2023年新高考数学创新题型微专题02 函数与导数(新定义)(解析版)_百

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2023年11月21日发(作者：cvt无级变速箱好不好)

专题02函数与导数（新定义）

一、单选题

1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数

学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高

????

xy?x

斯函数”，例如：，则函数的值域是（）

?2.5??3,2.7?2

.已知函数

A．B．C．D．

?1,1?1,1

【答案】B

????

?1,0?1,0

【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；

方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；

e12

??fx

【详解】方法一：函数，

e11e

因为，所以，

e?01?e?1

所以

????

..所以

????

111

，即.所以

?1?fx?1

当时，；

?1?fx?0

fx??1

当时，

0?fx?1

fx?0

故的值域为

?1,0

故选：B.

方法二：由，得

因为，所以，解得

e?0

?1?fx?1

当时，；

?1?fx?0

fx??1

当时，

0?fx?1

fx?0

所以的值域为

?1,0

故选：

（秋安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集中定义一种运算，具有下列性质：．

2019··“”2

①对任意a，，；

b?Ra?b?b?a

②对任意，；

a?R

a?0?a

③对任意a，，．

b?R

????????

a?b?c?c?ab?a?c?b?c?2c

则函数

fx?x?x??

A．B．C．D．

??,5

【答案】

【分析】注意新定义的运算方式即可

2,2

的值域是（）

?5,5

xxx

3139

【详解】在③中，令，则，所以．

c=0a?b?ab?a?b

fxxx

???????

222228

函数在；在时取最大值，最大值为5，所以函数

x??

时取最小值，最小值为

x?2

fx?x?x??

2,2

的值域是

．

故选：．

abcd

ΔΔ

3．（2023·上海·统考模拟预测）设

x?y?x?y?x?y,xΔy?x?y?x?y

，若正实数满足：

a,b,c,d

acbd

???

bcad

则下列选项一定正确的是（）

A．B．

d?b

C．D．

bΔc?ad?c?a

【答案】

????

abababab

????

【分析】对新定义进行化简，分别在条件，，，下化简，

????

aΔb?cΔd

cdcdcdcd

????

b?c

结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项

xxy

【详解】因为，

xyxyxy

??????

yxy

xyxyxy

?????

，

xxy

abcd

ΔΔ

又

acbd

???

bcad

ababcdcd

???????

所以，

acacbdbd

???????

bcbcadad

???????

(1)若

a?b,c?d

则，不等式

a?b?a?b?c?d?c?d

可化为，则，所以，

2b?2db?dc?d?b

①若，则可化为，矛盾，

a?c?d?ba?d

a?c?a?c?b?d?b?d

②若，则可化为，矛盾，

c?a?d?b

a?c?a?c?b?d?b?d

c?d

③若，则可化为，矛盾，

c?d?a?b

a?c?a?c?b?d?b?d

c?d

(2)

若则，不等式

a?b,c?d

a?b?a?b?c?d?c?d

可化为，所以，

b?cd?c?b

①若，则可化为，矛盾，

a?d?c?ba?d

a?c?a?c?b?d?b?d

②若，则可化为，满足，

d?a?c?ba?d

a?c?a?c?b?d?b?d

b?c?b?c?a?d?a?d

可化为，满足，

b?d

③若，则可化为，满足，

d?c?a?b

a?c?a?c?b?d?b?d

c?d

b?c?b?c?a?d?a?d

可化为，满足，

b?d

(3)

若

a?b,c?d

则，不等式

a?b?a?b?c?d?c?d

可化为，所以

a?c

d?c?a

①若，则可化为，满足，

b?d?c?ac?b

a?c?a?c?b?d?b?d

b?c?b?c?a?d?a?d

可化为，满足，

c?d

②若，则可化为，满足，

d?b?c?a

a?c?a?c?b?d?b?d

c?d

b?c?b?c?a?d?a?d

可化为，满足，

c?d

③若，则可化为，满足，

d?c?b?a

a?c?a?c?b?d?b?d

c?d

b?c?b?c?a?d?a?d

可化为，满足，

b?d

(4)若

a?b,c?d

则，不等式

a?b?a?b?c?d?c?d

可化为，所以，

a?dc?d?a

①若，则可化为，满足，

b?c?d?ac?b

a?c?a?c?b?d?b?d

b?c?b?c?a?d?a?d

可化为，矛盾，

c?d

②若，则可化为，矛盾，

c?b?d?ac?b

a?c?a?c?b?d?b?d

③若，则可化为，矛盾，

c?d?b?a

a?c?a?c?b?d?b?d

c?d

综上，或或或或，

b?d?c?ad?b?c?ad?c?b?ad?a?c?bd?c?a?b

由知，A错误；

b?d?c?a

由知，B错误；

d?c?b?a

当时，，

d?a?c?b

bΔc?b?c?b?c?b?c?c?b?2b

取可得，满足条件但，

d?7,a?6,c?2,b?1

bΔc?2?a

错误；

当时，，

b?d?c?a

d?c?d?c?d?c?2d?a

当时，

d?b?c?a

d?c?d?c?d?c?2d?a

当时，，

d?c?b?a

d?c?d?c?d?c?2d?a

当时，，

d?a?c?b

d?c?d?c?d?c?2d?a

当时，，

d?c?a?b

d?c?d?c?d?c?2d?a

故选：D.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去

解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解但是，透过现象看

本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说新题不一定是难题，掌握好三基，以不变应万变才是制胜

“”“”

法宝.

4．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数

y?fx

，若存在，使，

fx??f?x

????

xxx

2,0

则称点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在

x,fx

与点

?x,f?x

()

mxx

2,0

“隐对称点”，则实数

的取值范围是（）

A．B．

222,0,222

????

D．C．

0,222

????，

222

【答案】C

【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化

为方程的取值范围．

mx?2??x?2x(x?0)

的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数

【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，

设的图象与函数

fx?x?2xx?0

????

的图象关于原点对称，

令，则，

x?0

?x?0

f(?x)?(?x)?2(?x)?x?2x

，

所以，

g(x)??f?x??x?2xx?0

????

xxx

2,0

因为，又，

()

f0?2??f0

????

mxx

2,0

所以原题义等价于与在上有交点，即方程，

g(x)

f(x)

0,?

mx?2??x?2x(x?0)

有零点，则

mx2

????

又因为，即时，等号成立，，当且仅当

???????????

x22x2222

x?2

所以，即．

m??2?22

m,222

?????

故选：

【点睛】关键点睛：本题突破口是理解隐对称点的定义，将问题转化为与在上有交点的

“”

g(x)

f(x)

0,?

问题，从而得解

（高二单元测试）能够把椭圆．

2023·5

?y?

的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的可

“

分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（）

A．B．

fx?4x?x

C．D．

fx?sinx

【答案】

【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到为奇函数，为偶函数，得到答案

ABCD.

【详解】对选项：

fx?4x?xf?x??4x?x??fx

，，函数为奇函数，满足；

????

对选项：，解得，且，函数为，函数定义域满足

fxfxfx

??????

?????

lnln

奇函数，满足；

?5?x?5

对选项C：为奇函数，满足；

fx?sinx

xxxx

对选项D：，，函数为偶函数，且，不满足.

fxfxfx

??????

?e?e??e?e?

f0?2?0

故选：

（秋江苏无锡高一统考期末）设，计算机程序中用表示不超过的最大整数，则．

2023··x6

x?R

INTx

y?INTx

称为取整函数．例如；．已知函数，

INT?2.1??3,INT1.2?1

????

fxx

????

loglog4

其中，则函数的值域为（）

2?x?16

y?INTfx

．．

?1,0,1

121

．．

?1,0,1,2

0,1,2

【答案】

【分析】化简，令，，由二次函数的性质求出函数的值域，

fxfx

????

t?logx

ftttt

????

根据定义求函数的值域.

y?INT(f(x))

【详解】因为

fxxxx

??????

????????

??x?x?

111

loglog4loglog4

2222

34,,4

log3log4

，

令，因为，所以，

t?logx

2?x?16

所以，

ftttt

????

34,,4

因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，

ftft

????

t?3

3,4

当时，

t?3

ft?f??

????

min

，

121

时，

ftf

max

121

所以的值域为

当

当，

??fx?

时，

y?INTfx??1

当时，，

0?fx?1

y?INTfx?0

当时，，

1?fx?2

y?INTfx?1

当，

?fx?

时，

y?INTfx?2

所以函数的值域为，

y?INTfx

{?1,0,1,2}

故选：

（山东菏泽统考一模）定义在实数集上的函数，如果．

2023··7

y?fx

?x?Rx

，使得，则称为

fx?x

函数的不动点给定函数，，已知函数，

fxfx

????

fx?cosxgx?sinx

????

fgx0,1

，在上均

gfx

存在唯一不动点，分别记为，则（）

x,x,x

123

A．B．C．D．

x?x?xx?x?xx?x?xx?x?x

312231213321

【答案】C

【分析】由已知可得，则，上恒成立.

cosx?xcosx?x?0

1111

sincosx?sinx?0

.然后证明在

x?sinx

0,1

令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出

Fx?sincosx?sinx

????

Fx0,1

x?x

.令

Gx?cosx?x

，根据导函数可得在上单调递减，即可推得

Gx0,1

????

x?x

【详解】由已知可得，，则，

cosx?xcosx?x?0

1111

且

sincosx?sinxsincosx?sinx?0

1111

，所以

又

cossinx?xsincosx?x

2233

，

令，，则恒成立，

hx?x?sinxx?0,1

????

hx?1?cosx?0

所以，在上单调递增，所以，所以

hx0,1

hx?h0?0

????

x?sinx

所以，

sincosx?x?sinxsincosx?sinx?0

33333

，即

令，，

Fx?sincosx?sinx

????

x?0,1

因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，

y?sinx

????

0,10,1

y?cosx

0?cosx?1

根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，

y?sincosx0,1

所以在上单调递减.

Fx0,1

又，，所以

Fx?0

Fx?0?Fx

????

x?x

因为在上单调递减，，所以

y?cosx

0,1

sinx?x

cossinx?cosx

又，所以，即

cossinx?x

x?cosxcosx?x?0

2222

令，，则恒成立，

Gx?cosx?xGx??sinx?1?0

????

x?0,1

所以，在上单调递减.

Gx0,1

????

又，，

Gx?cosx?x?0Gx?cosx?x?0?Gx

??????

1112221

所以

x?x

综上可得，

x?x?x

213

故选：C.

【点睛】关键点点睛：证明在上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调

x?sinx

0,1

性得出大小关系.

8．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）在定义域内存在

x,xx?x

121212

，使得成立的幂函数称

fx??fx

????

为亲幂函数，则下列函数是亲幂函数的是（）

“”“”

．．

fx?x

．．

fxx

【答案】

【分析】根据函数的范围即可判断、项；项不是幂函数；求出即可判断项

ADBC.

f?x??fx

????

【详解】对于项，恒成立，故项错误；

fx?x?0

对于项，不是幂函数，故项错误；

fx?

fxx

对于项，因为，只要即可，故项正确；

fxxxfx

??????

???????

x??x

对于D项，恒成立，故D项错误.

???

故选：

aab

（秋广东深圳高一深圳外国语学校校考期末）对实数与，定义新运算．

2022··ab:9

，

bab

设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围

fx?x?2?x?x

y?fx?c

????

是（）

．．

?2,?1

????

．．

????

1,,

????

??????

,21,

????

【答案】A

【分析】先化简函数的解析式，再作出函数的图象，转化为直线与函数的图象有两个

fxfx

????

y?c

f(x)

交点，数形结合分析即得解.

【详解】令，解得

x?2?x?x?1

??x?

????

，

xxx

??????

,,1,

???

所以，

()

???

2,1,

当

xx?x??x??

331

时，，；

244

当时，

x=1

x?x??2x?2??1

，；

作出函数的图象，如图，

f(x)

若的图象与轴恰有两个公共点，

y?f(x)?c

即直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得

y?c

f(x)

(,21,

?????

故选：

1,0,

10．（2022秋·山东日照·高一统考期末）已知符号函数

sgn0,0,

则“”是“”的

sgn(a)?sgn(b)

ab?0

1,0,

（）

B．充分不必要条件A．充要条件

D．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件

【答案】

【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义求解即可

【详解】若，则；

sgna?sgnb

????

ab?0

若，则同号，所以．

ab?0

a,b

sgna?sgnb

????

故

“

sgna?sgnb

????

”“”

是的必要不充分条件．

ab?0

故选:C.

11．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数

的定义域为，若，满足，

?x?D,?x?D

xfx

则称函数具有性质．已知定义在上的函数，则实数的

fx0,?

????

fx??x?mx?3

具有性质

取值范围是（）

A．B．C．D．

??,2?,4

【答案】

【分析】根据函数新定义可推得

?x?0,?,?x?0,?fx?1?x

????

，恒成立，即，

fx??x?mx?3

2,??4,??

x?0,??

的值域，满足，求出，列出不等式，即可求得答案

MM.

(??,1)?M

【详解】由题意得定义在上的函数，

0,?

fx??x?mx?3

具有性质

即，

?x?0,?,?x?0,?

????

，满足

x?fx

即

?x?0,?,?x?0,?fx?1?x

????

，恒成立；

记函数，

fx??x?mx?3x?0,??

，的值域为，

1?x?(??,1)

则由题意得

(??,1)?M

当，即时，在单调递减，

m?0

fx??x?mx?3

x?0,??

则，即，舍去；

fx?f(0)??3

M?(??,?3)(??,1)?M

,此时不满足

当，即时，在

m?0

fx??x?mx?3,x?0,?

????

时取得最大值，

mmmm

??????M????fx

()33(,3]

，即,

2244

即

max

要满足，需，解得或，

(??,1)?M

m?4m??4

而，故，即m的取值范围为，

m?0m?4

4,??

故选：

【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出

?x?0,?,?x?0,?fx?1?x

????

，恒成立，继而将

问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数

fx??x?mx?3

的值域，根据集合的包含关系列不等

式求解即可

（秋青海西宁高一统考期末）定义：对于．

2023··12

定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一

个使得为正积函数下列函数是正积函数的是（）

fxfx?1

????

成立，则称函数

“”.“”

BACD

．．．．

fx?

????

efx?lnx

【答案】B

sin

fx?

efx?cosx

【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.

【详解】对于A，，

fx?lnx

由

fxfx?lnxlnx?1?lnxlnx?1

????

121212

，

当时，则不存在满足情况，故A不是正积函数；

x?1

对于B，，

fx?

由

fxfx?????x?x?

????

1212

ee1ee10

xxxx

1212

，

则任意一个自变量的值，都存在唯一一个满足，

x?x?0

故是正积函数；

sin

对于，

fx?

，

由，

fxfx

????

??????

ee1ee1e1

sinsinsinsinsinsin

xxxxxx

121212

得，

sinx?sinx?0

当时，则，，，则不唯一，故不是正积函数；

x?0sinx?0x?kπ

k?Z

对于，，

fx?cosx

由

fxfx?cosxcosx?1?cosxcosx?1

????

121212

，

当满足情况，故不是正积函数

cosx?0,1

时，则不存在

故选

:B.

（全国高三专题练习）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则．

2023··13

y?fxy?xfx

称在区间上是弱减函数若在上是弱减函数，则的取值范围是（）

y?fxm,??

“”.“”

ABCD

．．．．

???

0,e0,e

【答案】C

【分析】依题意只需在上是减函数，利用导数说明的单调性，即可得到

lnx

(m,??)

lnx

e,??e,??

???

????

m,???e,??

，从而求出参数的取值范围.

【详解】解：对于，则在上单调递增，

易知，

m?0

lnx

y?xfx?lnx0,?

lnx

在上是弱减函数，

(m,??)

“”

lnx

在上是减函数，且在上是增函数，

(m,??)(m,??)

y?xf(x)?lnx

易知在上是增函数显然成立，

y?xf(x)?lnx

(m,??)

故只需在上是减函数，

lnx

(m,??)

()

1ln

，

lnx

在上单调递减，故

e,??

故当时，，当时，，

0?x?e

f(x)?0f(x)?0

x?e

故，

????

m,???e,??

故，即；

m?e

m?e,??

故选：

（秋山东青岛高三统考期末）已知定义域为的类康托尔函数满足：①．

2022··“”14

0,1fx

?0?x?x?1

，

????

fx?fx

????

；②

fx2ff

????

；③（）

fx?f1?x?1

????

则

????

32023

ADBC

．．．．

256

32128

【答案】

【分析】根据函数的定义分别赋值得到得到

f?f?fx??f

(1)1,()

，然后再利用，

fx2f

223

()2()

再次赋值，利用，即可求解

?0?x?x?1

fx?fx

????

【详解】因为，，令可得：，

?0?x?x?1

fxf

x?0

f(0)?0

又因为，令可得：，令

fx?f1?x?1

????

x?0

f(1)?1

x?f?

111

可得：，

()

222

xxx

由可得：

fxf

fx?f??f????f

()2()2()2()

，

333

令，则有

x?1,n?7

f?f?ff?

(1)2()128()()

1111

，所以，

321872187128

111

，所以令

()

，，则有，

n?6

f?f?f?

()2()64()

1458128

2314582

因为，所以

也即

111111

)()()(

?f?ff

，

218720231458218720231458

11111

?f??f

())(

，所以，

12820231282023128

故选：

（辽宁沈阳东北育才学校校考一模）定义两种运算：．

2016··15

a?b?a?b

，

a?b?a?b

的解析式为（）

，则函数

，

x??2,0?0,2

．

，

x???,?2?2,??

????

，

x???,?2?2,??

????

．

，

x??2,0?0,2

．

【答案】

【分析】根据已知的定义可化简得到，根据函数定义域的求法可求得，结

x??2,0?0,2

合定义域再次化简函数解析式即可得到结果.

244

???

xxx

???

【详解】由题意知：，

????

2222

由得：或，即定义域为，

?2?x?00?x?2

?2,0U0,2

???

220

，

x??2,0?0,2

????

故选：A.

16．（2023·全国·高三对口高考）定义

实数的取值范围是（）

A．C．D．B．

?2,????,?2

【答案】D

【分析】利用给定的定义求出函数，再求出其单调递减区间即可求解作答.

【详解】由给定的定义知

fx?x?1x?3?2x?x?4x?3?x?2?7

????????

，

显然函数的单调递减区间是，而函数在上单调递减，

fxfx

????

??,?2??,m

于是得，因此，

????

??,m???,?2

m??2

所以实数的取值范围是

??,?2

故选：

（秋广西河池高一校联考阶段练习）定义在上的函数，若对于任意的．

2022··17

????

0,?fx

x?x

，恒有

xfxxfx

2112

????

，则称函数为纯函数，给出下列四个函数（）；（）

“”12

fx?1?x

fx?x

；

adbc

，若函数在上单调递减，则

??,m

??,?2?2,??

（）；（）

fx?x

fx??x

，则下列函数中纯函数个数是（）

D3A0B1C2

．．．．

【答案】C

【分析】设，由得，即，即为

x?x?0

xfxxfx

2112

????

xxxx

xfx?xfx

2112

??????

fxfx

????

0,?

上的减函数，逐个判断即可

【详解】由题知，

设，由得，即

x?x?0

所以为上的减函数，

xfxxfx

2112

????

xxxx

xfx?xfx

2112

????

fxfx

????

0,?

为上的减函数，所以为纯函数；对于（），因为函数

????

0,?fx

对于（），因为函数在上为减函数，所以是纯函数；

????

0,?fx

对于（），因为函数为上的增函数，所以不是纯函数；

????

0,?fx

对于（），因为函数为上的增函数，所以不是纯函数，

????

0,?fx

故选：C.

18．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）对于函数

f(x)

，若集合中恰

{x|x?0,f(?x)??f(x)}

有个元素，则称函数是“阶准奇函数”．若函数，则是“（）阶准奇函数”．

f(x)f(x)

()=

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【分析】根据“阶准奇函数”的定义，可将问题转化为与的图象交点个数的问题，

y?sin(?x)

y??lg(x?1)

作出两个函数图象可得结果．

【详解】由时，，得，

x?0

f(?x)??f(x)

sin?x??lg(x?1)

下图为与的图象，

y?sin(?x)

y??lg(x?1)

lg?1,?0

sin,0

由图可知，当时，两个函数图象有4个交点，即．

x?0

k?4

故选：．

（秋上海徐汇高一位育中学校考阶段练习）定义．

2022··19

{x}

为不小于的最小整数（例如：，

{5.5}?6

{?4}??4

），则不等式的解集为（）

{x}?5{x}?6?0

D．A．B．C．

(1,4][2,4)(1,3]

[2,3]

【答案】C

【分析】先根据已知二次不等式求出，进而可求的范围

{x}

【详解】为不小于的最小整数，所以

{x}?5{x}?6?0

解得，

2?x?3

{x}

1?x?3

故选：

20．（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）设

f(x),g(x),h(x)

是上的任意实值函数．如下定义两个

函数和，对任意，，则下列等式不恒成立

f?g(x)

(f?g)(x)(f?g)(x)?f(x)g(x)

x?R,f?g(x)?f(g(x))

的是（）

B．A．

??????????

(f?g)?h(x)?f?h?g?h(x)f?g?h(x)?(f?h)?(g?h)(x)

????

D．C．

((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x)

????

??????

f?g?h(x)?f?h?g?h(x)

【答案】

【分析】根据定义两个函数和对任意，；，然

(f?g)(x)((f?g)(x)(f?g)(x)?f(g(x))

(f?g)(x)?f(x)g(x)

后逐个验证即可找到答案．

【详解】对于A,，，

?(f?g)(x)?f(g(x))

(f?g)(x)?f(x)g(x)

?((f?g)?h)(x)?(f?g)(x)h(x)?f(g(x))h(x)

；

而；

((f?h)?(g?h))(x)?(f?h)((g?h)(x))?f(g(x)h(x))h(g(x)h(x))

?((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x)

对于B,

?((f?g)?h)(x)?(f?g)(h(x))?f(h(x))g(h(x))

((f?h)?(g?h))(x)?(f?h)?(x)(g?h)(x)?f(h(x))g(h(x))

?((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x)

对于C,，

((f?g)?h)(x)?((f?g)(h(x))?f(g(h(x)))

((f?h)?(g?h))(x)?f(h(g(h(x))))

?((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x)

；

对于，

((f?g)?h)(x)?f(x)g(x)h(x)

((f?h)?(g?h))(x)?f(x)h(x)g(x)h(x)

，

?((f?g)?h)(x)?((f?h)?(g?h))(x)

．

故选：．

（秋上海徐汇高一上海中学校考期末）已知．

2021··21

f(x)

，是定义在上的严格增函数，

g(x)[t,??)

f(t)?g(t)?M

，若对任意，存在

k?M

x?x

1212

，使得成立，则称是在上的

f(x)?g(x)?k

g(x)[t,??)

f(x)

“追逐函数”．已知，则下列四个函数中是

f(x)?x

f(x)

在上的“追逐函数”的个数为（）个．

[1,??)

①；②；④．

g(x)?2x?1

gx?x?

()

；③

()

g(x)2

A1B2C3D4

．．．．

【答案】

【分析】根据“追逐函数”的定义对个函数进行分析，结合差比较法确定正确答案.

【详解】由题意，需满足：

f(x)?x

与在上的值域都是，

g(x)[1,??)[1,??)

且对任意的，的图象恒的上方，

x?(1,??)g(x)

f(x)

当时：

x?1

①的值域符合题意，且

fx?gx?x?2x?1?x?1?0

??????

，符合题意

②的值域符合题意，且

fx?gx?x??

????

③，指数函数比二次函数增长快，比如：

fxgxx

????

???

，符合题意

14777

??????

23333315

????????

当时，

x?15

15151515

????????

??????

22222

????????

??????

319202187

????

150

，不符合题意

④由于，所以不符合题意.

gx22g(x)2

?????

综上所述，正确的有个

故选：

22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如果函数

f(x)f(x)

的定义域为，且值域为，则称

[a,b][f(a),f(b)]

5,02

为函数．已知函数是函数，则的取值范围是（）

““m

ΩΩ

()

xxmx

????

4,24

ABCD

．．．．

[4,10][10,14][14,??)

【答案】C

[4,14]

【分析】由题意可得的值域为，又因为当时，的值域为，当时，

f(x)f(x)f(x)

[0,m][0,10]

0?x?2

2?x?4

0410

???

的值域为，所以有，求解即可.

[m?4,m]

【详解】解：由题意可知的定义域为，

f(x)

[0,4]

又因为是函数，

f(x)

“

所以的值域为，

f(x)

[f(0),f(4)]

又因为,

f(0)?0,f(4)?m

所以的值域为，

f(x)

[0,m]

又因为当时，，单调递增，此时值域为，

0?x?2

f(x)?5x[0,10]

当时，

2?x?4

f(x)?x?4x?m

，开口向上，对称轴为，

x?2

此时函数单调递增，值域为，

[m?4,m]

0410

???

所以，解得，

10?m?14

所以的取值范围为

[10,14]

故选：

（秋河南周口高一校考期中）对于函数．

2022··23

f(x)

，若对任意的，，，，，

x?Rf(x)f(x)

312

f(x)

为某一三角形的三边长，则称为可构成三角形的函数，已知是可构成三角形的函数，则

f(x)

“”

()

实数t的取值范围是（）

A．B．C．D．

[0,1][1,2](0,??)

【答案】B

[,2]

【分析】先判断的奇偶性，然后对进行分类讨论，结合的单调性、最值求得的取值范围.

fxfx

????

xtxtt

?????

111

【详解】，，

()1

????

222

f0?t

xxx

???

111

当时，，

t?1

f(x)?1

fxfx

????

的定义域为，，所以是偶函数，

fxfx

????

???

?f(x)f(x)

为偶函数，只需考虑在上的范围，

[0,??)

当时，在单调递减，

t?1

f(x)

[0,??)f(x)?(1,t].

对，，，恒成立，

x?Rf(x)?f(x)?f(x)

3123

需，，.

2f(x)?f(x)

minmax

?t?2?1?t?2

当，在上单调递增，，

t?1

f(x)

[0,??)f(x)?[t,1)

对，，，恒成立，

x?Rf(x)?f(x)?f(x)

3123

?f(x)?2f(x)

maxmin

，，

1?2t

??t?

，

综上：

[,2].

故选：

aab

（秋浙江嘉兴高一校联考期中）定义．

2021··24

max,

，如．则函数

max3,2?3

bab

fx?max2x?1,x

的最小值为（）

ABCD

．．．．

【答案】

【分析】作出函数的图象，数形结合可得出函数的最小值

fxfx

????

【详解】当时，，此时；

x?0

2x?1?x

fx?2x?1?1?2x

当，此时，；

?x?

12,0

???

时，

2x?1?x?1?2x?x?1?3x

当

时，，此时，

2x?1?x?2x?1?x?x?1

21,1

12,

所以，，作出函数的图象如下图所示（实线部分）：

fxxx

???

21,1

因为，，因此，

ffxf

????

1111

????

3333

???

f1?1

min

故选：

（高一课时练习）函数．

2023·25

f(x)f(x)

满足在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为

f(?x)?f(x)

1,0,

“有偶函数”．若函数

是在上的“有偶函数”，则实数的取值范围是（）

axxx

A．B．

?a??a?

1616

C．D．

【答案】D

【分析】根据有偶函数的定义可得对应的方程有解，参变分离后可求参数的取值范围

【详解】因为为上的有偶函数，故存在非零实数，使得，

f(x)

“”

f(?x)?f(x)

若，则，故方程

x?0

?x?0

?x??ax?x

有解，

11111

???

在上有解，而故，

?,0

???????

2416

xxx

111

的值域为，故，故而

a?y

216

若，则，故方程

x?0

?x?0

x??ax?x

有解，

11111

在上有解，而故，

0,?

??????

2416

xxx

而，故的值域为，故

1111

???

ya?

xxx

216

故选：D.

26．（2020秋·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数

和，设函数的定义域为

I,?x?I,m?fx?M

，则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（）

①

②；

e+1

2-1,0

③

,>0

A0B1C2D3

．．．．

【答案】

【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案.

【详解】对于①，，

????

，当且仅当，即时取等；又因为

x??1

所以

???

e1e+122

对于②，，

===1

xxx

e+1e+1e+1

e>0,e+1>1,0<<1,0<<2

，

e+1e+1

1<1<1

，所以

????

=1,1

e+1

对于③，因为当时，，

x?0

fx??

所以时，，，，

x?0

0?2?1?1?2?1?0

0211

???

因为当时，，

x?0

?????

10,11,0

，所以时，

x?0

所以

fx?0,1

???

故在其定义域上有界的函数为①.

故选：B.

27．（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）对于函数

y=fx

，如果存在区间，同时满足下列条件：

m,n

①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐

fxm,nm,nfxm,nm,n

????

????????

区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（）

fxa

?1?(?0)

A．B．C．D．

0,2

【答案】

0,4

【分析】函数在区间是单调的，由，可得、是方程

m,nfn?n

fm?m

x?x?a?0

的两个同号的

不等实数根，由

??1?4a?0

，解不等式即可

【详解】由题意可得若函数在区间是单调的，

fxa

?1?(?0)

m,n

所以，或，，

????

m,n?(??m,n?(0

??)

则，，

fm?m

fn?n

故、是方程的两个同号的不等实数根，

1??

即方程

x?x?a?0

有两个同号的不等实数根，注意到，

mn?a?0

故只需

??1?4a?0

，解得

结合，可得

a?0

?a?

故选：

28．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）对于定义域为的函数，若存在非零实数

f(x)

，使函数

f(x)

在上与轴均有交点，则称为函数的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界

(??,x)(x

和,

??)

f(x)

点”的是（）

．．

f(x)?|x?3|

D．C．

f(x)=x+x

，

f(x)?x?bx?2(b?R)

f(x)?1?|x?2|

【答案】D

【分析】理解题意，明确界点的含义，对于各个函数逐一判定．

【详解】解：根据题意，

对于A，，不妨设，故

f(x)?x?bx?2(b?R)

，故恒成立，则有两个实根

??b?8?0

f(x)=0

x,x

x?x

?x?x,x

012

，使得在上与

f(x)

(??,x)

轴交于点，在上与轴交于点，则为函

(x,)(x,??)(x,0)

f(x)

020

数的一个“界点”；

f(x)

对于B，，使得在上与轴交

f(x)?|x?3|?0

的两根分别为，，故

x?3x??3

?x??3,3

f(x)

(??,x)

于点，在上与轴交于点，则为函数的一个“界点”；

(?3,0)

f(x)f(x)

(x,??)

(3,0)

对于C，，解得或，故，使得在上与轴交于点，

f(x)?1?|x?2|?0

x=3x=1

?x?1,3

f(x)(1,0)f(x)

(??,x)

在上与轴交于点，则为函数的一个“界点”；

(x,??)

(3,0)f(x)

对于，

f(x)?x?x?0

，解得，且在上单调递增，故不存在界点．

x=0x?R

f(x)=x+x

“”

故选：D．

29．（2022秋·江西景德镇·高一江西省乐平中学校考阶段练习）若函数

对任意且，都有

a?0a?1

fax?afx

????

，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（）

A．B．

fx??xfx?x?1

????

C．D．

fx?x

【答案】

fx?2x?x

【分析】根据穿透函数的概念逐项分析即得

“”.

【详解】对于A，因为对任意且，，

a?0a?1

fax??ax?afx

????

所以函数为“穿透”函数，故A不适合题意；

fx??x

对于B，因为对任意且，，

a?0a?1

fax?ax?1?afx?ax?a

????

所以函数不是“穿透”函数，故B适合题意；

fx?x?1

对于，因为对任意且，，

a?0a?1

fax?ax?ax?afx

????

所以函数为穿透函数，故不适合题意；

fx?x

“”C

对于，因为对任意且，，

a?0a?1

fax?2ax?ax?2ax?ax?afx

????

所以函数为“穿透”函数，故D不适合题意.

fx?2x?x

故选：B.

30．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数

及其导函数，若存在使

得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（）

fx?fx

????

．．

y?x

．．

y?cosx

【答案】

【分析】利用新定义：存在，则称的一个巧点，对四个选项中的函数进行

使得是

fx?fx

????

f(x)

“”

一一的判断即可．

【详解】对于A：，则，则，故有“巧值点”；

fx?xfx

f(x)

，令

fx?

f(x)

x?1

对于B，，故方程有解，故有“巧值点”；

fx?ef(x)?ef(x)

()

，则，令

fx?

对于C，，则，令，

f(x)?cosxf(x)??sinx

?sinx?cosx

πππ

ππ,Zsincos02sin0

????????????

xkkxxxxk

则

444

∴方程有解，故函数有巧值点．

f(x)?f(x)f(x)?cosx

“”

????

，而，定义域为，则对于D：

fx?0

x|x?0

f(x)

2xx

显然无根，故没有“巧值点”.

fx?

f(x)

故选：．

（全国高三专题练习）最近公布的年网络新词，我们非常熟悉的有、内卷、躺平．

2023··2021“”“”“”31

yyds

等．定义方程的实数根叫做函数的躺平点．若函数，的躺平

fx?fxfxgx?lnx

????????

“”“

hx?x?1

点”分别为，，则，的大小关系为（）

A．B．C．D．

??????

???

【答案】

【分析】根据题意分析可得，分别为，

Gxlnx

单调性，结合零点存在性定理分析判断

【详解】∵，则，

gx?lnx

由题意可得：，

令，则为的零点，

Gxlnx

Hx?x?3x?1

的零点，利用导数判断原函数

>=-<G=-G

0110,e1

，

()()

可知在定义域内单调递增，且

Gx0,?

∴；

?1,e

又∵，则，

hx?x?1hx?3x

由题意可得：

?1?3

，

令

Hx?x?3x?1Hx

，则为的零点，

Hx?3x?6x?3xx?2

????

，

令，则或，

Hx?0

x?0

x?2

∴在，内单调递增，在内单调递减，

Hx2,??

?,00,2

当时，，则在内无零点，

x???,2Hx?H0??1?0Hx

??????

??,2

当时，，则，

x?2,?H3??1?0,H4?15?0?3,4

??????

综上所述：；

?3,4

故

故选：

【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题

求解的通法是：

(1)

构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

(2)

求导数，得单调区间和极值点；

(3)画出函数草图；

(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．

32．（2022·高二课时练习）设函数

y?f(x)

在上的导函数为，在上的导函数为，

(a,b)(a,b)

f(x)f(x)

若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知上为

(a,b)(a,b)

fx?0

f(x)

fx?x?x?x

()

“”t

凸函数，则实数的取值范围是（）

ABCD

．．．．

[3,??)(3,??)

【答案】

【分析】由在区间上恒成立，结合二次函数的性质求得的取值范围

fx?01,4

【详解】

fx?x?x?x

()

432

在

(1,4)

432

????

5151

????

???

????

432

，

432

fx?x?tx?3x,fx?3x?2tx?3

\'322

????

，

二次函数

fx?3x?2tx?3

的开口向上，

依题意，在上恒成立，

fx?3x?2tx?3?0

1,4

3230

???

所以，解得

，

48830

???

所以的取值范围是

故选：C

33．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）定义方程

f(x)f(x)

的实根的“新驻点”，若函

叫做函数

f(x)

数，，，则，，的大小关系为（）

gx??

()e1(x)?x?1

，，

h(x)?lnx

的新驻点分别为

“”

acac

ABCD

．．．．

a?b?c

c?b?ac?a?b

b?c?a

【答案】

【分析】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得，再引入新函数，利用新函数的导

数确定新函数的零点所在区间，得的范围从而确定它们的大小．

b,c

【详解】由题意：，

gxhxxx

???

()?2e,()?,()?3

3222

所以分别为的根，即为函数

a,b,c

e?1?2e,ln?,?1?3

xxx

gxhxxxxx

111

()?e?1,()?ln?,()??1?3

232

的零点，

可解得；

a?0

h(x)?lnx?x?0

为单调递增函数，

且，所以，

h???h?????

(1)10,(e)lne10

1?b?e

令，解得，或，

()360

x?x?x?

x?0

x?2

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

x?0

()0()0

x?x?

(x)(x)

0?x?2

当时，，单调递增，由，，，

x?2

()0

????

1111

(x)(0)??1(2)??5(3)??1?0

(4)?15?0

，所以，

3?c?4

所以

c?b?a

故选：B.

34．（2022春·山东·高三山东师范大学附中校考期中）定义满足方程

f?x?fx?1

????

的解的

叫做函数

“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）

A．B．

fx?x?3x

fxx

C．D．

fx?lnx

【答案】

fx??x?

esin3

【分析】求出每个选项中函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项

fxf?x?fx?1

??????

【详解】对于选项，

fx?x?3xfx?2x?3

，则，由，

fx?fx?x?x?3?1

????

即

x-x-4=0

，，因此，存在自足点，满足条件；

??1?16?0

fx?x?3x

“”A

对于选项，，则，由，

fxx

????????

??????????

1111

fx1fxfxx11

xxxx

可得，则，，

x?x?1?0

，其中，令

x?0

gx?x?x?1

???

g1?1?0

所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件；

fxx

对于C选项，，则，其中，

fx?lnx

x?0

因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件；

f1?f1?1

????

fx?lnx

对于D选项，，则，

fx??x?fx??x

????

esin3ecos

由，可得

fx?fx??x?x??

????

2esincos31

2esincos20

?x?x??

，

因为，，

sinx?1cosx?1

xxx

所以，

2esincos22e1sin1cos2e0

?x?x????x??x??

????

，

所以，方程

2esincos20

?x?x??

无实解，选项不满足条件

故选：D.

二、多选题

35．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）对于定义域为的函数，若存在区间

y?fx

a,b?D

，使得

同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区

fxfxfx

??????

a,ba,ba,b

间为该函数的一个“和谐区间”，则（）

a,b

A．函数

fx?x?x

有3个“和谐区间”；

B．函数，

fx?sinx

存在“和谐区间”

C．若定义在上的函数

3,12

249

txt

有“和谐区间”，实数的取值范围为

4?t?6

D．若函数有“和谐区间”，则实数

fx?m?x?3

的取值范围为

??m??

【答案】ACD

fab

()

【分析】由函数的单调增，确定的解可判断ABC，由函数单调减，由有解，求得的范

f(x)?x

fba

()

围判断．

【详解】对，因为函数

fx?x?x

在上单调递增，

aaa

所以有，即，为可能取值为，0，

bbb

x?x?x

的两个实根，解得

即函数，，，故A正确；

fx?x?x

222

,0,

的有3个“和谐区间”

222

对，由于当，只有一解，故不存在和谐区间，故错误

B“”B

x?sinx

对，在上有和谐区间，

C“”

249

txt

3,12

所以存在区间，使函数的值域为，

????

a,ba,b

fxt

???

2499

txt

函数在上单调递增，

3,12

的两个实根，即方程在上有两个不等的实根，即，为关于的方程

xtxt

????

3,12

在上有两个不等的实根，令与，问题转化为函数与

3,12

gxxgxx

????

y?2t

在单调递减，在上单调递

3,5

5,12

y?2t

的图象，在上存在两个不同的交点，函数

3,12

gxx

增．

g(x)?g5?8g3?12g12?12

min

，且，，

????

此时，解得，

8?2t?12

4?t?6

故．

4?t?6

对，函数在定义域单调递减，

fx?m?x?3

当的定义域为时，的值域也为，

fxfx

????

a,ba,b

fa?m?a?3?bfb?m?b?3?a

????

①，②两式相减可得，

a?3?b?3?a?b?a?3?b?3

，

即③，

a?3?b?3?1

将③代入②，，

m?b?3?a?a?1?a?3

令，得，又，，

?a?3?0

??????

???

a?b

???

故实数的取值范围为．

??m??

故选：．

ACD

【点睛】思路点睛：新定义函数问题，关键是理解新定义，由新定义把问题进行转化，本题在确定单调增

fab

()

的基础上，确定方程的解，在单调减基础上由有解得参数范围．

f(x)?x

fba

()

（秋云南昆明高一昆明一中统考期末）已知欧拉函数．

2023··36

的函数值等于所有不超过正整

数，且与互素的正整数的个数，例如：，，则（）

1?14?2

．

是单调递增函数．当时，的最大值为

．当．当

为素数时，为偶数时，

x?x?1

【答案】BC

x?8

????

【分析】写出的前8项，可判断ABD；当为素数时，与前个数均互素，从而可判断C.

x?1

【详解】由题意知，，，，，，，，，

????????

1?12?13?24?25?46?27?68?4

????????????

对于A，不是单调递增函数，故A错误；

对于B，当时，的最大值为，故B正确；

x?8

????

对于C，当为素数时，与前个数均互素，所以，故C正确；

x?1

x?x?1

对于D，当时，,故D错误.

x?6

故选:BC.

37．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）对于函数

，若在区间上存在，使得，则称

fx?x

是区间上的稳定函数下列函数中，是区间上的稳定函数的有（）

“”.“”

．

fxxD

???

tan,0,

．

fx?logx?1?2,D?1,?

??????

．

fxxxD

???

1π

,0,

ππ

．

fxxD

????

lncos1,,

【答案】

BCD

【分析】求出以及在上的范围，即可判断A项；解，即可判断B、C项；可

y??tanx

y?x

fx?x

转化为有解，作出与的图象，即可判断项

cose

y?cosx

【详解】对于，当时，恒成立，则恒成立

tanx?0

fx??tanx?0

又，所以，在上，不存在

x?0

，使得，故错误；

fx?x

对于，当时，，故正确；

x?2

log1?2?2

对于，解，，故正确；

x?x?xx?

????

π3π

可得，或，且

x?0

00,0,

????

222

对于，令，可得

fx?lncosx?1?x

cose

分别作出与在上的图象，

y?cosx

ππ

由图象知，函数与在上有交点，

y?cosx

即有解，故正确

fx?x

故选：BCD.

ππ

38．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知定义在上的函数

的图象连续不断，若存在常数，

使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是

fx??fx?0

????

（）

A．函数

fx?a

（其中为常数，为回旋函数的充要条件是

a?0)

??1

B．函数

fx?2x?1

是回旋函数

．若函数

fxaa

?(0??1)

为回旋函数，则

D1011

．函数是的回旋函数，则在上至少有个零点

fxfx

????

0,2022

【答案】

ACD

【分析】选项，得到，从而得到充要条件是；选项，得到

fx??fx?a?a?1?a

??????

????

??1

fx??fx?2?2x?3?1

??????

????

，不存在符合题意；选项，化简得到有解，则

a??0

赋值法结合零点存在性定理得到在区间上选项，；

fx0,2,2,4,4,6,6,8?2018,2020

??????????

???

均至少有一个零点，得到在上至少有个零点

0,2022

1011.

【详解】函数（其中为常数，）是定义在上的连续函数，且

fx?a

a?0

fx??fx?a?a?1?a

??????

????

，当时，对于任意的实数恒成立，若

??1

fx??fx?0

????

fx??fx?0

????

对任意实数恒成立，则，解得：，故函数（其中为常数，

????

1?a?0fx?a

??1

a?0

）为回旋函数的充要条件是，正确；

??1

fx?2x?1fx??fx?2x??1?2x?1?2?2x?3?1

????????????

是定义在上的连续函数，且，不

??????

存在，使得，故B错误；

????

??????

?Rfx??fx?0

fx?a?a?

????

在R上为连续函数，且

fxfxaaaa

????

??????

????

xxx

，要想函数

fx?a?a?

????

为回旋函数，则

????a?0

有解，则，C正确；

由题意得：，令得：，所以与异号，或，

fx?2?2fx?0f2

??????

x?0

f2?2f0?0

????

f0f2?f0?0

??????

当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间

f2?f0?0

????

fx0,2fx

????

??????????

2,4,4,6,6,8?2018,2020,2020,20220,2022

上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个

零点，当时，有，所以在上至少有1011个零点，

f2?f0?0fx

????

f0?f2???f2022?0

??????

0,2022

D正确.

故选：

ACD

（秋河南周口高一统考期末）若函数．

2023··39

f(x)

同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；

f(x)?f(?x)?0

②若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为理想函数下列

x?x

四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）

ACD

．．．

f(x)

fxfx

????

f(x)

“”.

f(x)?|x|

．

f(x)??x

()

【答案】

【分析】由理想函数的定义对选项一一判断即可得出答案

“”.

【详解】由题中①知，为奇函数；由题中②知，为减函数.

f(x)f(x)

在A中，函数为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；

f(x)

在B中，函数

f(x)??x

为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；

在中，函数为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是理想函数；

C“\"

f(x)?|x|

,0,

在D中，函数的大致图象如图所示，

显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是理想函数

“”.

故选：BD.

40．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首

次定义了取整函数，表示“不超过的最大整数”，后来我们又把函数称为“高斯函数”，关于下列

??????

xxx

说法正确的是（）

．对任意

，，都有

??????

x?y?x?y

．函数

的值域为或

y?Z|y??2y?2

．函数

y?x?x

在区间上单调递增

k,k?1k?Z

???

．

lg4953Z

2021

【答案】

【分析】利用题中给出的新定义得到，，结合不等式的性质即可判断选项A，利用基本不等式

[x]?x[y]?y

结合新定义即可判断选项B，通过新定义可得函数是周期为1的函数，然后研究函数的单调性即

y?x?[x]

可判断选项，利用对数的运算性质以及的范围进行分析求解，即可判断选项．

[y]?y[x]?xx?y?[x]?[y]

，【详解】对于选项，因为对于任意的，，都有，故，即，

x,y?R[x?y]?[x]?[y]

故选项A正确；

对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，此时函数的最大值

x?0

x2x22

??????

x??2

为，故选项错误；

对于选项，令，因为，所以函数是周期为的函

y?f(x)?x?[x]f(x?1)?x?1?[x?1]?x?[x]?f(x)

y?x?[x]

数，

因为当时，函数是增函数，所以函数在区间上单调递增，

0?x?1

y?x?[x]?x?0?x

y?x?[x]

k,k?1(k?Z)

故选项正确；

对于选项，当且时，；

1?k?9kZ

[lgk]?0

当且时，；

10＃k99

当且时，；

100＃k999

[lgk]?1

[lgk]?2

当且时，；

1000?k?2021

[lgk]?3

2021

lg909019002102234956

?????????

，故选项错误．

故选：

41．（2023·山东临沂·高一校考期末）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此

发展的混沌理论在生物学?经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，

定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得

fx?????

xfxn

????

1,2,3,

x?x

，且当时，，则称的一个周期为的周期点．若，

0?j?k

x?x

值是

下列各值是周期为2的周期点的有（）

A．0B．C．D．

【答案】

ABD

【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当、

x?0

、、时的函数周期，进而得出结

x?x?

果

【详解】解：：时，，周期为，周期为也正确，故正确；

A12A

x?0

x?f0?0?x

：

时，

xfxfx

100

???

，周期为，周期为也正确，故正确；

12B

：

x?x?

22111

????

时，值不是

xfxfxfxfx

10210

????????

????

，，所以周期为

33662

????

的周期点故不正确；

：

x?x?

时，是周期为的周期点，

xfxfxfxfx

10210

???????

????

1331

????

，，所以

????

5555

故正确

故选：ABD.

42．（2022秋·河南漯河·高一漯河四高校考期末）设函数

的定义域为，若对于任意，存在

x?Dt?D

使（为常数）成立，则称函数在上的“半差值”为下列四个函数中，满足所在定

fxft

????

）义域上“半差值”为的函数是（

B．A．

y?x?R

2y?x?1x?R

????

C．D．

y?lnxx?0

【答案】

y=x

【分析】根据题中定义逐项判断可得出合适的选项

【详解】解：由题可知：对任意定义域中的任意，存在，使得，

ft?fx?2

????

对于选项，函数的值域为，满足条件；

y?x?1x?R

对于B选项，当时，，此时不存在自变量，使得函数值为，故B不满足；

x?0

y?1

对于C选项，函数的值域为，C满足条件；

y?lnxx?0

对于D，当时，，所以，不存在自变量，使得函数值为，所以D不满足.

x?0

y?0

故选：

AC.

三、题

填空

（秋上海崇明高一统考期末）已知函数的定义域为，对于中任意给定的实数，都．

2023··DDx43

y?fx

有，，且．则下列个命题中是真命题的有（填写所有的真

fx?0f?x?

????

?x?D

fx?1

3_____________

命题序号）．

①若，则；

0?D

f0?1

②若当时，取得最大值，则当时，取得最小值；

x?3x??3

fxfx

????

③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．

fx0,?fx?,0

????????

【答案】①②

【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答

【详解】对于①，，有，则，①正确；

0?D?0?D

[f(0)]?f(?0)?f(0)?1

，又，所以

f(0)?0

f0?1

对于②，依题意，，，

?x?D

0?f(x)?f(3)?5

则，，即当时，取得最小值，②正确；

?x?D

fxf

()(3)

??????

11(3)(3)

x??3

fxf

()5(3)

，依题意，在上是严格减函数，对于③，，有，则

f(?x)(??,0)x?(??,0)?x?(0,??)

()

因此在上是严格增函数，即函数在上是严格增函数，③错误，

(??,0)(??,0)

f(x)

f(?x)

所以3个命题中是真命题的有①②.

故答案为：①②

（秋上海宝山高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数．

2022··44

f(x)f(x)

的定义域为，满足：①在内

abab

是单调函数；②存在在上的值域为，那么就称函数为优美函数，

[,][,]

，使得

f(x)

[a,b]y?f(x)

“”

2222

若函数的取值范围是

fx?c?tc?c?

()log()(0,1)

是优美函数，则

“”

___________.

【答案】

(0,)

【分析】判断函数的单调性，根据“优美函数”的定义可列出方程组，结合一元二次方程的根的范围列出不等

式，即可求得答案.

【详解】若，则函数为上的增函数，

c?1

y?c?t

为上增函数，

y?x

log

(0,??)

所以函数为其定义域上的增函数，

fx?c?t

log

若，则函数为上的减函数，

0?c?1

y?c?t

为上减函数，

y?x

log

(0,??)

所以函数为其定义域上的增函数，

fx?c?t

log

综上，函数为其定义域上的增函数，

fx?c?t

log

???

若函数是“优美函数”，则，

fx?c?tc?c?

log(0,1)

cct

???

即，即是方程

x?x?t?0

的两个不同的正根，

cct

???

Δ140

???

则，解得的取值范围是，

0(0,)

?t?

，即

故答案为：

(0,)

【点睛】关键点点睛：解答本题要正确理解优美函数的定义，由此可列出相应的方程，因此解答的关键在

“”

于判断函数的单调性，进而将问题转化为一元二次方程的根的范围问题

（秋山东德州高一统考期末）在数学中连乘符号是，这个符号就是连续求积的意思，把满．

2023··“”45

足函数，．

“

”

这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：

fnnn

??????

???

log2N

??????

123

定义使为整数的数叫做企盼数，则在区间内，这样的企盼数共有个．

kk?N1,2023

_______

【答案】9

【分析】由对数换底化简后，根据新定义累乘后可得，再由企盼数定义可得

f(k)

g(k)?log(k?2)

k??

，

转化为求满足的的个数

2?[1,2023]

【详解】令，

g(k)?f(1)?f(2)?f(3)?f(k)

fkk

()log(2)

???

(1)

????????

gkk

()lglog(2)

lg(2)

，

lg(1)

lg34lg(2))lg(2)

lg23lg(1)lg2

要使成为企盼数，则

g(k)

k??n?

22,N

，

?k?1,2023,?(k?2)?3,20252?3,2025

??????

，即，

?2?4,?,2?1024,2?2048

21011

，

可取

n?2,3,?,10

所以在区间内，这样的企盼数共有个

1,2023

故答案为：

46．（2021春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）对于函数

y?xx?

(0)

可以采用下列方法求导数：由

y?xy?yx??x?x?

可得，两边求导可得.根据这一方法，可得

lny?xlnx

ylnx1

???

，故

(ln1)(ln1)

函数的极小值为___________.

fxxx

()(0)

ln1

【答案】

【分析】根据已知对求导，然后再两边求导可得，可得到的单调性

fxx

()

及极小值

ln1

fxx

()(2ln1)

f(x)

【详解】由可得，两边求导可得，

fxx

()

ln1

lnf(x)?lnx(lnx?1)

()1

(2ln1)

fxx

()

ln1

?????

fxxfxx

()(2ln1)()(2ln1)

，由可得，故，当时，

f(x)?0

2lnx?1?0

???

0xe

111

f(x)?0

，当.

时，，故的极小值为

f(x)?0

f(x)

feee

????

???

224

????

ln1

故答案为：

【点睛】本题考查导数的定义与导数的计算函数极值的求解，解题的关键点是根据已知条件进行求导，考

查了学生的数学运算与逻辑推理能力.

47．（2021春·重庆渝北·高二重庆市两江中学校校考阶段练习）设

与是定义在同一区间上的

gxa,b

两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函

hx?fx?gx

??????

????

a,bgxa,b

数”．若上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．

fx?x?mgx?x?x

与在

0,3

310

【答案】

1111

3232

【解析】令得与函数

fx?gx

????

m??x?x?xhx??x?x?x

，设函数，则直线

y?m

3232

y?hxy?hx

????

在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思

0,3

想可求得实数的取值范围.

1111

3232

【详解】令得

fx?gx

????

m??x?x?xhx??x?x?x

，设函数，

3232

则直线与函数在区间上的图象有两个交点，

y?m

y?hx

0,3

hx??x?x?2??x?2x?1

??????????

，令，可得，列表如下：

hx?0x?2?0,3

0,2

2,3

极大值

h0?0

，

，如下图所示：

310

?m?

时，直线

y?m

与函数在区间上的图象有两个交点，由上图可知，当

y?hx

0,3

310

因此，实数的取值范围是

310

故答案为：

【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属

于中等题.

48．（2018春·河南南阳·高二统考期中）定义：如果函数

y?fx

在区间上存在，（），

a,b

xa?x?x?b

212

满足，，则称函数在区间上是一个双中值函数，

fxfx

????

fbfafbfa

????????

y?fxa,b

baba

已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．

fx?x?x

0,a

【答案】

【分析】根据题意得到，即方程上有两个

fxfxaa

()()

????

faf

()(0)

3x?2x?a?a

在区间

0,a

解，利用二次函数的性质即可求出的取值范围．

【详解】因为

f(x)?x?xf(x)?3x?2x

，所以，

因为函数上的双中值函数，

f(x)?x?x

是区间

0,a

所以区间上存在满足，

(0,a]

x,x(0?x?x?a)

1212

fxfxaa

()()

????

所以方程上有两个不相等的解，

3x?2x?a?a

在区间

0,a

令

gx?3x?2x?a?a,(0?x?a)

，

faf

()(0)

Δ412()0

?????

则，解得的取值范围是．

gaa

(0)0

????

?a?

，所以实数

gaaa

()20

???

故答案为：

四、解答题

49．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，

它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布

劳威尔（r）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，

fx?x

我们就称该函数不动点函数，实数

“”

为该函数的不动点

(1)

求函数

fx2x2

???

的不动点；

(2).

若函数有两个不动点，且，，求实数的取值范围

fx?ax?bx?1a?0

????

x,x

x?2x?x?2

121

【答案】

(1)

????

(2)

????

【分析】(1)根据不动点定义求解即可;

(2)根据不动点的范围,分类讨论列式求解可得范围.

【详解】（1）设不动点又因为,所以,

,因为,

fx?x

fx2x2

???

即得

x?1

（）因为函数

fx?ax?bx?1a?0

????

有两个不动点

x,x

2x2x

???

?2?1?0

所以

gx?ax?b?1x?1?0

????

xx0

????

①当

0?x?2,

若，则，不满足题意，

0?x?x

x?x?x?x?x?2

21121

则

x?x?x?x?2,?x?2?x?2,

212121

g2?0,4a?2b?1?0

????

?2a?1?b?1?1?2b?1?1?3?2b

????

,,解得

②当

?2?x?0,

若，则

x?x?0

x?x?x?x??x?2

21211

，不满足题意，

则

x?x?x?x?2

2112

，，

x?x?2??2,

g?2?0,4a?2b?3?0

又

2a?1?b?1?1?2b?1?1?2b?1

????

解得

，

????

综合①②可知的取值范围是

????

【点睛】方法点睛新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创

设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现

信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，

按新定义的要求，照章办事，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决

“”.

（秋北京高一校考期末）已知函数，若点在函数图像上．

2023··50

fx?logx?a(a?0)

????

Mx,yy?gx

????

运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的相关函数

y?fxy?fx

????

y?gx

(1)

求函数的解析式；

y?gx

(2)

对任意的的图像总在其相关函数图像的上方，求实数

x?0,1,fx

的取值范围

【答案】

(1)

gxa

2log

(2)

0,1

【分析】（）将点代入函数中化简即可；

y?fx

（）由（）求得函数的解析式，然后由在上恒成立可得参数范围．

g(x)f(x)?g(x)[0,1]

【详解】（）因为函数在函数图像上运动，

fx?logx?a(a?0)

??????

，且点

y?fx

所以，即，

yxx

????

log2log

????

aya

244

????

所以函数的解析式为：

y?gx

gxa

2log

（）因为对任意的，的图像总在其相关函数图像的上方，

x?0,1

所以当时，恒成立，

x?0,1

fxgxxaa

??????

log2log0

即恒成立，

log2log

xaa

???

由，，

x?a?0

?a?

，，得

a?0

x??a

所以在此条件下，

即时，恒成立，

x?0,1

log2log

xaa

???

即恒成立，

xaa

???

即恒成立，

xxaa

?????

162

∴，

?????

aaa

162

解得，

3133

故实数的取值范围为

0,1

51．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数

的定义域为R，且对，都有

?x,x?R

fx?x?fx?fx

??????

1212

，则称

为“J形函数”

(1)当时，判断

fx?x?1

是否为“J形函数”，并说明理由；

(2)当

fx?x?2

时，证明：是“J形函数”；

(3)如果函数

fx??a

为“J形函数”，求实数a的取值范围.

【答案】(1)否，理由见解析；

(2)

证明见解析；

(3).

a?1a?0

或

【分析】（）作差可得

fx?x?fx?fx??xx

??????

121212

，根据

x,x

的任意性，无法判断该式符号，即可说明；

?2??x?x?xx

，即可证明得出结论；

（）作差可得

fx?x?fx?fx

??????

1212

（）代入化简可得，由形函数的概念整理化

3.“J”

fxxa

???

fxxaa

?????

222

xxxx

1212

简可得，，进而即可得出实数的取值范围

a???

122

【详解】（1）解：不是“J形函数”，理由如下：

当时，有，，，

fx?x?1

????????

fx?x?1fx?x?1fx?x?x?x?1

11221212

则

fx?x?fx?fx

??????

12121212

?x?x?1?x?1x?1

????

??xx

因为，所以与的关系不确定，

x,x?R

?xx

不能得出

fx?x?fx?fx?0

??????

1212

，所以不是形函数

“J”.

?2xx?2fx?x?x?x?2?x?x

12121212

，时，有，，

（）证明：当

fx?x?2

fx?x?2fx?x?2

????

1122

????

222222

则，

fx?fx?x?2x?2?xx?2x?2x?4

????

12121212

????

2222

?2??x?x?xx

，

所以

fx?x?fx?fx

??????

1212

?2xx?xx?x?x?2

121212

1212

显然有恒成立，

fx?x?fx?fx??2?0

??????

1212

对

?x,x?R

所以有恒成立，

fx?x?fx?fx

??????

1212

对

?x,x?R

所以是形函数

“J”.

（）解：由已知可得，

fx??afx??afxxa

1212

222

xxxx

1212

，，

????

???

所以

fx?fx??a??a

????

222

xxxx

1212

因为函数

fx??a

为形函数，

“J”

所以有，

2222

xxxxxx

121212

?????

aaa

即

02222

??????

121212

xxxxxx

aaa

由，可得；

a?0

由可得，

222222

12121212

xxxxxxxx

?????

aaaa?a??a

????

当时，该式恒成立，满足；

a?0

当时，有恒成立.

a?0

a???

122

因为，所以.

220

a?1

综上可得，或

a?1a?0

【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解形函数的本质是函数值

“J”

的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简

fx?x?fx?fx

??????

1212

.只要得出

fx?x?fx?fx?0

??????

1212

恒成立，即可说明是“J形函数”.

52．（2022秋·陕西安康·高三统考期末）已知函数.

fx?6lnx?3x?12axa?R

??????

(1)若

在其定义域内是增函数，求的取值范围；

(2)定义：若

在其定义域内单调递增，且在其定义域内也单调递增，则称为的“协

fx?gxgx

????

同增函数

”.

已知函数的取值范围

gx?4x?18ax?122?axgx

????

，若是的协同增函数，求

“”

【答案】

(1)

(2).

；

【分析】（）分析可知，对任意的恒成立，利用导数求出函数的最小值，可得出关于

fx?0fx

????

x?0

实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；

xlnx3aQxxlnx

??????

在上恒成立，（）由（）可得出利用导数求出函数

0,?

，分析可知，

在上的最小值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围

0,?

(1)

解：因为，所以，

fx?6lnx?3x?12ax

????

fxx2x6lnx312a12xlnx12a

????

???????

令，则

hx?xlnxhx?lnx?1

????

由，得，得

hx?0

x??x?

；由.

hx?0

则在上单调递减，在上单调递增.

故，即

hxh

???

fx?a?

因为在其定义域内是增函数，所以

120

a??

(2)

解：由（）可得

，解得

设，

Fx?fx?gx?4x?6lnx?18a?3x?24x

????????

则

Fx?12x?12xlnx?36ax?24

因为在其定义域内是增函数，所以在上恒成立，

FxFx?00,?

??????

即上恒成立，

12x?12xlnx?36ax?24?0

在

0,?

即在上恒成立.

xlnx3a

???

0,?

????

，则.设

????

xxx

Qxxlnx

???

由，得；由，得.

Qx?0Qx?0

x?1

0?x?1

所以在上单调递减，在上单调递增，

Qx0,11,??

??????

则，故，解得.

Qx?Q1?3

????

3a?3a?1

因为的取值范围是

，所以，即

?a?

53．（2022·高二课时练习）记

、分别为函数、的导函数．若存在，满足

gxgx

x?R

fx?gx

????

且，则称为函数与的一个“点”．

fx?gx

????

（1）证明：函数与不存在“点”；

fx?x

gx?x?2x?2

（2）若函数与存在“点”，求实数的值．

fx?ax?1

gx?lnx

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（）根据已知条件可得出关于

的方程组，判断方程组无公共解，即可证得结论成立；

（）设的值

为与的点，根据题中定义可得出关于的方程组，即可求得实数

“”

【详解】（）函数，

fx?x

gx?x?2x?2fx?1gx?2x?2

，则，．

????

fxgx

????

xxx

000

???

由，可得，此方程组无解，

fxgx

221

????

因此，函数与

fx?x

gx?x?2x?2

不存在“点”；

（2）函数，则，，

fx?ax?1

，

gx?lnx

fx?2ax

axx

1ln

fxgx

????

设与的点，由可得，

为

“”

fxgx

????

可得，解得，此时

x??

???

222

因此，

【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题的关键在于根据题中点的定义得出方程进行

“”

求解对于新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证

（秋广东江门高一统考期末）对于函数．

2023··54

，若其定义域内存在实数满足，则

f?x??fx

????

称为伪奇函数

“”.

(1)

已知函数

，试问是否为伪奇函数？请说明理由；

“”

(2)

是否存在实数

满足函数的取

fx??a??a?

933

是定义在上的伪奇函数？若存在，请求实数

“”

值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)函数不是“伪奇函数”，理由见解析

(2)

?1,2

【分析】（1）根据所给定义令得到方程，判断方程无解，即可得解；

f?x??fx

????

xxxx

（2）依题意可得，令则，问题转化为关于的方程

9933260

??????

?3?3

t?2

t?at?2a?8?0

在

2,??

上有解，令，结合二次函数的性质分、两种

Gt?t?at?2a?8

G2?0G2?0

????

情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】（1）解：函数不是“伪奇函数”，

对于定义域为，

x|x??1

，即，显然方程无解，令，即

x?1???x?1

???

x1x1

f?x??fx

????

所以不存在实数满足，

f?x??fx

????

所以函数不是“伪奇函数”.

（2）解：假设函数是定义在上的“伪奇函数”，

fx??a??a?

933

则有，即，

f?x??fx

????

933933

xxxx

??????????

aaaa

xxxx

化简得，

9933260

??????

令，则，所以，

?3?3???

xxxx

?????

332332

xxxx

992

所以上有解，

t?at?2a?8?0

在

2,??

令，

Gt?t?at?2a?8

①当即

G2?0

4?2a?2a?8?0

，解得，

?1?a?2

即当时，

?1?a?2

t?at?2a?8?0

在上有解，

2,??

Δ4280

????

②当时，要满足题意只需，

G2?0

(2)0

Δ4280

????

即，解得，

42280

????

综上，实数的范围为．

?1,2

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