2023年新老高考过渡省份适应性联考数学试题(含解析)

2023年12月27日发(作者：适合女生开的车3到5万自动挡)

2023年新老高考过渡省份适应性联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数z满足z?1，A．1或?1z?z?1，则z?z为（

）zB．2或?2C．3或?3D．2或?22．以下哪个选项是y?sinx2?sinx的图像（

）A．B．C．D．????????3．已知平面向量a，b，a?2，当a?tb最小时tb?1，则a，b的夹角为（

）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如果一个几何体的三视图均为下图，则其体积比表面积最大为（

）A．136?251??B．136?2102??C．136?2248??D．136?2296??5．四个半径为1的球两两相切，则他们的外切四面体棱长为（

）A．2?26B．2?6C．3?23D．4?236．将5个小球放入甲乙两个框中，每个框一定要有球，放完后小明等概率从甲乙中依次取出球，若甲框最先被取完且甲框中不为两个球，则甲框中小球个数的期望为（

）A．3249B．178C．73D．4919试卷第1页，共6页

7．已知a?0.99，b?0.9999，c?sin9则（

）A．a?b?cB．b?a?cC．c?a?bD．b?c?ax2y28．椭圆E：2?2?1(a?b?0)，过E外一点P作E两条切线PA，PB，abtan?APB?2，记P的轨迹为T，圆C：x2?y2?k，记T与C的交点为x1,x2,?,xn，m29当xi的最大值m最大时，?，则E的离心率为（

）k10A．63B．306C．357D．104二、多选题224329．已知函数f?x?满足：2f?x??3f?2?x??5x?16x?48x?64x?32，则以下不正确的有（

）A．f?0??4f?7??25B．f?x?对称轴为x?4C．f?2??3D．10．麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且P?x?i??Pi?0（i?1，2，…n）?Pi?1，定义X的信息熵H?x????Pilog2Pi，则i?1i?1nn下列说法正确的有（

）A．n=1时H?x??01H?x?与PB．n=2时，若P1正相关1?(0,)，则2C．若P1?P2?1nP?2Pk?2,k?NHx?2???，，??k?1k2n?12n?1D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且P?y?j??Pj?P2m?1?j试卷第2页，共6页

（j=1,2,…,m）则H(x)?H(y)11．若x?y?z?2023，x，y，z?R．A．?x?y??y?z??z?x?的最大值为1111???，则以下说法正确的有（

）xyz20238?2023327B．?x?2023??y?2023??z?2023?的最大值为2?20233C．?x?2023??y?2023??z?2023?的最大值为0D．xy?yz?zx恒小于012．如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点且满足?APB1??ADB1，则以下说法正确的有（

）A．若P在面AB1C1D上，则其轨迹周长为86π

9B．若A1P?AB1，则D1P的最小值为3?1?6326π2C．P的轨迹围成的封闭曲面体积为?43π

27D．四棱锥P-ABCD体积最大值为426?2?39??三、填空题13．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…在数学上，斐波那契数列以如下被以*递推的方法定义a0?1，a1?1，an?an?1?an?2?n?2,n?N?定义集合A??a1,a2?a2023?，B?A且B??，则B中所有元素之和为奇数的概率为_______________．tan2x?tan2y?sin2x?sin2y，则sinxsiny的最大值为_______________．14．若221?tanx?tany15．数列?an?满足tanan?1?π?a?，n?0,?，Sn为?an?的前n项和，若Sn?k，则2n?n?1?2?试卷第3页，共6页

k的范围为_______________．四、双空题xx?116．若f?x???xx?2?ex，设f?x?的零点分别为x1，x2，…，xn，则n＝lnx_______________；??xi??_______________．（其中?a?为a向上取整，例如：i?1n?2.1??3，????4）五、解答题17．在线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛．回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．一般来说，线性回归都可以通过最小二乘法求出其方程，可以计算出对于y?bx?a的直线．残差是真实值和预测值间的差值，对于一组数据?xi,yi?，其残差可以表示为ei?yi??yi其中yi为真实值，?yi为估计值对于我们数据中的每个点如此计算一遍，再将所有的ei相加，就能量化出拟合的直线和实际之间的误差．其公式为：2??i?1nyi??yi?2??a???yi?bxii?1n??2．这个公式是残差平方和，对于回归直线的确定，普通最小二乘法给出的判断标准是：残差平方和的值达到最小．在数学中，处理多个参数的函数的极值时，我们可以采用偏导法，即单独对某个参数求导，将其他参数视为常数．根据以上信息，请推导公式：b???x?x??y?y??xy?nxyiiiii?1nn??x?x?ii?1n2?i?1n?xi?12i?nx2，a?y?bx，（其中x??xi?1ni，ny??yi?1ni）n18．D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．AC?AB?4，已知三棱锥ABCD，BC?2.试卷第4页，共6页

(1)证明：BC⊥AD；(2)E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥ABCD的体积为1，求二面角E?CO?B的余弦值．19．在?ABC中，A,B,C对应的边分别为a,b,c，且A,B?π．且22sinC?cos2A?cos2B?2(1)求C；(2)若a?b?2，BC上有一动点P（异于B、C），将?ABP沿AP折起使BP与CP夹角为π，求AB与平面ACP所成角正弦值的范围．420．卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：an?a0an?1?a1an?2???an?1a0且a0?1．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在?0,0?上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到?n,n?，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为bn(1)证明bn是卡特兰数；(2)求bn的通项公式．x2y221．已知椭圆E：2?2?1，的右焦点F?1,0?，过F作直线AB交E于A，B两点，Eab上有两点M，N满足：MF，NF分别为?AMB，?ANB的角平分线．当直线AB斜率为3时，?MNF的外接圆面积为9?(1)求E的标准方程；(2)设直线MN：y?kx?t，求k和t的代数关系．22．在数学中常有“数形结合”的思想，即找到代数式的几何意义，比如：y??x?1?2??4x2?3??22x2??4x2?1?的几何意义便是抛物线y?4x上的点P到点2?1,3?和点?0,1?的距离之和，进而可以简化计算．现在，已知函数f?x??2x?aln2x?4的两个零点分别为x1,x2．试卷第5页，共6页

(1)当a＝1时，证明：x1?x2?5；3a2?x?49(2)当a≥1时，证明：ln?1??x1?x2?2x1x2?．4?x2?18试卷第6页，共6页

参考答案：1．A【分析】设z?a?bi,a,b?R，根据给定条件，列出方程推理求解作答.【详解】设z?a?bi,a,b?R，则z?a?bi，由z?1，得a2?b2?1，z?z2a2a(a?bi)2a2?2abi????2a2?2abi，22za?bi(a?bi)(a?bi)a?b由|z?z|?1，得(2a2)2?(2ab)2?(2a)2(a2?b2)?|2a|?1，解得2a??1，z所以z?z?2a??1.故选：A2．C【分析】先得到函数的奇偶性，再代入特殊值，选出正确答案.2【详解】AB选项，f?x??sinx?sinx的定义域为R，且f??x??sin??x??sin??x??sinx2?sinx，2则f??x??f?x?且f??x???f?x?，所以f?x??sinx?sinx为非奇非偶函数，2故AB错误；?π?2CD选项，当x??0,?时，f?x??sinx?sinx?0，则D错误，C正确.?4?故选：C3．C?????a【分析】作图分析，根据tb?(a?tb)时?tb取得最小值可解.???????????????????【详解】如图，作OA?a,OB?tb，则BA?a?tb，记a，b的夹角为?，b所在直线为l，??????????a易知，当BA?OB时，?tb最小，????OB1OB?1，所以cos???由题可知，此时OA2因为0????180?，所以??60?.故选：C答案第1页，共23页

4．B【详解】此题解析征解5．A【分析】利用正四面体内切球半径与其棱长的关系即可得到答案.【详解】首先证明结论：棱长为a的正四面体的内切球半径为6a,12如图，记正四面体ABCD的体积为V，每个面的面积为S，高为h，内切球球心为O，半径22?1?3为r，易得Qa??a??a，1为底面BCD中心，QD?33?2??3?6则h?a2??a?a，??3?3??22连结OA,OB,OC,OD,则V?VO?ABC?VO?BCD?VO?CDA?VO?DAB，1116所以Sh?4?Sr,从而r?h?a33412设4个半径为1的球的球心分别为O1,O2,O3,O4,则正四面体O1,O2,O3,O4的棱长为2,故其内切球半径为6,6设这4个球的外切正四面体为ABCD，则正四面体ABCD的内切球半径为1?故正四面体ABCD的棱长为2?26.故选：A.6．B【分析】求出甲框中球的个数X可能值及对应的概率，求出期望值.答案第2页，共23页6,6

【详解】甲框中球的个数X可能为1，3，4，由小明等概率从甲乙中依次取出球，甲框最先被取完，若X?1，则第一次就从甲框中取球的概率为2，?1?若第一次从乙框，第二次从甲框中取球的概率为??，?2?21?1?若第一、二次从乙框，第三次从甲框中取球的概率为??，?2??1?若第一、二、三次从乙框，第四次从甲框中取球的概率为??，?2?431?1??1??1?15则P(X?1)???????????；2?2??2??2?16234?1?若X?3，前三次均在甲框中取球，概率为??，?2??1?113前三次有1次从乙框中取球，第四次从甲框中取球，则概率为C?????，?2?2216132335?1?故P?X?3??????;?2?161631?1?若X?4，则前四次均要从甲框中取球，故P(X?4)????，?2?16则甲框中小球个数的期望E(X)?1?故选：B7．C【分析】通过将a，b变形，构造函数f?x???1?x?x?1比较a，b，将c泰勒展开，再与a进行比较即可.14155117?3??4??.16161681??【详解】由已知，a?0.99??1???10?设f?x???1?x?则f??x??e1?1x10?11??，b?0.9999??1???100?，x??0,1?，100?1，?eln?1?x?x1?1?e?1???1?ln?1?x??x??1???1?ln?1?x??x???1???????1?ln?1?x??，??x??答案第3页，共23页

ln?1?x??x??1???11??1其中???1?ln?1?x????2ln?1?x???，?1?????2xxx1?xx??????令g?x??ln?1?x??x，则g??x???1x?1?，1?xx?1当x??0,1?时，g??x??0，∴g?x?在?0,1?上单调递减，g?x??g?0??0，??1???x?0,1??∴当时，???1?ln?1?x???0，f?(x)>0，

f?x?在?0,1?上单调递增，??x??10?1100?1?1??1?1?1???∴f???f?，∴有a?b.?，即?1????1???10??100?10100????对于c与a，c?sin9?sin?3π?9??sin?9.42?9??sin0.4，0.43将sin0.4泰勒展开，得sin0.4?0.4??0.3893，3!1a??1?0.1??C90??0.1??C9??0.1??C92??0.1??C93??0.1??C94??0.1?901234?1?0.9?0.36?0.084?0.0126?0.3886?0.3893?c，∴a?c.综上所述，a，b，c的大小关系为c?a?b.故选：C.【点睛】对于数值比较大小，可使用等价变形化同构，再构造函数，利用函数的单调性进行比较.8．B【分析】根据给定条件，设出切线方程并与椭圆方程联立求出轨迹T的方程，再探求|xi|取最大值的情况求解作答.【详解】设P(x0,y0)，过点P的椭圆E的切线PA,PB的斜率都存在时，设切线方程为y?nx?t，其中n1,n2分别为PA,PB的斜率，?y?nx?t222222222由?222222消去y得：(an?b)x?2antx?at?ab?0，?bx?ay?ab则??4a4n2t2?4a2(a2n2?b2)(t2?b2)?0，即有a2n2?b2?t2?0，又t?y0?nx0，22222于是(a?x0)n?2x0y0n?b?y0?0，显然|x0|?a，n1,n2是这个方程的二根，答案第4页，共23页

22x0y0y0?b2,n1n2?2有n1?n2?2，令直线PA,PB的倾斜角分别为?1,?2，有x0?a2x0?a2?APB?|?1??2|，又tan?APB?|tan(?1??2)|?|tan?1?tan?2n?n|?|12|?2，1?tan?1tan?21?n1n2即(n1?n2)2?2|1?n1n2|，即有(n1?n2)2?4n1n2?2|1?n1n2|，222x0y02y0?b2y0?b22222222222(2)?4?2?2|1?2|222，整理得ay0?bx0?ab?x0?y0?a?b，x0?ax0?ax0?a而当|x0|?a时，n?112222或n??，此时有y0?ay0?b?0或y0?ay0?b?0，22222222即y0，满足a2y0?b2?|ay0|?a2y0?b2x0?a2b2?x0?y0?a2?b2，因此点P的轨迹T的方程为a2y2?b2x2?a2b2?x2?y2?a2?b2，由a2y2?b2x2?a2b2?x2?y2?a2?b2与x2?y2?k联立，整理得：(a2?b2)x2??k2?(3a2?2b2)k?(a2?b2)2?a2b2，5a45a43a2?2b2m24(a2?b2)92于是当k?时，m有最大值，因此??，4(a2?b2)3a2?2b210k22整理得2a4?9a2b2?18b4?0，解得a?6b，则半焦距c?a2?b2?5b，所以E的离心率e?故选：Bc30.?a6【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.答案第5页，共23页

9．BC【分析】变形给定等式，求出函数f(x)的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】因为5x4?16x3?48x2?64x?32?2(x4?8x3?24x2?32x?16)?3x4?2[(x4?8x3?16x2)?8(x2?4x)?16]?3x4?2[(x2?4x)?8(x2?4x)?16]?3x4?2(x2?4x?4)?3x4?2(x?2)4?3x4，于是2f2(x)?3f2(2?x)?2(x?2)4?3x4，可得2f2(2?x)?3f2(x)?2x4?3?2?x?4两式联立解得f(x)?(x?2)2，

f(2?x)?x2，因此f(x)?(x?2)2，f(0)?4，f(7)?25，AD正确；函数f(x)图象的对称轴为x?2，f(2)?0，BC错误.故选：BC10．ABD【分析】求出H(x)判断出A；分析H(x)对于P1的单调性判断B；利用数列求和求出H(x)判断C；计算出H(x),H(y)，利用基本不等式和对数函数的性质判断D作答.【详解】对于A，若n?1，则i?1,P1?1，因此H(x)??(1?log21)?0，A正确；1H(x)??P对于B，当n=2时，P1log2P1?(1?P1)log2(1?P1)，1?(0,)，211令f(t)??tlog2t?(1?t)log2(1?t),t?(0,)，则f?(t)??log2t?log2(1?t)?log2(?1)?0，2t1即函数f(t)在(0,)上单调递增，所以H?x?与P1正相关，B正确；212k?21k?2P?2Pk?2,k?N?P???对于C，P，，则P?P?2??,k?2，k?1k12k22n?12n?12n?k?111n?111n?k?1Pklog2Pk?n?k?1log2n?k?1??n?k?1，而P1log2P1?n?1log2n?1??n?1，222222n?1nn?1n?1n?221于是H(x)?n?1??Pklog2Pk?n?1?n?1?n?2???2?222222k?2?n?1nnn?1n?221123n?1n????????S???????，，令n2n?12n2n2n?12n?2222222232n?12n1123n?1n11111n则Sn?2?3?4???n?n?1，两式相减得Sn=+2+3+L+n-n+22答案第6页，共23页

11(1?n)2?n?1?n?2，因此S?2?n?2，?2nn?1n?11222n1?2H(x)?n?1nn?1nn?22??S???2??2?，C错误；n2n?12n2n?12n2n2n?1对于D，若n?2m，随机变量y的所有可能的取值为1,2,?,m，且P?y?j??Pj?P2m?1?j（j?1,2,?,m），H?x????Pilog2Pi??Pilog2i?1i?12m2m11111?Plog?Plog???Plog?Plog，12222m?122m2PPPPPi122m?12mH?y???P1?P2m?log2111??P2?P2m?1?log2????Pm?Pm?1?log2PP2?P2m?1Pm?Pm?11?P2m?P1log21111?P2log2???P2m?1log2?P2mlog2，PP2?P2m?1P2?P2m?1P1?P2m1?P2m由于Pi?0?i?1,2,?,2m?，即有因此Pilog21111?，则log2?log2，PiPi?P2m?1?iPiPi?P2m?1?i11?Pilog2，所以H?x??H?y?，即H?x??H?y?成立，D正确.PiPi?P2m?1?i故选：ABD【点睛】思路点睛：错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．11．CD1111???【分析】由可得xyz?2023(yz?xz?xy)，而xyz2023(x?2023)(y?2023)(z?2023)?xyz?2023(yz?xz?xy)?20232(x?y?z)?20233?0，可判断C正确；从而得到x,y,z中至少有一个为2023，不妨令x?2023，则y?z?0,且y?0,z?0，从而可判断A,B,D选项.yz?xz?xy11111??????【详解】，，xyz2023xyz2023?xyz?2023(yz?xz?xy)对于C，(x?2023)(y?2023)(z?2023)?xyz?2023(yz?xz?xy)?20232(x?y?z)?20233?x?y?z?2023，?(x?2023)(y?2023)(z?2023)?xyz?2023(yz?xz?xy)?0，C正确；由C选项可知，(x?2023)(y?2023)(z?2023)?0，答案第7页，共23页

所以x,y,z中至少有一个为2023，不妨令x?2023，则y?z?0,且y?0,z?0，对于A，y?z?0，所以?x?y??y?z??z?x??0，A错误；对于D，xyz?0，而xyz?2023(yz?xz?xy)，所以yz?xz?xy?对于B，xyz?0，即xy?yz?zx?0，D正确；2023?x?2023??y?2023??z?2023??2?2023?yz?2023?y?z??20232??2?2023?yz?20232??2?20233?2?2023yz而yz?0，所以2?20233?2?2023yz?2?20233，即?x?2023??y?2023??z?2023??2?2023，B错误.3故选：CD【点睛】关键点睛：1111???这道题的关键是先由可得xyz?2023(yz?xz?xy)，从而得到xyz2023(x?2023)(y?2023)(z?2023)?xyz?2023(yz?xz?xy)?20232(x?y?z)?20233?0，进而得到x,y,z中至少有一个为2023，其他两个互为相反数，从而可解.12．AB【详解】此题解析征解2202213．20232?2【分析】记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成E?F，然后可解.【详解】由斐波那契数列规律可知，集合A??a1,a2?a2023?中的元素有674个偶数，1349个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成E?F.答案第8页，共23页

易知，集合E共有2674个，集合F共有C1349?C1349?C1349?????C1349?2个，所以所有元素之和为奇数的集合B共有2674?21348?22022个，又集合A的真子集共有222022故答案为：20232?2202322022.?2个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为20232?214．0【分析】记sin2x?m,sin2y?n，则将原等式代换化简为m?n(m?n?2)?0，则得到最后答案.π??∣??kπ?,k?Z?，所以sin2x?1,sin2y?1.【详解】由题意可得x,y的取值范围均是??2??mn2,tan2y?记sin2x?m,sin2y?n，则tanx?，1?m1?nmn?1?m1?n?m?n于是题中等式即为，mn1??1?m1?n化简整理得m?n(m?n?2)?0，于是m?0或n?0或m?n?2.若m?n?2,则sin2x?sin2y?1,不符合题意.因此sinx?0或siny?0，所以sinx?siny?0.故sinx?siny的最大值为0.故答案为：0.?π?15．?,????4??n?1??n1【分析】将2化为，构造数列?bn?满足tanbn?n，结合两角差的正切公式，1?n?1n??n?n?1使用裂项相消法求Sn，再由bn的取值范围求解即可.【详解】由已知，tanan??n?1??n1?，n2?n?11??n?1?n?n?1??n?tanbn?1?tanbn?tanb?b?π?tana?b?0,tanb?n?n?1n?，令，n?nn?，则1?n?1n1?tanb?tanb2????n?1n答案第9页，共23页

?π??π?∵an??0,?，bn??0,?，∴an?bn?1?bn，?2??2?∴?an?的前n项和Sn?b2?b1?b3?b2???bn?1?bn?bn?1?b1，π?π?又∵tanb1?1，b1??0,?，∴b1?，4?2?πππ?π?∵bn?1??0,?，∴Sn?bn?1?b1???，244?2?又∵Sn?k，?π?∴k的范围为?,???.?4??π?故答案为：?,???.?4?【点睛】关键点睛：合理构造数列，使用裂项相消法求和，是本题解题的关键所在.16． 3 7xlnxx?lnxee【分析】先利用对数恒等式的等价转化，使得f(x)?0变成的形式，结合?xlnxx?lnxexg(x)?的性质，讨论xlnx，x?lnx的关系.xx?1x【详解】令f(x)?0，则?xx?2?ex?0，利用对数恒等式，原式等价变为：lnxe(x?1)lnxxx?1e(x?1)lnxe?x?1?lnx1??1x??e???ex?e?x?1?lnx?????ex?lnxxlnxx?lnxx?e?x?1?lnxx?lnxe?x?1?lnxxexexlnxex?lnxx，??e????xlnxlnxx?lnxxlnxx?lnxex(x?1)ex?g(xlnx)?g(x?lnx)g(x)?，于是，由可知g(x)在(??,0),(0,1)上递减，xx2令g(x)?(1,??)上递增，在x?1取到极小值g(1)?e，当x趋近于??时g(x)趋近于0，x趋近于0且x?0时，g(x)趋近于??，x趋近于0且x?0时，g(x)趋近于??，ex可作出g(x)?大致图像如下：x结合图像，g(xlnx)?g(x?lnx)可能有如下情形：答案第10页，共23页

ex由g(x)?的单调性可知，若xlnx,x?lnx均在???,0?,(0,1),(1,??)中的一种时，则有xxlnx?x?lnx.记t(x)?xlnx(x?1)，t?(x)?1?lnx?0(x?1)，即t(x)在(1,??)上递增，由4?e?2?e?ln2?1，则t(2)?2ln2?1，故?t?(1,2)，使得tlnt?1；2显然q(x)?x?lnx在(0,??)上递增，由q(1)?1，故x?lnx?1时，x?1，故x??2,????(t,??)时，x?lnx?1,xlnx?1；?1??1?1又q(1)?1,q????ln2?0，故?u??,1?，使得q(u)?lnu?u?0，故x?(0,u)时?2?2?2?x?lnx?0,xlnx?0；不可能xlnx,x?lnx均满足0?xlnx?1,0?x?lnx?1，事实上，由q(x)?x?lnx?1?q(1)，得到x?(0,1)，这与0?xlnx?1矛盾.于是x?(0,u)??2,???时，由g(xlnx)?g(x?lnx)可以推出：xlnx?x?lnx.11?设h(x)?xlnx?lnx?x，h(x)?lnx?，由y?lnx,y??在(0,??)上单调递增，故xx11h?(x)?lnx?在(0,??)上单调递增，又h?(1)??1，h?(e)?1??0，即h?(1)h?(e)?0，故xe?x0?(1,e)，使得h?(x0)?0，且x?(0,x0)时，h?(x)?0，h(x)递减，x?(x0,??)时，h?(x)?0，h(x)递增，故h(x)min?h(x0)??x0?1?lnx0?x0，由h?(x0)?lnx0?1?0，可得x0h(x0)??x0?1??1111?x0?1?x0?，由x0?(1,e)，根据基本不等式，x0??2x0??2x0x0x0x011?2??1，又h(1)??1，h??1??0，故存在??x0e?e?（等号取不到），故h(x0)?1?x0??1?x1??,1??(0,x0)，使得h(x1)?0；?e?3??3h(3)?2ln3?3?2?ln3?lne2?，显然e3?2.73?9，故e2?3，即h(3)?0；??4??22h(4)?0.h(4)?3ln4?4?3?ln4?lne3?，显然8?e2，故34?8?e3，即??由h(3)?h(4)?0，故?x2?(3,4)?(x0,??)，使得h(x2)?0.1?1??1?注意到q??q(1)??1?0，故u??,1?.e?e??e?答案第11页，共23页

?1?综上讨论，当xlnx?x?lnx时原方程有两个根：x1??,1?，x2?(3,4)；?e?虽说x?(t,2)，xlnx?1,x?lnx?1，根据上述讨论，xlnx?x?lnx在x?(t,2)上无实根.即?1?x?(0,u)?(t,??)时，f(x)有两个零点：x1??,1?，x2?(3,4).?e?当x?[u,1]时，x?lnx?0,xlnx?0，而x?[u,1]时，xlnx?0，0?x?lnx?1，而g(x)在x?0处无定义，不可能有g(x?lnx)?g(xlnx)，即x??u,1?时，f(x)无零点；当x?(1,2)时，注意到x?1且x趋近于1时，f(x)趋近于??，又f(2)?22?1?e2??1?e2?5?e2?01，故x?(1,2)时，f(x)存在零点x3，即?x3?(1,2)，ln22使得g(x3?lnx3)?g(x3lnx3)，若?x4?(1,t)，且x4?x3，不妨设x4?x3，由于y?xlnx,y?x?lnx均在(1,2)上单调递增，故1?x4lnx4?x3lnx3?0，x4?lnx4?x3?lnx3?1，g(x)在(0,1)上递减，在(1,??)递增，故g(x4?lnx4)?g(x3?lnx3)?g(x3lnx3)?g(x4lnx4)，于是x?x3?(1,2)是唯一实根.?1?综上所述，原函数有x1??,1?，x2?(3,4)，x3?(1,2)三个零点，?e??x1???x2???x3??1?4?2?7.故答案为：3;7【点睛】本题难点在于利用对数恒等式将方程等价转化，用同构的观点利用方程构造出函数exg(x)?的形式，然后利用g(x)的性质解题.x17．证明见解析.?)???a?求导，结合求和公式推?,b?，再分别对a?,b【分析】根据给定条件，令f(a?yi?bxii?1n??2理作答.?)???a?,b?，【详解】记f(a?yi?bxii?1n??2??a??na?)??2??yi?bx??2(nbx??ny)，?求导有:f?(a对ain?1n???)，即a?y?bx，?)?f(y?bx因此f(a?)?2(y?bx?2?ax?求导有f?(b?)(?xi)?2?(bx?i?xiyi)对b?i?i?aii?1i?1nn答案第12页，共23页

?2?(y?bx?)x?xy)?2b?(x2?xx)?2(yx?xy)?2?(bx?i?i?i?iiiiiii?1ni?1i?1i?1i?1nnnnn?(x2?nx2)?2(nxy?xy)，2b?i?iii?1i?1n?)最小时，f?(b)?0，当f(bb??xy?nxy?(x?x)(y?y)iiiii?1nnn?i?1?xi?12i?nx2?(x?x)ii?1n218．(1)证明见解析(2)?154【分析】（1）先利用三角形全等与等腰三角形三线合一证得AM?BC，从而利用线面垂直的性质定理证得BC?面AMD，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，结合条件求得OM?71515,OD?，从而得到各点坐标，进515而求得平面ECO与平面COB的法向量，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）连结AO并延长AO交BC于M，连结OB,OC，因为O恰好为△ABC的外心，所以OB?OC，又AC?AB，AO?OA，所以?AOC??AOB，所以?CAO??BAO，即AM是?BAC的角平分线，又AC?AB，所以由等腰三角形三线合一可得AM?BC，因为D在面ABC上的投影为O，所以OD?面ABC，又BC?面ABC，所以OD?BC，又AM?OD?O,AM,OD?面AMD，所以BC?面AMD，又AD?面AMD，所以BC?AD，（2）由（1）知AM?BC，OD?面ABC，答案第13页，共23页

过M作z轴平行于OD，则z轴垂直于面ABC，如图建立空间直角坐标系，在?ABC中，由（1）与等腰三角形三线合一可知M是BC的中点，又AC?AB?4，BC?2，则AM?AB2?BM2?15，S?ABC?设AO?r，则BO?r，又OM2?BM2?OB2，715815，故OM?AM?AO?，15151115因为三棱锥ABCD的体积为1，所以S?ABC?OD??15?OD?1，则OD?，3351AM?BC?15，2所以?15?r?2?12?r2，解得r??715?C0,1,0,B0,?1,0,O,0,0????则???15?,A????71515?15,0,0,D?,0,??15?，5????????815??????815?15??????715,0,0,AD??,0,,OC??,1,0故OA????????15??15??15?，5??????????????1?????21515?OE?OA?AD?,0,因为E为AD上靠近A的四等分点，所以???5?，420???215?????15n?OE?x?z?0???520设n??x,y,z?为平面ECO的一个法向量，则?，????715??n?OC??x?y?0?15???15115?15115n,,取x?，则y?,z?，故?????，56878756????易得m??0,0,1?是平面COB的一个法向量，设二面角E?CO?B的平面角为?，则?为钝角，???m?n???所以cos???cosm,n???????mn1571?15115??2566449??15，4答案第14页，共23页

所以二面角E?CO?B的余弦值为?19．(1)15.4π2?1?(2)?0,??2?【分析】（1）方法一：边角转化得到sin2A?sin2B?sinC之后，分类讨论A?B和π的大小；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量来求线面角；方法二：利用等体积法结合几何体中的数据关系表示出线面角的正弦进行求解.【详解】（1）方法一：由2sinC?cos2A?cos2B?2，结合二倍角公式可得，2sinC?1?2sin2A?1?2sin2B?2，即sin2A?sin2B?sinC.若A?B?π2，则A?π2?B，于是0?A?ππ2?B?2，根据正弦函数y?sinx在??0,π??2??上递增可得，sinA?sin??π?2?B????cosB，类似的有sinB?sin??π??2?A???cosA，于是sin2A?sin2B?sinAcosB?sinBcosA?sin(A?B)?sin(π?C)?sinC，这与sin2A?sin2B?sinC矛盾；若A?B?ππππ2，则A?2?B，于是0?2?B?A?2，根据正弦函数y?sinx在??0,π??2??上递增可得，sinA?sin??π?2?B????cosB，类似的有sinB?sin??π?2?A????cosA，于是sin2A?sin2B?sinAcosB?sinBcosA?sin(A?B)?sin(π?C)?sinC，这与sin2A?sin2B?sinC矛盾；若A?B?π2，即C?π2，此时sin2A?sin2B?sin2A?sin2??π?π?2?A???sin2A?cos2A?1?sin2?sinC确实成立.综上所述，C?π2.答案第15页，共23页2

方法二：将A?B?π?C代入2sinC?cos2A?cos2B?2可得2sin?A?B??cos2A?cos2B?2，再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简即可得sin2A?sin2B?sinAcosB?cosAsinB?0所以sinA?sinA?cosB??sinB?sinB?cosA??0，???π???π??即sinA?sinA?sin??B???sinB?sinB?sin??A???0，?2???2????再由和差化积公式可得：?A?Bπ??A?Bπ??B?Aπ??A?Bπ?2sinAcos???sin????2sinBcos???sin????0，4??24?4??24??2?2?A?Bπ???A?Bπ??B?Aπ?????sinAcos????sinBcos?????0所以2sin?242424????????πA?BππB?Aππ??<,00,cos???>0，所以sinA>0,sinB>0,cos?2424????不妨设A?B，则πA?BππA?Bπ?A?Bπ????0，又?

BA2?x2?(y?2)2?z2?8②BP2?(x?a)2?y2?z2?(2?a)2③，?12?2?2??a?1?由①②解得：y??????24???a，2?????2?x?1?由①③解得：????a?2，2??根据线面角的定义，（不妨取z是正数），则AB与平面ACP所成角正弦值为记t?zz?.AB222?2，则x2?(y?2)2?4t2a2?42ta?t2a2(a?2)2?4ta(a?2)?64?t2a4?4t2a3?(8t2?4t)a2?4t(2?2)a?6?h(a)，注意到2?4(2?2)，于是h(a)?t2a4?4t2a3?(8t2?4t)a2?2a?6，t又h?(a)?2(2t2a3?6t2a2?(8t2?4t)a?1)h?(2)?2(8t2?8t?1)，而t?2?2，4故(4t?2)2?2?8t2?8t??1，故h?(2)?0，根据多项式除法，2t2a3?6t2a2?(8t2?4t)a?1约去因式(a?2)，1?1??22?2222222得到?2ta?2ta??，即h?(a)?2?2ta?2ta???a?2???4ta?4ta?1??a?2?，2?2???4t2?16t4?16t2根据求根公式可得，4ta?4ta?1?0的正实根为?1.27，28t222故h(a)在(0,1.27)上递增，在(1.27,2)上递减，经计算得到h(2)?h(0)，故h(a)?x2?(y?2)2在?0,2?上的值域为?h(0),h(1.27)???6,8.35?，注意到x2?(y?2)2?z2?8，222故x2?(y?2)2?8，于是x?(y?2)??6,8?，故z??0,2?，即z?0,2，??于是直线AB与平面ACP所成角正弦值的范围是在?BCP中，若?BPC??1???0,?.22?2?z3π，同理可得，直线AB与平面ACP所成角正弦值的范围是4答案第17页，共23页

?1???0,?.22?2?方法二：z作BO?底面ACP，垂足为O，连接AO，设B到平面ACP的距离为h，A到平面BCP的距离为d，CP?2?m,BP?m，由题意知0?m?2.先说明AC和平面BCP不可能垂直，否则由AC?平面BCP可得AC?BC，由AB?22，AC?2可得BC?2，这与CP?2?m,BP?m矛盾，于是AC是平面BCP的斜线，即d?AC?2.11由VB?ACP?VA?BCP可得，?h?S?ACP??d?S?BCP，即33h?d?S?BCPS?ACP1?m?(2?m)?sin45??d2md2m2m?2???2?.1442?2?(2?m)2设?BAO??，根据线面角的定义，?即为AB与平面ACP所成角.2?1?mm1，即sin???0,?.于是sin??h?h?2???2?AB22422220．(1)见解析(2)Cn2nn?1【分析】（1）若先走到(n?1,n?1)，则合法路径?bn?1?b0，一直累积计算到合法路径总数为bn?b0bn?1?b1bn?2???bn?1b0，则其为卡特兰数；（2）记直线l:y?x?1，则所有不合法路线都会与直线l有交点，记第一个交点为A(a,a?1)，通过对称得到总路线和不合法路线，两者相减即可.【详解】（1）若先走到(n?1,n?1)则合法路径?bn?1?1?bn?1?b0，答案第18页，共23页

若先走到(n?2,n?2)且不走到(n?1,n?1)，相当于走到(n?2,n?2)后向右走到(n?1,n?2)再走到(n,n?1)，合法路径?bn?2?b1L若先走到(n?k,n?k)且不走到(n?k?1,n?k?1),?(n?1,n?1)，相当于走到(n?k,n?k)后再从(n?k?1,n?k)走到(n,n?1)，合法路径?bn?k?bk?1，于是bn?b0bn?1?b1bn?2???bn?1b0，即bn为卡特兰数.（2）记直线l:y?x?1，则所有不合法路线都会与直线l有交点，记第一个交点为A(a,a?1)，将A之后的路径都沿着l对称，那么这条不合法路径的终点成为了(n?1,n?1)，于是总路线为C2n，不合法路线为C2n，合法路径为C2n?C2n，即bn?C?Cn2nn?12nnn?1nn?1Cn?2n.n?1x2y221．(1)??143?20k2?15k?88k4?504k2?225(2)t?2k【分析】（1）建立极坐标系，根据曲线的极坐标方程和圆的第二定义得到相关方程，解出即可；答案第19页，共23页

?53tan??（2）首先求出外接圆的圆心为P?,??，得到圆的方程，将其与直线MN联立，再将2??2直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理式，解出t即可.【详解】（1）以F为极点,射线FO为极轴建立极坐标系则E:??|MA||NA||AF|ep??(e为离心率,p为右准线到右焦点距离)由题意可知:，|MB||NB||BF|1?ecos?设|AF|?a,|BF|?b,?MFN外接圆半径为Ra?则由圆的第二定义可知:epep,b?(???AFO)，1?ecos?1?ecos?2R?aa?2R?bb?R?abp??3，①b?a?2cos?因为直线AB的斜率为3，则tan???3，2?1?π??π?????0,???,π?，???，?cos???，23?2??2?a2则代入①解得p?3，而p??1，则a2?4，代入①式解得b2?3，1x2y2则E的标准方程为??1.43?53tan?（2）由（1）知△MFN外接圆圆心P?,?2?222??，?5??3tan??9?于是圆P:?x????y?与MN:y?kx?t联立有:??22??2?4cos???k2?1x2?(2kt?3tan?k?5)x?t2?3tan?t?4?0，?222将MN与E联立有:?4k?3?x?8ktx?4t?12?0设M?x1,y1?,N?x2,y2?，答案第20页，共23页

2kt?3tan?k?58kt?x?x????12??k2?14k2?3则?22?xx?t?3tan?t?4?4t?1212?k2?14k2?3?8ktk2?1?3tan??4k?32???2kt?5?4t?2?12k2?14k?3t2????t2?4k?kt2??20k2?15?t?28k3?24k?0??88k4?504k2?225?0，?20k2?15k?88k4?504k2?225，?t?2k于是k可以取到除了0外的所有实数.【点睛】关键点睛：本题第一问关键是灵活运用椭圆的极坐标方程以及圆的第二定义，第二问的关键是多次联立，利用韦达定理式子的相等性得到k,t的方程解出即可.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）把a?1代入，根据给定条件，换元并构造函数，探讨函数地零点范围即可推理作答.（2）换元并构造函数h(x)?x2?2aln2x?2，探讨函数的零点，并用含a的式子表示区间端点，再求出两个零点和的范围，然后利用所证不等式左边的几何意义，借助两条曲线交点间距离推理作答.【详解】（1）当a?1时，f(x)?2x?ln2x?4，x?0，令t?x，f(t2)?2t2?4ln2t?4，令g(x)?x2?2ln2x?2，求导得g?(x)?2x?4lnx22?(x?2lnx)，xx11显然g?(x)在(0,??)上单调递增，g?()?2e(2?2)?0，eeg?(1)?2?0，于是存在x0?(,1)，使得x?(0,x0),g?(x)?0,g(x)单调递减，x?(x0,??),g?(x)?0,g(x)单调递增，于是1e442414124164g(x0)?g()?2ln2??2(ln?)(ln?)?(ln?)(ln?1)339333333327?241241(ln?)(ln2.7?1)?(ln?)(lne?1)?0，g(e)?e2?0，333333答案第21页，共23页

14112因此存在t2?(,e)，使得g(t2)?0，又g()?2(?2ln3?2)?0，因此存在t1?(,x0)，使3393得g(t1)?0，5145从而有t1?t2???，而t1?x1,t2?x2，所以x1?x2?.3333（2）当a?1时，f(x)?2x?aln2x?4，x?0，令t?x，f(t2)?2t2?4aln2t?4，令h(x)?x2?2aln2x?2，求导得h?(x)?2x?4alnx22?(x?2alnx)，xx11显然h?(x)在(0,??)上单调递增，h?()?2e(2?2a)?0，ee1h?(1)?2?0，于是存在t0?(,1)，使得x?(0,t0),h?(x)?0,h(x)单调递减，ex?(t0,??),h?(x)?0,h(x)单调递增，而h(e?a)?e?12a?0，则?t3?(e?1a,t0)，使得h(t3)?0，即t?e3?1a，x4(x?2)2ex?42?x4xx?e??1,x?0，??(x)?e??令?(x)?e?，2?xx?2(x?2)2(x?2)2令u(x)?(x?2)2ex?4,x?0，u?(x)?(x2?2x)ex?0，函数u(x)在(??,0)上递增，u(x)?u(0)?0，即有??(x)?0，函数?(x)在(??,0)上递减，?(x)??(0)?0，1?ax即当x?0时，e?2?x，因此t3?e2?x1a?，12?a2?1ah(e)?ey??1a2a?0??1?h(1)，则?t4?(1,e)，使得h(t4)?0，令y?lnx?x?1,x?1，1?1?0，函数y?lnx?x?1在(1,??)上递减，则lnx?x?1?0，即0?lnx?x?1，x22222于是2?t4?2alnt4?t4?2a(t4?1)?(2a?1)t4?4at4?2a，解得t4?2a?2a?2，2a?1令v?11，则a?2，va2?v2?v2(v2?1)8?v(v?2)2(v2?1)?v3?2v25v2?2v?8，其中t3?t4????2222?vv?2(2?v)(v?2)(2?v)(v?2)2(v2?1)?v?1，5x2?2x?8?5x4?4x3?18x2?8x?8,0?x?1，F?(x)??0，令F(x)?222(2?x)(x?2)[(2?x)(x?2)]5即函数F(x)在(0,1]上单调递减，t3?t4?F(1)?，3答案第22页，共23页

由h(x)?0知，x2x22因此椭圆E:?y2?1与曲线y?alnx有两个交点A,B，?(alnx)?1，22其横坐标分别为t3,t4，椭圆E的焦点F(1,0)，在E上任取点P(x?,y?)，则12|PF|?(x??1)2?y?2?(x??1)2?1?x?2?(2?x?)，22从而|AB|?|AF|?|BF|?22572，而t3?x1,t4?x2(2?t3?2?t4)?(4?)?2236a2x122所以ln()?x1?x2?2x1x2?(x1?x2)?(alnx1?alnx2)4x2?(t3?t4)2?(alnt3?alnt4)2?|AB|2?(72249.)?618【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，可以探讨已知函数的单调性、极(最)值，构造不等式，再赋值推理作答.答案第23页，共23页