图24－1－1
如图24－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的小正方形后，剩余
的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )
2
A．(80－x)(70－x)＝3000
B．80×70－4x＝3000
2
C．(80－2x)(70－2x)＝3000
D．80×70－4x－(70＋80)x＝3000
2
10．有x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比
赛，求参赛的球队支数x.根据问题，列出关于x的方程____________，将其化为一般形式
为____________．
45 / 279
11．根据下列问题，列出关于x的一元二次方程，并将其化为一般形式．
(1)小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，求该直角三角形的
两条直角边长．设该直角三角形的一条直角边长为x厘米；
(2)有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数
字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．设十位数字为x.
规律方法综合练 提升能力
12．[教材习题B组第1题变式] 关于x的方程(a－1)x－3x＋2＝0是一元二次方程，
|a|1
＋
则( )
A．a≠±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝±1
1
13．若关于x的一元二次方程x＋(m＋1)x＋＝0的一个根的倒数恰好是它本身，则
2
2
m的值是( )
51
A．－ B.
22
51
C．－或 D．1
22
14．若n(n≠0)是关于x的一元二次方程x＋mx＋2n＝0的一个根，则m＋n＝
2
________．
15．我们知道若一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根是x＝1，则a＋b＋c＝0，
2
若9a＋c＝3b，则一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一个根为________．
2
16．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为2 cm的小正方形，做成一个无盖的
长方体盒子，已知盒子的容积为200 cm
3
，设原正方形铁皮的边长为x cm，则列方程为
46 / 279
__________________．
17．已知关于x的方程(k－1)x＋(k＋1)x－2＝0.
22
(1)当k为何值时，此方程为一元一次方程？并求出此时方程的解；
(2)当k为何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、
一次项系数和常数项．
18．如图24－1－2，甲、乙两人分别从长为100米、宽为50米的矩形广场的A，C两
点同时出发，甲由点A向点D运动，速度为2米/秒，乙由点C向点B运动，速度为3米/
秒．设x秒后两人的直线距离是60米．
(1)请根据题意列出方程，并将其化为一般形式．
(2)根据生活经验判断x的值应该有几个？试用图形说明一下．
图24－1－2
47 / 279
拓广探究创新练 冲刺满分
19．请阅读下列材料：已知方程x＋x－3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别
2
是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，
y
所以x＝.
2
yyy
把x＝代入已知方程，得()＋－3＝0，
2
222
化简，得y＋2y－12＝0，
2
故所求方程为y＋2y－12＝0.
2
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
问题：已知方程x＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3
2
倍．
48 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的地
位和作用
一元二次方程是中学数学的重点内容，在初中代数中占有重要的地位．实数
与代数式的运算、一元一次方程是学习一元二次方程的基础，通过对一元二次
方程的学习，可以对上述内容加以巩固
知识技能 使学生理解并掌握一元二次方程的定义及相关概念
教
学
目
标
解决问题
情感态度
教学重
点难点
重难点突
破
易错点
教学
活动1
导入
忆一忆
设计
重点
难点 将实际问题转化为数学问题的建模过程
数学思考 数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为
实世界数量关系的工具
能用一元二次方程表述具体情景中的数量关系，获得解
决问题的经验
使学生树立数学来源于生活，应用于生活的观点
一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中
的“项”及“系数”
培养学生的建模能力及语言表达能力．辨析一元二次方程，巩固一元二次方
程的有关概念
①忽视二次项系数为0的条件；②判断各系数之前必须把方程整理为一般
式；③各项系数都包括它前面的符号
11xy
①x＋y＝1；②6x＝7；③－x＋9＝0; ④＋y＝4；⑤＋
5x34
7
＝4；⑥＝4.上述方程中，一元一次方程有__②③__；
x＋1
二元一次方程有__①⑤__；分式方程有__④⑥__
(古算趣题——执竿进屋)笨人执竿要进屋，无奈门框挡住
活动2
竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明
者，教他斜竿对两角，笨者依言试一试，不多不少刚抵
足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．
[答案] 略
想一想
【详解详析】
1．C [解析] 根据一元二次方程的概念来判断，A选项是一次方程，B选项含有两个
未知数，D选项不是整式方程，C选项满足条件．故选C.
49 / 279
2．B [解析] ∵(m－1)x＋2x－3＝0是一元二次方程，∴m－1≠0，∴m≠1.故选B.
2
3．A [解析] 把x＝2－3代入方程x－4x＋c＝0，得(2－3)－4×(2－3)＋c＝0，
22
解得c＝1.
4．2018 [解析] 由题意可知2m－3m－1＝0，∴2m－3m＝1，∴原式＝3(2m－3m)
222
＋2015＝2018.
5．±1 [解析] 根据题意，若方程为一元二次方程，则|a|＋1＝2，解得a＝±1，即当a
＝±1时，方程4x＋2x－3＝0是关于x的一元二次方程．
|a|1
＋
6．C [解析] 原方程化成一般形式为2x－6x－9＝0，其中二次项系数为2，一次项系
2
数为－6，常数项为－9.故选C.
7．A
8．解：(1)一般形式：x－2x＋1＝0，二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为1.
2
(2)一般形式：3x＋2＝0，二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为2.
2
(3)一般形式：2x－2x＝0，二次项系数为2，一次项系数为－2，常数项为0.
2
(4)一般形式：x－2x＋3＝0，二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为3.
2
9．C [解析] 根据题意可知长方体工具箱的底面的长为(80－2x)cm，宽为(70－2x)cm，
从而列出方程(80－2x)(70－2x)＝3000.
111
10.x(x－1)＝30 x－x－30＝0
2
222
11．解：(1)由题意，得x＋(30－13－x)＝13
222
，
化为一般形式为2x－34x＋120＝0.
2
(2)由题意，得个位数字为x＋3，百位数字为x＋2，则[100(x＋2)＋10x＋(x＋3)]－9[(x
＋3)＋x＋(x＋2)]＝20，
222
化为一般形式为27x－21x－66＝0.
2
?
a－1≠0，
12．C [解析] 由题意可知
?
?
|a|＋1＝2，
∴a＝－1.
13．C [解析] 由于方程的一个根的倒数是它本身，所以这个根可能是1或－1.当该根
151
是1时，则有1＋m＋1＋＝0，解得m＝－；当该根是－1时，则有1－m－ 1＋＝0，解
222
151
得m＝或.故应选C.
，即m的值为－
222
50 / 279
14．－2 [解析] ∵n(n≠0)是关于x的方程x＋mx＋2n＝0的一个根，将x＝n代入方
2
程，得n＋mn＋2n＝0.
2
∵n≠0，∴方程两边都除以n得n＋m＋2＝0，∴m＋n＝－2.
15．x＝－3 [解析] 根据题意，知当x＝－3时，9a－3b＋c＝0，∴9a＋c＝3b，∴x＝
－3满足方程ax＋bx＋c＝0，∴方程ax＋bx＋c＝0的另一根是x＝－3.
22
16．(x－2×2)(x－2×2)×2＝200 [解析] 没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x－
2×2)cm，高为2 cm，根据长方体的体积计算公式可列方程为(x－2×2)(x－2×2)×2＝200.
17．解：(1)当k－1＝0且k＋1≠0，即k＝1时，此方程为一元一次方程，此时方程为
2
2x－2＝0，解得x＝1.
(2)当k－1≠0，即k≠±1时，此方程为一元二次方程，此时二次项系数为k－1，一
22
次项系数为k＋1，常数项为－2.
18．解：(1)设x秒后两人的直线距离QM＝60米，如图，过点Q作QN⊥BC于点N.
∵QN＝50 米，QM＝60 米，NM＝100－3x－2x＝(100－5x)米．根据勾股定理，得50
2
＋(100－5x)＝60－40x＋356＝0.
222
，整理，得x
(2)如图所示，x的值应该有两个．
yyyy
19．解：设所求方程的根为y，则y＝3x，所以x＝.把x＝代入已知方程，得()＋
2
3333
－1＝0，化简，得y＋3y－9＝0，
2
故所求方程为y＋3y－9＝0.
2
24.2 第1课时 配方法
知识要点分类练 夯实基础
51 / 279
知识点 1 直接开平方法
1．下列方程：①(x－1)－1＝0；②x－5＝0；③x－(4x＋4)＝0；④x＋3x＋2＝0.可
2222
以用直接开平方法求解的有( )
A．③和④ B．①和②
C．②和④ D．①和③
2．下列解方程的过程中，正确的是( )
A．x＝－2，解方程，得x＝±2
2
B．(x－2)＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4
2
17
C．4(x－1)＝9，解方程，得4(x－1)＝±3，x＝＝
2
12
，x
44
D．(2x＋3)－25＝0，解方程，得2x＋3＝±5，x＝1，x＝－4
2
12
3．若关于x的方程2x＋k＝0能用直接开平方法来解，则k的取值范围是________．
2
4．解下列方程：
(1)(x＋3)＝25； (2)x＋4x＋4＝9；
22
(3)(x＋2)＝(2x－1).
22
知识点 2 用配方法解二次项系数是1的一元二次方程
5．用配方法解一元二次方程x－6x＝1，两边应同时加上( )
2
A．3 B．－3 C．9 D．6
2
3
6．[2018·临沂] 一元二次方程y－y－＝0配方后可化为( )
2
4
52 / 279
11
A．(y＋)＝1 B．(y－)＝1
22
22
1313
C．(y＋)＝ D．(y－)＝
22
2424
7．用配方法解方程：x＋10x＋16＝0.
2
解：移项，得x＋10x＝________．
2
配方，得x＋10x＋________＝________＋________.即(________)＝________．
2222
两边开平方，得________＝________．
所以x＝________，x＝________．
12
8．解下列方程：
(1)x－10x＋9＝0； (2)x＋3x－4＝0.
22
知识点 3 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
9．[2018·邯郸一模] 用配方法解一元二次方程2x－4x－2＝1的过程中，变形正确的
2
是( )
A．2(x－1)＝1 B．2(x－2)＝5
22
55
C．(x－1)＝ D．(x－2)＝
22
22
10．[2017·内乡县期中] 小明同学用配方法解方程6x－x－1＝0的简要步骤如下：
2
解：6x－x－1＝0－x－＝0－x＝)＝
2222
两边同除以6移项配方
111111
?x?x?(x－
666636
第三步第一步第二步
511011011
移项两边开平方
?x?x－
12
＝＋＝－. ＋＝±
，x
18363693
第五步第四步
(1)上述步骤，发生第一次错误是在________；
53 / 279
A．第二步 B．第三步
C．第四步 D．第一步
(2)写出上述步骤中发生第一次错误的原因，并尝试写出解方程6x－x－1＝0的步骤．
2
11．用配方法解下列方程：
(1)3x－6x＋1＝0； (2)－4x＋3x＋1＝0；
22
(3)2x＋1＝3x; (4)3(x－1)(x＋2)＝x＋4.
2
规律方法综合练 提升能力
12．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
54 / 279
A．x－2x－99＝0化为(x－1)＝100
22
B．x＋8x＋9＝0化为(x＋4)＝25
22
781
C．2t－7t－4＝0化为(t－)＝
22
416
210
D．3x－4x－2＝0化为(x－)＝
22
39
13．已知方程x－6x＋q＝0可配方成(x－p)＝7的形式，那么x－6x＋q＝2可以配方
222
成下列的( )
A．(x－p)＝5 B．(x－p)＝9
22
C．(x－p＋2)＝9 D．(x－p＋2)＝5
22
14．将一元二次方程－x＋6x－5＝0化成(x－m)＝n的形式，则－(m－n)＝
222019
________．
15．我们在学习一元二次方程的解法时，学习了配方法，配方法是解决数学问题的一
种重要方法．请利用以上提示解决下列问题：
(1)求证：不论m取任何实数，代数式4m－4(m＋1)＋9的值总是正数；
2
(2)当m为何值时，此代数式的值最小？并求出这个最小值．
16．已知一个三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x－16x＋60＝
2
0的一个根．请用配方法解此方程，并计算出这个三角形的面积．
55 / 279
拓广探究创新练 冲刺满分
17．解高次方程x－7x＋10＝0.
42
解：设x＝y，则原方程可变为y－7y＋10＝0，用配方法解得y＝5，y＝2，则有x
222
12
＝5或x＝2，∴原方程的解为x＝5，x＝－5，x＝2，x＝－2.
2
1234
阅读以上材料，试解方程：(x＋2)－2(x＋2)－3＝0.
42
56 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的地
位和作用
配方法是一种重要的数学方法，它不仅是解一元二次方程的重要方法，而
且还在数学的其他领域也有着广泛的应用
认识形如x＝p(p≥0)或(x＋m)＝n(n≥0)类型的方程，
22
知识技能
教
学
目
标
解决问题
数学思考
并会用直接开平方法求解．会用配方法解一元二次方程
ax＋bx＋c＝0(a≠0)
2
配方法是把方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)转化为(mx＋n)＝
22
p(p≥0)的形式，再应用直接开平方法求解
通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向
学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧
知识)转化，化未知为已知，这是研究数学问题常用的方
法
情感态度
教学重
点难点
重难点突破
重点 用直接开平方的方法和配方法解一元二次方程
难点 用配方法解复杂的一元二次方程
通过本节学习，使学生感觉到由未知向已知的转化美
首先让学生回顾平方根的定义及完全平方公式，进而引导学生抓住用配方
法解一元二次方程的关键：正确配方
配方时，方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方，易出现丢平方或
只考虑一边的情况
1.一个正数的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，则a的值
为( B )
易错点
教学
活动1
导入
忆一忆
设计
A．1 B．－1 C．2
D．－2
2.若x＝9，则x＝__±3__．
2
3.用适当的数填空：
x－10x＋__25__＝(x－__5__)
22
活动2
小红给小亮出了一道题：解方程x－3x＋4＝0.小亮想了片
2
刻，说：“这个方程我解不出来．”你能帮小亮解决这个
57 / 279
想一想
问题吗？
[答案] 略
【详解详析】
1．B 2.D
k
3．k≤0 [解析] 由于方程能用直接开平方法来求解，则－应该大于或等于0.
2
4．解：(1)方程两边直接开平方，得x＋3＝±5，
即x＋3＝5或x＋3＝－5，
所以x＝2，x＝－8.
12
(2)x＋4x＋4＝9，即(x＋2)＝9，
22
两边开平方，得x＋2＝3或x＋2＝－3，
所以x＝1，x＝－5.
12
1
(3)根据题意，得x＋2＝2x－1或x＋2＝1－2x，解得x＝3，x＝－.
12
3
5．C
3311
6．B [解析] y－y－＝0，移项，得y－y＝－y＋＝1，即(y－)＝1.
2222
，配方，得y
4442
7．－16 5 －16 5 x＋5 9 x＋5 ±3 －2 －8
8．解：(1)移项，得x－10x＝－9，
2
两边都加上(－5)－10x＋25＝－9＋25，
22
，得x
即(x－5)＝16，
2
两边开平方，得x－5＝－4或x－5＝4，
所以x＝1，x＝9.
12
(2)移项，得x＋3x＝4，
2
33
配方，得x＋3x＋()＝4＋()
222
，
22
325
即(x＋)＝
2
，
24
35
两边开平方，得x＋＝±
，
22
58 / 279
所以x＝1，x＝－4.
12
335
9．C [解析] ∵2x－4x＝3，∴x－2x＝－2x＋1＝1＋＝.
2222
，则x，即(x－1)
222
10．解：(1)B
(2)第一次错误的原因是等式的两边应该加上“一次项系数一半的平方”．
其正确的解题步骤如下：
6x－x－1＝0，
2
11
两边同除以6，得x－x－＝0，
2
66
11
移项，得x－x＝
2
，
66
1111
配方，得x－x＋()＝＋()
222
，
612612
125
即(x－)＝
2
，
12144
15
两边开平方，得x－＝±
，
1212
15
则x＝±
，
1212
11
解得x＝＝－.
12
，x
23
1
11．解：(1)方程变形，得x－2x＝－
2
，
3
22
配方，得x－2x＋1＝＝
22
，即(x－1)，
33
开方，得x－1＝±＝1＋＝1－.
(2)方程两边同除以－4，得
31
x－x－＝0，
2
44
31
移项，得x－x＝
2
，
44
266
，解得x，x
12
333
59 / 279
3313
配方，得x－x＋(－)＝＋(－)
222
，
4848
32535
即(x－)＝＝±
2
，∴x－，
86488
1
∴x＝1，x＝－.
12
4
(3)移项，得2x－3x＝－1，
2
31
两边同除以2，得x－x＝－
2
，
22
391
配方，得x－x＋＝
2
，
21616
3131
∴(x－)＝＝±
2
，∴x－，
41644
1
∴x＝1，x＝.
12
2
(4)整理，得3x＋2x－10＝0，
2
210
两边同除以3，得x＋x－＝0，
2
33
21101
配方，得x＋x＋()＝＋
22
，
3339
131
即(x＋)＝
2
，
39
131
开方，得x＋＝±
，
33
1＋3131－1
解得x＝－＝.
12
，x
33
12．B [解析] A．∵x－2x－99＝0，∴x－2x＝99，∴x－2x＋1＝99＋1，∴(x－1)
2222
＝100，故A选项正确，不符合题意；B.∵x＋8x＋9＝0，∴x＋8x＝－9，∴x＋8x＋16＝
222
－9＋16，∴(x＋4)＝7，故B选项错误，符合题意；C.∵2t－7t－4＝0，∴2t－7t＝4，∴
222
774949781
t－t＝2，∴t－t＋＝2＋)＝－
2222
，∴(t－，故C选项正确，不符合题意；D.∵3x
221616416
424424210
4x－2＝0，∴3x－4x＝2，∴x－x＝－x＋＝＋)＝.故D选项正确，
2222
，∴x，∴(x－
33393939
不符合题意．
13．B [解析] ∵x－6x＋q＝0，∴x－6x＝－q，∴x－6x＋9＝－q＋9，∴(x－3)＝9
2222
－q. 根据题意，得p＝3，9－q＝7，∴p＝3，q＝2，
∴x－6x＋q＝2可化为x－6x＋2＝2，
22
60 / 279
即x－6x＝0，∴x－6x＋9＝9，∴(x－3)＝9，即(x－p)＝9.故选B.
2222
14．1 [解析] 移项，得x－6x＝－5，所以x－6x＋9＝－5＋9，所以(x－3)＝4，所
222
以m＝3，n＝4，所以－(m－n)＝－(3－4)＝1.
20192019
15．解：(1)证明：4m－4(m＋1)＋9＝4m－4m－4＋9＝4m－4m＋5＝(2m－1)＋4.
2222
∵(2m－1)≥0，
2
∴(2m－1)＋4＞0，
2
∴不论m取任何实数，代数式4m－4(m＋1)＋9的值总是正数．
2
1
(2)由(1)4m－4(m＋1)＋9＝(2m－1)＋4，得当m＝时，此代数式的值最小，这个最小
22
2
值是4.
16．解：方程x－16x＋60＝0可化为(x－8)＝4，
22
解得x＝6或x＝10.
12
当x＝10时，三角形的三边长为6，8，10.如图①，根据勾股定理的逆定理可知△ABC
为直角三角形，
1
∴S＝×6×8＝24；
△
ABC
2
当x＝6时，三角形的三边长为6，6，8.如图②，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝
1
BC＝4，AD＝6－4＝2 5，
22
2
1
∴S＝×8×2 5＝8 5.
△
ABC
2
17．解：设y＝(x＋2)－2y－3＝0，移项，得y－2y＝3，
222
，则原方程可变形为y
配方，得y－2y＋1＝3＋1，
2
即(y－1)＝4，所以y－1＝±2.
2
解得y＝－1(不合题意，舍去)，y＝3，则(x＋2)＝3，即x＋2＝±3，解得x＝－2＋
121
2
3，x＝－2－3.
2
61 / 279
第2课时 公式法
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 对求根公式的理解
1．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________________，确定
________的值，然后代入求根公式______________求得方程的解．
1
2．[2018·仓山区期末] 利用求根公式求5x＋＝6x的根时，其中a＝5，则b，c的值
2
2
分别是( )
1
A.
，6
2
1
B．6，
2
1
C．－6，
2
1
D．D．－6，－
2
3．[教材“试着做做”变式] 小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax＋bx＋c
2
＝0的求根公式时，对于b－4ac＞0的情况，他是这样做的：
2
由于a≠0，方程ax＋bx＋c＝0可变形为
2
bc
x＋x＝－
2
，第一步
aa
bbcb
x＋x＋()＝－＋()
222
，第二步
a2aa2a
2
b
22
b－4ac
(x＋)＝(b－4ac>0)，第三步
2a4a
2
b－4ac
2
b
∴x＋＝
，第四步
2a2a
－b＋b－4ac
2
x＝.第五步
2a
小明的解法从第________步开始出现错误，一元二次方程ax＋bx＋c＝0的求根公式
2
是____________________．
62 / 279
知识点 2 根的判别式b－4ac的应用
2
4．2017·河南 一元二次方程2x－5x－2＝0的根的情况是( )
2
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．[2018·山西] 下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A．x－2x＝0
2
B．x＋4x－1＝0
2
C．2x－4x＋3＝0
2
D．3x＝5x－2
2
6．2017·长春 若关于x的一元二次方程x＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值
2
是________．
7．不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)4x＋x－3＝0； (2)3(x＋2)＝4x.
22
知识点 3 用公式法解一元二次方程
8．用公式法解方程－3x＋5x－1＝0，正确的是( )
2
－5±13－5±13
A．x＝ B．x＝
63
5±135±13
C．x＝ D．x＝
63
63 / 279
9．一元二次方程x＋3＝4x的解是( )
2
A．x＝1 B．x＝－1，x＝－3
12
C．x＝3 D．x＝1，x＝3
12
10．若关于x的一元二次方程2x－3x＋c＝0的一个根是x＝1，则另一个根是
2
________．
11．解方程：(1)[2018·徐州] 2x－x－1＝0；
2
(2)(x－3)(x－2)－4＝0；
(3)x＋3＝2(x－1)； (4)t(t＋2 2)＝－2.
2
64 / 279
规律方法综合练 提升能力
12．2017·攀枝花关于x的一元二次方程(m－1)x－2x－1＝0有两个实数根，则实数m
2
的取值范围是( )
A．m≥0 B．m＞0
C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1
13．若关于x的一元二次方程(m－1)x＋5x＋m－3m＋2＝0有一个根为0，则m的值
22
为( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
14．[2018·福建] 已知关于x的一元二次方程(a＋1)x＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的
2
实数根，下列判断正确的是( )
A．1一定不是关于x的方程x＋bx＋a＝0的根
2
B．0一定不是关于x的方程x＋bx＋a＝0的根
2
C．1和－1都是关于x的方程x＋bx＋a＝0的根
2
D．1和－1不都是关于x的方程x＋bx＋a＝0的根
2
15．a，b，c为常数，且(a－c)>a＋c＋bx＋c＝0的根的情况是
2222
，则关于x的方程ax
( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．有一根为0
16．2017·岳阳在△ABC中，BC＝2，AB＝2 3，AC＝b，且关于x的方程x－4x＋b
2
＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．
17．[2018·玉林] 已知关于x的一元二次方程x－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．
2
(1)求k的取值范围；
(2)给k取一个负整数值，解这个方程．
65 / 279
18．已知关于x的一元二次方程mx－(m＋2)x＋2＝0.
2
(1)求证：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
拓广探究创新练 冲刺满分
19．2017·邯郸二模[发现思考]已知等腰三角形ABC的两边长分别是方程x－7x＋10
2
＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少．下面是涵涵同学的作业，老师说
她的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业
解：x－7x＋10＝0，
2
a＝1，b＝－7，c＝10，b－4ac＝9>0，
2
－b±b－4ac
2
7±3
∴x＝＝＝5，x＝2.
，∴x
12
2a2
∴当腰长为5，底边长为2时，等腰三角形的三条边的长分别为5，5，2.当腰长为2，
底边长为5时，等腰三角形的三条边的长分别为2，2，5.
[探究应用]请解答以下问题：
m1
已知等腰三角形ABC的两边长是关于x的方程x－mx＋－＝0的两个实数根．
2
24
(1)当m＝2时，求△ABC的周长；
66 / 279
(2)当△ABC为等边三角形时，求m的值．
67 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的
地
位和作
用
“公式法解一元二次方程”是初中代数“方程”中的一个重要内容，是在学完
直接开平方法、配方法解一元二次方程的基础上学习的．公式法是解一元二次方
程十分重要的一种方法，是解一元二次方程的通法，要切实掌握好
知识技能
了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程
经历观察、推导、交流、归纳等活动，导出一元二次方程的求根
公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力
应用求根公式解决实际问题 解决问题
在自主探究与合作交流的过程中，激发学生的求知欲，进一步提
高学生合作交流的意识和能力，通过由开方到配方到一般形式的根
教
学
目
标
数学思考
情感态度
的求解过程，体现了数学知识的连续性，同时在探索求根公式的过
程中，使学生有一种成功的喜悦，使他们更加热爱数学，增强学好
数学的自信心
教学重
点难点
重难点
突破 在教师的引导下，由学生经过自主探究和合作交流的方式来获得
重点 求根公式的推导和公式法的应用
难点 一元二次方程求根公式的推导
学生已经具备了用配方法解一元二次方程的经验，因此对于求根公式的推导可
1.运用公式法时，必须将一元二次方程化为一般形式ax＋bx＋c＝0(a≠0)，再
2
将各项系数代入公式求解．
易错点
2.运用公式法时，先判断b－4ac是不是非负数，若是，代入公式求解；若不
2
是，则方程无实数根．
3.根据根的情况判断字母的取值范围时，不要忽略了二次项系数不为0的条件
68 / 279
1.用配方法解一元二次方程x＋6x－11＝0，则方程可变形为( C )
2
A．(x＋3)＝2 B．(x－3)＝20 C．(x＋3)＝20
222
D．(x－3)＝2
2
教学
活动1
导入
忆一忆
设计
2.用配方法解方程：3x－6x－1＝0.
2
11
解：方程两边都除以3，得x－2x－＝0.移项，得x－2x＝.
22
33
14
配方，得x－2x＋(－1)＝＋(－1)＝
2222
，即(x－1)，所以x－1＝
33
2 322
±＝1＋ 3，x＝1－ 3
，所以x
12
333
对于关于x的方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)，通过配方可以得到
2
活动2
想一想
bb－4ac
x＋
??
＝____，①
??
2a
4a
2
①中的方程满足什么条件时才有实数根？满足什么条件时无实数
根？[答案] 略
【详解详析】
－b±b－4ac
2
1．ax＋bx＋c＝0 b－4ac x＝
2a
22
2
2
11
2．C [解析] 原方程可化为5x－6x＋＝0，所以a＝5，b＝－6，c＝.
2
22
－b±b－4ac
2
3．四 x＝
2a
4．B [解析] ∵b－4ac＝(－5)－4×2×(－2)＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
22
5．C [解析] A．b－4ac＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意；
2
B.b－4ac＝16＋4＝20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意；C.b－4ac＝16
22
－4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D.b－4ac＝25－4×3×2＝25－24＝1＞
2
0，有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意．
6．4 [解析] ∵关于x的一元二次方程x＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，∴b－4ac
22
＝4－4a＝16－4a＝0，解得a＝4.
2
7．解：(1)a＝4，b＝1，c＝－3.
∵b－4ac＝1－4×4×(－3)＝49>0，
22
69 / 279
∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)原方程可化为3x－4x＋6＝0.
2
∵a＝3，b＝－4，c＝6，
∴b－4ac＝16－4×3×6＝－56＜0，
2
∴原方程没有实数根．
8．C [解析] －3x＋5x－1＝0，b－4ac＝5－4×(－3)×(－1)＝13，∴x＝
222
－5±13
5±13
＝.
6
2×（－3）
9．D [解析] 原方程可化为x－4x＋3＝0，a＝1，b＝－4，c＝3，∵b－4ac＝16－12
22
4±4
＝4＞0，∴x＝＝3，x＝1.
，解得x
12
2
1
10．x＝ [解析] 因为x＝1是该方程的一个根，把x＝1代入方程中，可得c＝1，所
2
11
以原方程变为2x－3x＋1＝0，利用求根公式解得x＝1，x＝.
2
12
，所以另一根为x＝
22
11．解：(1)∵a＝2，b＝－1，c＝－1，
∴b－4ac＝(－1)－4×2×(－1)＝9＞0，
22
－（－1）±9
1±3
则x＝＝
，
4
2×2
1
∴x＝1，x＝－.
12
2
(2)方程化为x－5x＋2＝0.
2
∵a＝1，b＝－5，c＝2，
∴b－4ac＝(－5)－4×1×2＝17＞0，
22
5＋175－17
5±17
则x＝＝＝.
，故x，x
12
22
2×1
(3)整理，得x－2x＋5＝0.
2
∵a＝1，b＝－2，c＝5，
∴b－4ac＝4－20＝－16＜0，
2
∴原方程无实数解．
70 / 279
(4)将方程化为一般形式为t＋2 2t＋2＝0.
2
∵a＝1，b＝2 2，c＝2，
b－4ac＝(2 2)－4×1×2＝0，
22
∴t＝t＝－2.
12
12．C [解析] ∵关于x的一元二次方程(m－1)·x－2x－1＝0有两个实数根，∴m－
2
1≠0，且b－4ac＝(－2)＋4(m－1)≥0，解得m≥0且m≠1.
22
13．B [解析] 当x＝0时，m－3m＋2＝0，解得m＝1，m＝2.又因为当m＝1时，m
2
12
－1＝0，不符合题意，应舍去，故m＝2.故选B.
14．D [解析] ∵关于x的一元二次方程(a＋1)·x＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数
2
?
a＋1≠0，
根，∴∴b＝a＋1或b＝－(a＋1)．当b＝a＋1时，有a－b＋1
?
?
（2b）－4（a＋1）＝0，
22
＝0，此时－1是方程x＋bx＋a＝0的根；当b＝－(a＋1)时，有a＋b＋1＝0，此时1是方
2
程x＋bx＋a＝0的根．∵a＋1≠0，∴a＋1≠－(a＋1)，∴1和－1不都是关于x的方程x
22
＋bx＋a＝0的根．
15．B [解析] 由(a－c)>a＋c得出－2ac＞0，因此b－4ac＞0，所以方程ax＋bx＋
22222
c＝0有两个不相等的实数根．故选B.
16．2 [解析] ∵关于x的方程x－4x＋b＝0有两个相等的实数根，∴b－4ac＝16－
22
4b＝0，
∴AC＝b＝4.∵BC＝2，AB＝23，∴BC＋AB＝AC
222
，∴△ABC是直角三角形，AC
1
是斜边，∴AC边上的中线长＝AC＝2.
2
17．解：(1)根据题意，得b－4ac＝(－2)－4(－k－2)＞0，解得k＞－3.
22
(2)答案不唯一，如取k＝－2，则方程变形为x－2x＝0，解得x＝0，x＝2.
2
12
18．解：(1)证明：b－4ac＝(m＋2)－8m＝m－4m＋4＝(m－2).
2222
∵不论m为何值时，(m－2)≥0，
2
∴b－4ac≥0，∴方程总有实数根．
2
m＋2±（m－2）
(2)解方程，得x＝
，
2m
2
∴x＝＝1.
12
，x
m
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1.
71 / 279
19．解：[发现思考]错误之处：当2为腰长，5为底边长时，等腰三角形的三条边的长
分别为2，2，5.
错误原因：∵2＋2＜5，∴长为2，2，5的三条线段不能构成三角形．
313
[探究应用](1)当m＝2时，方程为x－2x＋＝0，解得x＝＝.
2
12
，x
422
1113113
当为腰长时，∵＋＜的三条线段不能构成三角形；
，∴长为，，
2222222
33313317
当为腰长时，等腰三角形的三边长分别为＋＋＝.
，，，此时三角形的周长为
22222222
7
答：当m＝2时，△ABC的周长为.
2
(2)若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
m1
∴b－4ac＝(－m)－4(－)＝m－2m＋1＝0，∴m＝m＝1.
222
12
24
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1.
第3课时 因式分解法
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 由ab＝0直接求解
1．解方程：2x(x－3)＝0.
因为2x(x－3)＝0，
所以________＝0或________＝0，
72 / 279
解得x＝________，x＝________．
12
2．2017·贵阳 方程(x－3)(x－9)＝0的根是____________．
3．一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三
角形的周长是( )
A．11 B．13
C．11或13 D．11和13
知识点 2 提公因式法分解因式解一元二次方程
4．[2018·泰山区期中] 方程3x(x－1)＝4(x－1)的根是( )
4
A. B．1
3
44
C.和1 D.和－1
33
5．[2018·淮安] 一元二次方程x－x＝0的根是______________．
2
6．用因式分解法解下列方程：
(1)x＝3x； (2)x(x－1)＋2(x－1)＝0；
2
(3)3x(x－2)＝x－2； (4)(x＋2)＝2x＋4.
2
知识点 3 公式法分解因式解一元二次方程
7．下列方程，不适合用因式分解法求解的是( )
A．x＝3x B．(x－2)＝3x－6
22
73 / 279
C．9x＋6x＋1＝0 D．(x＋2)(3x－1)＝5
2
8．用因式分解法解下列方程：
(1)(x＋1)－25＝0； (2)(3y－4)－(4y－3)＝0.
222
知识点 4 用适当的方法解一元二次方程
9．王洪同学在解方程x－2x－1＝0时，他的做法如下：
2
解：方程x－2x－1＝0变形为x－2x＝1. …①
22
∴x(x－2)＝1.②
∴x＝1或x－2＝1.③
∴x＝1，x＝3.④
12
王洪的解答过程从第________步开始出现错误．请你选择适当的方法写出正确的解题
过程．
10．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法
和公式法．请选择你认为适当的方法解下列方程：
(1)x－3x＋1＝0； (2)(x－1)＝3；
22
(3)x－2x＝4; (4)x(2x－5)＝4x－10；
2
74 / 279
(5)(3x－2)＝(x＋4)； (6)(x－1)(x＋2)＝10.
22
规律方法综合练 提升能力
11．教材习题B组第1题变式已知关于x的一元二次方程x＋(k＋3)x＋k＝0的一个根
2
为－2，则原方程可化为( )
A．(x－2)(x－1)＝0 B．(x－2)(x＋1)＝0
C．(x＋2)(x－1)＝0 D．(x＋2)(x＋1)＝0
12．如果x＝a是关于x的方程x＋bx＋a＝0的一个根，且a≠0，那么下面的代数式
2
的值为－1的是( )
b
A．ab B.
a
C．a＋b D．a－b
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a－b
22
，根据这个规则，方程(x
＋2)*5＝0的解为____________．
14．已知某直角三角形的斜边长为5 cm，两条直角边长相差1 cm，求这个直角三角形
的面积．
75 / 279
15．(1)已知关于x的一元二次方程x－mx＋m＋1＝0的一个根为2，求m的值及方程
2
的另一个根；
(2)当x为何值时，2x＋7x－1的值与x－19的值互为相反数？
22
16．观察下列方程并回答问题：①x－1＝0；②x＋x－2＝0；③x＋2x－3＝0；④x＋
2222
3x－4＝0；…
(1)请你根据这列方程的特点写出第n个方程；
(2)直接写出第2019个方程的根；
(3)说出这n个方程的根有什么共同特点．
76 / 279
拓广探究创新练 冲刺满分
17．[2018·河北模拟] 阅读下列材料，解答问题．
解方程：(2x－5)＋(3x＋7)＝(5x＋2).
222
解：设m＝2x－5，n＝3x＋7，则m＋n＝5x＋2，
原方程可化为m＋n＝(m＋n)
222
，
所以mn＝0，即(2x－5)(3x＋7)＝0，
57
解得x＝＝－.
12
，x
23
请利用上述方法解方程(4x－5)＋(3x－2)＝(x－3).
222
77 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的地
位和作用
本节课是在学生学习了一元二次方程的其他解法的基础上展开的．因式分解
法是解一元二次方程的简便方法，它在整个中学数学中有很重要的地位，学好
这一节内容，在解答有关一元二次方程的问题时，就会多一些思路和方法，同
时为今后进一步学习方程理论打下基础
1.正确理解因式分解法的实质．
知识技能
教
学
目
标
情感态度
重点 用因式分解法解一元二次方程
难点
让学生体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣，增强学习数学
的兴趣
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟到因式分解
法解题的简便性
数学思考 通过因式分解法的学习使学生体会转化的数学思想
解决问题
2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程的方法
通过新方法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力及探
索精神
教学重
点难点
重难点突
破 出因式分解法的含义，同时让学生体会到转化的数学思想方法的作用
教师要结合实例引导学生探究解一些特殊的一元二次方程的简便方法，并给
1.忽视方程一边为0的条件，而直接分解因式．
易错点
2.用因式分解法解方程时，切忌方程两边同时除以含有未知数的整式
1.(1)因式分解：x－4x＋4x＝__x(x－2)__；
322
活动1
忆一忆
教学
导入
设计
活动2
想一想 (3)4x－9＝0；(4)x＝x.
2.如果ab＝0，那么a＝__0__或b＝__0__
你能在一分钟时间内解出下列方程吗？
(1)(x＋1)(x－2)＝0；(2)x＋7x＝0；
2
1
22
2
学习了本节知识后你就可以很快求出上述方程的解了
78 / 279
(2)若m－n＝6，且m－n＝2，则m＋n＝__3__.
22
【详解详析】
1．2x x－3 0 3
2．x＝3，x＝9 [解析] 解方程(x－3)(x－9)＝0，可得x－3＝0或x－9＝0，即x＝3，
121
x＝9.
2
3．B [解析] ∵(x－2)(x－4)＝0，∴x＝2，x＝4.当x＝2时，2＋3＜6，不能构成三角
12
形；当x＝4时，4＋3＞6，则这个三角形的周长是3＋4＋6＝13.故选B.
4．C [解析] 先将原方程变形整理，得到(x－1)·(3x－4)＝0，利用因式分解法把原方
4
程转化为x－1＝0或3x－4＝0，解得x＝1，x＝.故选C.
12
3
5．x＝0，x＝1 [解析] 方程变形，得x(x－1)＝0，可得x＝0或x－1＝0，解得x＝0，
121
x＝1.
2
6．解：(1)方程变形为x－3x＝0，
2
即x(x－3)＝0，可得x＝0或x－3＝0，
即x＝0，x＝3.
12
(2)原方程变形为(x－1)(x＋2)＝0，
所以x－1＝0或x＋2＝0，
所以x＝1，x＝－2.
12
(3)3x(x－2)＝x－2，
移项，得3x(x－2)－(x－2)＝0，
整理，得(x－2)(3x－1)＝0，
所以x－2＝0或3x－1＝0，
1
解得x＝2，x＝.
12
3
(4)原方程可化为(x＋2)－2(x＋2)＝0，
2
分解因式，得x(x＋2)＝0，
所以x＝0或x＋2＝0，
解得x＝0，x＝－2.
12
79 / 279
7．D
8．解：(1)原方程可化为[(x＋1)＋5][(x＋1)－5]＝0，
即(x＋6)(x－4)＝0，
所以x＋6＝0或x－4＝0，
解得x＝－6，x＝4.
12
(2)原方程可化为[(3y－4)＋(4y－3)][(3y－4)－(4y－3)]＝0，即(7y－7)(－y－1)＝0，
∴7y－7＝0或－y－1＝0，
∴y＝1，y＝－1.
12
9．解：王洪的解答过程从第③步开始出现错误．
正确的解题过程：方程x－2x－1＝0变形为(x－2x＋1)－2＝0，∴(x－1)－2＝0，
222
∴[(x－1)＋2][(x－1)－2]＝0，
∴x－1＋2＝0或x－1－2＝0，
因此方程的解为x＝1－2，x＝1＋2.
12
3＋53－5
10．(1)x＝＝
12
，x
22
(2)x＝1＋3，x＝1－3
12
(3)x＝1＋5，x＝1－5
12
5
(4)x＝＝2
12
，x
2
1
(5)x＝3，x＝－
12
2
(6)x＝－4，x＝3
12
11．C [解析] 把x＝－2代入原方程，得(－2)－2(k＋3)＋k＝0，解得k＝－2，原方
2
程为x＋x－2＝0，利用公式法解得x＝－2，x＝1，所以原方程可化为(x＋2)(x－1)＝0.
2
12
12．C [解析] 把x＝a代入x＋bx＋a＝0，得a＋ab＋a＝0.因为a≠0，方程两边同除
22
以a，得a＋b＝－1.故选C.
13．x＝3，x＝－7 [解析] 由题意，得(x＋2)－5＝0，
12
22
解得x＝3，x＝－7.
12
80 / 279
14．解：设较短的直角边长为x cm，则另一条直角边长为(x＋1)cm.
根据题意，得(x＋1)＋x＝25，
22
解这个方程，得x＝3，x＝－4(因为三角形的边长不能为负值，所以舍去)，所以x＋
12
1＝4，
1
即该直角三角形的两条直角边长分别为3 cm和4 cm，所以这个直角三角形的面积为
2
×3×4＝6(cm)．
2
15．解：(1)∵关于x的一元二次方程x－mx＋m＋1＝0的一个根为2，∴2－2m＋m
22
＋1＝0，∴m＝5，∴一元二次方程为x－5x＋6＝0，
2
解得x＝2或x＝3，
∴m的值为5，方程的另一个根为3.
(2)根据题意，得(2x＋7x－1)＋(x－19)＝0，
22
去括号，得2x＋7x－1＋x－19＝0，
22
合并同类项，得3x＋7x－20＝0，
2
5
解得x＝＝－4.
12
，x
3
5
∴x的值为或－4.
3
16．[解析] (1)由①②③④找出规律，写出方程；
(2)将方程的左边分解因式．然后求解；
(3)根据(1)(2)可以写出它们的根的共同特点．
解：(1)第n个方程为x＋(n－1)x－n＝0.
2
(2)①(x＋1)(x－1)＝0，
∴x＝1，x＝－1.
12
②(x＋2)(x－1)＝0，
∴x＝1，x＝－2.
12
③(x＋3)(x－1)＝0，∴x＝1，x＝－3.
12
…
由此可写出第2019个方程的根为x＝1，x＝－2019.
12
81 / 279
(3)这n个方程都有一个根是1.
17．解：(4x－5)＋(3x－2)＝(x－3)
222
，
设m＝4x－5，n＝3x－2，则m－n＝(4x－5)－(3x－2)＝x－3，
原方程可化为m＋n＝(m－n)
222
，
整理，得mn＝0，
即(4x－5)(3x－2)＝0，
所以4x－5＝0或3x－2＝0，
52
解得x＝＝.
12
，x
43
24.3 一元二次方程根与系数的关系*
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 求一元二次方程的两根之和与两根之积
1．2017·天津模拟 已知x是一元二次方程x－6x－15＝0的两个根，则x＋x的
1212
，x
2
值为( )
A．－6 B．6 C．－15 D．15
2．[2018·宜宾] 一元二次方程x－2x＝0的两根分别为x和xx的值为( )
2
1212
，则x
A．－2 B．1 C．2 D．0
知识点 2 利用根与系数的关系求代数式的值
3．[2018·贵港] 已知α，β是一元二次方程x＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ
2
的值是( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
4．2017·荆门已知方程x＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x＋x＝
222
1212
，x，则x
________．
5．设α，β是方程x－5x＋3＝0的两个根，请求出下列各式的值：
2
82 / 279
11
(1)＋； (2)α＋3αβ＋5β.
2
αβ
知识点 3 利用根与系数的关系求方程的根或待定字母的值
6．[2018·遵义] 已知x是关于x的方程x＋bx－3＝0的两个根，且满足x＋x－
1212
，x
2
3xx＝5，那么b的值为( )
12
A．4 B．－4 C．3 D．－3
7．2017·玉林已知关于x的一元二次方程x－(t－1)x＋t－2＝0.
2
(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？
规律方法综合练 提升能力
m
8．[2018·潍坊] 已知关于x的一元二次方程mx－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实
2
4
11
数根x.若＋＝4m，则m的值是( )
12
，x
xx
12
A．2 B．－1
C．2或－1 D．不存在
mn＋n＋1
9．[2018·达州] 已知：m－2m－1＝0，n＋2n－1＝0且mn≠1，则的值为
22
n
________．
10．[教材B组习题第2题变式] [2018·湖北] 已知关于x的一元二次方程x＋(2m＋1)x
2
83 / 279
＋m－2＝0.
2
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根分别为x－x)＋m＝21，求m的值．
1212
，x，且(x
22
拓广探究创新练 冲刺满分
11．已知关于x的一元二次方程x＋2x＋k＋1＝0的实数根是x和x.
2
12
(1)求k的取值范围；
(2)如果x＋x－xx＜－1且k为整数，求k的值．
1212
84 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的
地位和
作用
一元二次方程根与系数的关系是初中阶段有关一元二次方程的内容，它加强了
二者之间的联系
1.掌握一元二次方程根与系数的关系.2.根据一元二次方程根
与系数的关系求代数式或字母的值
经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，通过对特例的
研究得出结论，再通过推导证明一般性的结论
经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满
了探索性与创造性，体验发现的快乐，感受事物之间的联系 价值观
一元二次方程根与系数关系的应用 重点
一元二次方程根与系数关系的应用 难点
因忽视一元二次方程中二次项系数不为0或b－4ac≥0致错 易错点
2
教
学
知识与技能
过程与方法
目
标
情感、态度与
教学重
点难点
【详解详析】
b
1．B [解析] ∵x是一元二次方程x－6x－15＝0的两个根，∴x＋x＝－＝6.故
1212
，x
2
a
选B.
2．D
3．B [解析] ∵α，β是方程x＋x－2＝0的两个实数根，∴α＋β＝－1，αβ＝－2，
2
∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1.
4．23 [解析] ∵方程x＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x＋x＝－5，xx
2
121212
，x，∴x
＝1，∴x＋x＝(x＋x)－2xx＝(－5)－2×1＝23.
121212
2222
5．解：∵α，β是方程x－5x＋3＝0的两根，
2
∴α＋β＝5，αβ＝3.
115
α＋β
(1)＋＝＝.
αβαβ
3
(2)∵α是方程x－5x＋3＝0的根，
2
∴α－5α＋3＝0，即α＝5α－3，
22
85 / 279
∴α＋3αβ＋5β＝5α－3＋3αβ＋5β＝5(α＋β)＋3αβ－3＝5×5＋3×3－3＝31.
2
6．A [解析] ∵x是关于x的方程x＋bx－3＝0的两个根，∴x＋x＝－b，xx＝
121212
，x
2
－3，则x＋x－3xx＝5，即－b－3×(－3)＝5，解得b＝4，此时b－4ac＞0，符合题意．
1212
2
7．解：(1)证明：在方程x－(t－1)x＋t－2＝0中，
2
b－4ac＝[－(t－1)]－4×1×(t－2)＝t－6t＋9＝(t－3)≥0，∴对于任意实数t，方程
2222
都有实数根．
(2)设方程的两个根分别为m，n.
∵方程的两个根互为相反数，∴m＋n＝t－1＝0，解得t＝1，∴当t＝1时，方程的两
个根互为相反数．
m
8．A [解析] ∵关于x的一元二次方程mx－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根
2
4
m≠0，
?
?
m
2
x解得m＞－1且m≠0.∵x是方程mx－(m＋2)x＋
1212
，x，∴，x
?
m
4
（m＋2）－4m·>0，
2
?
4
?
m＋2
m
m＋2
111
＝0的两个实数根，∴x＋x＝x＝.∵＋＝4m，∴＝4m，∴m＝2或m＝
1212
，x
m4xx1
12
4
－1.∵m＞－1，∴m＝2.
2112
9．3 [解析] 由n＋2n－1＝0可知n≠0，∴1＋－＝0，∴－－1＝0.又∵m－
22
22
nnnn
111
2m－1＝0且mn≠1，即m≠是方程x－2x－1＝0的两个根，∴m＋＝2，∴
，∴m，
2
nnn
mn＋n＋1
1
＝m＋1＋＝2＋1＝3.
nn
9
10．解：(1)根据题意，得b－4ac＝(2m＋1)－4(m－2)≥0，解得m≥－
222
，所以m的
4
最小整数值为－2.
(2)根据题意，得x＋x＝－(2m＋1)，xx＝m－2.∵(x－x)＋m＝21，∴(x＋x)－
12121212
2222
4xx＋m＝21，∴(2m＋1)－4(m－2)＋m＝21，整理，得m＋4m－12＝0，解得m＝2，
121
22222
9
m＝－6.∵m≥－
2
，∴m的值为2.
4
11．解：(1)∵方程有实数根，
∴b－4ac＝2－4(k＋1)≥0，解得k≤0.
22
86 / 279
故k的取值范围是k≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得
x＋x＝－2，xx＝k＋1，
1212
则x＋x－xx＝－2－(k＋1)．
1212
由已知，得－2－(k＋1)＜－1，解得k＞－2.
又由(1)知k≤0，∴－2＜k≤0.
∵k为整数，∴k的值为－1或0.
24.4 第1课时 面积问题
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 规则图形的面积问题
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿
地，要求绿地的长比宽多10米．设绿地的宽为x米，则根据题意，可列方程为( )
A．x(x－10)＝900
B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900
D．2[x＋(x＋10)]＝900
2．教材“做一做”变式如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24
cm
2
，则它的两条直角边的长分别为__________．
3．如图24－4－1，一农户要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边利用长为12 m的住房
墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m
宽的门，所建矩形养鸡场的长、宽分别为多少时，其面积为80 m
2?
87 / 279
图24－4－1
4．2017·深圳已知一个矩形的周长为56 cm.
(1)当矩形的面积为180 cm时，矩形的长、宽分别为多少？
2
(2)能将其改造成面积为200 cm的矩形吗？请说明理由．
2
知识点 2 边框与甬道问题
5．2017·白银 如图24－4－2，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上
修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m.若设道路的宽为
2
x m，则下面所列方程正确的是( )
A．(32－2x)(20－x)＝570
B．32x＋2×20x＝32×20－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570
D．32x＋2×20x－2x＝570
2
88 / 279
图24－4－2 图24－4－3
6．教材练习第2题变式如图24－4－3，有一块长80 cm，宽60 cm的矩形硬纸片，在
四角各剪去一个同样大小的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为1500 cm的无盖的长
2
方体盒子，则这个盒子的容积为________ cm.
3
7．[2018·合肥二模] 如图24－4－4，某餐厅的餐桌桌面是一个面积为0.84 m的矩形，
2
桌面装有两个表面为相同正方形的电磁炉，两个电磁炉之间及与四周的距离均为0.2 m，求
电磁炉表面的边长．
图24－4－4
规律方法综合练 提升能力
8．[2017·河北模拟] 如图24－4－5，若将图①中的正方形剪成四块，恰能拼成图②中
的矩形，设a＝1，则b的值为( )
图24－4－5
A. B. C. D.2＋1
5－15＋15＋3
222
89 / 279
9．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图24－4
－6)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为12 m
2
，则原正方形
空地的边长为________m.
图24－4－6
10．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，某单位准备将院内一块长30
m，宽20 m的矩形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折
的小道，剩余的地方种植花草，如图24－4－7所示，要使种植花草的面积为532 m
2
，那么
小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四
边形)
图24－4－7
11．[教材习题B组第1题变式] [2018·郴州模拟] 如图24－4－8，用篱笆靠墙围成一
个矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，其余三面由篱笆围成，篱笆总长为24 m，
设平行于墙的BC边长为x m.
(1)如图①，若围成的花圃面积为40 m时，求BC的长．
2
(2)如图②，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50
m
2
，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求出BC的长；如果不能，请说明理由．
(3)如图③，若计划在花圃中间用n道篱笆隔成小矩形，当这些小矩形为正方形时，请
列出x，n满足的关系式________________．
90 / 279
图24－4－8
拓广探究创新练 冲刺满分
12．如图24－4－9所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15 cm，BC＝26 cm.点P
从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动，若点P，Q同时出发，则经过多长时间四边形APQC的面积为181 cm
2?
图24－4－9
91 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的
地
位和作
用
一元二次方程的数学模型是解决实际问题的一种重要模型，是培养学生应用意
识和数学建模的重要内容
知识技能
教
学
目
标
情感态度
教学重
点难点
重难点
突破 句，探究解答问题的办法
重点 会用列一元二次方程的方法解有关图形面积、体积的问题
难点
数学思考
使学生会用列一元二次方程的方法解决有关几何图形的面积、
体积问题
提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生运用数
形结合的思想解决问题的能力
通过列一元二次方程的方法解决日常生活及生产实际中遇到的
有关几何图形的面积、体积问题
通过探究性学习，抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解
题的简洁性及数学美
审题，从语言文字中挖掘有价值的信息
解决问题
引导学生读题，找到题目中的关键语句，在关键语句中找到反映相等关系的语
1.不能正确找出相等关系并列方程．
易错点
2.不能根据实际情况对所得的根进行正确取舍
有12 m长的木料，要做一个如图所示的窗框，假设窗框横档的
长度为x m，那么窗框的面积是(D)
教学
活动1
导入
忆一忆
设计
A．x(6－x)m B．x(12－x)m
22
3
6－x
??
m D．x
22
B．C．x(6－3x)m
??
2
92 / 279
用一根100 cm长的铁丝制成一个长方形框架．
(1)框架各边长为多少时，框架的面积为500 cm
2?
活动2
想一想
(2)要使框架的面积是625 cm
2
，框架的长应为多少？
(3)框架的面积能为900 cm吗？这是一个与我们的实际生活有密
2
切联系的问题，跟所学过的一元二次方程有极大的关系，你能解
决吗？
[答案] 略
【详解详析】
1．B [解析] 设绿地的宽为x米，则长为(10＋x)米．根据矩形的面积公式，可得x(x
＋10)＝900.故选B.
2．8 cm，6 cm [解析] 设其中一条直角边的长为x cm，则另一条直角边的长为(14－
1
x)cm.根据题意，得x(14－x)＝24，整理，得x－14x＋48＝0，解得x＝8，x＝6.
2
12
2
3．解：设矩形养鸡场垂直于住房墙的一边长为x m，可以得出平行于墙的一边的长为
(25－2x＋1)m，即(26－2x)m.
由题意，得x(26－2x)＝80，
化简，得x－13x＋40＝0，解得x＝5，x＝8.
2
12
当x＝5时，26－2x＝16＞12(舍去)；
当x＝8时，26－2x＝10＜12，符合题意．
答：所建矩形养鸡场的长为10 m，宽为8 m时，其面积为80 m.
2
4．解：(1)设矩形的长为x cm，则宽为(28－x)cm.依题意，得
x(28－x)＝180，解得x＝10(舍去)，x＝18，28－x＝28－18＝10.
12
答：当矩形的面积为180 cm时，矩形的长为18 cm，宽为10 cm.
2
(2)不能．理由如下：假设能改造成面积为200 cm的矩形．设矩形的长为x cm，则宽
2
为(28－x)cm.依题意，得x(28－x)＝200，
即x－28x＋200＝0，则b－4ac＝28－4×200＝784－800＜0，所以原方程无实数根，
222
故不能改造成面积为200 cm的矩形．
2
5．A
93 / 279
6．22500 [解析] 设剪去的小正方形的边长为x cm.由题意，得(80－2x)(60－2x)＝1500，
整理，得x－70x＋825＝0，解得x＝55(不合题意，舍去)，x＝15，所以这个盒子的容积
2
12
是1500×15＝22500(cm)．
3
7．解：设电磁炉表面的边长为x m，则矩形桌面的长为(2x＋0.6)m，宽为(x＋0.4)m.
根据题意，得(2x＋0.6)(x＋0.4)＝0.84，
解得x＝0.3，x＝－1(舍去)．
12
答：电磁炉表面的边长为0.3 m.
1±5
8．B [解析] 依题意，得(a＋b)＝b(b＋a＋b)，而a＝1，∴b－b－1＝0，∴b＝
22
，
2
1＋5
而b不能为负数，∴b＝.
2
9．5 [解析] 设原正方形空地的边长为x m．依题意有(x－1)(x－2)＝12，解得x＝－
1
2(舍去)，x＝5，所以原正方形空地的边长为5 m.
2
10．解：设小道进出口的宽度应为x m.
根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532，
整理，得x－35x＋34＝0，
2
解得x＝1，x＝34(不合题意，舍去)．
12
答：小道进出口的宽度应为1 m.
24－x24－x
11．解：(1)根据题意，得AB＝ m，则·x＝40，∴x＝20，x＝4.
12
22
∵20＞15，∴x＝20舍去．
1
答：BC的长为4 m.
(2)不能围成．
24－x
理由：根据题意，得·x＝50，
3
方程可化为x－24x＋150＝0，
2
∵b－4ac＝(－24)－4×150＜0，
22
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃．
94 / 279
24－x
(3)∵用n道篱笆隔成小矩形，且这些小矩形为正方形，∴AB＝ m，
n＋2
而正方形的边长也为 m，
24－x
x
则有＝.
n＋2n＋1
12．解：设经过t s四边形APQC的面积为181 cm.
2
根据题意，得AP＝t cm，PB＝(15－t)cm，BQ＝2t cm.∵S＝S－S
四边形△△
APQCABCPBQ
，
11
∴181＝×26×15－×(15－t)·2t，
22
整理，得t－15t＋14＝0，解得t＝1，t＝14.
2
12
当t＝14时，2t＝28＞26，不合题意，舍去．
22
∴当t＝1时，四边形APQC的面积为181 cm.
2
答：经过1 s四边形APQC的面积为181 cm.
2
第2课时 百分率问题
知识要点分类练 夯实基础
知识点 百分率问题
1．[2018·广西] 某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100
吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A．80(1＋x)＝100 B．100(1－x)＝80
22
C．80(1＋2x)＝100 D．80(1＋x)＝100
2
2．2017·黑龙江原价为100元的某商品，经过连续两次降价后售价为81元，若每次降
价的百分率相同，则这两次降价的百分率为________．
3．[2018·沈阳] 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本
逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降
率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请你预测4月份该公司的生产成本．
95 / 279
x
n＋1
规律方法综合练 提升能力
4．教材“做一做”变式随着期末考试的临近，学校文化用品销售逐渐火爆，甲、乙
两家校内商品专卖店一月份销售额分别为1000元和1500元，三月份销售额甲店比乙店多
1000元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店的2倍，则甲、乙两店这两个
月销售额的月平均增长率分别是( )
A．40%，20% B．60%，30%
C．80%，40% D．120%，60%
5．2017·沧州模拟股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%
后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一只股票
某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，设这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满
足的方程是____________．
6．[2018·安顺] 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，
并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬
迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5
元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
拓广探究创新练 冲刺满分
96 / 279
7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；
(2)如果不及时控制，第三轮将有多少人被传染？
97 / 279
教师详解详析
第2课时 百分率问题
【备课资源】
教材的地
位和作用
知识
技能
教
学
目
标
数学 提高将实际问题转化为数学问题的能力以及培养学生运用数形结合的
思考 思想
解决 通过列一元二次方程的方法解决日常生活及生产实际中遇到的有关增
问题 长率方面的问题
情感
态度
本课时是用一元二次方程解决实际问题的第二课时，目的是让学生进
一步感受一元二次方程这一数学模型的重要作用，提高学生分析问题、
解决问题的能力
使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率方面的问题
通过探究性学习，抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题的简
洁性
重点 用一元二次方程解决有关增长率的问题
教学重
1.审题能力的培养．
点难点
难点
2.对有关增长率问题的等量关系的理解
重难点突破
创设问题情景，激发学生的兴趣，自然顺畅地引入探究课题．通过问
题串，展现问题的解答过程
1.混淆对比量．
易错点
2.没有正确找出相等关系
1.若x＝2，则x约为__±1.414__(精确到0.001)．
2
2.据报道，某省农作物秸秆的总量很大，但合理利用量却十分
活动1
教学
导入
设计
活动2
想一想
忆一忆
有限，2017年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧
了．假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的
增长率相同，要使2019的利用率提高到60%，求每年的增长
率．设该省每年产出的农作物秸秆总量为a，合理利用量的增长
率为x，则由题意得方程__30%a(1＋x)＝60%a__
2
小明的爸爸投资购买某种债券，第一年初购买了1万元，第二
年初又购买了2万元，到第二年底本利和为3.35万元．设这种
债券的年利率不变，你能估算出年利率的近似值吗？
98 / 279
(1)设年利率为r，则可列出方程__________________①；
(2)总投入3万元，而本利和为3.35万元，所以r________0；
(3)观察方程①，r可能超过0.1吗？可能小于0.06吗？所以
________＜r＜________；
(4)把方程①化为(1＋r)(3＋r)＝3.35，你能否得到精确度较高
的r的取值范围？
[答案] 略
【详解详析】
1．A [解析] 由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80
吨，则2017年蔬菜产量为80(1＋x)吨，2018年蔬菜产量为80(1＋x)(1＋x)吨，预计2018年
蔬菜产量达到100吨，即80(1＋x)(1＋x)＝100或80(1＋x)＝100.
2
2．10% [解析] 设这两次降价的百分率是x.
根据题意，得100×(1－x)＝81，
2
解得x＝0.1＝10%，x＝1.9(不符合题意，舍去)，
12
所以这两次降价的百分率是10%.
3．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.
根据题意，得400(1－x)＝361，
2
解得x＝0.05＝5%，x＝1.95(不合题意，舍去)．
12
答：每个月生产成本的下降率为5%.
(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
4．D [解析] 设乙店这两个月销售额的月平均增长率为x.由题意，得1000(1＋2x)－
2
1500(1＋x)＝1000，解得 x＝60%，x＝－1(舍去)，2x＝120%，则甲、乙两店这两个月销
2
12
售额的月平均增长率分别是120%，60%.
5．(1－10%)(1＋x)＝1
2
6．解：(1)设从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.
根据题意，得1280(1＋x)＝1280＋1600，
2
解得x＝0.5＝50%，x＝－2.5(舍去)．
12
99 / 279
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.
(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励．
根据题意，得8×1000×400＋5×400×(a－1000)≥5000000，
解得a≥1900.
答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
7．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人．根据题意，得1＋x＋x(x＋1)＝64，
解得x＝7，x＝－9(舍去)．
12
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
(2)64×7＝448(人)．
答：如果不及时控制，第三轮将有448人被传染．
第3课时 利润等问题
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 赛事问题
1．[2018·赤峰] 2017～2018赛季中国男子篮球职业联赛采用双循环制(每两队之间都进
行两场比赛)，比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为( )
1
A.x(x－1)＝380 B．x(x－1)＝380
2
1
C.x(x＋1)＝380 D．x(x＋1)＝380
2
2．春天到了，生物兴趣小组的学生收集了很多蝴蝶标本．若每名学生将自己收集的标
本向其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，则这个小组有多少名学生？
知识点 2 利润问题
100 / 279
3．[2018·新疆] 某宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会
住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对
居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？
设房价定为x元，则有( )
x－180
x
A．(180＋x－20)(50－)＝10890 B．(x－20)(50－)＝10890
1010
x－180
x
C．x(50－)－50×20＝10890 D．(x＋180)(50－)－50×20＝10890
1010
4．[2018·连云港模拟] 无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本
为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，
经调查发现，日均销售量p(桶)与销售单价x(元/桶)的函数图像如图24－4－10所示．
(1)求日均销售量p(桶)与销售单价x(元/桶)的函数关系式；
(2)若该经营部希望日均获利1350元，则销售单价是多少？
图24－4－10
知识点 3 其他问题
5．已知一个两位数等于它个位上的数的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，
则这个两位数为( )
A．25 B．25或36
C．36 D．－25或－36
6．我们知道连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段为多边形的对角线，四边形的对
角线有2条，五边形的对角线有5条．
101 / 279
(1)六边形的对角线有________条，七边形的对角线有________条．
(2)多边形的对角线可以共有20条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，
请说明理由．
规律方法综合练 提升能力
7．2017·眉山东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产
品每天生产76件，每件利润为10元．经调查发现：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该
产品每件利润就增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次的蛋糕属于第几档次产品？
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某
档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
102 / 279
8．[2018·安徽模拟] 观察点阵图和相应的等式，探究其中的规律．
(1)认真观察图24－4－11，并在④后面的横线上写出相应的等式．
图24－4－11
①1＝1；②1＋2＝＝3；③1＋2＋3＝＝6；
④____________________；…
(2)结合(1)观察点阵图24－4－12，并在⑤后面的横线上写出相应的等式．
（1＋2）×2（1＋3）×3
22
图24－4－12
①1＝1；②1＋3＝2；③3＋6＝3；④6＋10＝4；⑤____________________；…
2222
(3)若在(2)中的第n个点阵图斜线的左上方共有36个点，试求第n个点阵图中总共有
多少个点．
103 / 279
拓广探究创新练 冲刺满分
9．某水果经销商上个月销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为
1000千克．经市场调查发现，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月销售量y(千克)
与x(元/千克)之间满足一次函数关系y＝kx＋b.已知当x＝7时，y＝2000；x＝5时，y＝
4000.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)已知该种水果上个月的成本价为5元/千克，本月的成本价为4元/千克，要使本月
销售该种水果所获的利润比上个月增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果的
价格应调低至多少？(利润＝售价－成本价)
104 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的地
本课时内容是一元二次方程在实际销售中关于利润问题的综合应用，是中考
位和作用
的热点命题
教
学 过程与方法 提高学生把实际问题转化为数学问题的能力
目
标
知识与技能 会列一元二次方程解决营销问题
情感、态度
与价值观
重点 列一元二次方程解决营销问题
教学重 难点 从营销问题中找等量关系
点难点
易错点
2.不能根据实际问题对所得的根进行取舍
【详解详析】
1．B
2．解：设这个小组有x名学生，
则每名学生所赠的标本数为(x－1)件，
那么x名同学共赠x(x－1)件，
所以x(x－1)＝110，
解得x＝－10(不合题意，舍去)，x＝11.
12
答：这个小组有11名学生．
3．B [解析] 设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得(x－
x－180
20)(50－)＝10890.
10
4．解：(1)设日均销售量p(桶)与销售单价x(元/桶)的函数关系式为p＝kx＋b.
通过探究，抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题的
简洁性
1.不能正确找出相等关系列出方程.
??
7k＋b＝500，k＝－50，
根据题意，得解得
??
??
12k＋b＝250，b＝850，
所以日均销售量p(桶)与销售单价x(元/桶)的函数关系式为p＝－50x＋850.
(2)根据题意，得一元二次方程(x－5)(－50x＋850)－250＝1350，
105 / 279
解得x＝9，x＝13.
12
∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，
∴x＝13不合题意，∴x＝9.
答：若该经营部希望日均获利1350元，则销售单价是9元/桶．
5．B [解析] 设十位上的数字为x，则个位上的数字为(x＋3)．根据题意，得10x＋x＋
3＝(x＋3)－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3，∴x＋3＝5或x＋3＝6，∴这个两
22
，整理，得x
位数为25或36.
6×37×4
6．解(1)六边形的对角线有＝9(条)，七边形的对角线有＝14(条)故答案为9，
22
14.
(2)假设多边形的对角线可以共有20条，设此多边形的边数为n，由题意，得
n（n－3）
＝20，
2
整理，得n－3n－40＝0，解得n＝8，n＝－5(不合题意，舍去)．
2
12
答：多边形的对角线可以共有20条，该多边形的边数为8.
7．解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．
答：此批次蛋糕属于第三档次产品．
(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品．
根据题意，得
[10＋2(x－1)]×[76－4(x－1)]＝1080，
整理，得x－16x＋55＝0，
2
解得x＝5，x＝11(不合题意，舍去)．
12
答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．
（1＋4）×4
8．解：(1)1＋2＋3＋4＝＝10
2
(2)由图示可知点的总数是5×5＝25，所以⑤10＋15＝5.
2
n（n－1）
(3)由(1)(2)可知＝36，
2
解得n＝9，n＝－8(不合题意，舍去)，
12
106 / 279
∴n＝9＝81，
22
∴第n个点阵图中总共有81个点．
?
7k＋b＝2000，
9．解：(1)由已知得
?
?
5k＋b＝4000，
?
k＝－1000，
解得∴y＝－1000x＋9000.
?
b＝9000，
?
(2)由题意，得1000×(10－5)(1＋20%)＝(－1000x＋9000)(x－4)，
整理，得x－13x＋42＝0，
2
解得x＝6，x＝7(舍去)．
12
答：该种水果的价格应调低至6元/千克．
第二十五章 图形的相似
25．1 比例线段
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 线段的比
1．已知a＝0.5 m，b＝25 cm，则a∶b＝________．
2．C是线段AB上一点，AB＝2AC，则BC∶AB＝________.
知识点 2 成比例线段
3．已知四组线段的长度(单位：cm)如下，其中是成比例线段的一组是( )
A．1，2，3，4 B．1，2，2，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
4．2017·娄底湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国
大陆按同比例尺1∶6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图．若在这种
地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是________千
米(结果精确到1千米)．
5．若线段a，b，c，d成比例，其中a＝1，b＝2，c＝3，则d＝________．
107 / 279
知识点 3 比例的性质
6．2017·兰州已知2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( )
x3x2
A.＝ B.＝
y23y
x2xy
C.＝ D.＝
y323
7．已知线段a＝4，b＝16，线段c是线段a，b的比例中项，那么线段c的长为( )
A．10 B．8 C．－8 D．±8
8．若3y＝4x，则下列式子不正确的是( )
x＋y
7y4
A.＝ B.＝
y41
y－x
x－y
1x3
C.＝ D.＝
2y8y4
3m－n
1m
9．若＝＝________．
，则
n3n
m－2p＋3x
mpx2
10．教材练习第3题变式若＝＝＝＝________．
，则
nqy3
n－2q＋3y
知识点 4 黄金分割
11．C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列结论正确的有( )
①AC＝AB；②AC＝AB；③AB∶AC＝AC∶BC；④AC≈0.618AB.
5－13－5
22
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．乐器上的一根琴弦AB＝60厘米，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是
AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为( )
A．(90－305)厘米 B．(30＋305)厘米
C．(305－30)厘米 D．(305－60)厘米
13．在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越
108 / 279
给人以美感．张女士的身高为1.60米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)与身高的比值为0.60，
那么她穿约________厘米的高跟鞋看起来会更美．(精确到十分位)
规律方法综合练 提升能力
a－b
a5
14．已知＝的值是( )
，则
b13
a＋b
23
A．－ B．－
32
94
C．－ D．－
49
a－b＋c
15．已知a∶b∶c＝2∶3∶4，则的值为( )
b
1
A. B．1
2
1
C．－1 D.或－1
2
16．宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美
5－1
2
学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用下面的方法画出黄金矩形：如图25－1
－1，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF，DF，作∠DFC的平分线，
交AD的延长线于点H，作HG⊥BC，交BC的延长线于点G，则下列矩形是黄金矩形的是
( )
A．矩形ABFE
B．矩形EFCD
C．矩形EFGH
D．矩形DCGH
图25－1－1
a＋bb＋ca＋c
17．已知a，b，c都不为0，且＝＝＝k，则k的值是( )
cab
A．2
B．－1
C．2或－1
109 / 279
D．3
18．已知三条线段的长度分别是4，8，5，请写出另一条线段的长度：____________，
使这四条线段是成比例线段．
a－b
a5
19．已知＝＝________．
，则
b32b
abc
20．已知线段a，b，c，且＝＝.
234
(1)求的值；
a＋b
b
(2)若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值．
ace
21．已知＝＝＝2，且b＋d＋f≠0.
bdf
(1)求的值；
a＋c＋e
b＋d＋f
(2)若a－2c＋3e＝5，求b－2d＋3f的值．
110 / 279
拓广探究创新练 冲刺满分
22．阅读理解：
ACBC
如图25－1－2①，点C将线段AB分成两部分，若＝
，则C为线段AB的黄金
ABAC
分割点．
某研究学习小组由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定
SS
12
义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S＝
12
，S，如果，
SS
1
那么称直线l为该图形的黄金分割线．
问题解决：
111 / 279
如图②，在△ABC中，已知D是线段AB的黄金分割点．
(1)研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
(2)请你说明：三角形的中线是不是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点
F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
图25－1－2
112 / 279
教师详解详析
【备课资源】
在日常生产和生活中，人们经常要接触到比与比例．在本节课中，我们将系统
教材的
地
位和作
用
地学习“线段的比”和“黄金分割”这两部分内容，它们既是本章内容中的一个
重点，也是以后继续学习相关知识的基础．“黄金分割”是《课程标准》重点提
出的内容，学习“黄金分割”不仅实现了新课程对比例线段的基本要求，更体现
了数学的文化价值和应用价值，“黄金分割”也是建筑、艺术等学科之间相互联系
的纽带
知识技能
了解线段的比和成比例线段的概念，知道两条线段的比与所采用
的度量单位无关
理解并掌握比例的基本性质，了解比例中项的概念
了解黄金分割，能利用比例的基本性质解决一些简单的问题
通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣．通过了解黄金分割
的应用，拓宽视野，并体会其中的文化价值
比例性质及黄金分割的有关计算 重点
比例性质的应用 难点
教
学
目
标
数学思考
解决问题
情感态度
教学重
点难点
重难点
突破
本节的教学可以在复习小学学过的“数的比”“四个数成比例”的基础上展
开，要揭示两条线段的比的实质，就要让学生知道两条线段的比与所采用的度量
单位无关，可构造正、反两个方面的例子，由学生在自我辨别中加深这种认识
1.忽略在同一单位长度下求两条线段的比．
易错点 2.易忽略成比例线段有顺序性．
3.忽略一条线段的黄金分割点有两个
在某幅地图上，A，B两地的距离为8.5 cm，实际距离为170
活动1
教学
导入
设计
活动2
想一想
忆一忆
km，则比例尺为(D)
A．1∶20 B．1∶20000
C．1∶200000 D．1∶2000000
古希腊维纳斯雕像、雅典娜女神、太阳神阿波罗的形象等，之所
以成为世界艺术珍品，是因为他们身材的比例合乎黄金分割．达·芬
奇的名画《蒙娜丽莎》，几乎家喻户晓，是因为画中人体各部位的尺
寸被画家运用0.618这个神奇的黄金分割比发挥到了极致，令人赞
113 / 279
叹不已！什么是黄金分割呢？学完本节课你就会知道了
【详解详析】
1．2∶1 [解析] a∶b＝50 cm∶25 cm＝2∶1.
2．1∶2 [解析] 如图所示：
1
∵AB＝2AC，∴AC＝AB，即C为AB的中点，∴BC∶AB＝1∶2.
2
[点评] 线段的倍分问题，利用“图形”往往是最佳解决途径．
3．B
4．5500 [解析] 我国南北的实际距离大约是82.09×6700000＝550003000(厘
米)≈5500(千米)．
5．6 [解析] ∵a，b，c，d是成比例线段，∴a∶b＝c∶d，即1∶2＝3∶d，∴d＝6.
6．A
7．B [解析] ∵线段c是线段a，b的比例中项，∴c＝ab＝64，解得c＝±8.又∵线段
2
的长是正数，∴c＝8.故选B.
3
y＋y
x＋y
4
37
8．D [解析] ∵3y＝4x，∴x＝y.A选项，＝＝
，故本选项的式子正确；B
4yy4
3
y
yyx3
4
选项，＝＝4，故本选项的式子正确；C选项，＝＝
，故本选项的式子正确；
32y2y8
y－x
y－y
4
3
y－y
x－y
4
1
D选项，＝＝－
，故本选项的式子错误．故选D.
yy4
3m－n
3mn3m413m4m4
9. [解析] 方法1：∵＝－＝－1＝＝＝.
，∴，∴
9nnnn3n3n9
3m－n
1m4
方法2：∵＝＝.
，∴3(3m－n)＝n，即9m－3n＝n，9m＝4n，∴
n3n9
2
10.
3
11．C [解析] ∵C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB，①正确，
5－1
2
②错误；BC∶AC＝AC∶AB，③正确；AC≈0.618AB，④正确．①③④正确，故选C.
114 / 279
12．C [解析] 根据黄金分割点的概念，得AC＝AB＝(30 5－30)厘米．
13．7.5 [解析] 设她应穿x厘米的高跟鞋．
5－1
2
∵张女士的身高为1.60米＝160厘米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)与身高的比值为
0.60，
∴其身体躯干的高度为160×0.60＝96(厘米)，则有≈0.618，解得x≈7.5.
96＋x
160＋x
a－b5k－13k
4
14．D [解析] 设a＝5k，b＝13k，则＝＝－.
9
a＋b5k＋13k
33a
a－a＋2a
22
a－b＋c
3a
15．B [解析] 由a∶b∶c＝2∶3∶4，得b＝＝＝
，c＝2a，则
2b3a3a
22
＝1.
AE1
16．C [解析] 设正方形ABCD的边长为2.∵E，F分别为AD，BC的中点，∴＝
，
AB2
DF＝2＋1＝5，∴矩形ABFE不是黄金矩形，A选项不符合题意；同理，矩形EFCD
22
不是黄金矩形，B选项不符合题意；∵FH是∠DFC的平分线，∴∠DFH＝∠
EF
GFH.∵AH∥BG，∴∠DHF＝∠GFH，∴∠DFH＝∠DHF，∴DH＝DF＝5，∴＝
EH
5－1
2DC22 5
＝＝＝
，∴矩形EFGH是黄金矩形，C选项符合题意；，∴矩形
2CG5
5＋15
DCGH不是黄金矩形，D选项不符合题意．
17．C [解析] 分两种情况：①当a＋b＋c≠0时，
∵＝＝＝k，∴＝k.∴k＝2；②当a＋b＋c＝0时，a＋b
a＋bb＋ca＋ca＋b＋b＋c＋a＋c
cab
c＋a＋b
＝－c，∴k＝－1.故k的值为2或－1.故选C.
325
或或10 [解析] 因为题目中没有明确具体的比例式，所以存在一题多解的情18.
52
32205
况．设所求的线段长度为x，当x∶4＝8∶5时，得x＝；当x∶4＝5∶8时，得x＝＝；
582
40
当4∶8＝5∶x时，得x＝＝10.
4
a－b5k－3k
11
19. [解析] 设a＝5k，b＝3k(k≠0)，则＝＝.
32b3
2×3k
aba2
20．解：(1)∵＝＝
，∴，
23b3
115 / 279
∴＝＋1＝＋1＝.
a＋b
a25
bb33
abc
(2)设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k.∵a＋b＋c＝27，∴2k＋3k＋4k＝27，解得
234
k＝3，∴a＝6，b＝9，c＝12.
a＋c＋e
ace
21．解：(1)∵＝＝＝2，∴＝2.
bdf
b＋d＋f
ace
(2)∵＝＝＝2，
bdf
∴a＝2b，c＝2d，e＝2f.
∵a－2c＋3e＝5，
∴2b－2×2d＋3×2f＝5，
∴b－2d＋3f＝2.5.
22．解：(1)对．理由如下：
ADBD
∵D是线段AB的黄金分割点，∴＝.
ABAD
∵＝＝＝
SSSS
△△△△
ADCBDCADCBDC
ADBD
，，∴，
SSSS
△△△△
ABCADCABCADC
ABAD
∴直线CD是△ABC的黄金分割线．
(2)设三角形的面积为S，三角形的中线将三角形分成的两部分的面积为S
121
，S，则S
1
＝S＝S，
2
2
SS
12
∵≠
，
SS
1
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．
(3)∵DF∥CE，∴S＝S＝S
△△△
FDEFDCDECFEC
，S，
△
∴S＝S＝S.
△△△
AEFADCBEFCBDC
，S
四边形
∵＝＝
SSSS
△△△四边形
ADCBDCAEFBEFC
，∴，
SSSS
△△△△
ABCADCABCAEF
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．
25.2 第1课时 平行线分线段成比例
116 / 279
知识要点分类练 夯实基础
知识点 平行线分线段成比例
1．如图25－2－1，AD∥BE∥CF，直线l与这三条平行线分别交于点A，B，C和
12
，l
ABABBC
点D，E，F，则＝______，＝________，＝________．
BCACAC
图25－2－1 图25－2－2
2.如图25－2－2，l∥l∥l分别相交于点A，B，C和点D，E，
123123
，直线a，b与l，l，l
AB2
F.若＝
，DE＝4，则EF的长是( )
BC3
820
A. B. C．6 D．10
33
3．[教材习题A组第1题变式] [2018·南召县二模] 如图25－2－3直线AB，CD，EF
被直线a，b所截．若∠1＝100°，∠2＝100°，∠3＝125°，∠4＝55°，则下列结论错
误的是( )
ACBD
A．EF∥CD∥AB B.＝
CEDF
ABACACBD
C.＝ D.＝
CDDFAEBF
图25－2－3 图25－2－4
4. .如图25－2－4，直线AA∥BB∥CC.若AB＝8，BC＝4，AB＝6，则线
11111
段BC的长是________．
11
117 / 279
5．如图25－2－5，直线l∥l∥l于点A，B，C；过点B
123123
，直线AC分别交l，l，l
的直线DE分别交l于点D，E.若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为
13
，l
________．
图25－2－5
6．[教材习题A组第2题变式] 如图25－2－6，直线l分别交直线l于点A，
1234
，l，l
B，C，交直线l于点D，E，F，且l∥l∥l.已知DE∶DF＝3∶8，AC＝24，求BC的长．
5123
图25－2－6
规律方法综合练 提升能力
7．如图25－2－7，l∥l∥l于点A，B，C和点F，
123123
，直线AC，EF分别交l，l，l
B，E，连接AE交l于点＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC，BF的长．
2
118 / 279
图25－2－7
8．如图25－2－8，已知直线l∥l∥l于点A，B，C
123123
，直线AC，DF分别交l，l，l
和点D，E，F.
ABBCAC
求证：＝＝.
DEEFDF
图25－2－8
119 / 279
拓广探究创新练 冲刺满分
9．如图25－2－9，在6×6的正方形网格中，连接格点A，B，M，N为线段AB与网
格线的交点，则AM∶MN∶NB的值为( )
A．3∶5∶4 B．1∶3∶2
C．1∶4∶2 D．3∶6∶5
图25－2－9
120 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的
地位和
作用
教
学
目
标
情感、态度
与价值观
重点 平行线分线段成比例的基本事实的应用
教学重 难点
点难点
易错点
2.平行线分线段成比例中对应线段的比易混淆
【详解详析】
1.
DEDEEF
EFDFDF
通过探究活动，体会事物之间的普遍联系，感受探索的乐趣
如何在具体题目中找到平行线及所分线段，并利用平行线分线
段成比例解决问题
1. 找平行线中成比例的线段时易出错.
本课知识既是比例线段的延续与发展，又为后续学习相似三角形的判定奠定了
基础
知识与技能 理解平行线分线段成比例的基本事实
过程与方法
经历探索平行线分线段成比例的过程，学会利用转化思想解决
问题
ABDE24
2．C [解析] ∵l∥l∥l＝＝
123
，∴，即，解得EF＝6.
BCEF3EF
3．C [解析] ∵∠1＝100°，∠2＝100°，∴AB∥EF.∵∠3＝125°，∴∠ABD＝
ACBDACBD
55°.又∵∠4＝55°，∴AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴＝＝.
，
CEDFAEBF
4．3
5．4.5 [解析] ∵l∥l∥l＝＝
123
，∴，即，∴BE＝3，∴DE＝BE＋BD＝3＋
1.5＝4.5.
6．解：∵l∥l∥l
123
，
∴＝＝
ABDEAB3
，即，解得AB＝9，
ACDF248
ABBD21.5
BCBE4BE
∴BC＝AC－AB＝24－9＝15.
121 / 279
7．解：∵l∥l∥l
123
，
∴＝.
ABAD
BCDE
∵AB＝3，AD＝2，DE＝4，
∴＝
32
，解得BC＝6.
BC4
∵l∥l∥l
123
，
∴＝＝
8．证明：∵l∥l∥l
123
，
∴＝
ABDE
，
BCEF
ABBCBCEF
＝＝∴
，，
DEEFABDE
BC＋ABEF＋DE
ACDF
＝＝∴
，即，
ABDEABDE
ACAB
＝∴
，
DFDE
ABBCAC
＝＝. ∴
DEEFDF
BFABBF3
， ∴，解得BF＝2.5.
EFAC7.5
3＋6
9．B
第2课时 平行于三角形一边的直线
知识要点分类练 夯实基础
知识点 平行于三角形一边的直线
1．如图25－2－10，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC(或它们的延长线)上，DE
122 / 279
AD
∥BC，则＝________＝________．
AB
图25－2－10
2．如图25－2－11，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，DE＝6，则BC的长
为( )
A．6 B．12 C．18 D．24
图25－2－11 图25－2－12
3．如图25－2－12所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的
是( )
ADDEBFEF
A.＝ B.＝
DBBCBCAD
AEBFEFDE
C.＝ D.＝
ECFCABBC
4．[教材练习第2题变式] 如图25－2－13，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边
AD3
上，DE∥BC，如果＝
，AC＝10，那么EC＝________．
DB2
图25－2－13 图25－2－14
5．如图25－2－14，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，F为BE的延长
123 / 279
线与AD的延长线的交点．若DE＝1，则DF的长为________．
6．如图25－2－15，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC，
连接AE交BC于点F，作FG∥BE交AB于点G.求证：FG＝FC.
图25－2－15
规律方法综合练 提升能力
7．如图25－2－16，在△ABC中，点D，F在AB边上，点E，G在AC边上，DE∥
FG∥BC，且AD∶DF∶FB＝3∶2∶1.若AG＝15，则CE的长为( )
A．9 B．15 C．12 D．6
124 / 279
图25－2－16 图25－2－17
8．如图25－2－17，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E.若CE＝5，CF＝4，AE＝
CD
BC，则的值是( )
AB
2111
A. B. C. D.
3234
拓广探究创新练 冲刺满分
9．如图25－2－18，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC
的值．
图25－2－18
125 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的
地位和
作用
本课内容是基本事实“平行线分线段成比例”的推论，为后续学习相似三角形
的判定奠定基础
知识与技 1.理解平行于三角形一边的直线与平行线分线段成比例的联系与
能 区别.2.会用平行于三角形一边的直线进行计算或证明
教
学
目
标
经历推出平行于三角形一边的直线的性质的过程，学会将未知问
过程与方
法
情感、态
度与价值
观
重点 平行于三角形一边的直线的性质的应用
教学重
难点 在具体题目中灵活运用平行于三角形一边的直线的性质
点难点
易错点 利用平行找对应的比例线段时易出错
【详解详析】
1.
AEDE
ACBC
题转化为已知问题
通过探究活动，体会事物之间的普遍联系，感受探索的乐趣
2．C [解析] ∵AD＝5，BD＝10，∴AB＝15.
ADDE56
∵DE∥BC，∴＝＝
，即，
ABBC15BC
解得BC＝18.故选C.
3．C
4．4 [解析] ∵DE∥BC，∴＝＝.
ADAE3
DBEC2
2
∵AC＝10，∴EC＝×10＝4.
5
3
5. [解析] ∵DE＝1，DC＝3，∴EC＝3－1＝2.
2
126 / 279
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∴＝＝.
DFDEDF13
，即，解得DF＝
BCEC322
FGAF
6．证明：因为FG∥BE，所以＝.
EBAE
因为四边形BEDC是正方形，
FCAF
所以FC∥ED，所以＝
，
EDAE
FGFC
所以＝.
EBED
又易知EB＝ED，所以FG＝FC.
AFAG
7．A [解析] ∵DE∥FG∥BC，∴＝.而AD∶DF∶FB＝3∶2∶1，∴AE∶EG∶
FBCG
AF515
GC＝3∶2∶1，＝＝
，∴GC＝3，∴EG＝6，∴EC＝9.
FB1GC
CECF54
8．D [解析] 设AE＝x，则BC＝x.∵EF∥AB，∴＝＝
，即，解得x＝20，
CACBx
5＋x
CDCE51
即AE＝20.∵CD∥AB，∴＝＝＝.
ABAE204
9．解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F，
∴EF∶FC＝BD∶DC，AM∶MD＝AE∶EF.∵BD∶DC＝2∶3，
∴EF∶FC＝BD∶DC＝2∶3.
设EF＝2a(a≠0)，则FC＝3a，∴EC＝5a.
∵AM∶MD＝AE∶EF＝4∶1，
∴AE＝8a，
∴AE∶EC＝8a∶5a＝8∶5.
127 / 279
25.3 相似三角形
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 相似三角形的定义
图25－3－1
1．如图25－3－1所示，D是△ABC的边AB上的一点，当∠ADC＝∠ACB，∠ACD＝
ACADDC
________，∠A＝∠A，＝＝时，△ADC______△ACB.
ABCB
（ ）
2．教材“大家谈谈”变式下列说法中，错误的是( )
A．两个全等三角形一定是相似三角形
B．两个等腰三角形一定相似
C．两个等边三角形一定相似
D．两个等腰直角三角形一定相似
知识点 2 相似比
3．若△ABC∽△DEF，AB＝4 cm，DE＝8 cm，则△ABC与△DEF的相似比为
________．
4．若把△ABC的各边长分别扩大为原来的5倍，得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′
的相似比为________．
知识点 3 相似三角形定义的应用
5．如图25－3－2，已知△ADE∽△ACB，那么下列比例式正确的有( )
128 / 279
图25－3－2
①＝； ②＝； ③＝； ④＝.
ADAEADAEBCEDBCED
ABACACABABAEACAD
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在△ABC中，已知AB＝5，BC＝4，AC＝8.若△ABC∽△ABCBC的最长
111111
，△A
边的长为16，则其他两边的长分别为( )
A．AB＝8，BC＝10
1111
B．AB＝10，BC＝8
1111
C．AB＝5，BC＝8
1111
D．AB＝10，BC＝4
1111
7．已知△ABC∽△ABCB＝6 cm，AB＝4 cm，BC＝3.2 cm，∠A＝50°，则
11111
，且A
BC＝________cm，∠A＝________°.
111
8．如图25－3－3，已知△ABC∽△ADE，AE＝5，EC＝3，BC＝6，∠C＝40°.
(1)求∠AED的度数；
(2)求DE的长．
图25－3－3
129 / 279
知识点 4 利用平行线判定三角形相似
9．如图25－3－4，点F在平行四边形ABCD的边CD上，射线AF交BC的延长线于
点E.
∵AD∥BC，∴△EFC∽△________．
∵AB∥CD，∴△EFC∽△________．
图25－3－4
10．如图25－3－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＝4，BC＝3，DE⊥AC，且DE
＝DB，求AD的长．
图25－3－5
规律方法综合练 提升能力
11．如图25－3－6，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结
论一定正确的是( )
130 / 279
A．AB＝BC·BD
2
B．AB＝AC·BD
2
C．AB·AD＝BD·BC
D．AB·AD＝AD·CD
图25－3－6
12．如图25－3－7所示，在?ABCD中，BE分别交AC，CD于点G，F，交AD的延
长线于点E，则图中的相似三角形有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
图25－3－7
13．如图25－3－8所示，△PQR是等边三角形，△PAQ∽△BPR.
(1)请写出两个相似三角形对应边的比例式；
(2)试找出AQ，QR，BR三条线段之间的关系．
图25－3－8
14．如图25－3－9，在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，G为AC边上一
点，∠1＝∠2.求证：△AFG∽△ABC.
131 / 279
图25－3－9
15．如图25－3－10，F为?ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD，AC于
点G，E，若EF＝32，GE＝8，求BE的长．
图25－3－10
拓广探究创新练 冲刺满分
16．如图25－3－11，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，动点P从点
B出发以2 cm/s的速度向点C移动，动点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A移动，当一
点到达终点时，另一点也随之停止运动．若动点P，Q同时出发，则经过多少秒时，PQ∥
AB?
132 / 279
图25－3－11
133 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的地
相似三角形的知识是全等三角形知识的拓广和延伸，相似三角形承接全等三
角形，将特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今
位和作用
后进一步学习锐角三角函数及巩固有关的比例线段等知识打下良好的基础
知识技能
了解相似三角形的含义，了解两个三角形相似的表示方法
教
学
目
标
数学思考
经历相似三角形、相似比等概念的形成过程，引导学生观察、操作
和归纳，培养学生的概括能力，提高学生数学思考的意识和能力
解决问题
会根据概念判断两个三角形是否相似，能由相似比求出未知的边长
通过学习全等与相似的关系，进一步体会数学内容之间的内在联
情感态度
系，初步认识特殊与一般之间的辩证关系，提高学生学习数学的兴
趣和自信心
教学重
点难点
重难点突
破
重点 相似三角形的概念
难点 灵活运用相似三角形的定义解决实际问题
采用直观、类比的方法，以多媒体手段辅助教学，使学生在理解的基础上能
够运用相似三角形的定义解决一些简单问题
1.判定两个三角形相似时，易忽略边或角的条件．
易错点
2.由三角形相似列比例式时，要注意顺序性．
3.当三角形的位置不确定时，易漏解，所以要分情况说明
1.对边长分别为2和3的等边三角形的关系叙述正确的是(B)
A．形状不同 B．形状相同 C．大小相同
D．形状、大小都不同
2.在比例尺是1∶8000000的地图上，量得福州到上海之间的距
教学
活动
导入
忆一忆
设计
离为7.5厘米，求福州与上海两地之间的实际距离是多少千米．
解：设福州与上海两地之间的实际距离为x厘米．根据题意，得
1∶8000000＝7.5∶x，
解得x＝60000000.
60000000÷100000＝600(千米)．
答：福州与上海两地之间的实际距离为600千米
134 / 279
【详解详析】
1．∠B AC ∽
2．B
11
3. 4. 5.C 6.B 7.4.8 50
25
8．解：(1)因为△ABC∽△ADE，
所以∠AED＝∠C＝40°.
(2)因为△ABC∽△ADE，
ACBC
所以＝
，
AEDE
AEAE515
所以DE＝·BC＝·BC＝×6＝.
AC4
AE＋EC5＋3
9．AFD EAB
10．解：在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.
∵DE⊥AC，∠C＝90°，∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝.
DEAD
BCAB
∵DE＝DB，∴DE＝5－AD，
∴＝.
5－AD
AD25
，解得AD＝
358
25
故AD的长为.
8
11．A
12．D [解析] 由AD∥BC，AB∥CD，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△
ABC∽△CDA，△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB，共6对．故选D.
PAPQAQ
13．解：(1)＝＝.
BPBRPR
(2)∵△PQR是等边三角形，∴PQ＝QR＝PR.
135 / 279
PQAQ
由(1)知＝
，∴PQ·PR＝BR·AQ，
BRPR
∴QR＝BR·AQ.
2
14．证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴∠AFC＝∠ADE＝90°，
∴CF∥DE，∴∠1＝∠BCF.
又∵∠1＝∠2，∴∠BCF＝∠2，
∴FG∥BC，∴△AFG∽△ABC.
15．解：设BE的长为x.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵EF＝32，GE＝8，∴FG＝32－8＝24.
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，
∴＝＝＝＋1①.
FEAF32DF
DF＋AD
，∴
BECBxCBCB
∵AF∥BC，∴△DFG∽△CBG，
∴＝＝②，将②代入①，得
DFFG24
CBBG
8＋x
3224
＝＋1，
x
8＋x
解得x＝16，x＝－16(舍去)．
12
故BE的长为16.
16．解：设经过t s时，PQ∥AB，则BP＝2t cm，QC＝t cm，PC＝(4－2t)cm.
根据题意，得Rt△ABC∽Rt△QPC，
ACQC3t
所以＝＝
，即，解得t＝1.2.
BCPC4
4－2t
由于点P的运动速度为2 cm/s，点Q的运动速度为1 cm/s，可知t的取值范围为0＜t
＜2，
所以t＝1.2满足题目要求．答：经过1.2 s时，PQ∥AB.
136 / 279
25.4 第1课时 相似三角形的判定定理1
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 两角对应相等，两个三角形相似
1．如图25－4－1，∵∠B＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABE∽△______．∵∠B＝
∠______，∠______＝∠______，∴△BFD∽△CFE.
图25－4－1 图25－4－2
2．[2018·邯郸一模] 如图25－4－2，在△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，与
△ABC相似的三角形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图25－4－3，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE.求证：
△ABC∽△EFD.
图25－4－3
知识点 2 三角形相似的简单应用
137 / 279
4．如图25－4－4，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B.若AC＝2，AD＝1，
则DB＝________．
图25－4－4
5．如图25－4－5，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C.求证：△ADE∽△ABC.
图25－4－5
规律方法综合练 提升能力
6．教材“做一做”变式如图25－4－6，M是Rt△ABC的斜边BC上异于点B，C的一
定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
138 / 279
图25－4－6
7．如图25－4－7所示，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB＝4，CD＝6，BC
＝14，P为BC上一点，试问BP的长为多少时，△ABP与△PCD相似？
图25－4－7
拓广探究创新练 冲刺满分
8．如图25－4－8，小明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的
距离AE＝27 m．当他与镜子的距离EC＝2.1 m时，刚好能从镜子中看到楼顶B.已知他的
眼睛到地面的距离CD＝1.6 m，请你帮他计算出大楼的高度AB.
139 / 279
图25－4－8
140 / 279
教师详解详析
【备课资源】
教材的
地
位和作
用
探究两个三角形相似的判定方法是本章的重点知识，而利用两角对应相等判定
两个三角形相似是最简便、最实用的一个方法，故其应用广泛
知识技能 掌握利用两角对应相等判定两个三角形相似的方法
教
学
目
标
情感态度
教学重
点难点
重点 会利用“两角对应相等”判定两个三角形相似
难点 运用三角形相似的判定方法解决实际问题
数学思考
经历判定两个三角形相似条件的探索过程，培养学生的探
究、交流能力
能够运用两角对应相等判定两个三角形相似解决一些简单的
问题
培养学生动手、动脑的能力，增强他们学习的自信心
解决问题
让学生通过数学活动亲自动手操作，量度、归纳、总结两个三角形相似的条
重难点
突破
件，使他们在活动的过程中获得“两角对应相等的两个三角形相似”这个判定定
理，再通过练习与训练进一步巩固这个知识点，从而利用所学知识解决一些简单
的实际问题
1.“两角对应相等”中忽视“对应”条件
易错点
2.运用这个判定定理时，忽略了对顶角、公共角这些隐含条件
3.当两个三角形的顶点没有明确如何对应时，要分情况说明，避免漏解
【详解详析】
1．ACD C BFD CFE
2．B [解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△CBD
∽△ABC.故有2个与△ABC相似的三角形．
3．证明：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F.
∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠EDF，
∴△ABC∽△EFD.
141 / 279
ADAC
4．3 [解析] 由∠ACD＝∠ABC，∠A为公共角，得△ADC∽△ACB，所以＝
，
ACAB
12
即＝
，所以AB＝4，则DB＝AB－AD＝4－1＝3.
2AB
5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAC.
又∵∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC.
6．C [解析] 如图．∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作
AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题
意．故选C.
7．解：∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP与△PCD相似有两种情况．
ABPC4
14－BP
(1)当△ABP∽△PCD时，＝＝
，即，解得BP＝2或BP＝12；
BPCDBP6
ABDC46
(2)当△ABP∽△DCP时，＝＝
，即，解得BP＝5.6.
BPCPBP
14－BP
综上可知，当BP的长为2，12或5.6时，△ABP与△PCD相似．
8．解：∵反射角等于入射角，∴∠BEA＝∠DEC.
又∵AB⊥AC，DC⊥AC，
∴∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△ABE∽△CDE，
∴＝＝
AEAB27AB
，即，
CECD2.11.6
144
解得AB＝.
7
144
答：大楼的高度AB为 m.
7
142 / 279
第2课时 相似三角形的判定定理2
知识要点分类练 夯实基础
知识点 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
（ ）
AB
1．如图25－4－9，在△ABC与△DEF中，若＝
，且∠A＝∠D，则
DF
（ ）
△ABC∽△DEF.
图25－4－9 图25－4－10
2．如图25－4－10，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC
ADAB
C．AB＝AD·AC D.＝
2
ABBC
3．教材例2变式如图25－4－11，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，
AD＝40.求证：△ABC∽△AED.
图25－4－11
规律方法综合练 提升能力
143 / 279
4．如图25－4－12，在△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
BM，CN交于点O，连接MN.下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；
③BC＝2MN.其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
图25－4－12
5．如图25－4－13，已知在△ABC中，DE∥BC，AE是AF，AC的比例中项．求证：
DF∥BE.
图25－4－13
拓广探究创新练 冲刺满分
6．如图25－4－14所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，
则△AOB与△DOC是否相似？有一位同学的解答过程如下：
解：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，
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AODO
∴△AOD∽△COB，∴＝.
BOCO
又∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC.
请判断这位同学的解答过程是否正确，若不正确，请说明理由．
图25－4－14
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教师详解详析
【备课资源】
教材的地
位和作用
这一课时研究的问题实际上是在前面研究图形的全等和一些全等变换基础上
的拓广和发展．在后面，学生还要学习“解直角三角形”等知识，学习这些内
容，都要用到相似的知识．这一节内容对于学生今后从事各种实际工作也具有
重要作用
知识技能
教
学
目
标
情感态度
教学重
点难点
重难点突
破 而发现知识的内在结构、区别与联系，这对学透、学活知识是有很大帮助的
易错点 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”易找错
重点 探究两个三角形相似的判定条件
难点 运用三角形相似的判定方法解决实际问题
数学思考
掌握两个三角形相似的判定条件，会判断两个三角形是
否相似
经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生
的合理推理能力和初步的逻辑推理能力
能够运用三角形相似的判定方法解决一些简单的实际问
题
进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生善于观
察、动手操作、研究问题的习惯
解决问题
全等是相似的特例，因此在学习相似的条件时，应对照全等的条件来学，从
【详解详析】
1．DE AC
2．D [解析] ∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC.故A选项不符合题意；
∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC.故B选项不符合题意；
∵AB＝AD·AC，∴＝.又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC.故C选项不符合题意；
2
ABAC
ADAB
ADAB
由＝
，∠A＝∠A不能判定△ADB∽△ABC，故D选项符合题意．故选D.
ABBC
3．证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，即∠BAC＝
∠EAD.
∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，
146 / 279
∴＝＝1.2，＝＝1.2，
AB20.4AC48
AE17AD40
ABAC
＝∴
，∴△ABC∽△AED.
AEAD
4．C [解析] ∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠ANC＝∠AMB＝90°.
又∵∠A＝∠A，
∴△ACN∽△ABM，
∴＝＝.
ANACANAM
，即
AMABACAB
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN＝∠ABC，故①正确；
由题可得，△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，
∴图中共有8对相似三角形，故②正确；
∵在Rt△ACN中，∠A＝60°，
∴∠ACN＝30°，
1
∴AN＝AC.
2
又∵△AMN∽△ABC，
∴＝＝
MNAN1
，
BCAC2
即BC＝2MN，故③正确．
5．证明：∵AE是AF，AC的比例中项，
∴＝.
AEAC
AFAE
ABAC
∵DE∥BC，∴＝
，
ADAE
∴＝.
AEAB
AFAD
又∵∠A＝∠A，
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∴△ABE∽△ADF，
∴∠ABE＝∠ADF，
∴DF∥BE.
AODO
6．解：不正确．理由：由△AOD∽△COB不能得到＝.
BOCO
第3课时 相似三角形的判定定理3
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 三边对应成比例的两个三角形相似
1．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝9 cm，BC＝8 cm，CA＝5 cm，A′B′＝4.5 cm，B′
C′＝2.5 cm，C′A′＝4 cm，则下列说法错误的是( )
A．△ABC和△A′B′C′相似
B．AB和A′B′是对应边
C．∠C和∠C′是对应角
D．BC和B′C′是对应边
图25－4－15
2．教材习题A组第3题变式如图25－4－16，在4×4的正方形网格中，每个小正方
形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与图25－4－15中△ABC相似的三角形所
在的网格图形是( )
图25－4－16
3．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形
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木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形木框( )
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断是否相似
4．如图25－4－17所示，要使△ABC∽△DEF，则x＝________．
图25－4－17
5．要判定△ABC∽△A′B′C′，已知＝
ABBC
，还要添加条件：______________(填角
A′B′B′C′
的关系)或________________(填边的关系)．
6．如图25－4－18，O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′，
OA′OB′OC′
B′，C′，使得＝＝＝3，连接A′B′，B′C′，A′C′，所得△A′B′C′与
OAOBOC
△ABC是否相似？请证明你的结论．
图25－4－18
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知识点 2 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
7．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，当AC＝3，AB＝5，DE＝10，EF
＝8时，Rt△ABC和Rt△DEF________(填“相似”或“不相似”)．
8．8．如图25－4－19，AB⊥BC于点B，AC⊥CD于点C，AB＝4，AC＝6，当AD＝
________时，△ABC∽△ACD.
图25－4－19
9．如图25－4－20，点B，A，E在同一条直线上，AD⊥BD，CE⊥AE，垂足分别为
D，E，AB＝3CA，BD＝3AE.求证：△ABD∽△CAE.
图25－4－20
规律方法综合练 提升能力
10．下列各选项不能判断△ABC与△DEF相似的是( )
A．∠C＝∠D＝90°，∠B＝32°，∠E＝58°
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