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2023年11月21日发(作者：20万左右的丰田suv)
2023届新高考数学复习：专项（函数嵌套问题 ）经典题提分练习
一、单选题
?
2
1
?
xxx
??
,0
2
12023??
．（全国高三专题练习）已知函数
，若关于的方程
x
fx
??
?
?
?
????
2x11,x0
?
fx?k?1xfx?kx?0
22
??????
有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（）
k
??
1
A B C D
．．．．
?
0,
?
??
2
??
1
?
,11,2
?
?
??
??
2
??????
0,1U1,22,??
x
2
．（全国高三专题练习）已知函数
2023??
fx?2?2?1
??
，则关于的方程
x
fx?mfx?n?0
2
????
有个不同实数解，则实数满足（）
7
m,n
A B
．且．且
m?0
n?0n?0
C
．且．且
0?m?1
n?0n?0
D
m?0
?1?m?0
32023??
．（春四川资阳高三统考期末）定义在上函数
R
fx
??
，若函数关于点
y?fx?1
??
??
1,0
2
?
?
??
x,x0,1,
??
2
对称，且则关于的方程
fx
??
?
?
x
?
1
x
fx?2mfx?1
????
()n
m?R
有个不同
?
?
e2,x1,,
????
?
?
的实数解，则的所有可能的值为
n
A2 B4
．．
C24 D246
．或．或或
42023??
．（全国高三专题练习）已知函数，设关于
f(x)?(x?x?1)e
2x
x
的方程
5
fxmfxmR
2
()()()
???
有个不同的实数解，则的所有可能的值为
nn
e
A
．．或．或．或或
333
B C D
1
44
66
1ln
?
x
?
x
,
?
?
x
e
52023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fx
()
?
?
2
，设关于的方程
x
ee1
?
???
xx
,
?
2e2
?
fx?afx?1?0a?R
2
??????
有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）
mm
A3 B4 C2345 D23456
．．．或或或．或或或或
2x
62023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fx?x?3e
??
??
，设关于的方程
x
fxmfxmR
2
??????
????
12
0
有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）
nn
2
e
A3 B13 C46 D346
．．或．或．或或
?
log4,4
2
xx
??
7
．（云南保山高三统考期末）定义域为的函数
2023??
R
fx
()
?
?
，若关于的
x
x
?
1,4
?
方程，，，，，则所有实数，，
f(x)?mf(x)?n?0
2
恰有个不同的实数解
5
xx
1
xx
212
xx
35
x
4
xx
35
，，之和为（）
x
4
A
．．．．
12 B16 C20 D24
?
1
?
xe
?
,xe
?
82023??
．（春全国高三福建省福州第八中学校考期末）定义在上函数
R
fx
()
?
?
，
?
1,
xe
?
?
若关于的方程有个不同的实根，
x
[f(x)]?(1?sin)?f(x)?sin?0
2
??
(
其中
0
??
?
?
2
)
n
x
1
x
2
，，，则（）
…
x
n
fxxx
??
12n
?????
A
．．．．
11
B C D
4e3e
4e
5e
9
．（春四川广安高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）设定义域为的函数
2023??R
?
1
,1
x
??
?
fx
()=
?
x
+1
，若关于的方程
x
f(x)?af(x)?b?0
2
有个不同的实数解、、
3 xxx
123
?
1,=1
x
?
?
且的是（）
x
123
< x<x
，则下列说法中错误
．．
222
?x?5x?x
312
B1 + a + b = 0
A
．．
Dx + x > 2x x + x =
．．
13213
C
?2
102023??R
．（春安徽亳州高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）设定义域为的函数
?
1
,1
x
??
?
fx
()
?
?
x
?
1
，若关于的方程
x
[f(x)]?af(x)?b?0
2
有且仅有三个不同的实数解
?
1,1
x
??
?
x,x,xx?x?x
123
，且
123
.
下列说法错误的是（）
222
?x?5x?x
312
B C D
A
．．．．
1+a+b=0
x?x??2
13
x?x?2x
132
11
．（全国高三专题练习）已知函数
2023??
f(x)1
??
1
，若关于的方程
x
f(x)?bf(x)?c?0
2
|x|
恰有个不同的实数解，则的取值情况不可能的是（）
6
b,c
A B
．，．，
?1?b?0
c
=0
C D
．，．，
10010
?b?c?c??b?c?
1?b?c?0
c?
0
0??1
c
12
．（江西景德镇高三景德镇一中校考）已知函数
2023??
f(x)?logx?1
2
，且关于的方程
x
[f(x)]af(x)2b06-1
2
???
有个不同的实数解，若最小的实数解为，则的值为
ab
?
A-2 B-1 C0 D1
．．．．
13
．（宁夏吴忠吴忠中学校考三模）已知函数
2023??
fx
??
?
x
，若关于的方程
x
lnx
?fx??afx?a?1?0
??
????
有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是
a
()
A
．．．．
??????
?2e,1?e1?e,0??,1?e
B C D
??
1?e,2e
2
?
1
1
?
x1,x0
??
|x|
142023??
．（全国高三专题练习）已知函数，
fx?e?
??
gx
??
?
?
2
若关于
x
2
?
??
x1lnx,x0
??
?
的方程有四个不同的解，则实数的取值集合为（）
gfx?m?
??
??
0
m
??
ln2
A
．．．．
??
0,
BC D
2
??
??
ln2
,1
??
??
2
??
ln2
??
??
2
??
0,1
?
xx
2
??
1,1
?
15
．（全国高三专题练习）已知函数
2023??
fx
??
?
?
ln
x
，若关于的方程
x
x
,1
?
?
?
x
?fx??1?2mfx?2m?0
??
??????
有个不同的实数解，则实数
4
m
的取值范围是（）
????
1111
A
．．．．
????
,,
B C D
????
3e32e
??
1
??
0,
??
e
2
??
1
??
0,
??
2e
?
x1, x1
2
??
?
16
．（全国高三专题练习）已知函数
2023??
fx
??
?
?
lnx
，若关于的方程
x
?
, x1
?
?
x
2fx?1?2mfx?m?0
??
??
??????
有个不同的实数解，则实数的取值范围是（）
5m
??
1
A B C D
．．．．
??
0,
??
e
2
??
1
?
0,
?
??
e
11
????
??
??
1,1,
ee
????
??
?
lgx2,x2
??
f(x)
?
R
2023?? ,17
若关于．（春安徽宣城高三校联考期末）定义域为的函数
x
?
1,x2
?
?
的方程，则
[f(x)]?bf(x)?c?0
2
有个不同的实数解
5,,
x
12
,,
x
xx
35
x
4
f()
的值为（）
xxxxx
12345
????
bc
?
A B C D
．．．．
0
1
lg3
3lg2
182023??
．（全国高三专题练习）已知
f(x)
是定义在上的偶函数，且满足
R
?
????
x3x,0x1
2
2
f(x)
?
?
，若关于的方程有个不同的实数解，
x
[()]1()0
fx?a?fx?a?
??
10
?
x2lnx,x1
??
则实数的取值范围是（）
a
A B
．．
??
1,2
C D
．．
??
?2,2ln2?2
??
?2,?1{2ln2?2}
?
?
??
2,2ln22
?
x
?
x1,2,0
?
剟
192023??
．（春辽宁沈阳高三东北育才学校校联考阶段练习）已知函数
fx
??
?
?
?
?
lnx,x0,
??
??
2
若关于的方程有个不同的实根，则的取值范围是（）
x
[fx]?afx?2?0
????
4
a
A
．．．．
??
2,4
B C D
22,422,3
?
?
?
??
2,3
?
?
?
32
20
．（全国高三专题练习）若函数
2023??
fx?x?ax?bx?c
??
有极值点，且，
x，x
12
fx?x
??
11
则关于
x
的方程的不同实根个数是（）．
320
fx?afx?b?
2
????
B4 C5 D6 3
．．．．
A
21
．（湖北武汉高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考）若函数
2023??
fx?x?ax?2bx?cb?0
????
32
有两个极值点，，且，，则关
x
12
x
fx??x??
??
11
fxx
??
22
2
于的方程
x
3fx?2afx?2b?0
??
????
的不同的实根的个数是
2
A
．．．．
6 B5 C4 D3
二、多选题
?
2x4x,x0,
2
??
222023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fx
??
?
?
?
x
若关于的方程
x
21,0,
??
x
?
44230
fx?a?fx?a??
2
????
有个不同的实根，则实数的取值可以为（）
5
a
34
A
．
??
B C D
23
．．．
6
?
5
?
7
6
?
2x4x,x0,
2
??
232023??
若关于．（春广东惠州高三惠州一中校考）已知函数
x
的方
fx
??
?
?
?
x
?
21,0,
??
x
程有个不同的实根，则实数的取值可以为（）
44230
fxafxa
2
????
?????
5
a
453
B C D
．．．
???
342
A
．
6
?
5
x4x,x0
2
??
242023??
．（春吉林长春高三长春十一高校考期末）已知函数
fx{
??
?
?
x
，若关于
x
21,x0
??
的方程有个不同的实根，则实数可能的取值有（）
44230
fxfx
34
A
．
??
B C D
23
2
????
????
??
5
?
．．．
?
7
6
8
?
7
25
．（春江苏南通高三海门中学校考阶段练习）已知函数，
2023??
fx??
()1
x
e
x
?
f(x),x0
?
g(x)
?
?
2
，且，则关于的方程实根个数的判断正
g(1)?0
x
ggxt
??
()10
???
x2xa,x0
???
?
确的是（）
A
．当时，方程
t??2
gg(x)?t?1?0
??
没有相应实根
1
B
．当
????
1t0
或时，方程有个相应实根
t??2
gg(x)?t?1?0
??
1
e
1
C
．当
1t1
???
时，方程有个相异实根
gg(x)?t?1?0
??
2
e
1
1
D
．当
?????
1t1
或或时，方程有个相异实根
0?t?1
t1
??
gg(x)?t?1?0
??
4
e
e
三、填空题
x3
2
?
262023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fx
??
?
x
，若关于的方程
x
e
[fx]tfx0tR
??????
2
????
12
有个不同的实数解，则的所有可能的值构成的集合为
mm
e
2
______
．
?
1
?
x1
?
,1
x
?
272023??R
．（江苏高三专题练习）设定义在上的函数
fx
()
?
?
，若关于的方程
x
?
1,x1.
?
?
f(x)?bf(x)?c?0
2
有个不同的实数解
3
x,x,xx?x?x?
123123
，则
_____________.
28
．（春江西赣州高三校联考）已知函数
2023??
f(x)
是定义域为的偶函数，当时，
R
x?0
1
?
2
?
?????
x2x,0x2
f(x)
?
?
2
，若关于的方程
x
m?[f(x)]?n?f(x)?1?0
2
恰好有个不同的
7
?
?
log,2
4
xx
?
实数根，那么的值为
mn
?
___________.
x1
?
?
?
51? x0
??
292023??
．（全国高三专题练习）设定义域为的函数
R
f(x)
?
?
2
，若关于的
x
?
?
x4x4? x0
???
方程
f(x)?(2m?1)f(x)?m?0
22
有个不同的实数解，则
7
m=______
?
e,0
x
??
xx
?
1
,x2023??
若关于的方．（春四川成都高三石室中学校考）已知函数
30
fx
??
?
?
??
x
1
???
xx
e,0
?
2
程有个不同的实数解，则整数的值为（其中是自
fx?2m?fx?2?
????
??
8m___________.e
然对数的底数）
312023??
．（江苏扬州高三扬州中学校考）已知函数
fx?logx?1
??
2
，若关于的方程
x
[fx]?a?fx?b?0
????
2
有个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为．
6______
?3
a?b
??
x1
?
??
1x12
??
?
32
．（春山东枣庄高三阶段练习）设定义域为的函数
2023??
R
f(x)
?
?
，若关
?
ax1
??
?
?
则有五个不同的实数解，
ax
的取值范围是于的方程
_________.
2f(x)?(2a?3)f(x)?3a?0
2
?
4sinπx,0x1
??
33
．（甘肃张掖高台县第一中学校考模拟预测）已知函数
2023??
fx
??
?
?
x1
?
，若
?
2x,x1
??
2
关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值集合
x
[]?2??1??0
fxmfxm
??????
5
m
为
__________.
342023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fxx
??
??
，其中，若关于的方程
a?R
x
f??a?
212
x
a
x
??
1
有三个不同的实数解，则实数的取值范围是．
a______
3
?
???
xk,x0,
352023??
．（北京高三北京市第十一中学校考期末）已知函数
f(x)
?
?
2
其中
x1,x0,
??
?
k?0
．①若，则
k?2
f(x)
的最小值为；②关于的函数有两个不同零点，
______
x
y?f(f(x))
则实数的取值范围是．
k
______
362023?y=f(x)x(0+∞)x
．（高三单元测试）函数，∈，的图象如图所示，关于的方程
2[f(x)]?4mf(x)?5m?2?0
2
)4m___________.
有个不同的实数解，则的取值范围是
372023??
．（春江苏南京高三南京市第十三中学校考阶段练习）已知函数
fx?2lnax?x
????
（），若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
a?0
Fx?ffx?x
????
??
a
____________.
?
xx
2
??
1,0
?
382023??
．（春江苏扬州高三校考）已知函数
fx
??
?
?
ln
x
，若函数
y?ffx?2a
??
??
??
x
?
,0
?
?
x
有两个零点，则实数的取值范围是
a
___________.
x1
?
39
．（湖南长沙高三湖南师大附中校考）已知函数
2023??
f(x)xe
?
，若关于方程
x
f(x)?2tf(x)?2?0(t?R)
2
有两个不同的零点，则实数的取值范围为．
t_______________
参考答案
一、单选题
?
2
1
?
xxx
??
,0
2
12023??
．（全国高三专题练习）已知函数
，若关于的方程
x
fx
??
?
?
?
????
2x11,x0
?
fx?k?1xfx?kx?0
22
??????
有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（）
k
??
1
A B C D
．．．．
?
0,
?
??
2
??
1
?
,11,2
?
?
??
??
2
??????
0,1U1,22,??
【答案】
B
?
2
1
?
xxx
??
2
,0
?
1
?
【答案解析】因为，
fxxx
??
???
?
2,0
2
?
1
?
xx
22,
??
?
2
?
22
由可得，
fx?k?1xfx?kx?0
??????
?fx?x???fx?kx??0
????
????
所以，关于的方程、共有个不同的实数解
x
fx?x
??
fx?kx
??
3
.
①先讨论方程的解的个数
fx?x
??
.
2
当时，由
x?0
fx?x?x?x
??
1
，可得，
x?0
2
当，可得，
0?x?
当，可得
x?
1
时，由
fx?2x?x
??
x??
2
1
2
时，由，
fx?2?2x?x
??
x?
2
3
所以，方程只有两解和
fx?x
??
x?0
x?
②下面讨论方程的解的个数
fx?kx
??
.
2
当时，由，可得或
x?0
fx?x?x?kx
??
2
；
3
1
1
1
??
可得，
xxk0
??
???
x?0
x?k?
2
2
2
??
当，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，
0?x?
当可得，
x?
1
时，由
fx?x?kx
??
2
k?2
fx?kx
??
2
1
2
时，由
fx??x?kx
??
22
x
?
k2
?
2
???
111
k0k0k0
??????
???
222
???
122212
???
???
或或，因为，由题意可得
???
k?0
???
k22k23k22
???
2k0k02
???
??
?
???
k23
?
???
解得
1
?k?1
或
1?k?2
.
2
??
1
因此，实数的取值范围是
k
?
,11,2
?
?
??
.
??
2
故选：B.
22023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fx?2?2?1
??
，则关于的方程
x
x
fx?mfx?n?0
2
????
有个不同实数解，则实数满足（）
7
m,n
A
．
m?0
且．且
n?0 Bn?0
C
．且．且
0?m?1
n?0n?0
D
m?0
?1?m?0
【答案】
C
【答案解析】令，作出函数的图象如下图所示：
u?fxu?fx
????
由于方程和，
u?mu?n?0
2
至多两个实根，设为
u?u
1
u?u
2
由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为，
u?u
1
u?fx
??
0234
???
2
由于关于的方程有个不同实数解，
x
fx?mfx?n?0
????
7
则关于的二次方程，则，
u
u?mu?n?0
2
的一根为
u?
1
0
n?
0
则方程，
u?mu?0
2
的另一根为
u??m
2
直线与函数图象的交点个数必为，则，解得
u?u
2
u?fx
??
4.
?1??m?0
0?m?1
所以且
0?m?1
n?
0
.
故选：
C.
3
．（春四川资阳高三统考期末）定义在上函数
2023??
R
fx
??
，若函数关于点
y?fx?1
??
??
1,0
2
?
?
??
x,x0,1,
??
2
对称，且则关于的方程
fxfxmfx
??
?
?
x1
?
x
????
?2?1
()
mR
?
有个不同
n
?
?
e2,x1,,
????
?
?
的实数解，则的所有可能的值为
n
A2 B4
．．
C
．或．或或
24 D246
【答案】
B
【答案解析】∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在
y?fx?1
??
??
1,0
f(x)f(x)
x?0
(0,1)
上递减，在上递增，
[1,??)
作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是，，
f(x)
f(x)?t
123.
t??1
或
t?1
时，有一个解，时，有两个解，时，有三
f(x)?tf(x)?tf(x)?t
t??1
???
11
t
个解，
2
方程中设，则方程化为
fxmfx
????
?2?1
f(x)?t
t?2mt?1?0
2
，其判别式为
??4m?4?0
2
恒成立，方程必有两不等实根，
tt
12
,
，，，两根一正一负，
ttmtt
1212
??2??1
不妨设，
t?0,t?0
12
若，则，，和都有两个根，原方程有个根；
m?0
tttt
12
?????
01,1
12
f(x)?t
1
f(x)?t
2
4
若，则，，∴，，有三个根，有一个
m?0
tt
12
??0
t?t
211
t
2
?
1
?1?t?0f(x)?t
12
f(x)?t
根，原方程共有个根；
4
若，则，，∴，，有一个根，有三个
m?0
ttt
12
????
001
t?t
211
2
t??1
1
f(x)?t
f(x)?t
2
根，原方程共有个根．
4
综上原方程有个根．
4
故选：
B.
4
．（全国高三专题练习）已知函数，设关于
2023??
fxxxe
()(1)
???
2x
x
的方程
5
fxmfxmR
2
()()()
???
有个不同的实数解，则的所有可能的值为
nn
e
A
．．或．或．或或
333
B C D
1
44
66
【答案】
A
x
【答案解析】在和上单增，上单减，又
fx?x?x?e?fx
\'12,
????????
????
??,?2?2,1
??
1,??
当时，时，故的图象大致为：
x???
fx?0,x???
??
fxfx
????
???
2
令，则方程必有两个根，且，不仿设
fx?t
??
tmt0tt
?????
55
tt
12
,
12
t?0?t
12
，当
t??e
1
ee
??
22
时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，
t5e0t5e
22
???
fx?tt??e
??
11
12
fx?t
??
2
?
2
此时无根，有个根，当时必有，此时有个
fx?tfx?t
????
11
fx?t
??
2
3
?e?t?0
1
t5e
2
?
2
根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选
fx?t
??
2
1
m?R
3
A.
1ln
?
x
,
x
?
?
e
?
x
()
fx
?
52023??
．（全国高三专题练习）已知函数
，设关于的方程
x
?
2
?
???
ee1
xx
,
?
2e2
?
fx?afx?1?0a?R
2
??????
有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）
mm
A3 B4 C2345 D23456
．．．或或或．或或或或
【答案】
A
ln1ln
xx
??
?
【答案解析】根据题意作出函数的图象：，当，函数单
f(x)
x,e
?
?
?
??
?
2
??
xx
调递增，
当时，函数；单调递减，所以
x??
??
e,+
?
??
1
??
e
lnx
x
lnx1
??
lnx
??
??
e,
xe
x
??
1
ee
2
ee
2
函数
?x?
，时单调递减，所以，
x?
?x????,?e
??
e
22
22
2
对于方程，令，则
fx?afx?1?0a?R
??????
t?f(x)
tat10
2
???
，所以，
?a?4?0
=
2
?
tta
12
???
即方程必有两个不同的实数根，且，
t?0?t
12
?
??
tt1
?
12
1
当，个交点；
t?
1
时，
?e?t?0
2
3
e
1
当，也是个交点；
0?t?
1
时，
t??e
2
3
e
故选：．
A
2x
62023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fx?x?3e
??
??
，设关于的方程
x
fxmfx0mR
2
??????
????
A3 B13 C46 D346
．．或．或．或或
12
有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）
nn
2
e
【答案】
B
2x
【答案解析】由已知，，令，解得或，则函数
fx?x?2x?3e
?
??
??
fx=0
?
(
)
x??3
x?1
fx
??
?3??
??
和上单调递增，在上单调递减，极大值在，最小值
?
1??
，
?
?
?
31，
?
f3
??
??
，
f1??2e
??
.
f(x)
的图象如下：
6
e
3
综上可考查方程的根的情况如下：
fx?k
??
（）当或时，有唯一实根；
1
k
?
6
k??2e
e
3
（）当时，有三个实根；
2
0k
??
6
e
3
6
时，有两个实根；（）当或
3
e
3
?e?k?
20
k
?
（）当时，无实根
4.
k??e
2
12
2
12
mm
??
2
，令，则由，得
gkkmk
??
???
2
gk?
??
0
e
k
?
e
2
2
当时，由，
m?0
mm
??
2
k
1
???
2ee
12
e
2
36
3
符号情况（），此时原方程有个根，
11
由，此时原方程有个根，综上，符号情况（），而
mm
??
2
k
2
?
2
12
3
23
?????
ke
2
02
e
2
e
得共有个根；
3
当时，由，又，
m?0
0k
??
1
3
36
?
3
ee
e
符号情况（）或（），此时原方程有个或三个根，
121
由，又，此时原方程有两个根，，符号情况（）
k
2
??
3
3
????
2e0
3
e
e
综上得共个或个根
13.
综上所述，的值为或
n
13.
故选
B.
?
logx4,x4
2
??
f(x)
?
R
2023??7
．（云南保山高三统考期末）定义域为的函数
，若关于的
x
?
1,x4
?
?
方程
f(x)?mf(x)?n?0
2
恰有个不同的实数解
5
xx
1
，，，，，则所有实数，，
xx
212
xx
35
x
4
xx
35
，，之和为（）
x
4
A12 B16 C20 D24
．．．．
【答案】
C
【答案解析】设，则关于的方程
t?f(x)
x
f(x)?mf(x)?n?0
2
等价为，
t?mt?n?0
2
作出的图象如图：由图象可知当时，方程有三个根，
f(x)
t?1
f(x)?1
当时方程有两个不同的实根，
t?1
f(x)?t
∴若关于的方程，，，，，
x
f(x)?mf(x)?n?0
2
恰有个不同的实数解
5
x
12
x
xx
35
x
4
则等价为
t?mt?n?0
2
有两个根，一个根，另外一个根，
t?1t?1
不妨设，对应的两个根与，与分别关于对称，
x?x?x?x?x
123455
x
12
x
x
x
4
x?4
则，且，
x?4
3
，则
x?x?8
15
x?x?8
24
则，
x?x?x?x?x?20
12345
故选：
C
．
?
1
?
xe
?
,
xe
?
8
．（春全国高三福建省福州第八中学校考期末）定义在上函数
2023??
R
fx
()
?
?
，
?
1,
xe
?
?
若关于的方程有个不同的实根，
x
[f(x)]?(1?sin)?f(x)?sin?0
2
??
(
其中
0
??
?
?
2
)
n
x
1
x
2
，，，则（）
…
x
n
fx?x???x?
??
12
n
A
．．．．
11
B C D5e
4e3e
4e
【答案】
A
【答案解析】由
[f(x)]?(1?sin)f(x)?sin?0
2
??
，得
(f(x)?1)(f(x)?sin)?0
?
.
?f(x)?1
或及，函数图像如图所示，由图可知，
f(x)?sin?(0,1)
?
?f(x)?1f(x)?sin
?
f(x)
共有五个根，，，，，且，和关于对称，和关于对
xxxx
1212
xxx
355
xx
44
x?e
3
x?ex?e
称，所以为，
x?x?x?x?x?5e
12345
????????
fxxxfe
??
12
n
(5)
11
.
54
eee
?
故选：
A.
92023??R
．（春四川广安高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）设定义域为的函数
?
1
?
x
+1
,1
x
??
fx
()=
?
，若关于的方程
x
f(x)af(x)b0
2
???
有个不同的实数解、、
3 xxx
123
?
1,=1
x
?
?
且的是（）
x
123
< x<x
，则下列说法中错误
．．
222
?x?x?x
312
5
B1 + a + b = 0
A
．．
Dx + x > 2x Cx + x =
．．
13213
?2
【答案】
D
?
1
?
x+1
,x1
??
【答案解析】分段函数的图象如图所示：
f(x)=
?
?
1,x=1
?
?
由图可知，只有当时，它有三个根，其余的根为或个，
f(x)?1
fx?tt?
????
1
02
由，即，
1
?
1
|x?1|?1
|x1|
?
解得，或．
x=0
x??2
x??1
若关于的方程，
x
f(x)af(x)b0
2
???
有且只有个不同实数解，只能为
3
fx=1
??
其解分别是，，，因为，即，，，
?2
?
1
0
x?x?x
123
x??2
1
x??1
2
x?
3
0
222
?x?x?x?4?1?0?5
123
，
x?x??2
13
，，故正确的有
a?b?1?0
ABC
故选：．
D
102023??R
．（春安徽亳州高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）设定义域为的函数
?
1
?
x1
?
,x1
??
f(x)
?
?
，若关于的方程
x
[f(x)]?af(x)?b?0
2
有且仅有三个不同的实数解
?
1,x1
??
?
x,x,xx?x?x
123
，且
123
.
下列说法错误的是（）
222
?x?5x?x
312
B C D
A
．．．．
1+a+b=0
x?x??2
13
x?x?2x
132
【答案】
D
?
1
?
x1
?
,x1
??
【答案解析】分段函数的图象如图所示：
f(x)
?
?
?
1,x1
??
?
由图可知，只有当时，它有三个根，其余的根为或个，
f(x)?1
fx?tt?1
????
02
由，即，
1
?
1
|x?1|?1
|x1|
?
解得，或．
x?
0
x??
2
x=1
?
若关于的方程，
x
f(x)?af(x)?b?0
2
有且只有个不同实数解，只能为
3
fx?1
??
其解分别是，，，因为，即，，，
?2
?1
0
x?x?x
123
xx
12
??2??1
x?0
3
222
????4?1?0?5
xxx
123
，
x?x??2
13
，，故正确的有，
a?b?1?0
ABC
故选：．
D
11
．（全国高三专题练习）已知函数
2023??
f(x)1
??
1
，若关于的方程
x
fxbfxc
2
()?()??0
|x|
恰有个不同的实数解，则的取值情况不可能的是（）
6
b,c
A B
．，．，
?1?b?0
c
=0
C
．，．，
10010
?b?c?c??b?c?
D
1?b?c?0
c?
0
01
?c?
【答案】
B
【答案解析】
如图，若要
f(x)?bf(x)?c?0
2
有个不同实数解，
6
令，则
f(x)?t
t?bt?c?0
2
，
则有
t?t,t?t
12
两解，
必有，或者，
0?t?1,t?1
12
0??1,?0
tt
12
若①，，则，此时
0?t?1,t?0
12
c
=0
t?bt?
2
0
，得，满足，即，
tbb
??0???1
?1?b?0
此时为
AD
；若②，，此时，则，此时为；若③，
01,1
?t?t?
12
1?b?c?0,tt?c
12
01
?c?
0??1,?1??0
ttttc
12
，此时，，此时为，所以选项都有可能
12
10
?b?c?
CACD.
故选：
B
122023??
．（江西景德镇高三景德镇一中校考）已知函数
f(x)?logx?1
2
，且关于的方程
x
[()]?()?2?0
fxafxb
2
有个不同的实数解，若最小的实数解为，则的值为
6-1
a?b
A-2 B-1 C0 D1
．．．．
【答案】
B
【答案解析】作出函数的图象，∵方程
f(x)?logx?1
2
[()]?()?2?0
fxafxb
2
有
个不同的实数解，∴如图所示，令
，方程
[()]?()?2?0
fxafxb
2
转化为：
，则方程有一零根和一正根，又∵最小的实数解为
，由
，∴方程：
的两根是
和
，由韦达定理得：
，
，∴
，故选
B.
考点：函数与方程的综合应用
.
【方法点晴】本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了方程的根与函数零点的关系．作
出函数
f(x)?logx?1
2
的图象，令
，方程
[()]?()?2?0
fxafxb
2
转化为：
，再方程
[()]?()?2?0
fxafxb
2
有
个不同的实数解，可知方程
有一零根和一正根，又因为最小的实数解为
，所以
从而得到方程：
的两根是
和
，最后由韦达定理求得得：
，
进而求得
．
13
．（宁夏吴忠吴忠中学校考三模）已知函数
2023??
fx
??
?
2
x
，若关于的方程
x
lnx
?????1?0
??
fxafxa
????
有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是
a
()
A
．．．．
??????
?2e,1?e1?e,0??,1?e
B C D
??
1?e,2e
【答案】
C
ln1
x
?
x
?
?
fx
??
【答案解析】因为，所以，
fx
??
?
2
??
ln
x
lnx
当，；当，，
x
?0,1?1,e
????
fx?0
?
??
x?e,??
??
fx>0
?
(
)
所以在和单调递减，在单调递增，
fx
??
??
0,1
??
1,e
??
e,??
且当时，，，
x?
0
fx?0
??
fe?e
??
故的大致图象如图所示：
fx
??
关于的方程，等价于
x
?????1?0
????
fx?1??fx?a?1??0?
????
??
fxafxa
????
即或，
fx??1fx?1?a
??
??
由图知，方程有且仅有一解，则有两解，
fx??1fx?1?a
??
??
所以，解得，
1??e
a
a1e
??
故选
:C.
2
?
1
1
?
xx
??
1,0
|x|
14
．（全国高三专题练习）已知函数，
2023??
fx?e?
??
gx
??
?
?
2
若关于
x
2
?
??
x1lnx,x0
??
?
的方程有四个不同的解，则实数的取值集合为（）
gfx?m?0
??
??
m
??
ln2
A BC D
．．．．
??
0,
??
2
【答案】
A
??
ln2
,1
??
??
2
??
ln2
??
??
2
??
0,1
【答案解析】设，则有四个不同的解，
t?f(x)
g(t)?m?0
|x||x|
?
因为，
fxeefx
()()
??????
11
22
1
为增函数，
2
x
所以为偶函数，且当时，
t?f(x)
x?0
f(x)?e?
所以当时，为减函数，
x?
0
t?f(x)
0
所以
t?f(0)?e??t?
min
111
，即，
222
当时，，
x?0
g(x)?x?1lnx
??
则，
g(x)lnxx1lnx1
?
??????
11
??
xx
令，解得，
g(x)?0
?
x?1
所以当时，，为减函数，
x?(0,1)
g(x)?0
?
g(x)
当时，，为增函数，
x
?(1,??)
g(x)?0
?
g(x)
11ln21
??
又，
gln
??
???
2222
??
作出时的图象，如图所示：
x?0
g(x)
1
??
ln2
所以当时，图象有个交点，且设为，
m0,
?
??
y?g(t),t?
的图象与
ym
?
2
t,t
12
2
??
2
作出图象，如下图所示：
tfx
?()
此时与分别与有个交点，即有四个不同的解，满足题
y?tgfx?m?0
1
y?t
2
y?f(x)
2
??
??
意
.
??
ln2
综上实数的取值范围为
m
??
0,
.
2
??
故选：
A
?
xx
2
??
1,1
?
15
．（全国高三专题练习）已知函数
2023??
fx
??
?
?
ln
x
，若关于的方程
x
,1
x
?
?
?
x
?fx??1?2mfx?2m?0
??
??????
有个不同的实数解，则实数
4
m
的取值范围是（）
????
1111
A B C D
．．．．
????
,,
????
3e32
【答案】
D
【答案解析】令，得
?fx??1?2mfx?2m?0
????
fx?2m?fx?1?0
????
????
??
??????
，即
2
2
e
??
1
??
0,
??
e
??
1
??
0,
??
2e
fx?2m
??
或，
fx??1
??
则直线和直线与函数的图象共有个交点
y?2m
y??1
y?fx
??
4
.
当时，，，令，得
x
?
1
fx
??
?
lnx
1lnx
?
fx
?
??
?
fx?0
?
??
x?e
.
2
x
x
当时，，此时函数单调递增；
1
?x?e
fx>0
?
(
)
y?fx
??
当时，，此时函数单调递减
x?e
fx0
?
??
?
y?fx
??
.
函数的极大值为，且当时，，如下图所示：
y?fx
??
fe
??
?
x?1
fx0
??
??
1
e
lnx
x
由于关于的方程
x
?fx??1?2mfx?2m?0
??
??????
有个不同的实数解，
4
由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，
y??1
y?fx
??
2
11
所以，直线与函数的图象有个交点，所以，解得
y?2m
y?fx
??
3
02m0m
????
.
e2e
??
1
因此，实数的取值范围是
m
??
0,
.
??
2e
故选：
D.
?
x1, x1
2
??
?
162023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fx
??
?
?
lnx
，若关于的方程
x
?
, x1
?
?
x
2?fx??1?2mfx?m?0
??
??????
有个不同的实数解，则实数的取值范围是（）
5m
??
1
A
．．．．
??
0,
B C D
??
e
2
??
111
?
0,
?
??
eee
????
??
??
1,1,
????
??
【答案】
A
【答案解析】设，则，
y
?
lnx
1lnx
?
y
??
2
x
x
由，解得，
y??0
x?e
当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．
x?(0,e)x?(e,??)
y??0y??0
1
?
当时，函数取得极大值也是最大值为（）．
x?e
f
e
?
e
方程．
2[f(x)]?(1?2m)f(x)?m?0
2
化为
[f(x)?m][2f(x)?1]?0
1
解得或
f(x)?m
f(x)??
．
2
如图画出函数图象：
??
1
可得的取值范围是．
m
??
0,
??
e
故选：．
A
?
lg2,2
xx
??
,172023??
若关于．（春安徽宣城高三校联考期末）定义域为的函数
x
R
fx
()
?
?
x
?
1,2
?
的方程，则
[f(x)]?bf(x)?c?0
2
有个不同的实数解
5,,
xx
12
,,
xx
35
x
4
f()
的值为（）
A B C D
．．．．
0
1
lg3
3lg2
xxxxx
12345
????
bc
?
【答案】
D
【答案解析】由题意得，当时，函数，由
x?2
fx?1
??
[f(x)]?bf(x)?c?0
2
，即，
10
?b?c?
则，，且
c?1?bb?c?1
x?2
1
.
当时，函数，
x
?2
fx?lg(x?2)
??
由
[f(x)]?bf(x)?c?0
2
，得，
[lg(x?2)]?blg(x?2)?b?1?0
2
b1
?
解得或，解得或，
lg(x?2)?1
lg(x?2)?b?1
x?12
2
x210
3
??
当时，函数，
x?
2
fx?lg(2?x)
??
由
[f(x)]?bf(x)?c?0
2
，得，
[lg(2?x)]?blg(2?x)?b?1?0
2
b
?
1
解得或，解得或，
lg(2?x)?1
lg(2?x)?b?1
x??8
4
x210
5
??
所以，
fff
()(2122108210)(10)lg83lg2
xxxxx
12345
????
??????????
b1b1
??
bc
?
故选
D.
18
．（全国高三专题练习）已知
2023??
f(x)
是定义在上的偶函数，且满足
R
?
????
x3x,0x1
2
2
f(x)
?
?
，若关于的方程有个不同的实数解，
x
[f(x)]?a?1f(x)?a?0
??
10
?
x2lnx,x1
??
则实数的取值范围是（）
a
A B
．．
??
1,2
C D
．．
??
?2,2ln2?2
??
?2,?1{2ln2?2}
?
?
?2,2ln2?2
?
【答案】
B
【答案解析】当时，，，
x
?
1
f(x)?x?2lnx
f(x)1
?
??
当时，，当时，，
1?x?2
f(x)0f(x)0
??
??
x
?2
所以在上单调递减，在上单调递增，
f(x)
?
1,2
?
??
2,?
?
当时，取得极小值，
x?2
f(x)
f2?2?2ln2
??
且，当时，；
f1?1
??
x???
f(x)???
当时，
0?x?1
f(x)??x?3x
2
单调递增，且此时
0?()?2
fx
.
函数在的图象如下图所示：
y?f(x)
[0,??)
2
x
方程，
??
f(x)?a?1f(x)?a?0
??
即
????
f(x)?1f(x)?a?0
2
由图象可知，在有个实数解，由于为偶函数，故在上有
f(x)?1?0
[0,??)
3R6
y?f(x)
个实数解
所以只需要有个不同的实数解，
f(x)?a?0
4
可得或，
a??
2ln22
?2?a??1
故选：
B.
x
?
x1,2,0
?
剟
fx
?
19
．（春辽宁沈阳高三东北育才学校校联考阶段练习）已知函数
2023??
??
?
?
?
lnx,x0,
??
??
2
若关于的方程有个不同的实根，则的取值范围是（）
xa
[]??2?0
fxafx
????
4
A
．．．．
??
2,4
B C D
22,422,3
??
?
?
??
2,3
?
?
【答案】
D
【答案解析】如图，画出的图象，设
fx
??
fx?t
??
结合图象知：当或时有且仅有个实根；当时有个实根；
t?1
t
?2
fx?tfx?t
????
12
1?t?2
问题转化为内有两个不同的零点，
h(t)?t?at?2
2
在
??
1,2
?
h(1)3a0
???
?
h(2)62a0
???
?
?
从而，解得
?
a
22?a≤3
.
??
12
?
2
?
2
?
?
????
a80
故选：
D
32
202023??
．（全国高三专题练习）若函数
fx?x?ax?bx?c
??
有极值点，且，
xx
12
，
fx?x
??
11
则关于
x
的方程的不同实根个数是（）．
3fx?2afx?b?0
A3 B4 C5 D6
．．．．
2
????
【答案】
A
2
【答案解析】令，则，由题意知或
fx?t
??
3t?2at?b?0
2
．又
fx?3x?2ax?b?0
?
??
x?x
1
x?x
2
，即方程．于是，或．
3t?2at?b?0
2
的根为
xx
12
，
fx?xfx?x
????
12
如图所示．
1
2
由图像可知有个解，有个解，因此方程的不
fx?xfx?x3fx?2afx?b?0
????
12
21
????
同实根个数为
3
．
故选：．
A
212023??
．（湖北武汉高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考）若函数
fx?x?ax?2bx?cb?0
????
32
有两个极值点，，且，，则关
x
1
x
2
fx??x
??
11
fx??2x
??
22
于的方程
x
3fx?2afx?2b?0
??
????
的不同的实根的个数是
A
．．．．
6 B5 C4 D3
2
【答案】
B
2
【答案解析】，有两个极值点，，
fx?3x?2ax?2b
?
??
fx
??
x
12
x
所以，是的两个根，
x
12
x
fx?0
?
??
由，可知两根一正一负，
b?0
又当的值取为，时，方程
fx
??
?x
1
?x
2
3fx?2afx?2b?0
??
????
成立．
2
当时，作出的简图如图所示，
x?0?x
12
fx
??
1
当时有两根，当时有三根，
fx??x
??
1
fx??x
??
2
所以方程
3fx?2afx?2b?0
??
????
有五个根；
同理当时，作出的简图如图所示，也有当时有两根，
x?0?x
12
fx
??
2
fx??x
??
1
当时有三根．
fx??x
??
2
综上，方程
3fx?2afx?2b?0
??
????
有五个根．
2
2
故选
:.
B
二、多选题
?
2x4x,x0,
2
??
222023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fx
??
?
?
?
x
若关于的方程
x
21,0,
??
x
?
4fx?4a?fx?2a?3?0
2
????
有个不同的实根，则实数的取值可以为（）
5a
34
A
．
??
B C D
23
．．．
6
?
5
?
7
6
【答案】
BCD
【答案解析】令，记，则由的图
f(x)?m
g(m)?4m?4am?2a?3
2
的两个零点为
m,m
12
f(x)
象可知：方程
4fx?4a?fx?2a?3?0
2
????
有个不同的实根与的图象
5
?
y?m,y?m
12
f(x)
共有个交点，且（不妨设）
5.
??2?m??1
1
?1?m?0
2
m?m
12
?
ga
??
????
210190
?
37
?
ga
??
????
1670
则解得
?
??a??
.
26
?
ga
??
0230
???
2
?
?
Δ230
????
aa
故选：
BCD
?
2x4x,x0,
2
??
232023??
若关于．（春广东惠州高三惠州一中校考）已知函数
x
的方
fx
??
?
?
?
x
21,0,
??
x
?
程有个不同的实根，则实数的取值可以为（）
4fx?4a?fx?2a?3?0
2
????
5
a
453
B C D
．．．
???
342
A
．
6
?
5
【答案】
BCD
?
2x4x,x0
2
??
【答案解析】作出函数，的图象如下：
f(x)
?
?
?
x
21,x0
?
…
?
因为关于的方程
x
4f(x)?4a?f(x)?2a?3?0
2
有个不同的实根，
5
令，则方程，则
t?f(x)
4t?4at?2a?3?0
2
有个不同的实根，
2
t,t
12
??16a?16(2a?3)?0
2
解得
a
??1
或，
a
?3
若，则或，
t?t
12
?2?t??1?t?0?1?t?t?0
1212
令
g(t)?4t?4at?2a?3
2
，
??
g21910a0g21910a0
????
????????
37
??
∴或，解得
??
g176a0g176a0
????
????????
2a?3?0
??a??
；
26
??
g02a30g02a30
????
??????
??
3
3
当时解得
2a?3?0
a??
，此时，解得，，不符合题意，故舍去；
4t?6t?0
2
t?0
2
t??
1
2
2
37
∴综上可得
??a??
.
26
故选：
BCD
24
．（春吉林长春高三长春十一高校考期末）已知函数
2023??
fx{
??
?
?
x
，若关于
x
21,x0
??
x4x,x0
2
??
的方程有个不同的实根，则实数可能的取值有（）
4fx?4fx?2?3?0
34
A
．
??
B C D
23
2
????
??
5
?
．．．
?
7
6
8
?
7
【答案】
BC
?
x4x,x0
2
??
【答案解析】作出函数的图象如下，
fx
??
?
?
?
x
21,0
??
x
?
因为关于的方程有个不同的实根，
x
4fx?4fx?2?3?0
2
????
??
5
所以关于的一元二次方程有两个不同的根且满足，，
f(x)
?1?()?0
fx
?4?f(x)??1
令，
t?f(x)
,
则的两根满足
44230
tt
2
????
??
?1??0,?4???1
tt
令
g(t)?4t?4t?2?3
2
??
，
?
g
(4)0
??
?
18670
?
??
?
?
则，即，
?
g
(1)0
??
?
670
?
??
?
g
(0)0
?
?
230
?
??
?
?
37
解得
????
?
26
故选：
BC
25
．（春江苏南通高三海门中学校考阶段练习）已知函数，
2023??
fx??
()1
x
e
x
?
f(x),x0
?
g(x)
?
?
2
，且，则关于的方程实根个数的判断正
g(1)?0
x
ggxt
??
()??1?0
2,0xxax
???
?
确的是（）
A
．当时，方程
t
??2
ggxt
??
()??1?0
没有相应实根
1
B
．当
????
1t0
或时，方程有个相应实根
t
??2
ggxt
??
()??1?0
1
e
1
C
．当
1t1
???
时，方程有个相异实根
ggxt
??
()??1?0
2
e
1
1
D
．当
?????
1t1
或或时，方程有个相异实根
0??1
t
t1
??
ggxt
??
()??1?0
4
e
e
【答案】
AB
【答案解析】由得，则；
g(1)?0
1?2??0
a
a?1
?
?
f(x),x0
?
g(x)
?
所以，故，
g(x)?0
?
2
?
?
??
x1,x0
??
当时，，则，
x?0
gxfxxe
()?()??1?1?
?
x
x
gxexeex
?
()1
??????
xxx
??
?
x
e
由得；由得；
g(x)?0g(x)?0
??
xx
??1?1??0
1
则，又，时，；
g(x)g(1)1
max
????
g(0)?f(0)?1
x???
g(x)?1
e
1
??
即时，；
x?0
g(x)1,1
??
??
e
??
当时，
x?0
g(x)?x?1?0
??
；
由解得或；
ggxt
??
()??1?0
g(x)?t
g(x)?t?2
2
A
选项，当时，
t
??2
g(x)?t
与都无解，故没有相应实根；故正确；
g(x)?t?2
A
1
B
选项，当
????
1t0
或时，方程有个相应实根，即只
t??2
ggxt
??
()??1?0
1
g(x)?t?2
e
11
要一个根，则只需或，解得或；故正确；
t
?2?0
t21t1
??????
t??2
B
ee
1
C
选项，当
1t1
???
时，有三个根，有一个根，所以方程
g(x)?t
g(x)?t?2
ggxt
??
()??1?0
e
有个相异实根；故错；
4C
1
D
选项，
t1
??
时，方程有两个解；有一个解，共三个解；
g(x)?t
g(x)?t?2
e
当时，方程有两个解；有一个解，共三个解；
0?t?1
g(x)?t
g(x)?t?2
1
当时，方程无解；方程有三个解，共三个解；故错
?????
1t1
g(x)?t
g(x)?t?2
D.
e
故选：
AB.
三、填空题
x3
2
?
262023??
．（全国高三专题练习）已知函数
fx
??
?
，若关于的方程
x
x
e
[fx]tfx0tR
??????
2
????
______
．
12
有个不同的实数解，则的所有可能的值构成的集合为
mm
2
e
【答案】
??
3
【答案解析】函数的导数为
fx
??
f\'x
??
????
2xex3ex2x3
xx
?????
22
(e)eee
xxxx
2
????
???
????
x1x3
2xx3
??
2
，
由，得，递增；
f\'x?0fx
??
?1?x?3
??
由，得或，递减．
f\'x?0fx
??
x?3x??1
??
即有在处取得极小值；在处取得极大值，
fx
??
x??1
f?1??2e
??
x?3
f3
??
?
作出的图象，如图所示
fx
??
:
6
e
3
2
关于的方程，
x
[fx]tfx0tR
??????
????
12
e
2
2
令，则，
n?fx
??
nnt0
???
12
e
2
2
由判别式，方程有两个不等实根，
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