数学2024届新高三开学摸底2023高二下学期期末试题及答案解析 (2)_百

2023年12月27日发(作者：2020新款丰田霸道多少钱)

数学2024届新高三开学摸底2023高二下学期期末试题及答案解析数学试题（文科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z满足2z?z?3?i，其中i为虚数单位，则|z|?（A.2【答案】C【解析】【分析】设复数z?x?yi(x,y?R)，利用相等，求得x?1,y??1，进而可求复数的模.【详解】设复数z?x?yi(x,y?R)，则2z?z?2x?2yi?x?yi?3x?yi?3?i，则x?1,y??1，所以z?1?i，所以故选：C.【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.，2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一）茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）B.3）D.3C.2z?2，A.甲得分的极差是18C.甲得分更稳定【答案】B【解析】B.乙得分的中位数是16.5D.甲的单场平均得分比乙低

【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28?9?19，故A错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,2016?17?16.5，故B正确.29?14?15?18?19?17?16?20?16，乙得分的平均数为8乙得分的中位数为从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m，其中10?m?15，故其平均数为故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y（单位：分）与每天数学学习时间x（单位：分钟）是否存在线性关100?100???56.x?5600,y?11200系，搜集了100组数据??i并据此求得y关于x的线性回归方程为?y?bx?i?，i?1?i?1?9?12?13?15?20?26?28?m123?m133???16，故D错误.888若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（A.106【答案】C【解析】B.122C.136）D.140?，【分析】利用回归方程经过样本中心可求b故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.560011200?56,y??112，100100??56?56，故b??1，故?故112?by?x?56，【详解】由题设可得x?故当x?80时，y?80?56?136，故选：C.为此设计右图所示的程序框图，其中rand表示产生区间(0,1)4.利用随机模拟方法可估计无理数?的数值，上的随机数,P是s与n的比值，执行此程序框图，输出结果P的值趋近于?

A.?B.?4C.?2D.2?2【答案】B【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x，y任取（0，1）上的数时落在x2?y2?1内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率??12??4??14故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p：k?1，命题q：直线kx?y?1?0与抛物线y2?4x有两个公共点，则p是q的（A.充分不必要条件C.充要条件【答案】B【解析】【分析】联立直线方程和抛物线方程，消元后利用判别式为正可求k的范围，故可得正确的选项.B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件）

【详解】由kx?y?1?0和y2?4x可得?kx?1??4x，2整理得到：kx??2k?4?x?1?0，22??k?0因为直线与抛物线有两个不同的交点，故?，22??Δ??2k?4??4k?0故k?1,k?0，故命题q成立能推出命题p成立；反之，若k?1，取k?0，此时kx??2k?4?x?1?0仅有一个实数根x?221，4故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，故命题p成立不能推出命题q成立，故p是q的必要不充分条件，故选：B.6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲【答案】D【解析】【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D.7.已知函数f(x)?B.乙C.丙D.丁1,则y?f(x)的图像大致为（）ln(x?1)?xA.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：设g(x)?ln(1?x)?x，则g?(x)??x，∴g(x)在??1,0?上为增函数,在?0,???1?x

上为减函数，∴g(x)?g?0??0，f(x)?1?0，得x?0或?1?x?0均有f(x)?0排除选项A，C，g(x)又f(x)?B.1?x?1?0中,?，得x??1且x?0，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选ln(x?1)?xln(x?1)?x?0?考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A.22【答案】B【解析】B.23C.4D.26【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P?ABC，其中面积最大的面为：S?PBC?本题选择B选项.13?22?22??23.22点睛：

三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点?1,2?的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x?y?9?0的距离为(A.)255655B.5C.455D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为(x?a)2?(y?a)2?a2，a>0，代入?1,2?即可求出a，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为?a,a?，则半径为a，a?0．）故圆的方程为(x?a)2?(y?a)2?a2，再把点(2,1代入，(2?a)2?(1?a)2?a2，解得a?5或1，故要求的圆的方程为(x?5)2?(y?5)2故所求圆的圆心为?5,5?或?1,1?；?25或(x?1)2?(y?1)2?1．故圆心到直线2x?y?9?0的距离d?2?5?5?922?122?1?1?96565??或d?；22552?1故选：A．x2y210.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，点P在abC的渐近线上，PF1?PF2?0，?MPN?60?，则双曲线的C的渐近线方程为（A.y??【答案】D????????）2x2B.y??3x2C.y??2xD.y??23x3

【解析】【分析】

由题可得△PF1F2是直角三角形，则可得|OP|?1F1F2?c.又在?OPN中，由余弦定理可求得|PN|?b，2|MN|b23可得?，即渐近线方根据勾股定理可知PN?ON，则在Rt?PMN中，利用tan?MPN?|PN|a3程为y??233x.【详解】连接OP，则由???PF??????1?PF2?0可知PF1?PF2，则在Rt?PF1F2中，|OP|?12F1F2?c，在?OPN中，tan?PON?baa，则cos?PON?c，又|ON|?a，则由余弦定理得：|PN|2?|OP|2?|ON|2?2|OP|?|ON|?cos?PON，解得|PN|?b，由|OP|2?|ON|2?|PN|2知PN?ON，即PN?MN，所以在Rt?PMN中，tan?MPN?|MN||PN|，即2ab?3，则b?23a3，所以所求渐近线方程为：y??233x.故选D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数f(x)?13x3?ax2?4x(a?0)存在两个极值点x1和x2，则f(x1)?f(x2)取值范围为（A.????,16??16?16?3??B.????,32???C.???,16??3??D.?????,32???【答案】C【解析】）

【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求a?2，再根据零点的性质可得3x2??4a2?4?x2?8a、x13??4a2?4?x1?8a，据此可用a表示f(x1)?f(x2)，利用导数可求其范围.【详解】f?(x)?x2?2ax?4，因为f(x)存在两个极值点x1和x2，故x1和x2为x2?2ax?4?0的两个不同的根，22故??4a2?16?0且x1?2ax1?4?0，x2?2ax2?4?0，x1?x2?2a，故a??2（舍）或a?2且x1?2ax1?4，所以x1?2ax1?4x1?2a?2ax1?4??4x1?4a?4x1?8a，3222??同理x2?4a?4x2?8a，故f(x1)?f(x2)?3?2?12??2a4a?4??16a??a?2a?2a?8??8a???3834a33?a?4a?8a???8a，331??4a2?4??x1?x2??16a??a?2a?x1?x2??8??4?x1?x2?????34a32设s?a????8a,a?2，故s??a???4a?8?0，3故s?a?在?2,???上为减函数，故s?a??s?2??16?3216?，3316????,f(x)?f(x)故12的取值范围为：??，3??故选：C.12.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M,N,P分别为棱AB,CC1,C1D1的中点，动点Q?平面MNP，）B.直线PQ//平面A1BC1D.点Q的轨迹长度为3?DQ?AB?2，则下列说法错误的是（A.B1?MBC的外接球面积为9?C.正方体被平面MNP截得的截面为正六边形【答案】D【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP截得的截面为正六边形，故可判断C的正误，利用面面平行的判定定理可判断B的正误，利用补体法可求B1?MBC的外接球的直径后可判断A的正误，利用向量的方法可求D

到平面MNP的距离，从而可求点Q的轨迹长度，故可判断D的正误.【详解】如图，设A1D1,A1A,BC的中点分别为S,R,T，连接PS,SR,RM,MT,TN.由正方体的性质可得A1C1//RN，而SP为三角形A1D1C1的中位线，故SP//A1C1，故SP//RN，故S,P,R,N四点共面，同理，S,P,T,N也四点共面，故S,P,R,N,T五点共面，同理R,N,T,M也四点共面，故S,P,R,N,T,M六点共面.正方体被平面MNP截得的截面为六边形，SP?PN?NT?TM?MT?RS?SP?2，因为平面MNPI平面B1BCC1?NT，平面MNPI平面A1DDA?SR，而平面B1BCC1//平面A1DDA，故NT//SR，而NT为三角形BCC1的中位线，故NT//BC1，故SR//BC1，但?PSR与?AC1C1B为等边三角形，11B方向相反，故?PSR与?AC11B互补，而△A故?A1C1B?60?，故?PSR?120?，同理?SRM??RMT??MTN??TNP??NPS?120?，故正方体被平面MNP截得的截面为正六边形，故C正确.由A1C1//RN，RN?平面A1B1C，AC1B1C，故RN//平面A1B1C，11?平面A同理故RS//平面A1B1C，而RN?RS?R,RN,RS?平面MNP，故平面A1B1C//平面MNP，而PQ?平面MNP，故PQ//平面A1B1C，故B正确.对于A，将三棱锥B1?MBC补成如图所示的长方体MBCG?HB1C1P，

其中H,G分别为A1B1、DC的中点，则其外接球的直径即为MBCG?HB1C1P的体对角线的长度即1?4?4?3，故三棱锥B1?MBC的外接球的表面积为π?32?9π，故A正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则D?0,0,0?,M?2,1,0?,N?0,2,1?,P?0,1,2?，?????????故MN???2,1,1?,MP???2,0,2?，??????????m?MN?0设平面MNP的法向量为m??x,y,z?，则??????，??m?MP?0??2x?y?z?0故?，取x?1，则z?1,y?1，?2x?2z?0???????故m??1,1,1?，而DP??0,1,2?，??????DP?m???3，故D到平面MNP的距离为d?m而DQ?2，故点Q的轨迹为平面MNP与球面的截面（圆），该圆的半径为4?2?1，故圆的周长为2π?1?2π，故D错误.故选：D.

【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题p:?x?0,x?【答案】a?22【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为?p是假命题，故p为真命题，因为x?0，故x?故a?22.故答案为：a?22.2?a，若?p是假命题，则实数a的取值范围是__________.x2?22，当且仅当x?2时，等号成立，x??x??2x14.在同一平面直角坐标系xOy中，曲线C:x?y?1所对应的图形经过伸缩变换?得到图形??y??3y22C?.点P在曲线C?上，则点P到直线l:3x?y?6?0的距离的最小值为____________.【答案】【解析】6?152?x???x?2x???【分析】通过?得到???y??3y?y???x?2，然后代入到曲线C的方程即可得到曲线C?的方程，再设y?3P2cos?,3sin?利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.?x???x?2x???【详解】由?得到???y??3y?y???x?2(x?)2(y?)222，代入到x?y?1中得??1．y?433??

x2y2即??1为曲线C?的直角坐标方程，43设P2cos?,3sin?，则点P到直线l:3x?y?6?0的距离23cos??3sin??6215sin(???)?62??d??，其中（sin??255，cos??），556?156?15，即点P到直线l的距离最小值为.22所以当sin(???)?1时dmin?故答案为：6?152?ππ?,?，其导函数是f??x?.有f??x?cosx?f?x?sinx?0，则关于x的不22??15.已知函数f?x?的定义域为??等式f(x)?2f??π??cosx的解集为_________.?3??ππ?【答案】??,??23?【解析】【分析】构造函数F(x)?即可.【详解】依题意令F(x)?则F?(x)?因为当?f(x)?ππ?，x???,?，cosx?22?f(x)，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得cosxf?(x)cosx?f(x)sinx，cos2xππ?x?时，f??x?cosx?f?x?sinx?0，22?ππ?所以当x???,?时，F?(x)?0，?22??ππ?∴F(x)在??,?上单调递减，?22??π?f???π??π?f(x)3则f(x)?2f??

cosx等价于???，即F(x)?F??，?3??3?cosxcosπ3

π?x??ππ??ππ?3∴?，解得??x?，所以所求不等式的解集为??,?.?23?23??π?x?π?2?2?ππ?故答案为：??,??23?16.已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，经过抛物线上一点P，作斜率为为准线上异于Q的一点，当?PQR??PQF时，PF?______．【答案】【解析】3的直线交C的准线于点Q，R4257##299????????m2PF?QF【分析】根据题设条件确定P在第一象限内，且，设P(,m)且m?0，结合FP?FQ?0得4m2到关于m的方程并求值，又PR?PF??1即可得结果.4【详解】不妨令R为过P点垂直于准线的垂足，又?PQR??PQF，即QF为?FQR角平分线，Q是斜率为3的直线与抛物线准线的交点，则P在第一象限内，4而PR?QR，且|PR|?|PF|，根据角平分线性质知：PF?QF，如上图示，22m23m16m?3m?12令P(，,m)且m?0，则直线PQ为y?m?(x?)，令x=?1，则yQ?16444????????m216m?3m2?12m216m2?3m3?12m由FP?FQ?(?1,m)?(?2,)?2???0，4162168整理可得3m3?8m2?12m?32?(m2?4)(3m?8)?0，则m?，3m225故PR?PF?.?1?49

故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数f?x??ax?lnx其中a为常数，设e为自然对数的底数.（1）当a??1时，求曲线f?x?在点1,f?1?处的切线方程；（2）是否存在实数a，使得f?x?在区间说明理由.【答案】（1）y??1（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a，使得f?x?在区间数求出函数f(x)在区间可得结论.【小问1详解】当a??1时，f(x)??x?lnx，x?0，f(1)??1，???1,e?上的最大值为?3？若存在，求出求a的值，若不存在，请?1,e?上的最大值为?3，利用导数可得?1?a??1，再利用导e2?1,e?上的最大值，结合已知最大值列式，解得a??e，不满足?1?a??1，从而ef?(x)??1?1，f?(1)?0，x所以曲线f?x?在点1,f?1?处的切线方程为y?1?0，即y??1.【小问2详解】假设存在实数a，使得f?x?在区间???1,e?上的最大值为?3，1，x因为f(x)?ax?lnx，x?0，f?(x)?a?若a?0，则f?(x)?0在区间最大值；故a<0，令f?(x)?0，得0?x???1,e?上恒成立，f(x)在区间?1,e?上单调递增，此时f(x)在区间?1,e?上无11，令f?(x)?0，得x??，aa则函数f(x)在(0,?)上单调递增，在(?1a1,??)上单调递减，a

因为函数f?x?在开区间?1,e?上有最大值为?3，所以1??1?e，即?1?a??1，1,e)上单调递减，aae所以函数f?x?在(1,?)上单调递增，在(?所以f(x)max?f??又?1?a??1a1?1??1??1?2?a?(?)?ln???1?ln????????3，得a??e，a?a??a??a?1，所以a??e2不成立，e故不存在实数a，使得f?x?在区间?1,e?上的最大值为?3.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成5组：?50,60?，?60,70?，?70,80?，?80,90?，?90,100?，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间?60,70?内的人数为400.（1）求出直方图中a，b，c的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间?80,100?内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间?90,100?内的事件概率.【答案】（1）a?0.04，b?0.03，c?0.02；（2）中位数为71.7，平均数为73；（3）25【解析】【分析】（1）先由在区间?60,70?内的人数求出a值，再根据等差数列的性质和频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出b,c的值；（2）设中位数为x，根据中位数左侧直方图的面积为0.5求解中位数，利用平均数等于每个小矩形的面积乘上小矩形底边中点的横坐标之和求解平均数；（3）先利用分层抽样求出抽取的5人中4人来自区间?80,90?，1人来自区间?90,100?

，再利用古典概型求出抽取两人中恰好有1人得分在区间?90,100?内的概率.【小问1详解】由已知可得a?400?1000?10?0.04，则?0.005?0.04?b?c?0.005??10?1，即b?c?0.05，又∵a，b，c成等差数列，∴2b?0.04?c,解得c?0.02，b?0.03，【小问2详解】∵?0.005?0.04??10?0.45?0.5，?0.005?0.04?0.03??10?0.75?0.5，∴设中位数为x，且x??70,80?，∴?0.005?0.04??10??x?70??0.03?0.5，解得x?71.7，即中位数为71.7，平均数为?55?0.005?65?0.04?75?0.03?85?0.02?95?0.005??10?73，【小问3详解】成绩位于区间?80,90?内的学生有0.02?10?1000?200人，成绩位于区间?90,100?内的学生有0.005?10?1000?50人，通过分层抽样抽取了5人中来自区间?80,90?的人数为5?20050?4人，来自区间?90,100?的人数为5??1人，200?50200?501C124C1?抽取两人中恰好有1人得分在区间?90,100?内的概率为P?.2C5519.如图所示，四棱柱ABCD?A底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB?2AD?4，1B1C1D1，?DAB?60?，AD?D1D.（1）求证：平面D1DBB1?平面ABCD；

（2）若D1D?D1B?2，求三棱锥D?CC1B的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）在△ABD中，利用余弦定理求出BD，可得AD?BD，再加上AD?D1D，可得AD?平面D1DBB1，进而可得平面D1DBB1?平面ABCD；（2）取BD的中点O，由（1）可得出D1O?面ABCD，通过D1C1//平面ABCD，得3.31VD?CC1B?VC1?DCB?VD1?DCB?S?BCD?D1O，代入条件可得答案.3【详解】（1）△ABD中，AB?4，AD?2，?DAB?60?则BD?42?22?2?4?2?1?232?AD2?BD2?AB2即AD?BD，又AD?D1D，BD?D1D?D?AD?平面D1DBB1又AD?面ABCD，所以平面D1DBB1?平面ABCD.（2）取BD的中点O，由于D1D?D1B，所以D1O?BD由（1）可知平面D1DBB1?面ABCD，而平面D1DBB1?面ABCD?BDD1O?平面D1DBB1，故D1O?面ABCD.因为D1D?2，DO?因为D1C1//平面ABCD所以VD?CC1B?VC1?DCB?VD1?DCB?3，则D1O?11S?BCD?D1O311133.??DC?BCsin?DCB??2?2??32623

【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查锥体体积的计算，关键是利用线面平行转换锥体的顶点求体积，是中档题.在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸.以点F,E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点建立平面直角坐标系.（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段AE交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）记（1）问所得图形为曲线C，若过点Q?1,0?且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M,N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点T?t,0?，使得直线TM,TN斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.x2y2【答案】（1）??195（2）存在点T?3,0?使得kTM和kTN之积为?【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，利用椭圆的定义求椭圆的标准方程；（2）设出直线l的方程，并与椭圆方程联立，根据斜率的定义求解.【小问1详解】10.9

如图，以EF所在的直线为x轴，EF的中点O为原点建立平面直角坐标系，设M(x,y)为椭圆上一点，由题意可知|MF|?|ME|?|AE|?6?|EF|?4，∴点M的轨迹点E,F为焦点，长轴2a?|MF|?|ME|?6的椭圆，∵2a?6，2c?4，∴a?3,c?2，x2y2∴b=a-c=5，则椭圆的标准方程为??1，95222【小问2详解】?x2y2?1??设直线l的方程为x?my?1，将直线方程和椭圆方程联立?9，5?x?my?1?消去x得5m?9y?10my?40?0，其中??100m?1605m?9?2045m?72?0，设M?x1,y1?,N?x2,y2?，y1?y2?则kTM?kTN?2?2?2?2??2??10m?40,yy?，125m2?95m2?9y1y2y1y?2?x1?tx2?t?my1?1?t??my2?1?t??y1y2，m2y1y2?m(1?t)?y1?y2??(1?t)2?40，5?t2?9?m2?9(1?t)2消去y1?y2和y1?y2可得kTM?kTN?要使kTM?kTN为定值，则t2?9?0，10，910∴存在点T?3,0?使得kTM和kTN之积为?.9∵t?0，∴t?3，此时kTM?kTN??

21.已知函数f?x??xlnx?a?x?1?.（1）若f?x??0，求实数a的值；（2）已知n?N*且n?2，求证：sin【答案】（1）a?1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意分析得到x?1是函数h?x?的极小值点，则h??1??0解得a?1再代入验证符合题意；（2）由（1）可得，lnx?1?111?sin???sin?lnn.23n1111?x?1?.令?1?得到?lnk?ln?k?1?,k??2,3,?,n?.令xkkx11??lnk?ln?k?1?,k??2,3,?,n?，kkg?x??x?sinx(x?0)，利用导数证明出sinx?x(x?0)，得到sin累加即可证明.【小问1详解】由f?x??0，得lnx?a?1???1???0.x?令h?x??lnx?a?1???1?1ax?a?hx?0,hx??2?2.，则?????x?xxx注意到h?1??0，所以x?1是函数h?x?的极小值点，则h??1??0，所以h??1??1?a?0，得a?1.1x?1，则函数h?x?在?0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增，x2当a?1时，h??x??所以h?x??h?1??0，满足条件，故a?1.【小问2详解】

由（1）可得，lnx?1?1?x?1?.x令11k?1?，则x?，k?1kxk11?，即?lnk?ln?k?1?,k??2,3,?,n?.k?1kk所以ln令g?x??x?sinx(x?0)，则g??x??1?cosx?0，且g??x?不恒为零，所以函数g?x?在?0,???上单调递增，故g?x??g?0??0，则sinx?x(x?0)，所以sin11??lnk?ln?k?1?,k??2,3,?,n?，kk令k分别取2,3,?,n，累加得：111sin?sin???sin??ln2?ln1???ln3?ln2?????lnn?ln?n?1???lnn.??23n即证.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式.22.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为??x?1?m(m为参数)，直线l2的参数方程y?km?1????x?n?n(n为参数).若直线l1,l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C.?y?2??k?（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点A,B是曲线C两动点，?AOB?60?，求?AOB面积的最大值.【答案】（1）x2?(y?1)2?1(x?0)（2）334

【解析】

【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k，即可得到曲线C的普通方程；π?π?x??cos?y??sin?B?,??A?,?（2）由、得到曲线C的极坐标方程，设?1?，?2（??），即?，23??可表示OA、OB，则S△AOB?性质计算可得.【小问1详解】1OA?OBsin?AOB，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的2?x?1?m直线l1的参数方程为?(m为参数)，则直线l1的普通方程为y??kx，y?km?1????x?nx?直线l2的参数方程?n(n为参数)，则直线l2的普通方程为y?2?，y?2?k?k??y??kx?222依题意k?0，由?x，消去k得y(y?2)??x，整理得x?(y?1)?1(x?0)，y?2??k?所以曲线C的普通方程为x2?(y?1)2?1(x?0).【小问2详解】因为曲线C的普通方程为x2?(y?1)2?1(x?0)，?x??cos?，y??sin?，?曲线C的极坐标方程为??cos?????sin??1??1（??故曲线C的极坐标方程为??2sin?（??设A??1,??，B??2,??π）．222π），2??π?π??，（），?23?π??则OA??1?2sin?，OB??2?2sin????，3???S?AOB??1OA?OBsin?AOB21π?π??2sin??2sin?????sin23?3?π???3sin??sin????3??ππ???3sin???sin?cos?cos?sin?33??

??323sin??sin?cos?2231?cos2?3sin2????2222??3?313sin2??cos2?????42?2?2?3?π?3sin?2????，26?4??π??33sin?2????1S6??当时，?AOB有最大值4．