2023年全国新高考一卷数学真题及参考答案

2023年11月21日发(作者：林肯大陆二手车)

2023年全国新高考一卷数学真题及答案解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则∩（）

M??2，?1，0，1，2

??

N?xx?x?6?0

M

N?

2

??

?1，0，1?2，0,1,2?22

????????

ABD

....

2.已知），则（

z

?z?z?

C

1

?

i

22

?

i

BAD1

....

i?i

C0

???

??

?

3.已知向量，.若，则（）

a?1,1

??

b?1,?1a?b?a?b

??

??

????

ABD

....

????????

??1???1?1?-1

4.设函数）在区间单调递减，则的取值范围是（

fx

??

?2

xx?a

??

C

??

0,1

a

?2??，?2,00,2??2，

????

ABD

....

????

C

xx

22

22

5.设椭圆

C：C：1

12

2

?y?1?y?

??

a?1

，的离心率分别

e,e

12

.若，则

e?3e

21

4

a

a?

（）

ABD

....

23

3

2

22

C

36

）6.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

??

0，?2

x?y?4x?1?0

?

sin?

?

A1BD

....

15106

444

C

??

S

n

??

为等差数列，则（）7.记

??

n

Saa

nnn

为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：

????

n

AB

.甲是乙的充分条件但不是必要条件.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C

.甲是乙的充要条件.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知

sin??cossin?cos2?2?

??

??????

D

），，则（

AB

...

7117

9999

11

??

36

D

.

??

C

1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据

x,x,?x

1266

，其中

x

1

是最小值，是最大值，则（）

x

A

.

x,x,x,xx,x,?x

2345126

的平均数等于的平均数

B

.

x,x,x,xx,x,?x

2345126

的中位数等于的中位数

C

.

x,x,x,xx,x,?x

2345126

的标准差不小于的标准差

D

.

x,x,x,xx,x,?x

2345126

的极差不大于的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L

p

??

20lg

源的声压级：

p

，其中常数是听觉下线的阈值，是实际声压.下表为不同声

pp?0

00

??

p

p

0

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060~90

混合动力汽车1050~60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为

p,p,p

123

，则

（）

AB

..

p?p

1212

p?10pp?100p

2330

22

C

..

D

p?100p

）11.已知函数的定义域为，，则（

fx

??

R

fxy?yfx?xfy

??????

AB

..

f0?0f1?0

????

Cx?0

.是偶函数.为的极小值点

fxfx

????

D

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）

1

内的有（）

AB

.直径为的球体.所有棱长均为的四面体

0.99m1.4m

C0.01m1.8m1.2m0.01m

.底面直径为，高为的圆柱体.底面直径为，高为的圆柱体

D

2

三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或

3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有种（用数字作答）.

14.在正四棱台，，则该棱台的体积

ABCD?ABCD1

111111

中，，

AB?2

AB?

AA?2

1

为.

15.已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围

fx?cosx?1?00,2

????

???

??

?

是.

xy

22

16.已知双曲线

C：，

22

??1a?0b?0

??

的左、右焦点分别为，点在上.

F，F

12

A

C

ab

点在轴上，，，则的离心率为.

B

y

FA?FBFA??FB

1122

2

C

3

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.已知在中，，.

?ABCA?B?3C

2sinA?C?sinB

??

（1）求；

sinA

（2）设，求边上的高.

AB?5

AB

18.如图，在正四棱柱.点

ABCD?ABCD4

111112222

中，，

AB?2

AA?

A,B,C,D

分别在

棱，，.

AA,BB,CC,DD1

11112222

上，

AA?BB?DD?2CC?3

（1）证明：

BC∥AD

2222

；

（2）点在棱

P

BBP?AC?D

1222

上，当二面角为150°时，

求.

BP

2

19.已知函数.

fx?ae?a?x

??

x

??

（1）讨论的单调性；

fx

??

（2）证明：当时，

a?0

fx?2lna?

??

3

.

2

3

nn

2

?

????

babS,Ta

nnnnnn

20.设等差数列，记

??

的公差为，且，令分别为数列，

dd?1

?

a

n

的前项和.

n

（1）若，求

3a?2a?a21

21333

，

S?T?

??

a

n

的通项公式；

（2）若，求.

??

b99

n

为等差数列，且

S?T?

9999

d

21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则

换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命

0.6

中率均为，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为.

0.80.5

（1）求第次投篮的人是乙的概率；

2

（2）求第次投篮的人是甲的概率；

i

i?1,2,?,n

，服从两点分布，且，

（3）已知：若随机变量

XPX?1?1?PX?0?q

iiii

????

则，记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，

EXq

??

??

ii

?

ii

??

11

nn

Y

nn

求.

EY

??

22.在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点

xOy

PP

x

??

0，

的距离，记动点的轨

P

迹为.

W

（1）求的方程；

W

（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于.

ABCDWABCD

33

??

??

1

2

4

参考答案

一、选择题

12345678

CADDABCB

1.解：，∴

N???，?2?3，??M?N?2

????

??

11

?

i

??i?

，∴2.解：

z?z??i

222

?

i

??

22

??

3.解：，∴，

∵a?b?a?ba??a?b?b?21??0

????????

????

z

????

??

∴

??

?-1

4.解：由复合函数的单调性可知在区间单调递减，∴，∴的取值

y?xx?a0,1

????

范围是.

?

2，??

?

a

?1

a

2

5.解：由题意得：，，得.，解得

e

1

??

2

2

323

aa

22

??

111

e?a?

2

23

aa

2

5R?

6.解：易得，故圆心，

??

x?2?y?5

B2,0

??

记，设切点为，

A0，?2

??

M,N

则，，可得

AB?22

BM?5AM?3

sincos??sin???

??

15

??

AM

35

，∴

sin2sincos

?

?

MBA

224

22

AB

2222

nn

??

?

1

dSna

，7.解：甲：∵

2

??

a

n

为等差数列，设其首项为，公差为，则

a

1

d

n

??

1

∴，，故为等差数列，则甲是乙

SSS

nnn

nddd

?

1

??

S

???????

adna

11

?

1

??

n

nnn

22212

?

??

n

的充分条件；

反之，为等差数列，即为常数，

??

SSnSnSnaS

nnnnnn

???

111

???

??

1

??

S

n

???

nnnnnn

??1?1

1

????

??

n

naS

nn

?

1

?

?

t

，故，设为，即

Snatnn

nn

????1t

?

1

??

nn

??

?

1

故，，

Snatnn

nn

?

1

??1???1

????

n?2

5

两式相减有：，即，

a?na?an??tna?a?t

nnnnn

??

11

??

122

对也成立，故

n?1

??

a

n

为等差数列，∴甲是乙的必要条件

综上，甲是乙的充要条件.

8.解：∵

sin??sincos?cossin?cossin?

??

????????

11

，，

36

1112

则

sincos?sin??sincos?cossin???

????????

，故.

??

2363

12

??

cos2212sin12

????

????

????????

2

??

.

93

??

2

二、选择题

9101112

BDACDABCABD

10.解：∵，即

LL1

12

??20?lg?20?lg?20?lg?0?

pppp

1211

，∴∴A

p?p

12

pppp

0022

1

p

pp

1

正确；，∴，∴B错误；

LL

23

??20?lg?10?

22

，即

lg

2

?10

2

p

3

pp

33

2

∵，∴C正确；

L10100

3

?20?lg?40??

pp

33

，∴

2

pp

00

ppp

111

?????100???

90504020lg

，∴

lg2LL

，∴，∴D正确.

ppp

222

12

11.解：选项A，令，则，故A正确；

x?y?0

f0?0?f0?0?f0?0

??????

选项B，令，则，则故B正确；

x?y?1

f1?1?f1?1?f1f1?0

????????

选项C，令，则，则，

x?y??1

f1??1?f?1??1?f?1

??????????

f1?0

??

22

再令，则，即，故C正确；

y??1

f?x??1?fx?xf?1

????????

f?x?fx

????

2

2

选项D，对式子两边同时除以，得到：，故

xy0

2222

??

xy???

fxyfyfx

??????

2222

xyyx

?

xxx

2

ln,0

?

fx

??

可设，故可以得到

2

?lnxx?0

??

fx

??

?

?

，故D错误.

x

?

0,0

x

?

6

12.解：选项A，球直径为，故球体可以放入正方体容器内，故A正确；

0.99?1

选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为，故B正确；

2?1.4

选项C，底面直径，可以忽略不计，但高为，为正方体的体对角线的

0.01m

1.8?33

长，故C不正确；

选项D，底面直径为，高为的圆柱体，其高度可以忽略不计，故正确

1.2?3

三、填空题

13.；14.；15.；16.

642??3

0.01m

D.

73

65

65

?

11

13.解：当从这门课中选修门课时，共有；当从这门课中选修门课时，

883

2

CC?16

44

共有；综上共有64种.

CC?CC?48

4444

14.解：如图，将正四棱台

ABCD?ABCD

1111

补成正四

棱锥，则，，，

AO?2SA?22

1221

OO?

1

6

2

故.

V?S?S?SSh??????

11676

1212

2121

2222

3326

??

?

?

15.解：令得，又，则，

fx?cosx?1?0x?0,2x?0,2

??

?????

cosx?1

?

????

∴，即.

4?2?62??3

?????

FA

2

2

2

16.解：由得，设，.由对称性可得

FA??FB

22

?

FA??2xFB?3x

22

3

FB

2

3

FB3x

11

?FA?2x?2aAB?5x

，由定义可得，，，设

??

FAF

12

?

，则

sin??cos

??

33422

xxa

?

，解得，∴，，∴

x?a

AF?2x?2a

1

??

5555

xx

16444

aac

222

??

AF2a

2

?

，在，

?AFF

12

中，由余弦定理可得

cos

?

??

5

16

a

2

即.

5c?9a

可得

e?

四、解答题

22

35

5

7

17.解：（1）由题意得，∴，，∴

A?B?3CA?B?C?4C?

?

C?

∴，

B??A?C??A

?

3

?

4

????

????

?

4

∵，∴

2sinA?C?sinB

??

2sinsin

????

A???A

?

3

?

，

44

即，整理得：

2?sincoscos?

??

??

2222

A?AAsinA

sinA?3cosA

??

2222

??

22

又∵，∴，∴

sinA?cosA?1

A?0，

??

?

sinA?0cosA?0

解得

sinA?cosA?

31010

，

1010

25

5

（2）∵

sinB?sinA?C?sinAcosC?cosAsinC?

??

由正弦定理可知，即，解得

bcb

5

b?210

??

sinsin

BC

3102

102

11

bcA?chS?

sin

，∴设边上的高为，∵

h?bsinA?6h

22

AB

18.解：以为原点，为轴，为轴，

CCDCB

x

y

CC

1

为轴建立空间直角坐标系

z

则，

BC0,0,322,1D

2222

????

0,2,2A，2,0,2

，，

????

（1）∵，∴

BC?0，?2,1AD?0，?2，1?

222222222222

????

（2）设，其中

P0,2,t

??

2?t?4

∴，，，.

PA?2，0，1?tPC?0，?2,3?tDC??2,0,1DA?0,2，?1

222222

????????

BCAD

，∴

BC∥AD

?

?

?

mPA

??

2

0

设平面，则

PACm?x,y,z

22

的一个法向量为

??

?

?

?

mPC

??

2

0

即，令，则.

?

?

210

xtz

???

??

?

z?2

m?t?1,3?t,2

??

?

????

230

ytz

??

?

?

?

nDA

??

22

0

设平面，则

DACn?x,y,z

222

的一个法向量为

??

???

?

?

?

nDC

??

22

0

8

即，令，则.

?

?

???

20

xz

?

z?2

n?1,1,2

??

?

20

yz

?

??

∵二面角

P?AC?D

222

为150°，

∴

cos,cos150

mn

?????

mn

?

mn

63

2814

tt

2

??

，解得：（舍去）或.

t?3t?1

2

∴

BP?1

2

19.解：（1）由题可得

fxae

?

??

??1

x

①当时，，在单调递减；

a?0

fx?0fx??，??

?

??????

②当时，令得

a?0x??lna

fx?0

?

??

∴当时，，在单调递减；

x???,?lnafx?0fx??,?lna

????????

?

当时，，在单调递增.

x??lna，??fx?0fx?lna，??

????????

?

（2）由（1）得当时，.

a?0

fx?f?lna?a?1?lna

????

min

2

设，

ga?a??a?a??a?a?

??

1ln2lnln

??

22

??

??

31

22

则

gaa

?

??

?2?

2

1

，令可得

ga?0

?

??

a?

a

2

∴当

a0,0,

?

????

????

????

????

22

时，，在上单调递减；

ga?0ga

?

????

22

????

22

????

?

??，???，

????

时，，在

ga?0ga

????

当上单调递增.

a

22

????

∴，故，∴当时，

ga?g?ln2?0

??

min

??

??

2

3

ga?0

??

a?0

fx?2lna?

??

.

??

2

2

??

20.解：（1）∵，即，故，

3a?2a?a3daa2d

21331

，∴

???a?nda?nd

a?d

1

nn

nnn

2

??

1

nn1d?3

????

?

nn

??

∴，，，

b

n

ST

nn

??

ad

n

22

d

9

3436

??

d

??21S?T?21

，又，即

22

d

1

2

即，解得或（舍），

2d?7d?3?0d?

d?3

2

33

故

??

aan

nn

的通项公式为：

?3

.

（2）若，

??

b

n

为等差数列，则

2b?b?b

213

，即

2

???

2

2

231234

???

adaa2d

111

??

即，∴或，

a?3ad?2d?0

11

a?da?2d

11

nn1d?3

????

?

nn

，.当时，，故

TS

nnn

?a?da?nd?

22

d

9910099102

??

d

又，即，

S?T?99??99

9999

22

d

51

2

即，∴或（舍）.

50d?d?51?0d?

d?1

50

nnn

nn3d?1

????

?

当时，，故，.

a?2dand???

1

nnnn

??1

??

，

bST

dd

22

9910299100

??

d

又，即，

S?T?99??99

9999

22

d

51

2

即，∴（舍）或（舍）.

51d?d?50?0d??

d?1

50

51

综上所述：.

d?

50

1

21.解：（1）第二次是乙的概率为.

0.5?0.4?0.5?0.8?0.6

（2）第次投篮的人是甲的概率为

i

p1?p

ii

，则第次投篮的人是甲的概率为，

i

则

pppp

i?iii

1

?0.6?0.21??0.4?0.2

??

，

构造等比数列，解得，

pp

i?i

1

?????

???

则，∴

pp

i1i

?

???

21

??

53

121

??

111

??

，又

p?p??

11

353

??

236

i

?i?

11

112121

????

∴

pp

ii

??????

????

，则.

365653

????

n

??

2

1

?

??

n

152

nn

??

??

5

??

?

（3）当时，.

n?N

EYppp

??

???????????

12

n

??

1

??

2

631853

??

??

??

1

?

5

10

52n

??

??

当时，，符合上式，故.

n?0

EY?0

??

EY

??

???

??

1

??

1853

??

??

??

??

??

n

1

2

22.解：（1）设，∵点到轴的距离等于点到点

Px,y

??

PP

x

??

0，

的距离，

∴，化简得.故的方程为.

y?x?y?

1

??

11

??

y?x?y?x?

22

44

2

??

2

2

W

（2）不妨设三点在上，且有.

A,B,D

W

BA?DA

设，由对称性不妨设，

Aaa

??

,

?

??

??

2

1

1

?，

k?1

，设的斜率分别为

BA，DA

k

4

k

2

则直线的方程为：

BA

y?kx?a?a?

??

1

4

1

?

2

yx

??

?

?

4

22

联立，整理可得：，则

?

x?kx?ka?a?0

x?x?k

AB

?

ykxaa

????

??

2

1

?

4

?

∴

AB?x?x?y?y??kk?a

????

ABAB

22

11

?a??

2AD

2

k

k

12

2

同理可得：

1

∴

AB?CD

?1?kk?2a

???a

12

2

11

k

2

k

??

111

??

22

???????????

1221

kkaakk

??

??

kk

??

??

32

??????

121111

???

mmm

设，

fmmmfmm

??

?????????

2

??

?

k

k

2

2

3

mm

3323

，则

?

??

22

mm

00，

?

上单调递增，可知在

fm

??

???

上单调递减，在

，

∴在上最小值为

fm0，1

????

f

??

?

∴，由于两处相等的条件不一致，

AB?CD?fk?3

????

????

11

22

??

127

??

24

，

??

3

2

2

∴矩形的周长为.

ABCD

2AB?CD?33

11

??