2023届新高考金榜押题卷猜题卷数学试题含解析(第3套)

2023年12月27日发(作者：汽车mpv排行榜)

2023届新高考数学金榜押题卷（3）

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U?{?2,?1,0,1,2,3}，集合A?{?1,2}，B??x|x2?4x?3?0?，则?U(AB)?( )

A.{1,3} B.{0,3} C.{?2,1} D.{?2,0}

2.若复数z满足?4?2i?z?(3?i)2，则z?( )

A.1 B.2 C.3 D.5

3.已知a?1，b?2，a?b?7，则a与b的夹角为( )

π2B.

π3C.

π4D.

π64.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为1，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲201

101

151

20厂生产该芯片的次品率为( )

1A.

5B.C.43D.5.圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是( )

A.8 B.47 C.37 D.36

6.已知y?f(x?1)的图象关于点(1,0)对称，且对任意x?R，都有f(x?1)?f(3?x)成立，当?[?1,0)时，f(x)?2x2，则f(2021)?( ).

A.-8 B.-2 C.0 D.2

7.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了

完整的体系.其中卷第五《商功》中记载了如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何?”其意思为“现在有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，无宽，上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少?”(1丈为10尺).该问题中涉及的几何体如图所示，在多面体ABCDEF中，EF//平面ABCD,EF的中点G在底面ABCD上的射影为矩形ABCD的中心O,AB?4,BC?3,EF?2,OG?1，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为( )

171717 C.? D.

85585x2y28.已知F1，F2为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为abA.?17

5B.30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1?AF2，SVAFF?2，则椭圆C的方12程为( )

x2y2A.??1

62x2y2C.??1

x2y2B.??1

84x2y2D.??1

2016二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.若a,b?R，且ab?0，则下列不等式中，恒成立的是( )

A.a2?b2?2ab

112??C.

abab

B.a?b?2ab

D.??2

π）的最小正周期2baab10.已知函数f(x)?sin(2?x??)（?为正整数，|?|?π?3π3π?将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对T??,?，6?42?称，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )

A.?π是函数f(x)的一个零点

65π对称

12B.函数f(x)的图象关于直线x??C.方程f(x)?1在[0,π]上有三个解

?ππ?D.函数f(x)在?,?上单调递减

?62?11.已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c(a,b,c?R)，则下列说法正确的是( )

A.若实数x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且满足x1?x2?x1x2，则a?0或a??6

B.函数f(x)的图象过坐标原点的充要条件是c?0

C.若函数f(x)在R上单调，则3b?a2

D.若函数f(x)的图象关于点(1,f(1))中心对称，则a??3

12.正四面体PABC中，点M,N分别满足PM?PA,PN??PB，其中??[0,1]，则下列说法正确的有( )

A.当??时，MN//平面ABC

B.不存在λ使得MN?PC

C.异面直线BM与PC所成角的余弦值3

312uuurr1uuruuu2uurD.若正四面体的棱长为22，则该正四面体的外接球的体积为43π

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知数列?an?的前n项和为Sn，且2an?n?Sn，则a2023?________.

1??14.?1?2x2??x??的展开式中常数项为_________.（用数字作答）

x??x2y215.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的实轴长为4，离心率为2，直线l与Cab8交于A，B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点.若点M的横坐标为1，则OM的取值范围为________.

f?x1??ax1f?x2??ax2ex?16.已知函数f(x)?，x?(0,??)，当x2?x1时，不等式恒x2x1x成立，则实数a的取值范围为____________.

四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列?an?的前n项和为Sn.

（1）若S1?2，Sn?1?2Sn?2，证明：Sn?an?1?2；

（2）在（1）的条件下，若bn?log2an，数列?bn?的前n项和为Tn，求证111???T1T2T3?1?2.

Tn18.（12分）已知菱形ABCD的边长为2，?DAB?60?，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.

(1)若△CDE的面积为3，求DE的长.

2(2)若7CF?4DF，求sin?DFC.

19.（12分）某工厂统计了某产品的原材料投人x(万元)与利润y(万元)间的几组数据如下：

原材料投入x(万元)

利润y(万元)

770

800

830

850

900

(1)根据经验可知原材料投人x(万元)与利润y(万元)间具有线性相关关系，求利润y(万元)关于原材料投人x(万元)的线性回归方程.

(2)当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为多少万元?

??附：b??xi?1ni?x??yi?y???xi?1n，a?y?bx.

i?x?220.（12分）如图，PO是三棱锥P?ABC的高，PA?PB，AB?AC，E是PB的中点.

（1）求证：OE//平面PAC；

（2）若?ABO??CBO?30?，PO?3，PA?5，求二面角C?AE?B正余弦值.

21.（12分）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且△OAB的重心G在曲线9x2?6y?2?0上.

(1)求抛物线C的方程；

(2)记曲线9x2?6y?2?0与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.

ea(x?1)22.（12分）已知函数f(x)?(其中e为自然对数的底数，a?R).

axe(1)当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

2?2e. (2)若a?0，方程f?x?1??a?0有两个不同的实数根x1,x2，求证：x12?x2

答案以及解析

1.答案：D

解析：集合B?{1,3}，所以AB?{?1,1,2,3}，所以?U(AB)?{?2,0}.故选D.

2.答案：D

(3?i)2?8?6i??4?2i?32?16i?24i?12???1?2i，所以z?5，故选D. 解析：由z?4?2i?4?2i??4?2i?203.答案：B

解析：由|a?b|2?a2?b2?2a?b?7，解得a?b?1，所以cos?b的夹角为，故选B.

4.答案：B

解析：设A1，A2分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，

甲厂生产该芯片的次品率为p，

则P?A1??12321∣A1??p，P?B，

?，P?A2??，P?B∣A2??205520π3a?b1?，则a与ab2则由全概率公式得：3211P?B??P?A1?P?B∣A1??P?A2?P?B∣A2???p???0.08，解得p?，

552010故选：B.

5.答案：A

解析：本题考查圆锥的侧面积、底面积、截面面积的求解.设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为?(0???π)，则πrl?πr2，得l?r，所以?πr32π?π???sin，因为为锐角，所以?，即??，则θ为纯角，所222l4242411以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为l2??42?8.故选A.

22sin4343??6.答案：B

解析：因为y?f(x?1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数f(x)为奇函数，所以f(?x)??f(x)，

又对任意x?R，都有f(x?1)?f(3?x)成立，

所以f(x?2)?f(?x)??f(x)，所以f(x?4)??f(x?2)??[?f(x)]?f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，

因为当x?[?1,0)时，f(x)?2x2，

所以f(2021)?f(1)??f(?1)??2?(?1)2??2，

故选B.

7.答案：D

解析：本题考查数学文化、异面直线所成角.如图，分别取AD,BC,CD的中点P,Q,R，连接EP,PQ,QF,QR,RE,EQ，则ER//CF,QR//BD，所以?QRE(或其补角)为异面直线BD与CF所成角.QR?115BD?AB2?AD2?.由题意知四边形PQFE为等腰梯形，2221212则由等腰梯形的性质知EQ?(PQ?EF)2?OG2?1132?12?10,FQ?(PQ?EF)2?OG2?2，所以22317，所以在VEQR中，由余弦定理，得ER?CF?FQ2?CQ2?(2)2?()2?22ER2?QR2?EQ217cos?QRE??，故选D.

2ER?QR85

8.答案：A

解析：因为点A在椭圆上，所以AF1?AF2?2a，把该等式两边同时平方，得AF1?AF2?2AF1AF2?4a2.又AF1?AF2，所以AF1?AF2?4c2，则22222AF1AF2?4a2?4c2?4b2，即AF1AF2?2b2，所以S△AF1F2?1AF1AF2?b2?2.因为2

△AF1F2是直角三角形，?F1AF2?90?，且O为F1F2的中点，所以|OA|?1F1F2?c.2不妨设点A在第一象限，则?AOF2?30?，所以A??S△AF1F2??31?c,c??，所以22??111F1F2?c?c2?2，即c2?4，故a2?b2?c2?6，所以椭圆C的方程为222x2y2??1，故选A.

629.答案：AD

解析：对于A，因为a2?0,b2?0,ab?0，所以a2?b2?2ab，因此A项正确；对于B，取a?b??1，此时a?b??2?2ab?2，因此B项不正确；对于C，取a?b??1，112ab???2??2，此时ab因此C项不正确；对于D，因为ab?0，所以?0,?0，baab所以??2baabba??2，因此D正确.

ab10.答案：ABD

解析：由题意得，T?2π?3π3π?24解得???，又?为正整数，所以??1，??,?，2??42?33π个单位长度后所得图象对应6所以f(x)?sin(2x??).函数f(x)的图象向右平移???π?π?π???的函数g(x)?f?x???sin?2?x??????sin?2x????.

6?6?3??????由题意，函数g(x)的图象关于原点对称，故??又|?|?ππ即??kπ?(k?Z).?kπ(k?Z)，33π?ππ?，所以k?0，??，所以f(x)?sin?2x??.

3?23???π?π??π?A选项f????sin?2???????sin0?0，故A正确；

?6???6?3???5π?π??5π??π?B选项：f????sin?2???????sin?????1，所以B正确；

?12??2???12?3?令t?2x?C选项：π1?π7π??π7π?，因为x?[0,π]，所以t??,?，，显然sint?在?,?32?33??33?

内只有5π13π，两个解，故C错误；

66π?2π4π??π3π??ππ??ππ?D选项：当x??,?时，2x???,???,?，，故函数f(x)在?,?3?33??22??62??62?上单调递减，D正确.

11.答案：ABD

解析：A选项f?(x)?3x2?2ax?b，由题意知实数x1，x2是方程3x2?2ax?b?0的两个不等实根，

所以??4a2?12b?0，且x1?x2??2ab，x1x2?，由x1?x2?xx得b??2a，12，33所以a2?6a?0，解得a?0或a??6，所以A正确.

B选项：若函数f(x)的图象过坐标原点，则f(0)?c?0，故充分性成立；反之，若c?0，则f(故函数f(x)的图象过坐标原点，必要性成立.故B正确.

0)?c?0，C选项：若函数f(x)在R上单调，则f?(x)?3x2?2ax?b?0恒成立，所以4a2?12b?0，即3b?a2，故C不正确.

D选项：因为函数f(x)的图象关于点(1,f(1))中心对称，所以f(1?x)?f(1?x)?2f(1)，即(1?x)3?a(1?x)2?b(1?x)?c?(1?x)3?a(1?x)2?b(1?x)?c?2(1?a?b?c)，整理得(a?3)x2?0，所以a??3，所以D正确.

12.答案：AD

解析：对于A，如图1，当??时，点M,N分别是PA,PB的中点，MN//AB.又AB?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN//平面ABC，故选项A正确；对于B，如图2，将正四面体PABC放在正方体内，由正方体的结构特征可知AB?PC，所以当M,N分别是PA,PB的中点时，MN?PC，即存在λ使得MN?PC，故选项B错误；对于C，如图1，取AC的中点E，连接ME,BM,BE，则PC//ME，异面直线BM与PC所成角即为?BME.在△BME中，设ME?1，则BE?BM?3，由余弦定理得12

cos?BME?3?1?32?1?3?3，故选项C错误；对于D，如图2，把正四面体放入正6方体中，由正四面体的棱长为22，得正方体的边长为2，所以正方体的外接球的直径为23，则该正方体的外接球的体积，即该正四面体的外接球的体积为4π(3)3?43π，故选项D正确，故选AD.

13.答案：22023?1

解析：因为2an?n?Sn，所以当n?1时，由a1?S1?2a1?1，得a1?1；

当n?2时，an?Sn?Sn?1?2an?n?2an?1??n?1?，

化简得an?2an?1?1，即an?1?2?an?1?1?，所以数列?an?1?是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an?1?2n，所以an?2n?1，所以a2023?22023?1.

14.答案：182

1??1?1???解析：因为?1?2x??x????x???2x2??x??，

x??x?x???28881??r8?r?1?r8?2r其中?x??展开式的通项为Tr?1?C8x???C8x，

xx????1??4?70，令r?4得?x??的常数项为C8x??1??5?56. 令8?2r??2，即r?5得?x??展开式中x?2的系数为C8x??888r

1??所以?1?2x2??x??的常数项为70?2?56?182.

x??8故答案为：182.

15.答案：(2,??)

?a?2,?2a?4,x2y2??解析：由题知?c解得?b?2,所以双曲线C:??1.设直线l的方44e??2,??b2?c2?a2,a???y?kx?m,?程为y?kx?m，联立?x2y2消去y并整理得?1?k2?x2?2kmx?m2?4?0，

?1,???44所以Δ?(?2km)2?4?1?k2???m2?4??0，所以m2?4k2?4?0，

?m2?42km设M?x0,y0?，A?x1,y1?，B?x2,y2?，所以x1?x2?，x1x2?，

1?k21?k2kmmm1km所以x0?，，又，所以，所以x?1y?y??，易知直线?10001?k21?k2kmk1?k2?m2?4?0，l与双曲线左、右两支各交于一点，所以x1x2?所以?1?k?1，所以y0?1，1?k22?2 所以OM?1?y0e?16.答案：???,??

?2?2解析：由题可知，当x2?x1时，不等式x1f?x1??ax12?x2f?x2??ax2恒成立，设g(x)?xf(x)?ax2?ex?ax2，则g(x)在x?(0,??)上是增函数，则g?(x)?ex?2ax?0在exex(x?1)ex(0,??)上恒成立，即2a?在(0,??)上恒成立.令m(x)?，则m?(x)?，当xx2xx?(0,1)时，m?(x)?0，m(x)单调递减，当x?(1,??)时，m?(x)?0，m(x)单调递增.所以2a?m(x)min?m(1)?e，所以a?.

17.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1）因为S1?2，Sn?1?2Sn?2，

所以Sn?1?2?2?Sn?2?，S1?2?4，

所以数列?Sn?2?是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以Sn?2?2n?1，

?Sn?2n?1?2，

当n?2时，Sn?1?2n?2，Sn?Sn?1?an?2n，

当n?1时，a1?S1?2满足上式，

所以an?2n，所以Sn?an?1?2成立.

（2）由（1）知an?2n，

bn?log2an?n，

所以Tn?则n(n?1)，

2121??1??2????，

Tnn(n?1)nn?1??111???T1T2T3111???T1T2T3所以所以?1?11111?2??1??????Tn?223341?2成立.

Tn?11?1????2?1?????2，

nn?1??n?1??18.答案：(1)3

(2)321

14解析：(1)依题意，得?BCD??DAB?60?.

因为△CDE的面积S?CD?CE?sin?BCD?所以?2CE?1233?，解得CE?1.

22123，

2在△CDE中，由余弦定理得DE?CD2?CE2?2CD?CEcos?BCD?22?12?2?2?1?1?3.

2(2)方法一：连接BD.

依题意，得?ACD?30?,?BDC?60?，

设?CDE??，则0????60?，

CFDF，

?sin?sin?ACDCF2因为7CF?4DF，所以sin??，

?2DF7在△CDF中，由正弦定理得所以cos??37，所以sin?DFC?sin?30?+????1237?32321??.

2147方法二：连接BD.

依题意，得?ACD?30?，?BDC?60?，

设?CDE??，则0??0?60?，

设CF?4x，因为7CF?4DF，则DF?7x，

在△CDF中，由余弦定理，得DF2?CD2?CF2?2CD?CFcos?ACD，

即7x2?4?16x2?83x，解得x?又因为CF?AC?3，所以x?所以DF?221，

9CDDF，

?sin?DFCsin?ACD2323，或x?.

93233，所以x?，

9412在△CDF中，由正弦定理得所以sin?DFC?2sin30?2219?321.

1419.答案：(1)y?22x?1040

(2)1160万元

解析：(1)由题中数据可得x???82?84?85?86?88??85，

1y???770?800?830?850?900??830,

515??所以b??xi?15i?x??yi?y?i??xi?15?x?2

???3????60????1????30??0?1?20?3?70(?3)2?(?1)2?0?12?32?22

所以a?y?bx?830?22?85??1040，

所以线性回归方程为y?22x?1040.

(2)当x?100时，y?22?100?1040?1160(万元)，

即当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为1160万元

20.答案：（1）证明见解析

（2）11

13解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.

因为AP?PB，所以PD?AB.

因为PO为三棱锥P?ABC的高，所以PO?平面ABC，

因为AB?平面ABC，所以PO?AB.

又PO,PD?平面POD，且POPD?P，所以AB?平面POD.

因为OD?平面POD，所以AB?OD，

又AB?AC，所以OD//AC，因为OD??平面PAC，AC?平面PAC，所以OD//平面PAC.

因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DE//PA，

因为DE??平面PAC，PA?平面PAC，所以DE//平面PAC.

又OD,DE?平面ODE，ODDE?D，

所以平面ODE//平面PAC.

又OE?平面ODE，所以OE//平面PAC.

（2）连接OA，

因为PO?平面ABC，OA,OB?平面ABC，

所以PO?OA，PO?OB，

所以OA?OB?PA2?PO2?52?32?4.

易得在△AOB中，?OAB??ABO?30?，

所以OD?OAsin30??4??2，AB?2AD?2OAcos30??2?4?又?ABC??ABO??CBO?60?，

所以在Rt△ABC中，AC?ABtan60??43?3?12.

以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABCB(43,0,0)，的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0)，C(0,12,0)，3??P(23,2,3)，E?33,1,?，

2??123?43，

设平面AEC的法向量为n?(x,y,z)，

3???33x?y?z?0?n?AE?0则?，即?，

2???n?AC?0?12y?0令z?23，则n?(?1,0,23).

设平面AEB的法向量为m??x1,y1,z1?，

3??33x?y?z1?0m?AE?0?112则?，即，令z1?2，则m?(0,?3,2).

????43x?0?m?AB?0?1所以|cos?n,m?|?n?m43?.

|n|?|m|13设二面角C?AE?B的大小为?，

?43?11则sin??1???13???13.

??221.答案：(1)x2?2y

(2)30

36p?(1)焦点F?显然直线AB的斜率存在，设AB:y?kx??0,?，?2?p，与x2?2py联立，2消去y得x2?2pkx?p2?0，设A?x1,y1?，则x1?x2?2pk,x1x2??p2，B?x2,y2?，G?x0,y0?，2所以y1?y2?k?x1?x2??p?2pk?2pk?x0?,2?3x1?30p，所以?且，

y??02232pk?p?y?,0?3?2pk2?p34p2k212p2k2?1故，

????32933即2pk2?p?2p2k2?1，

2整理得2pk?p?1??p?1对任意的k恒成立，故p?1，所求抛物线C的方程为x2?2y.

2k1??1?，?1?，k?0，x?(2)由题知F?，，x?k0,D0,E?,0GM??????3?2??3??2k?，则ODOF?2.又弦3ODOG22???，△OAB的重心为G，AB的中点为M，则，故所以DG//ME.

OM3OFOM3OG

11点D到直线AB的距离d?62?，

21?k61?kDG?1?k22k??k?，ME?1?k2k?????1?k2????

2k3?2k???1?1?所以四边形DEMG的面积

S?11?k22?2k1???k??32k??11?5k1??????61?k212?32k???1530??2?

??12636?

当且仅当5k3?1，即k??30时取等号，

2k1036此时四边形DEMG面积的最小值为30.