2023年12月27日发(作者：购车计算器在线计算)

绝密★启用前

试卷类型：A2023年普通高等学校招生全国统一考试

数 学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1．已知集合M={?2,?1,0,1,2}，N={x|x2?x?6≥0}，则M A．{?2,?1,0,1}

2．已知z= A．?iB．{0,1,2} C．{?2}N=

D．{2}

1?i，则z?z=

2+2iB．i C．0 D．1

3．已知向量a=(1,1)，b=(1,?1)．若(a+?b)⊥(a+?b)，则

A．?+?=1 B．?+?=?1 C．??=1 D．??=?14．设函数f(x)=2x(x?a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是

A．(??,?2] B．[?2,0) C．(0,2] D．[2,+?)x2x225．设椭圆C1:2+y=1(a?1)，C2:+y2=1的离心率分别为e1，e2．若e2=3e1，则a=4aA．233B．2C．3D．66．过(0,?2)与圆x2+y2?4x?1=0相切的两条直线的夹角为?，则sin?= A．1 B．154C．104D．64 第 1 页（共 4 页）

7．记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{ A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

Sn}为等差数列，则

n118．已知sin(???)=，cos?sin?=，则cos(2?+2?)=63A．79B．19C．?19D．?79二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。

9．有一组样本数据x1,x2,,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 A．x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,B．x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,C．x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,D．x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,,x6的平均数

,x6的中位数

,x6的标准差

,x6的极差

p，p010．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级LP=20?lg其中常数p0(p0?0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源

燃油汽车

混合动力汽车

电动汽车

与声源的距离/m

10

10

10

声压级/dB

60 ~ 90

50 ~ 60

40

已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则

A．p1≥p2 B．p2?10p3 C．p3=100p0 D．p1≤100p211．已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则

A．f(0)=0

C．f(x)是偶函数

B．f(1)=0

D．x=0为f(x)的极小值点

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12．下列物体中，能被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

A．直径为0.99 m的球体

B．所有棱长均为1.4 m的四面体

C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体

D．底面直径为1.2 m，高位0.01 m的圆柱体

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____________种（用数字作答）．

14．在正四棱台ABCD?A1B1C1D1中中，AB=2中，A1B1=1中，AA1=2，则棱棱台的体为为____________．

15．已知函数f(x)=cos?x?1(??0)在区间[0,2π]，有且仅有3个零点，则?的取值范围是____________．

x2y216．已知双曲线C :

2?2=1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点Bab2在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=?F2B，则C的离心率为____________．

3四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A?C)=sinB.

（1）求sinA；（2）设AB=5，求AB边上的高.

18．（12分）

如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.

点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，

BB2=DD2=2，CC2=3.

（1）证明：B2C2∥A2D2；

（2）点P在棱BB1上，当二面角P?A2C2?D2为150°时，求B2P.

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19．（12分）

已知函数f(x)=a(ex+a)?x.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）证明：当a?0时，求证：f(x)?2lna+

20．（12分）

n2+n设等差数列{an}的公差为d，且d?1. 令bn=，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的an3.

2前n项和.

（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；

（2）若{bn}为等差数列，且S99?T99=99，求d.

21．（12分）

甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量Xi中从从两点分，，且P(Xi=1)=1?P(Xi=0)=qi中，i=1,2,nn,n中，则E(?Xi)=?qi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．

i=1i=1

22．（12分）

1在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,)的距离，记动点P的轨迹2为W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33.

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