2023年12月27日发(作者：全新卡罗拉2021款图片)
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试卷类型：A2023年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页,22小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或答字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位昊填写在答题朴上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码撗贴任答颕卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,选出每小颕答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答策必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答蜜无效。4.考生必须保持答的整的。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={-2,-1,0,1,2}，N=?x∣x2-x-6≥0?，则M∩N=A.{-2,-1,0,1}2.已知z=A.-iB.{0,1,2}C.{-2}D.{2}1-i?，则z-z=2+.0D.13.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)．若(a+λb)⊥(a+μb)，则A.λ+μ=14.设函数f(x)=2A.(-∞,-2]x(x-a)B.λ+μ=-1C.λμ=1D.λμ=-1在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)3e1，x2x25.设椭圆C1：2+y2=1(a>1)，C2：+y2=1的离心率分别为e1，e2．著e2=4a则a=A.233B.2C.3D.66.过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=A.1B.154C.104D.64数学试题A 第1页（共4页）
?7.记Sn为数列?an?的前n项和，设甲：乙：?an?为等差数列；??A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知sin(α-β)=A.7911，cosαsinβ=，则cos(2α+2β)=36B.19C.-19Sn?则?为等差数列，n?D.-79二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.有一组样本数据x1，x2，?，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，?，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，?，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，?，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，?，x6的极差10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lgp，其中常数p0?p0>0?是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：p0声源燃油轮混合动力汽车电动汽车与声源的距离/m101010声压级/dB60?9050?6040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p211.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则A.f(0)=0C.f(x)是偶函数B.f(1)=0D.x=0为f(x)的极小值点数学试题A 第2页（共4页）
12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有A.直径为0.99m的球体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体B.所有棱长均为1.4m的四面体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有14.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=为．种(用数字作答)．2，则该棱台的体积15.已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．2yx216.已知双曲线C：2-2=1?a>o,b>0?的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴ab???????????2?上，F1A⊥F2B，F1A=-F2B，则C的离心率为．3四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知在△ABC中,A+B=3C，2sin(A-C)=sinB．（1）求sinA；（2）设AB=5，求AB边上的高．18.（12分）如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2，AA1=4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，D1CC2=3．（1）证明：B2C2?A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150时，求B2P．°C1C2A1B1PB2D2CDA2AB数学试题A 第3页（共4页）
19.（12分）已知函数f(x)=a?ex+a?-x．（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当a>0时,f(x)>2lna+3．220.（12分）n2+n设等差数列?an?的公差为d，且d>1．令bn=，记Sn，Tn分别为数列?an?，?bn?的前ann项和．（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21,求?an?的通项公式；（2）若?bn?为等差数列，且S99-T99=99，求d．21.（12分）甲、两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1,2,?,n，则E?Xi=?qi．记前n次（即从第1次到第n次）投篮中甲投篮的次数为Y，求ii?n?nE?Y?.22.（12分）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点?0,轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．12记动点P的?的距离，数学试题A 第4页（共4页）
2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.N=?x?x2-x-6≥0?，则M∩N=1已知集合M=?-2,-1,0,1,2?，A.?-2,-1,0,1?【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【解析】方法一：因为N=?x?x2-x-6≥0?=?-∞,-2?∪?3,+∞?，而M=?-2,-1,0,1,2?，所以M∩N=?-2?．故选：C．方法二：因为M=?-2,-1,0,1,2?，只有-2使不等式成立，所将-2,-1,0,1,2代入不等式x2-x-6≥0，以M∩N=?-2?．故选：C．2已知z=A.-i【答案】A?【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．?1-i??1-i??1?-2i11-i===-i，所以z=i，即z-z=-i．【解析】因为z=4222+2i2?1+i??1-i?故选：A．??????若?a+λb?⊥?a+μb?，则3已知向量a=?1,1?,b=?1,-1?，A.λ+μ=1【答案】D????【分析】根据向量的坐标运算求出a+λb，a+μb，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．??????所以a+λb=?1+λ,1-λ?，a+μb=?1+μ,1-μ?，【解析】因为a=?1,1?,b=?1,-1?，????????由?a+λb?⊥?a+μb?可得，?a+λb???a+μb?=0，即?1+λ??1+μ?+?1-λ??1-μ?=0，整理得：λμ=-1．故选：D．4设函数f?x?=2A.?-∞,-2?【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【解析】函数y=2x在R上单调递增，而函数f?x?=2则有函数y=x(x-a)=?x-所以a的取值范围是?2,+∞?.x?x-a?x?x-a?(D.2)B.?0,1,2?C.?-2??1-i，则z-z=2+.0D.1()(D.λμ=-1)B.λ+μ=-1C.λμ=1在区间?0,1?上单调递减，则a的取值范围是B.?-2,0?C.?0,2?D.?2,+∞?()在区间?0,1?上单调递减，a2a2a-在区间0,1上单调递减，≥1，解得a≥2，因此??42?2第 1 页 共 17页
博观而约取 厚积而薄发D故选：x2x22则a=5设椭圆C1:2+y=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2．若e2=3e1，4aA.233B.2C.3D.6()A【答案】【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.4-123a2-1【解析】由e2=3e1，得e=3e，因此而a>1，所以a==3×，.243a故选：A2221则sinα=6过点?0,-2?与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，A.1【答案】BB.154C.104D.64()【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2+8k+1=0，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【解析】方法一：因为x2+y2-4x-1=0，即?x-2?2+y2=5，可得圆心C?2,0?，半径r=5，过点P?0,-2?作圆C的切线，切点为A,B，因为?PC?=22+?-2?2=22，则?PA?=?PC?2-r2=3，51036可得sin∠APC==,cos∠APC==，44222261510×=，则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2×444621021cos∠APB=cos2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=?-=-<0，4??4?4即∠APB为钝角，15所以sinα=sin?π-∠APB?=sin∠APB=；4法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C?2,0?，半径r=5，过点P?0,-2?作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，可得?PC?=22+?-2?2=22，则?PA?=?PB?=?PC?2-r2=3，因为?PA?2+?PB?2-2?PA???PB?cos∠APB=?CA?2+?CB?2-2?CA???CB?cos∠ACB且∠ACB=π-∠APB，则3+3-6cos∠APB=5+5-10cos?π-∠APB?，1即3-cos∠APB=5+5cos∠APB，解得cos∠APB=-<0，41即∠APB为钝角，则cosα=cos?π-∠APB?=-cos∠APB=，415且α为锐角，；所以sinα=1-cos2α=4方法三：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C?2,0?，半径r=5，若切线斜率不存在，则切线方程为y=0，则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2，即kx-y-2=0，?2k-2?=5，则整理得k2+8k+1=0，且Δ=64-4=60>02k+1设两切线斜率分别为k1,k2，则k1+k2=-8,k1k2=1，第 2 页 共 17页
2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学可得?k1-k2?=?k1+k2?2-4k1k2=215，?k1-k2?sinαsinα所以tanα=即可得cosα==15，=15，，cosα1+k1k215sin2α则sin2α+cos2α=sin2α+=1，15π15则sinα>0，解得sinα=.且α∈?0,?，42B.故选：?设甲：乙：7记Sn为数列?an?的前n项和，?an?为等差数列；??A.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件【答案】CSn?则?为等差数列，n?()B.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.【解析】方法1，甲：设其首项为a1，公差为d，?an?为等差数列，n(n-1)SnSnn-1ddSd则Sn=na1+d,=a1+d=n+a1-,n+1-=，n222n+1n22Sn因此?则甲是乙的充分条件；???n??为等差数列，nSn+1-(n+1)SnSn+1nan+1-SnSnSn??为等差数列，-==为常数，反之，乙：即设为t，??n??nn+1n(n+1)n(n+1)na-Sn即n+1=t，则Sn=nan+1-t?n(n+1)，有Sn-1=(n-1)an-t?n(n-1),n≥2，n(n+1)两式相减得：an=nan+1-(n-1)an-2tn，即an+1-an=2t，对n=1也成立，因此?an?为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：设数列?an?的首项a1，公差为d，即Sn=na1+?an?为等差数列，则n(n-1)d，2(n-1)SnSndd=a1+d=n+a1-，因此?即甲是乙的充分条件；???n??为等差数列，n222Sn+1SnSnSn??为等差数列，-=D,=S1+(n-1)D，反之，乙：即??n??nnn+1即Sn=nS1+n(n-1)D，Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D，第 3 页 共 17页专心专注专业
博观而约取 厚积而薄发上两式相减得：Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，当n=1时，上式成立，当n≥2时，于是an=a1+2(n-1)D，又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数，因此?an?为等差数列，则甲是乙所以甲是乙的充要条件.故选：C8已知sin?α-β?=A.7911则cos?2α+2β?=()．,cosαsinβ=，3611B.C.-99必要条件，D.-79【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.111【解析】因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=，而cosαsinβ=，因此sinαcosβ=，3622则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=，3221所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×??=.39B故选：【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.其中x1是最小值，x6是最大值，则9有一组样本数据x1,x2,???,x6，A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,???,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,???,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,???,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,???,x6的极差【答案】BD【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【解析】对于选项A：设x2,x3,x4,x5的平均数为m，x1,x2,???,x6的平均数为n，2?x1+x6?-?x5+x2+x3+x4?x1+x2+x3+x4+x5+x6x2+x3+x4+x5-=，则n-m=4126因为没有确定2?x1+x6?,x5+x2+x3+x4的大小关系，所以无法判断m,n的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5；例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2；11例如1,2,2,2,2,2，可得m=2,n=；故A错误；6对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,???,x6的中位数均为对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值，第 4 页 共 17 页()x3+x4，故B正确；2
2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,???,x6的标准则x2,x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,???,x6的波动性，差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n=标准差s1=1?2+4+6+8+10+12?=7，6105，312-72+4-72+6-72+8-72+10-72+12-72=?????????????6?14,6,8,10，则平均数m=?4+6+8+10?=7，4标准差s2=1??4-7?2+?6-7?2+?8-7?2+?10-7?2?=5，4105即s1>s2；故C错误；显然>5，3对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6-x1≥x5-x2，当且仅当x1=x2,x5=x6时，等号成立，故D正确；故选：BD.定义声压级Lp=20×lg10噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：?p0>0?是听觉下限阈值，声源燃油汽车混合动力汽车电动汽车与声源的距离/m101010声压级/dBp，其中常数p0p060?9050?6040()已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则A.p1≥p2【答案】ACD【分析】根据题意可知Lp∈?60,90?,Lp∈?50,60?,Lp=40，结合对数运算逐项分析判断.123B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p2【解析】由题意可知：Lp∈?60,90?,Lp∈?50,60?,Lp=40，p2p1p1对于选项A：可得Lp-Lp=20×lg-20×lg=20×lg，p0p2p0p1p1因为Lp≥Lp，则Lp-Lp=20×lg≥0，即lg≥0，p2p2p1所以≥1且p1,p2>0，可得p1≥p2，故A正确；p2p2p3p2对于选项B：可得Lp-Lp=20×lg-20×lg=20×lg，p0p0p3p2p21因为Lp-Lp=Lp-40≥10，则20×lg≥10，即lg≥，2p3p3p2≥e且p2,p3>0，所以可得p2≥ep3，p3232当且仅当Lp=50时，等号成立，故B错误；p3p3对于选项C：因为Lp=20×lg=40，即lg=2，p0p0p3可得=100，即p3=100p0，故C正确；p0p1对于选项D：由选项A可知：Lp-Lp=20×lg，p22312第 5 页 共 17 页
博观而约取 厚积而薄发且Lp-Lp≤90-50=40，则20×lg12p1≤40，p2即lgp1p1≤2，可得≤100，且p1,p2>0，所以p1≤100p2，故D正确；p2p2故选：ACD.f?xy?=y2f?x?+x2f?y?，则11已知函数f?x?的定义域为R，A.f?0?=0【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例f(x)=0即可排除选项D.x2ln?x?,x≠0方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数f(x)=?进行判断即可.??0,x=0【解析】方法一：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误方法二：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到f(x)x2ln?x?,x≠0，故可以设2=ln?x?(x≠0)，则f(x)=???0,x=0x1当x>0肘，f(x)=x2lnx，则f??x?=2xlnx+x2?=x(2lnx+1)，x令f?x?<0，得0
2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学显然，此时x=0是f(x)的极大值，故D错误.故选：ABC.能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有12下列物体中，A.直径为0.99 m的球体C.底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体【答案】ABD【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【解析】对于选项A：因为0.99m<1m，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为2m，且2>1.4，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为3m，且3<1.8，所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；对于选项D：因为正方体的体对角线长为3m，且3>1.2，设正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，以AC1为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心O1到正方体的表面的最近的距离为hm，如图，结合对称性可知：OC1=331C1A=,C1O1=OC1-OO1=-0.6，222B.所有棱长均为1.4 m的四面体D.底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体()3-0.6CO0.6hh12则=11，即=，解得h=->0.34>0.01，C1AAA11233所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱的性质分析判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类13某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答)．第 7 页 共 17页专心专注专业
博观而约取 厚积而薄发【答案】64【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.1【解析】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C14C4=16种；(2)当从8门课中选修3门，2①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C14C4=24种；1②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C24C4=24种；综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.故答案：64.．AB=2,A1B1=1,AA1=2，则该棱台的体积为14在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，767【答案】,666结合图像，依次求得A1O1,AO,A1M，从而利用棱台的体积公式即可得解.【分析】【解析】如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，因为AB=2,A1B1=1,AA1=2，11211则A1O1=A1C1=×2A1B1=,AO=AC=×2AB=2，22222261，，故AM=?AC-A1C1?=则A1M=A1A2-AM2=2-1=22221766所以所求体积为V=×(4+1+4×1)×=.32676故答案为：.6则ω的取值范围是15已知函数f?x?=cosωx-1(ω>0)在区间?0,2π?有且仅有3个零点，【答案】[2,3)【分析】令f(x)=0，得cosωx=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【解析】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)=cosωx-1=0，则cosωx=1有3个根，令t=ωx，则cost=1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，结合余弦函数y=cost的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3，．故答案为：[2,3).专心第 8 页 共 17 页
2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学???y2x2右焦点分别为F1,F2．点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥16已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的左、ab????????2?F1B,F2A=-F2B，则C的离心率为．3353【答案】##555方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到?AF2?,?BF2?,?BF1?,?AF1?关于a,m的表达【分析】式，从而利用勾股定理求得a=m，进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x0=C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；【解析】方法一：依题意，设?AF2?=2m，则?BF2?=3m=?BF1?,?AF1?=2a+2m，在Rt△ABF1中，9m2+(2a+2m)2=25m2，则(a+3m)(a-m)=0，故a=m或a=-3m(舍去)，所以?AF1?=4a,?AF2?=2a，则?AB?=5a，?BF2?=?BF1?=3a，?AF1?4a4故cos∠F1AF2===，5a5?AB?16a2+4a2-4c24所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2==，整理得5c2=9a2，2×4a×2a5c35故e==.a552c,y0=-t，t2=4c2，将点A代入双曲线33方法二:依题意，得F1(-c,0),F2(c,0)，令A?x0,y0?,B(0,t)，?????222?5因为F2A=-F2B，所以?x0-c,y0?=-?-c,t?，则x0=c,y0=-t，3333????????????8282又F1A⊥F1B，所以F1A?F1B=?c,-t??c,t?=c2-t2=0，则t2=4c2，33334t225c24t216c225c225c299又点A在C上，则2-2=1，整理得2-2=1，则2-2=1，ab9b9b9a9a22222222222222所以25cb-16ca=9ab，即25c?c-a?-16ac=9a?c-a?，整理得25c4-50c2+9a4=0，则?5c2-9a2??5c2-a2?=0，解得5c2=9a2或5c2=a2，又e>1，所以e=53535或e=(舍去)，.故e=55535故答案为：.5【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A+B=3C,2sin?A-C?=sinB．17已知在△ABC中，专心专注专业第 9 页 共 17页
博观而约取 厚积而薄发(1)求sinA；求AB边上的高．(2)设AB=5，310【答案】(1)10(2)6(1)根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；【分析】(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b，根据等面积法求解即可.【解析】(1)∵A+B=3C，π∴π-C=3C，即C=，4又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C)，∴2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=3cosAsinC，∴sinA=3cosA，即tanA=3，所以0 2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学(2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解.【解析】(1)以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1)∴?B?C????，22=(0,-2,∴?B????1),A2D2=(0,-2,1)，A?2C2∥2D2，又B2C2，A2D2不在同一条直线上，∴B2C2∥A2D2.(2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，则??A?,2),?PC????C?2C2=(-2,-22=(0,-2,3-λ),D22=(-2,0,1)，设平面PA?2C2的法向量n?=(x,y,z)则???n????A?，2Cn??PC??2=-2x-2y+2z=0，2=-2y+(3-λ)z=0令z=2，得y=3-λ,x=λ-1，∴?n=(λ-1,3-λ,2)，设平面ACm?22D2的法向量=(a,b,c)则???m????A?，2C2=-2a-2b+2c=0m????D?c=0，2C2=-2a+令a=1，得b=1,c=2，∴m?=(1,1,2)，∴?cos??n,m???=??n?m????=63?n??m?64+(λ-1)2+(3-λ)2=?cos150°?=2，化简可得，λ2-4λ+3=0，解得λ=1或λ=3，∴P(0,2,1)或P(0,2,3)，∴B2P=1.19已知函数f?x?=a?ex+a?-x．(1)讨论f?x?的单调性；(2)证明：当a>0时，f?x?>2lna+32．【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析第 11 页 共 17页专心专注专业 博观而约取 厚积而薄发(1)先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；【分析】(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为a2-利用导数证得g?a?>0即可.lna?a>0?，方法二：构造函数h?x?=ex-x-1，证得ex≥x+1，从而得到f(x)≥x+lna+1+a2-x，进而将问题转1化为a2--lna>0的恒成立问题，由此得证.2【解析】(1)因为f(x)=a?ex+a?-x，定义域为R，所以f??x?=aex-1，由于ex>0，则aex≤0，故f??x?=aex-1<0恒成立，当a≤0时，所以f?x?在R上单调递减；当a>0时，令f??x?=aex-1=0，解得x=-lna，当x<-lna时，f??x?<0，则f?x?在?-∞,-lna?上单调递减；当x>-lna时，f??x?>0，则f?x?在?-lna,+∞?上单调递增；综上：当a≤0时，f?x?在R上单调递减；当a>0时，f?x?在?-∞,-lna?上单调递减，f?x?在?-lna,+∞?上单调递增.(2)方法一：由(1)得，f?x?min=f?-lna?=a?e-lna+a?+lna=1+a2+lna，331要证f(x)>2lna+，即证1+a2+lna>2lna+，即证a2--lna>0恒成立，2222112a-1令g?a?=a2--lna?a>0?，则g??a?=2a-=，2aa22令g??a?<0，则0 2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学n2+n且d>1．令bn=，记Sn,Tn分别为数列?an?,?bn?的前n项和．20设等差数列?an?的公差为d，an(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21，求?an?的通项公式；(2)若?bn?为等差数列，且S99-T99=99，求d．51【答案】(1)an=3n;(2)d=50(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；【分析】(2)由{bn}为等差数列得出a1=d或a1=2d，再由等差数列的性质可得a50-b50=1，分类讨论即可得解.【解析】(1)∵3a2=3a1+a3，∴3d=a1+2d，解得a1=d，∴S3=3a2=3(a1+d)=6d，26129又T3=b1+b2+b3=++=，d2d3dd9∴S3+T3=6d+=21，d1即2d2-7d+3=0，解得d=3或d=(舍去)，2∴an=a1+(n-1)?d=3n.(2)∵{bn}为等差数列，12212∴2b2=b1+b3，即=+，a2a1a3116d12∴6?-?=即a2解得a1=d或a1=2d，=，1-3a1d+2d=0，a2a3a2a3a1∵d>1，∴an>0，又S99-T99=99，由等差数列性质知，99a50-99b50=99，即a50-b50=1，2550=1，∴a50-即a2解得a50=51或a50=-50(舍去)50-a50-2550=0，a50当a1=2d时，a50=a1+49d=51d=51，解得d=1，与d>1矛盾，无解；51当a1=d时，a50=a1+49d=50d=51，解得d=.5051综上，d=.50乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．21甲、无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P?Xi=1?=1-P?Xi=0?=qi,i=1,2,???,n，则E?Xi=i=1n?n?求E?Y?．?qi．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，i=1【答案】(1)0.6;(2)21×?56?i-1+125?;(3)E(Y)=1-??3518??nn?+??3【分析】(1)根据全概率公式即可求出；(2)设P?Ai?=pi，由题意可得pi+1=0.4pi+0.2，根据数列知识，构造等比数列即可解出；(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【解析】(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai“，第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以，P?B2?=P?A1B2?+P?B1B2?=P?A1?P?B2|A1?+P?B1?P?B2|B1?=0.5×?1-0.6?+0.5×0.8=0.6.第 13 页 共 17页专心专注专业 博观而约取 厚积而薄发依题可知，P?Bi?=1-pi，则(2)设P?Ai?=pi，P?Ai+1?=P?AiAi+1?+P?BiAi+1?=P?Ai?P?Ai+1|Ai?+P?Bi?P?Ai+1|Bi?，即pi+1=0.6pi+?1-0.8?×?1-pi?=0.4pi+0.2，构造等比数列?pi+λ?，21121设pi+1+λ=?pi+λ?，解得λ=-，则pi+1-=?pi-?，533531111?12是首项为，的等比数列，又p1=,p1-=，所以?p-公比为i???36623?51112i-12i-11即pi-=×??,pi=×??+．36365512i-11i=1,2,???,n，(3)因为pi=×??+，356n1-?2?1n5?2n?n5所以当n∈N*时，E?Y?=p1+p2+?+pn=×+=1-??5????+3，263181-5n5?2?n1-故E(Y)=??5???+3．18?本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数【点睛】列的基本知识求解．点P到x轴的距离等于点P到点?0,22在直角坐标系xOy中，(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．1【答案】(1)y=x2+;(2)见解析412【分析】(1)设P(x,y)，根据题意列出方程x2+?y-?=y2，化简即可；2111(2)法一：设矩形的三个顶点A?a,a2+?,B?b,b2+?,C?c,c2+?，且a 2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学b2+1-?a2+144则kAB?kBC=-1,a+b 博观而约取 厚积而薄发则k≠2aΔ=k2-4?ka-a2?=?k-2a?2>0，则|AB|=1+k2|k-2a|，1同理|AD|=1+12?+2a?，kk1∴|AB|+|AD|=1+k2|k-2a|+1+12?+2a?kk23?1+k?112≥1+k??k-2a?+?+2a??≥1+k?k+?=kkk2(m+1)312令k=m，则m∈?0,1?，设f(m)==m2+3m++3，mm(2m-1)(m+1)211??则f(m)=2m+3-2=，令f(m)=0，解得m=，2mm21f?(m)<0，此时f(m)单调递减，当m∈?0,?时，21当m∈?,+∞?，f?(m)>0，此时f(m)单调递增，2127则f(m)min=f??=，2433∴|AB|+|AD|≥，211但1+k2|k-2a|+1+12?+2a?≥1+k2?|k-2a|+?+2a??，此处取等条件为k=1，与最终取kkk332等时k=不一致，故?AB?+?AD?>.221法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线W?:y=x2,4矩形ABCD变换为矩形A?B?C?D?,则问题等价于矩形A?B?C?D?的周长大于33.2?2?2设B??t0,t20?,A?t1,t1?,C?t2,t2?, 根据对称性不妨设t0≥0.则kAB=t1+t0,kBC=t2+t0, 由于A?B?⊥B?C?, 则?t1+t0??t2+t0?=-1.????由于?A?B??=1+?t1+t0?2?t1-t0?,?B?C??=1+?t2+t0?2?t2-t0?, 且t0介于t1,t2之间,则?A?B??+?B?C??=1+?t1+t0?2?t1-t0?+1+?t2+t0?2?t2-t0?. 令t2+t0=tanθ,πt1+t0=-cotθ,θ∈?0,?,则t2=tanθ-t0,t1=-cotθ-t0,从而2??2??2?AB?+?BC?=1+cotθ?2t0+cotθ?+1+tanθ?tanθ-2t0?2t0(cosθ-sinθ)11sinθcosθsin3θ+cos3θ????故?AB?+?BC?=2t0?-++=+cosθ?cos2θsinθsinθcosθsin2θsin2θcos2θπ①当θ∈?0,??时,4?sin3θ+cos3θsinθcosθ12≥22????==2?AB?+?BC?≥222+2≥2sinθcosθsin2θsinθcosθcosθsinθππ②当θ∈?,?时,由于t1 2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学≥222?1-cosθ?+?1-cosθ?+2cosθ32??3≥?2=33，232?3当且仅当cosθ=333时等号成立，故?A?B??+?B?C??>，故矩形周长大于32.32 .11【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得C=|AB|+|BC|≥?n+?1+n2，同时为了2n简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.第 17 页 共 17页专心专注专业
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