广西“贵百河”2023-2024学年高二上学期12月新高考月考测试数学试题

2023年12月27日发(作者：jeep牧马人新能源)

广西“贵百河”2023-2024学年高二上学期12月新高考月考测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={x|-2

）B={345}，则(?RA)?B=A．{2}B．{4，5}C．{3，4}D．{2，3}2．已知复数z满足z(1-i)=3+i，则复数z的虚部为（

）A．-2iB．C．D．22i-23．双曲线2x2-y2=8的渐近线方程是（

）1A．y=±x2B．y=±2xC．y=±2xD．y=±2x2rr，uuurr，4．已知三棱锥O-ABC中，点M，N分别为AB，OC的中点，且uuuOA=aOB=buuuuruuurr，则NM=（

）OC=cA．1rrrb+c-a2()B．1rrra+b+c2()C．1rrra-b+c2()D．1rrra+b-c2()ruuur5．在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，向量uuu与向量AC所成的角为（

）BA11111A．60°C．90°B．150°D．120°试卷第11页，共33页

22y6．已知命题p：方程x+y=1表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充5-mm-1p分不必要条件是（

）A．317．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间的关系N=Ne-kt（N0为最初污染物数0量）．如果前3个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（

）A．2.6小时B．3小时C．6小时D．4小时8．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(-5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（

）CA．x+y=522B．x+y=922C．x+y=12592D．x=16y二、多选题9．对于抛物线x2=8y，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为(0,2)1?C．开口向上，焦点为??0,÷è16?B．焦点到准线的距离为4D．准线方程为y=-410．已知函数f(x)=1sin2x+3cos2x，则（

）22A．函数f（x）的最小正周期为p试卷第21页，共33页

B．将函数f（x）的图象向右平移p个单位后的图象关于y轴对称3p?C．函数f（x）的一个对称中心为??,0÷è6?pp?D．函数f（x）在区间??,÷上单调递减è62?三、单选题11．为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为(　　)A．9C．11B．10D．12四、多选题12．已知a=loge,b=log3，c=ln3，则（

）23A．C．B．ab五、填空题13．若两条直线ax+2y-1=0与3x-6y-1=0互相垂直，则a的值为 .14．圆心为(-1,0)，且过点(1,1)的圆的方程是

．x2215．已知椭圆C:x+y=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作轴的垂a2b2线，交椭圆于点，若直线PPF1的斜率为3C，则椭圆的离心率为

．4试卷第31页，共33页

16．已知函数f(x)定义域为(0,+?)，f(1)=e，对任意的x,x?(0,+?)，当x>x时，1221f(lna)>2e-alnaf(x1)-f(x2)ex2ex1e有（是自然对数的底）.若，则实数a的>-x1x2x1x2取值范围是 .六、解答题17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA^平面ABCD，PA=AD=2,E为PB的中点，F为AC与BD的交点．

(1)证明：EF//平面(2)求三棱锥PCD；E-ABF的体积．18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(b-c)=a-bc22．(1)求角A的大小；(2)若a=2,sinC=2sinB，求△ABC的面积．19．已知直线l:x-ay-2=0,a?R．(1)求证：直线l与圆x2+y2=4恒有公共点；试卷第41页，共33页

(2)若直线l与圆心为C的圆(x-a)2+(y-1)2=4相交于A、B两点，且VABC为直角三角形，求a的值．20．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．21．如图，已知点F(-1,0)，圆F:(x-1)2+y2=16，点Q在圆F2上运动，QF1的垂直21平分线交QF2于点P.

(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)直线l与曲线C交于M?N两点，且MN中点为(1,1)，求直线l的方程及△F1MN的面积.22．如图，在三棱锥P-ABC中，是AB的中点．D△PAC是正三角形，AC^BC，AC=BC=2，试卷第51页，共33页

(1)证明：AC^PD；(2)若二面角P-AC-D为150°，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．试卷第61页，共33页

参考答案：1．B【分析】先求A集合的补集，再与B集合求交集即可.【详解】QA={x|-2

或x?4}，?RA={x|x?-2(?RA)?B={4,5}故选：B.2．D【分析】先利用复数除法求得复数z，进而求得复数z的虚部3+i)(1+i)2+4i【详解】由z(1-i)=3+i，可得z=3+i=(==1+2i1-i(1-i)(1+i)2则复数z的虚部为2故选：D3．C【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可22xy8【详解】由题意，-=1的渐近线方程为y=±x=±2x484故选：C4．D【分析】利用空间向量线性运算计算即可.uuuuruuuruuuur【详解】NM=NO+OMr1uuur1uuur1uuu=-OC+OA+OB2221rrra+b-c.2=()故选：D.答案第11页，共22页

5．Duuuruuur【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量BA与AC的坐标，然后利用空间向量的夹角公1式进行运算即可．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系则A(a,0,0),B(a,a,0),c(0,a,0),A1(a,0,a)uuuruuurBA1=(0,-a,a),AC=(-a,a,0)uuuruuuruuuruuurAC×BA1-a21uuur=cosBA1,AC=uuur=-2|AC|?|BA1|2a?2auuuruuurQ?[0,π]uuuruuur即120°1故选：D6．B22ymm-1>5-m>0xy【分析】若即可得的范+=1表示焦点在轴上的椭圆，可得5-mm-1围，再选取该范围的一个真子集即可求解.22yxy【详解】若方程+=1表示焦点在轴上的椭圆，5-mm-1则m-1>5-m>0，解得：3

所以p成立的充要条件是：3

x2y2 “好曲线”一定与-=1有公共点，169x+y=5x2y27x2-160x+544=0D=10386>0联立-=1与得：，，169故x+y=5x2y2与-=1有公共点，A为“好曲线”，16922x2y263联立-=1与x+y=9得：y2=-<0，无解，B不是“好曲线”，169252281x2y2800联立-=1与x+y=1得：x2=，y2=，有解，C为“好曲线”，2D=81-36=45>0x2y2联立-=1与x=16y得：y-9y+9=0，，有解，故D为“好曲169线”.故不是“好曲线”的是B．故选：B．9．AB【分析】根据抛物线的方程，求出p的值，得出开口方向，即可得出答案.【详解】对于A、C项，由已知可得，2p=8，p=4，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为(0,2)，故A正确、C错误；对于B项，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为p=4，故B正确；对于D项，根据抛物线的方程可知，准线方程为y=-2，故D错误.故选：AB.10．AD【分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调答案第41页，共22页

性即可.【详解】f(x)=1sin2x+3πcos2x=sin(2x+)，223对于A项，T=2π2π==π，故A项正确；|w||2|ππππ个单位后为g(x)=sin(2(x-)+)=sin(2x-)，3333对于B项，f(x)的图象向右平移ππ所以g(-x)=sin(-2x-)=-sin(2x+)?g(x)，所以图象不关于y轴对称.故B项错误；33f(x)ππkk?Zπππk，所以的对称中心为(-+,0)，=k?x=-+，62362对于C项，因为2πx+k?Z，f(x)ππππk2的对称中心.故C项错误；+=时，k=?Z，所以(,0)不是66263当-π2π4π对于D项，因为x?(,)，则2x+?(,)，62333πππy=sintπ2π4πf(x)=sin(2x+)，令t=2x+，则，t?(,)，3333因为y=sint在(f(x)ππ2π4π在(,)上单调递减.故D项正确.,)上单调递减，所以6233故选：AD.11．B【详解】不妨设样本数据x1，x2，x3，x4，x5，且x1

组数满足要求，此时对应的样本数据为x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足要求，因此不存在满足条件的另一组数据．故选B.12．BC【分析】由对数函数的单调性结合换底公式比较a,b,c的大小，计算出a+c，利用基本不等式得a+c>2，而b<2，从而可比较大小．ln3ln3b>c>=ln3=c，所以，又ln2lne【详解】由题意可知，对于选项AB，因为b=log23=因为a=log3elne=1，所以c>a，则b>c>a，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，a+c=loge+ln3=lne+ln3=1+ln3>21×ln3=2，且3ln3ln3ln3b=log23b，故选项C正确，选项D错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．13．4【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1，据此即可求解.a3【详解】由题可知，-?=-1?a=4.26故答案为：4.14．(x+1)2+y2=5【分析】求出圆的半径，再根据圆心和半径即可求出圆的方程.答案第61页，共22页

【详解】由题意圆的半径r=(-1-1)+(0-1)22=5，所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=5.故答案为：(x+1)2+y2=5.10.5/215．【分析】利用椭圆的标准方程和离心率计算公式求解即可.【详解】由题意可得F1(-c,0)，F(c,0)，2因为PF2^x轴，且kPF1>02?b，所以Pc,?，?÷èa?则kPF1b2-0b23①，a===c-(-c)2ac4又a2=b2+c2②，①②联立得2c2+3ac-2a2=0，22e+3e-2=0，解得e=1或-2（舍去），所以2故答案为：2116．(1,e)答案第71页，共22页

x1x2f(x1)-f(x2)ex2ex1fx+xe>fx+xe()()1122【分析】将变形为，由此设函数>-x1x2x1x2g(x)=f(x)+xex，说明其在(0,+?)上单调递减，将f(lna)>2e-alna化为f(lna)+alna>f(1)+1?e1，即g(lna)>g(1)，利用函数单调性即可求得答案.【详解】由题意当x2>x1x2x1f(x1)-f(x2)ex2ex1fx-fx>xe-xe()()1221时，有，即，>-x1x2x1x2即f(x)+xex1>f(x)+xex2，1122故令g(x)=f(x)+xex，则当x2>x1>0时，g(x)>g(x)，12则g(x)在(0,+?)上单调递减，由于f(1)=e，而f(lna)>2e-alna，即有f(lna)+alna>f(1)+1?e1，即g(lna)>g(1)，所以0-x1x2x1x2f(x1)+x1ex1>f(x2)+x2ex2，从而构造函数g(x)=f(x)+xex，并说明其为单调减函数，由此可解决问题.17．(1)证明见解析答案第81页，共22页

(2)13【分析】（1）由中位线定理证明EFPPD，再由判定证明即可；（2）求出点E到平面ABCD的距离，再由体积公式求解.【详解】（1）证明：Q四边形ABCD为正方形，F为AC与BD的交点，F是BD的中点，又E是PB的中点，EF∥PD，又EF?平面PCD,PD?平面PCD，EF//平面PCD．（2）QPA^平面ABCD,E是PB的中点，E到平面ABCD的距离d=1PA=1，2Q四边形ABCD是正方形，AD=2,S△ABF=1S=1，4正方形ABCD三棱锥E-ABF的体积V=111S△ABF×d=?1?1=．33318．(1)π3(2)233【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；答案第91页，共22页

（2）先利用正弦定理将sinC=2sinB角化边，然后结合条件求出b,c，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由(b-c)2=a2-bc整理得b2+c2-a2=bc，b2+c2-a2bc1，由A?(0,π)，cosA===2bc2bc2π；3A=（2）QsinC=2sinB，由正弦定理得c=2b，①，又b2+c2-4=bc，②，由①②得b=23,c=43，=bcsinA=???=22332319．(1)证明见解析(2)a=±1【分析】（1）根据直线与圆的位置关系即可证明；（2）由题意可知圆心ClAB到直线的距离d1=，建立方程，解之即可.2【详解】（1）因为圆x2+y2=4的圆心为O(0,0)，半径为r=2，所以圆心Ol到直线的距离d=21+a2．答案第101页，共22页

2又因为1+a?1，所以21+a2?2，即d?r．所以直线l与圆x2+y2=4相交或相切，即恒有公共点．（2）由圆C:(x-a)2+(y-1)2=4得，圆心C(a,1)，半径为2．因为l与圆C相交于A,B两点，且VABC是直角三角形，所以AB=CA+CB=2r2=22．且?CAB=?CBA=45，22°所以圆心Cla=±1ABa-a-2到直线的距离d1=，即，解得，=2221+a所以实数a的的值为±1.20．(1)选择猜法二，理由见解析(2)2027【分析】(1)利用列举法列出不放回取两球的所有结果，再借助古典概率公式计算判断作答.(2)利用(1)的结论，将乙获胜的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的乘法、加法公式计算得解.【详解】（1）用a，b表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12个不同结果，它们等可能，令事件A为“第二次取出的是红球”，则事件A所含结果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，答案第111页，共22页

共6个，令事件B为“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含结果有：a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，共8个，611282=，P(B)==，显然，<，12223123于是得P(A)=为了尽可能获胜，应该选择猜法二．2，3（2）由(1)知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为P=游戏结束时，乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件M1，第一轮负另外两轮胜的事件M2，第二轮负另外两轮胜的事件M3的和，它们互斥，2212221220于是得P(M)=P(M1+M2+M3)=P(M1)+P(M2)+P(M3)=?+??+??=，3333333327所以乙获得游戏胜利的概率是20.272221．(1)x+y=1；43(2)3x+4y-7=0，5105.21【分析】（1）根据给定条件，由椭圆的定义求解轨迹C的方程.（2）由点差法求出直线l的斜率，进而求出该直线方程及三角形面积.【详解】（1）圆F2:(x-1)2+y2=16的圆心F2(1,0)，半径r=4，由QF1的垂直平分线交QF2于点P，得PF1=PQ，则PF+PF=PQ+PF=QF=4>FF=2，122212答案第121页，共22页

因此P的轨迹是以F1,F2为焦点，长轴长2a为4的椭圆，则a=2，半焦距c=1，短半轴长b=a2-c2=3P，所以点的轨迹C22xy的方程为：+=1.43（2）设曲线22Cx2y2M(x1,y1)，N(x2,y2)ì3x+4y=12，11，即有í+=1上的点2243?3x2+4y2=12两式相减得MN(x1-x2)(x1+x2)(y1-y2)(y1+y2)+=0，而中点为(1,1)，即43x1+x2=2,y1+y2=2，ll33y1-y23=-，即直线的斜率为-，直线的方程为y-1=-(x-1)，即4x1-x244于是3x+4y-7=0，显然点(1,1)在椭圆内，即直线3x+4y-7=0与椭圆必相交于两点，符合题意，所以直线l的方程为3x+4y-7=0；23x+4y-7=021x-42x+1=0，则x+x=2,xx=1，ìy由í消去得：12122221?3x+4y=12|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4-445，35455105，=|MN|=12+(-)2|x1-x2|=?=2144212121△F1MN点F1l到直线的距离d=103+422=2，所以的面积SVFMN=5105.121答案第131页，共22页

22．(1)证明见解析(2)9331【分析】（1）找出AC的中点O，连接OP，OD，根据等边三角形性质和题意，先证明AC^面POD，通过证明线面垂直最后证明出线线垂直．（2）根据（1）可知二面角P-AC-D就时?POD，因此以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴^底面ABC，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量与二面角关系求出答案．【详解】（1）取AC的中点O，连接OP，OD，因为△PAC是正三角形，所以PO^AC，因为D是AB的中点，所以DO∥BC，因为AC^BC，所以DO^AC，又POIDO=O，PO，DO?面POD，所以AC^面POD，答案第141页，共22页

又因为PD?面POD，所以AC^PD．（2）以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴^底面ABC，建立如图空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，D(0,1,0)，C(-1,0,0)，B(-1,2,0)易得?POD=150°33?，，又PO=3，则P?0,-,?÷?÷22è?ur由DO∥BC得直线BC的一个方向向量为m=(0,1,0)，ruuuruuur33?，设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，AB=(-2,2,0)，AP=?-1,-,?÷?÷22è?r?x=15?ì-2x+2y+0=0n=1,1,??÷则í，令，则平面PAB的一个法向量为3?，è33z=0?-x-y+?22urrm×nurr记直线BC与平面PAB所成角为，那么sina=cosm,n=urr=m×na11?313=93．31答案第151页，共22页