2023年高考新课标全国Ⅰ卷数学真题及答案

2023年12月27日发(作者：广州本田suv)

2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M???2,?1,0,1,2?，N??xx2?x?6?0?，则M?N?（）A.??2,?1,0,1?B.?0,1,2?C.??2?D.22.已知z?1?i2?2i，则z?z?（）A.?.0D.13.已知向量a???1,1?,?b??1,?1?，若?a????b???a????b?，则（）A.????1B.?????1C.???1D.????14.设函数f?x??2x?x?a?在区间?0,1?上单调递减，则a的取值范围是（）A.???,?2?B.??2,0?C.?0,2?D.?2,???5.设椭圆Cx21:a2?y2?1(a?1),Cx22:4?y2?1的离心率分别为e1,e2．若e2?3e1，则a?（A.233B.2C.3D.66.过点?0,?2?与圆x2?y2?4x?1?0相切的两条直线的夹角为?，则sin??（）A.1B.154C.104D.647.记Sn为数列?an?的前n项和，设甲：?an?为等差数列；乙：{Snn}为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知sin??????13,cos?sin??16，则cos?2??2???（）．A.7B.199C.?1D.?799第1页/共26页）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,???,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,???,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,???,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,???,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,???,x6的极差10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp?20?lg是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源燃油汽车混合动力汽车电动汽车与声源的距离/m101010声压级/dB）p，其中常数p0?p0?0?p060?9050?6040）．已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（A.p1?p2C.p3?100p02B.p2?10p3D.p1?100p2211.已知函数f?x?的定义域为R，f?xy??yf?x??xfA.f?0??0C.f?x?是偶函数?y?，则（）．B.f?1??0D.x?0为f?x?的极小值点）12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14.在正四棱台ABCD?A1B1C1D1中，AB?2,A1B1?1,AA1?2，则该棱台的体积为________．15.已知函数f?x??cos?x?1(??0)在区间?0,2π?有且仅有3个零点，则?的取值范围是________．x2y216.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2．点A在C上，点B在y轴上，ab第2页/共26页

??????????????2????F1A?F1B,F2A??F2B，则C的离心率为________．3四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在?ABC中，A?B?3C,2sin?A?C??sinB．（1）求sinA；（2）设AB?5，求AB边上的高．18.如图，在正四棱柱ABCD?A1?4．点A2,B2,C2,D2分1B1C1D1中，AB?2,AA别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2?1,BB2?DD2?2,CC2?3．（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P?A2C2?D2为150?时，求B2P．19已知函数f?x??ae?a?x．.?x?（1）讨论f?x?的单调性；（2）证明：当a?0时，f?x??2lna?3．2n2?n20.设等差数列?an?的公差为d，且d?1．令bn?，记Sn,Tn分别为数列?an?,?bn?的前n项和．an（1）若3a2?3a1?a3,S3?T3?21，求?an?的通项公式；（2）若?bn?为等差数列，且S99?T99?99，求d．21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；?n?n（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P?Xi?1??1?P?Xi?0??qi,i?1,2,???,n，则E??Xi???qi．记?i?1?i?1前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E?Y?．22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点?0,?的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3??1?2?3．第3页/共26页

2023年普通高等学校招生全国统一考试目要求的.1.已知集合A.新课标Ⅰ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题M???2,?1,0,1,2?B.，N?xx2?x?6?0C.??，则M?N?（）D.2??2,?1,0,1??0,1,2???2?【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．2【详解】方法一：因为N?xx?x?6?0????,?2???3,???，而M?????2,?1,0,1,2?，所以M?N?故选：C．??2?．???2,?1,0,1,2?，将?2,?1,0,1,2代入不等式x2?x?6?0，只有?2使不等式成立，所以方法二：因为MM?N???2?．故选：C．2.已知z?A.1?i，则z?z?（2?2iB.）C.0D.1?ii【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．【详解】因为z?故选：A．?1?i??1?i??2i11?i1????i，所以z?i，即z?z??i．2?2i2?1?i??1?i?422）??????a??b?a??b3.已知向量a??1,1?,b??1,?1?，若????，则（A.????1C.???1【答案】D【解析】B.?????1D.????1????【分析】根据向量的坐标运算求出a??b，a??b，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．??????【详解】因为a??1,1?,b??1,?1?，所以a??b??1??,1???，a??b??1??,1???，????????由a??b?a??b可得，a??b?a??b?0，????????第4页/共26页

即?1????1?????1????1????0，整理得：????1．x?x?a?故选：D．4.设函数f?x??2A.C.在区间?0,1?上单调递减，则a的取值范围是（B.D.）???,?2???2,0??2,????0,2?【答案】D【解析】【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数xx?ay?2x在R上单调递增，而函数f?x??2??在区间?0,1?上单调递减，aa2a2则有函数y?x(x?a)?(x?)?在区间?0,1?上单调递减，因此?1，解得a?2，224所以a的取值范围是故选：D?2,???.）x2x2225.设椭圆C1:?y?1(a?1),C:?y?1的离心率分别为e1,e2．若e2?3e1，则a?（22a4A.233B.2C.3D.6【答案】A【解析】【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由e2故选：A6.过点A.1【答案】B【解析】【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2?8k?1?0，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为x2?y2?4x?1?0，即?x?2??y2?5，可得圆心C2?3e1，得e?3e2221，因此4?1a2?123.?3?2，而a?1，所以a?4a3?0,?2?与圆x2?y2?4x?1?0相切的两条直线的夹角为?，则sin??（D.）B.154C.10464?2,0?，半径r?5，过点P?0,?2?作圆C的切线，切点为A,B，第5页/共26页

因为PC?22???2??22，则PA?PC?r2?3，522?1036，,cos?APC??442222可得sin?APC?则sin?APB?sin2?APC?2sin?APCcos?APC?2?10615，??44422?6??10?122cos?APB?cos2?APC?cos?APC?sin?APC??????0，?4????4??4????即?APB为钝角，所以sin??sin?π??APB??sin?APB?15；4法二：圆x2?y2?4x?1?0的圆心C过点P可得?2,0?，半径r?5，2?0,?2?作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，2PC?22???2??22，则PA?PB?PC?r2?3，2222因为PA?PB?2PA?PBcos?APB?CA?CB?2CA?CBcos?ACB且?ACB?π??APB，则3?3?6cos?APB?5?5?10cos即3?cos?APB?5?5cos?APB，解得cos?APB???π??APB?，1?0，41，4即?APB为钝角，则cos??cos?π??APB???cos?APB?且?为锐角，所以sin??1?cos2??15；4方法三：圆x2?y2?4x?1?0的圆心C?2,0?，半径r?5，若切线斜率不存在，则切线方程为y?0，则圆心到切点的距离d?2?r，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y?kx?2，即kx?y?2?0，则2k?2k2?1?5，整理得k2?8k?1?0，且??64?4?60?0设两切线斜率分别为k1,k2，则k1?k2??8,k1k2?1，可得k1?k2??k1?k2?2?4k1k2?215，sin?sin??15，可得cos??，cos?15所以tan??k1?k21?k1k22?15，即2sin2?则sin??cos??sin???1，152第6页/共26页

且???0,故选：B.??π?15.?，则sin??0，解得sin??2?47.记Sn为数列?an?的前n项和，设甲：?an?为等差数列；乙：{Sn}为等差数列，则（n）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：则Sn?na1?因此{?an?为等差数列，设其首项为a1，公差为d，Sn(n?1)Snn?1ddSdd,?a1?d?n?a1?,n?1?n?，2n222n?1n2Sn}为等差数列，则甲是乙的充分条件；nSSnS?(n?1)Snnan?1?SnSn?}为等差数列，即n?1?n?n?1为常数，设为t，n?1nn(n?1)n(n?1)n?nan?1?t?n(n?1)，有Sn?1?(n?1)an?t?n(n?1),n?2，反之，乙：{nan?1?Sn?t，则Sn即n(n?1)两式相减得：an?nan?1?(n?1)an?2tn，即an?1?an?2t，对n?1也成立，因此?an?为等差数列，则甲是乙的必要条件，?an?为等差数列，设数列?an?的首项a1所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：，公差为d，即Sn?na1?n(n?1)d，2第7页/共26页

则SnS(n?1)dd?a1?d?n?a1?，因此{n}为等差数列，即甲是乙的充分条件；n222nSnSSS}为等差数列，即n?1?n?D,n?S1?(n?1)D，nn?1nn反之，乙：{即Sn?nS1?n(n?1)D，Sn?1?(n?1)S1?(n?1)(n?2)D，当n?2时，上两式相减得：Sn?Sn?1?S1?2(n?1)D，当n?1时，上式成立，于是an?a1?2(n?1)D，又an?1?an?a1?2nD?[a1?2(n?1)D]?2D为常数，因此?an?为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C8.已知sin??????A.11,cos?sin??，则cos?2??2???（36B.）．D.?7919C.?1979【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(???)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为sin(???)?sin?cos??cos?sin??则sin(???)?sin?cos??cos?sin??111，而cos?sin??，因此sin?cos??，2362，3231.922所以cos(2??2?)?cos2(???)?1?2sin(???)?1?2?()?故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,???,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（A.B.）x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,???,x6的平均数x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,???,x6的中位数第8页/共26页

C.D.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,???,x6的标准差x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,???,x6的极差【答案】BD【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A：设x2,x3,x4,x5的平均数为m，x1,x2,???,x6的平均数为n，则n?m?x1?x2?x3?x4?x5?x6x2?x3?x4?x52?x1?x6???x5?x2?x3?x4?，??6412因为没有确定2?x1?x6?,x5?x2?x3?x4的大小关系，所以无法判断m,n的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得m?n?3.5；例如1,1,1,1,1,7，可得m?1,n?2；例如1,2,2,2,2,2，可得m?2,n?11；故A错误；6对于选项B：不妨设x1?x2?x3?x4?x5?x6，可知x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,???,x6的中位数均为对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值，则x2,x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,???,x6的波动性，即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,???,x6的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n?标准差s1?x3?x4，故B正确；21?2?4?6?8?10?12??7，61?105222222，2?7???4?7???6?7???8?7???10?7???12?7??????631?4?6?8?10??7，44,6,8,10，则平均数m?标准差s2?1?22224?7???6?7???8?7???10?7???5，??4?显然105?5，即s1?s2；故C错误；3对于选项D：不妨设x1?x2?x3?x4?x5?x6，则x6?x1?x5?x2，当且仅当x1?x2,x5故选：BD.10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：第9页/共26页?x6时，等号成立，故D正确；?20?lgp，其中常数p0?p0?0?p0

声源燃油汽车混合动力汽车电动汽车与声源的距离/m101010声压级/dB60?9050?6040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为A.C.p1,p2,p3，则（）．p1?p2p3?100p0B.D.p2?10p3p1?100p2【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可知Lp1?【详解】由题意可知：Lp1??60,90?,Lp??50,60?,Lp23?40，结合对数运算逐项分析判断.?40，?60,90?,Lp??50,60?,Lp23对于选项A：可得Lp1?Lp2?20?lg因为Lp1?Lp2，则Lp?Lp?20?lg12p1pp?20?lg2?20?lg1，p0p0p2p1p?0，即lg1?0，p2p2p1?1且p1,p2?0，可得p1?p2，故A正确；所以p2对于选项B：可得Lp2?Lp3?20?lgpp2p?20?lg3?20?lg2，p0p0p3p2p1?10，即lg2?，p3p32因为Lp2?Lp3?Lp2?40?10，则20?lgp2?e且p2,p3?0，可得p2?ep3，所以p3当且仅当Lp2?50时，等号成立，故B错误；p3p?40，即lg3?2，p0p0对于选项C：因为Lp3?20?lgp3?100，即p3?100p0，故C正确；可得p0对于选项D：由选项A可知：Lp1?Lp2?20?lg且Lp1?Lp2?90?50?40，则20?lgp1，p2p1?40，p2第10页/共26页

即lgp1p?2，可得1?100，且p1,p2?0，所以p1?100p2，故D正确；p2p2故选：ACD.11.已知函数A.C.f?x?的定义域为R，f?xy??y2f?x??x2f?y?，则（B.）．f?0??0f?x?是偶函数f?1??0f?x?的极小值点D.x?0为【答案】ABC【解析】【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例f(x)?0即可排除选项D.?x2lnx,x?0方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数f(x)??进行判断即可.0,x?0?【详解】方法一：因为f(xy)?y2f(x)?x2f(y)，对于A，令x?y?0，f(0)?0f(0)?0f(0)?0，故A正确.对于B，令x?y?1，f(1)?1f(1)?1f(1)，则f(1)?0，故B正确.对于C，令x?y??1，f(1)?f(?1)?f(?1)?2f(?1)，则f(?1)?0，令y??1,f(?x)?f(x)?x2f(?1)?f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令f(x)?0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误方法二：因为f(xy)?y2f(x)?x2f(y)，对于A，令x?y?0，f(0)?0f(0)?0f(0)?0，故A正确.对于B，令x?y?1，f(1)?1f(1)?1f(1)，则f(1)?0，故B正确.对于C，令x?y??1，f(1)?f(?1)?f(?1)?2f(?1)，则f(?1)?0，令y??1,f(?x)?f(x)?x2f(?1)?f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，22对于D，当x2y2?0时，对f(xy)?y2f(x)?x2f(y)两边同时除以xy，得到.f(xy)f(x)f(y)?2?2，22xyxy?x2lnx,x?0f(x)故可以设2?lnx(x?0)，则f(x)??，x?0,x?0当x?0肘，令f(x)?x2lnx，则f??x??2xlnx?x2?11?x(2lnx?1)，xf??x??0，得0?x?e?2；令f?(x)>0，得x?e?12；第11页/共26页

1??故f(x)在?0,e2????1?2e,??上单调递减，在???上单调递增，???1????1??因为f(x)为偶函数，所以f(x)在??e2,0?上单调递增，在???,e2?上单调递减，????显然，此时x?0是f(x)的极大值，故D错误.故选：ABC.12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体【答案】ABD【解析】【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为0.99m?1m，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为2m，且2?1.4，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为3m，且所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；对于选项D：因为正方体的体对角线长为3m，且）3?1.8，3?1.2，设正方体ABCD?ABCD以AC设圆柱的底面圆心O1到正方体的表面的最近1111的中心为O，1为轴对称放置圆柱，的距离为hm，如图，结合对称性可知：OC1133?C1A?,C1O1?OC1?OO1??0.6，2223hC1O110.6?0.6?h???0.34?0.01，则，即h，解得?2AA1C1A2313第12页/共26页

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱的性质分析判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C4C4（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C4C4?24种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C4C4?24种；综上所述：不同的选课方案共有16?24?24?64种.故答案为：64.14.在正四棱台ABCD?ABCD1111中，AB?2,AB11?1,AA1?【答案】【解析】211211?16种；2，则该棱台的体积为________．7676##66,AM【分析】结合图像，依次求得AO，从而利用棱台的体积公式即可得解.11,AO1【详解】如图，过A1作AM?AC，垂足为M1，易知AM为四棱台ABCD?ABCD11111的高，因为AB?2,A1B1?1,AA1?2，第13页/共26页

则AO11故AM??11211AC??2AB?,AO?AC??2AB?2，1222，则，AM?AA?AM?2????AC?AC?11112222所以所求体积为V1676.??(4?1?4?1)??326故答案为：76.615.已知函数【答案】[2,3)【解析】f?x??cos?x?1(??0)在区间?0,2π?有且仅有3个零点，则?的取值范围是________．【分析】令f(x)?0，得cos?x?1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为0≤x≤2π，所以0≤?x≤2?π，令f(x)?cos?x?1?0，则cos?x?1有3个根，令t??x，则cost?1有3个根，其中t?[0,2?π]，结合余弦函数y?cost的图像性质可得4π?2?π?6π，故2???3，故答案为：[2,3).x2y216.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为abF1,F2．点A在C上，点B在y轴上，??????????????2????F1A?F1B,F2A??F2B，则C的离心率为________．3【答案】【解析】【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到35##3555AF2,BF2,BF1,AF1关于a,m的表达式，从而利用勾股定理求得a?m，进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x0?到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设52c,y0??t，t2?4c2，将点A代入双曲线C得33AF2?2m，则BF2?3m?BF1,AF1?2a?2m，9m2?(2a?2m)2?25m2，则(a?3m)(a?m)?0，故a?m或a??3m（舍去）在Rt?ABF，1中，第14页/共26页

所以AF1?4a,AF2?2a，BF2?BF1?3a，则AB?5a，AF1AB?4a4?，5a5故cos?F1AF2?22216a?4a?4c422所以在△AF1F2中，cos?F，整理得，5c?9aAF??122?4a?2a5故e?c35.?a5方法二:依题意，得F1(?c,0),F2(c,0)，令A?x0,y0?,B(0,t)，??????2????252因为F2A??F2B，所以?x0?c,y0?????c,t?，则x0?c,y0??t，3333?????????8????????2?8222FA?FB?c,?tc,t?c?t?0，则t2?4c2，又F，所以??A?FB11??11333??32524225c24t225c216c2ct又点A在C上，则9?2?1，则2?2?1，9?1，整理得2?9a9b9a9ba2b2所以25c2b2?16c2a2?9a2b2，即25c2?c2?a2?16a2c2?9a2c2?a2，2???整理得25c4?50c2?9a4?0，则5c?9a又e?1，所以e??2??5c2?a2?0，解得5c2?9a2或5c2?a2，?35或5（舍去）35，故e?.e?555故答案为：35.5【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在?ABC中，A?B?3C,2sin（1）求sinA；（2）设AB?5，求AB边上的高．第15页/共26页?A?C??sinB．

【答案】（1）（2）6【解析】31010【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b，根据等面积法求解即可.【小问1详解】?A?B?3C，?π?C?3C，即C?π，4又2sin(A?C)?sinB?sin(A?C)，?2sinAcosC?2cosAsinC?sinAcosC?cosAsinC，?sinAcosC?3cosAsinC，?sinA?3cosA，即tanA?3，所以0?A?π，2?sinA?310?310.1011010，10【小问2详解】由（1）知，cosA??由sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC?5?23101025，(?)?210105由正弦定理，cb?，可得b?sinCsinB255?210，22?11AB?h?AB?AC?sinA，22?h?b?sinA?210?310?6.10D18.如图，在正四棱柱ABCD?ABCD1111中，AB?2,AA1?4．点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,D1上，AA2?1,BB2?DD2?2,CC2?3．第16页/共26页

（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB22?D2为150?时，求B1上，当二面角P?AC2P．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设P(0,2,?)(0???4)，利用向量法求二面角，建立方程求出?即可得解.【小问1详解】x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线为?????????????B2C2?(0,?2,1),A2D2?(0,?2,1)，?????????????B2C2∥A2D2，)，则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1A2D2不在同一条直线上，又BC22，?B2C2∥A2D2.【小问2详解】设P(0,2,?)(0???4)，第17页/共26页

?????????????????则A2C2?(?2,?2,2),PC2?(0,?2,3??),D2C2=(?2,0,1)，设平面PA2C2的法向量n?(x,y,z)，??????????n?A2C2??2x?2y?2z?0则??????，???n?PC2??2y?(3??)z?0??n?(??1,3??,2)，令z?2，得y?3??,x???1，??设平面AC22D2的法向量m?(a,b,c)，?????????m?A2C2??2a?2b?2c?0则???????，???m?D2C2??2a?c?0???m?(1,1,2)，令a?1，得b?1,c?2，???n?m????cosn,m?????nm664?(??1)2?(3??)2?cos150??3，2化简可得，?2?4??3?0，解得??1或??3，?P(0,2,1)或P(0,2,3)，?B2P?1.19.已知函数f?x??ae?a?x．x??（1）讨论f?x?的单调性；3．2（2）证明：当a?0时，f?x??2lna?【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论a?0与a?0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；2（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为a?112?lna?0的恒成立问题，构造函数g?a??a??lna?a?0?，22利用导数证得g?a??0即可.方法二：构造函数h?x??ex?x?1，证得ex?x?1，从而得到f(x)?x?lna?1?a2?x，进而将问题转化为a2?1?lna?0的恒成立问题，由此得证.2【小问1详解】第18页/共26页

因为f(x)?ae?a?x，定义域为R，所以当a?0时，由于ex?0，则aex?0，故所以?x?f??x??aex?1，f??x??aex?1?0恒成立，f?x?在R上单调递减；f??x??aex?1?0，解得x??lna，f??x??0，则f?x?在???,?lna?上单调递减；f?x?在??lna,???上单调递增；当a?0时，令当x??lna时，当x??lna时，f?(x)>0，则综上：当a?0时，当a?0时，f?x?在R上单调递减；f?x?在???,?lna?上单调递减，f?x?在??lna,???上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，f?x?min?f??lna??ae要证f(x)?2lna?2??lna?a??lna?1?a2?lna，33122，即证1?a?lna?2lna?，即证a??lna?0恒成立，222112a2?1令g?a??a??lna?a?0?，则g??a??2a??，2aa令g??a??0，则0?a?22；令g??a??0，则a?；22??2?2?所以g?a?在?0,?2??上单调递减，在??2,????上单调递增，????所以g?a?min?2??2?12?g????ln?ln2?0，则g?a??0恒成立，?2????2??22????3恒成立，证毕.22所以当a?0时，f(x)?2lna?方法二：令h?x??ex?x?1，则h??x??ex?1，?x??ex?1在R上单调递增，?0??e0?1?0，?x??0；当x?0时，h??x??0；?x?1，当且仅当x?0时，等号成立，第19页/共26页由于y?ex在R上单调递增，所以h?又h?所以当x?0时，h?所以h故h?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增，x?x??h?0??0，则e

因为f(x)?ae?a?x?ae?a?x?e?x?x2x?lna?a2?x?x?lna?1?a2?x，当且仅当x?lna?0，即x??lna时，等号成立，所以要证f(x)?2lna?233122，即证x?lna?1?a?x?2lna?，即证a??lna?0，222112a2?1令g?a??a??lna?a?0?，则g??a??2a??，2aa令g??a??0，则0?a?22；令g??a??0，则a?；22所以g??2?2?a0,,??在上单调递减，在??????2???2?上单调递增，????min所以g?a??2??2?12?g????ln?ln2?0，则g?a??0恒成立，????2??2?22????3恒成立，证毕.22所以当a?0时，f(x)?2lna?n2?n20.设等差数列?an?的公差为d，且d?1．令bn?，记Sn,Tn分别为数列?an?,?bn?的前n项和．an（1）若3a2（2）若?3a1?a3,S3?T3?21，求?an?的通项公式；．?bn?为等差数列，且S99?T99?99，求d5150【答案】（1）an?3n（2）d?【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{bn}为等差数列得出a1【小问1详解】?d或a1?2d，再由等差数列的性质可得a50?b50?1，分类讨论即可得解.?3a2?3a1?a3，?3d?a1?2d，解得a1?d，?S3?3a2?3(a1?d)?6d，又T3?b1?b2?b3?26129???，d2d3dd?S3?T3?6d?9?21，d1（舍去），2即2d2?7d?3?0，解得d?3或d??an?a1?(n?1)?d?3n.第20页/共26页

【小问2详解】?{bn}为等差数列，12212?2b2?b1?b3，即??，a2a1a3?6(116d1?)??，即a12?3a1d?2d2?0，解得a1?d或a1?2d，a2a3a2a3a1?d?1，?an?0，又S99?T99?99，由等差数列性质知，99a50?99b50?99，即a50?b50?1，?a50?25502?1，即a50?a50?2550?0，解得a50?51或a50??50（舍去）a50当a1?2d时，a50当a1?a1?49d?51d?51，解得d?1，与d?1矛盾，无解；51.50?d时，a50?a1?49d?50d?51，解得d?51.50综上，d?21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；?n?n（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P?Xi?1??1?P?Xi?0??qi,i?1,2,???,n，则E??Xi???qi．记?i?1?i?1前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E【答案】（1）0.6?Y?．1?2?（2）???6?5?i?1?13n5??2??n（3）E(Y)??1?????18???5???3【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设P?Ai??pi，由题意可得pi?1?0.4pi?0.2，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【小问1详解】记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，第21页/共26页

所以，P?B2??P?A1B2??P?B1B2??P?A1?P?B2|A1??P?B1?P?B2|B1??0.5??1?0.6??0.5?0.8?0.6.【小问2详解】设P?Ai??pi，依题可知，P?Bi??1?pi，则P?Ai?1??P?AiAi?1??P?BiAi?1??P?Ai?P?Ai?1|Ai??P?Bi?P?Ai?1|Bi?，即pi?1?0.6pi??1?0.8???1?pi??0.4pi?0.2，构造等比数列设pi?1????pi???，12?1?21?pi???，解得???，则pi?1???pi??，3535?3?又p1?1??11112,p1??，所以?pi??是首项为，公比为的等比数列，236653??i?111?2?即pi?????36?5?【小问3详解】1?2?,pi????6?5?i?1?1．31?2?因为pi????6?5?i?1?1，i?1,2,???,n，3n?2?1?????2?n?n1n55*??所以当n?N时，E?Y??p1?p2???pn?????1?????，26318???5???31?55??2?故E(Y)??1???18???5?知识求解．n?n??．??3【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点?0,（1）求W的方程；??1??的距离，记动点P的轨迹为W．2?（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于32【答案】（1）y?x?3．14（2）见解析【解析】1??【分析】（1）设P(x,y)，根据题意列出方程x2??y???y2，化简即可；2??第22页/共26页2

（2）法一：设矩形的三个顶点1??1??1??A?a,a2??,B?b,b2??,C?c,c2??，且a?b?c，分别令4??4??4??mn??1，利用放缩法得kAB?a?b?m?0，kBC?b?c?n?0，且211??C??n??1?n2，设函数2n??1??f(x)??x??1?x2，利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.x????法二：设直线2AB的方程为y?k(x?a)?a?1，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得4AB?AD??1?k?23，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.k2法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【小问1详解】11??2设P(x,y),则y?x??y??，两边同平方化简得y?x?，42??22故W:y?x?21.4【小问2详解】法一：设矩形的三个顶点A?a,a线的斜率均存在，且不为0，??21??1??1???,B?b,b2??,C?c,c2??在W上,且a?b?c，易知矩形四条边所在直4??4??4?则kAB?kBC??1,a?b?b?c,令kAB1?1?b2???a2??，4?4???a?b?m?0b?a1，n1，n同理令kBC?b?c?n?0，且mn??1，则m??设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|?|n|，kBC?kAB?c?a?n?m?n?则11??C?|AB|?|BC|?(b?a)1?m2?(c?b)1?n2?(c?a)1?n2??n??1?n2.n?0，易知2n???1?2?n??1?n?0?n?第23页/共26页

1?1??1???则令f(x)??x??1?x2,x?0,f?(x)?2?x???2x??,x?x??x???2??2令f?(x)?0，解得x?2，2?2?f?(x)?0，此时f(x)单调递减，x?当??0,2??时，???2?f?(x)?0，此时f(x)单调递增，当x???2,????，???2?27则f(x)min?f??2???4，??故12733,即CC??242?33.当C?33时,n?得证.2,m??2,且(b?a)1?m2?(b?a)1?n2，即m?n时等号成立，矛盾，故C2?33,法二：不妨设A,B,D在W上，且BA?DA，依题意可设A?a,a??21???，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0，4?1，由对称性，不妨设k?1，k1，4则设BA,DA的斜率分别为k和?2直线AB的方程为y?k(x?a)?a?1?2y?x???4则联立?得x2?kx?ka?a2?0，?y?k(x?a)?a2?1?4???k2?4?ka?a2???k?2a??0，则k?2a2则|AB|?1?k2|k?2a|，第24页/共26页

同理|AD|?1?11?2a，2kk11?2a2kk?|AB|?|AD|?1?k2|k?2a|?1??1?1?k2?k?2a??2ak??12?1?kk???k??1?k?23k23(m?1)1令k2?m，则m??0,1?，设f(m)??m2?3m??3，mm11(2m?1)(m?1)2则f(m)?2m?3?，令f?(m)?0，解得m?，?2m2m2?当m??0,??1??时，f?(m)?0，此时2?f(m)单调递减，?1?m?,??当??，f?(m)?0，此时?2??1?27f(m)?f则min???，?2?4?|AB|?|AD|?2f(m)单调递增，33，211?2a?1?k22kk??1|k?2a|??2a??，此处取等条件为k?1，与最终取等时k??但1?k|k?2a|?1?k?233不一致，故AB?AD?.221个单位得抛物线W?:y?x2,4法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动矩形ABCD变换为矩形A?B?C?D?,则问题等价于矩形A?B?C?D?的周长大于3?2?2?2设Bt0,t0,At1,t1,Ct2,t2,根据对称性不妨设t0?0.3.?????2?则kA?B??t1?t0,kB?C??t2?t0,由于A?B??B?C?,则?t1?t0??t2?t0???1.2由于则????AB?1??t1?t0?t1?t0,BC?1??t2?t0?t2?t022,且t0介于t1,t2之间,????AB?BC?1??t1?t0?t1?t0?1??t2?t0?t2?t0.令t2?t0?tan?,?π?t1?t0??cot?,???0,?,则t2?2??tan??t0,t1??cot??t0,从而A?B??B?C??1?cot2??2t0?cot???1?tan2??tan??2t0?第25页/共26页

1?sin?cos?2t0(cos??sin?)sin3??cos3??1??2??故AB?BC?2t0???2sin?cos?sin2?cos2??sin?cos??cos?sin?????①当???0,?π?时,??4???sin3??cos3?sin?cos?12AB?BC????2?2?22sin2?cos2?cos2?sin2?sin?cos?sin2???②当???,?42?ππ?时,由于t1?t0?t2,从而?cot????t0?t0?tan??t0,从而?cot?tan??t0?又t0?0,2233tan?2t(cos??sin?)sin??cos???故0?t0?,由此A?B??BC?0?2sin?cos?sin2?cos2?sin?(cos??sin?)(sin?cos?)sin3??cos3?1cos?????sin2?cos3?sin2?cos2?cos?sin2??2sin2?sin2??2cos2?2??1?cos2????1?cos2???2cos2???3?????3?2?1?cos2???1?cos2???2cos2??2?2????3?3??332，当且仅当cos??333时等号成立，故??，故矩形周长大于?B?C??23.11??2C?|AB|?|BC|?n?1?n【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，??2n??对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.第26页/共26页