2023年12月27日发(作者：大黄蜂科迈罗)
3.11.山东省实验中学2023届高三第一次诊断考试数学试题2022．10第I卷(选择题)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A=?x|x<1?，B=?x|3x≤3?，则A∩B=A.?-∞,1??2?B.?0,1??2?1?C.?0,??2??1D.???2,1?()2.已知复数z满足z(2+i)+i=2(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为A.45B.-45C.4i54D.-i5()3.要得到函数y=3sin?2x+A.向左平移π个单位3π的函像，只要把函数y=3sin2x的图像3?ππB.向右平移个单位C.向左平移个单位36ab1≤”的a+22C.充要条件(D.向右平移π个单位6(D.既不充分也不必要条件()4.已知a，b>0，则“ab≤1”是“A.充分不必要条件5.已知a=)B.必要不充分条件2ln33，b=，c=则ln4ln22B.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a)A.a>b>c6.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=??????2EF，AF?BC的值为()A.116B.18C.14D.123π,0对称，且在区间4?(πC.2，2D.10π，32())7.已知函数f?x?=sin?ωx+φ?(ω>1，-π≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M?π??则ω和φ的值分别为??0,2??上是单调递减函数，A.2，-π2B.10π，-328.设x0>1，曲线f?x?=alnx-3x+2a在点P?x0,0?处的切线经过点?0,2e?，则alnx0=.2e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有1A.?x∈R，2<1x+1C.若p：?n∈N，n2>2n，则?p：?n∈N，n2≤2n1B.?x∈R，4，2n>n2，则?p：?n≤4，2n≤n2()10.设a>0,b>0,a+b=1，则下列不等式中一定成立的是≤14B.a+b≥2C.2a+2b≥22D.b4+≥8ab()11.已知函数f?x?=a?sinx+cosx?+sinxcosx，则A.存在a∈R，使得f(x)为奇函数a2+1B.f?x?最小值-2()·81·
C.f?x?最小正周期与a有关D.任意a∈R，使得直线x=12.关于函数f?x?=π+kπ?k∈Z?是曲线y=f?x?的对称轴4()2+lnx，则xA.x=2是f(x)的极大值点B.函数y=f?x?-x有且只有1个零点C.存在正实数k，使得f?x?>kx恒成立D.对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f?x1?=f?x2?，则x1+x2>4第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．cc13.设函数f?x?=，若f??1?=，则a的值为x+a4．6的α的一个值：．2?????????2???2???2???215.在△ABC中，AB=2AC=6，BA?BC=BA，点P是△ABC所在平面内的一点，则当PA+PB+PC取得最???小值时，AP．??的值为14.写出满足sinα+cosα=16.在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，若sinBsinCcosAcosC=+，且△ABC的面积S△ABC=ac3sinA322c22则的取值范围是．?a+b-c?，4a+b四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数f?x?=2cos2ωx+23sinωxcosωx+a(ω>0，a∈R)的最大值为1，且f(x)的相邻两条对称轴之间的距π离为．2(1)求函数f(x)的解析式；1π(2)若将函数f(x)图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g(x)的图像，求g(x)在区间?0,??上的??24?值域．·82·
18.已知函数f?x?=x+a．ex(1)讨论函数f?x?的极值点的个数；(2)若函数f?x?在?0,1?上最小值是4，求实数a的值．319.在△ABC中，AB=2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC.15(1)若cos∠ACB=，求cos∠BAC；537(2)若AD=AC，且△ABC的面积为，求BC的长.220.已知函数f?x?=?lnx-a?ex.(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)若f(x)在区间(0，e]存在极小值，求a的取值范围.·83·
21.某街道路宽OD为103米，在道路的边缘点O安装高度为11米(即OA=11)的路灯，灯杆AB与灯柱OA成120°角．当灯罩轴线BC与灯杆AB垂直时，灯罩轴线正好通过OD的中点．(1)求灯杆AB的长；(2)路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC与灯的边缘光线(如图BM，BN)都成30°角．设∠ABC=θ，是否存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面？若存在，求tanθ的取值范围；若不存在，在M，N都落在路面OD上的条件下，求MN的最大值．22.已知函数f?x?=alnx-2x?a≠0?.(1)讨论f?x?的单调性；xa(2)当x>0时，不等式2x-2f?x?≥cos?f?x??恒成立，求a的取值范围.e·84·
3.11.山东省实验中学2023届高三第一次诊断考试数学试题2022．10A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识进行分析，结合不等式的性质求得正确答案.11【详解】依题意，a,b为正实数，a+2>2，0<<.a+2211ab1当ab≤1时，由于0<<，根据不等式的性质可知<，a+22a+22ab1所以“ab≤1”是“≤”的充分条件.a+223ab13ab2113当≤时，取a=1,b=，==≤，但ab=>a+222a+1所以“ab≤1”不是“≤”的必要条件.a+22ab1综上所述，“ab≤1”是“≤”的充分不必要条件.a+22故选：A第I卷(选择题)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A=?x|x<1?，B=?x|3x≤3?，则A∩B=A.?-∞,C.1??0,??2??1??2?B.?0,1??2?()1D.???2,1?【答案】C【解析】【分析】分别求出集合A、B，即可求出A∩B.【详解】集合A=?x|x<1?=?x|0≤x<1?，B=?x|3x≤3?=1????x?x≤2??.1所以A∩B=????x?0≤x≤2??.故选：C5.已知a=2ln33，b=，c=则ln4ln22B.a>c>bD.b>c>a()A.a>b>cC.b>a>c【答案】D2.已知复数z满足z(2+i)+i=2(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为4A.5【答案】A【解析】【分析】先求出复数z，再由共轭复数及虚部的定义即可求解.2?2-i?2-i3-4i34【详解】由题意知，z====-i，2+i555?2+i??2-i??34所以z的共轭复数z=+i.554所以z的共轭复数的虚部为.5故选：A.(4C.i54D.-i5)4B.-5【解析】【分析】将a,b,c化为同底数得对数进行比较即得.21【详解】a===log2e，2ln2ln2ln3b==log23，ln233c==log222=log28，2∵3>8>e∴b>c>a.故选：D.6.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得??????DE=2EF，AF?BC的值为()A.116B.18C.14D.12π3.要得到函数y=3sin?2x+?的函像，只要把函数y3=3sin2x的图像()π3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6A.向左平移【答案】C【解析】【分析】将y=3sin?2x+原则即可得出结果.【详解】y=3sin?2x+ππ?=3sin???2?x+6???，3?π所以只要把函数y=3sin2x的图像向左平移个单位即可得到；6故选：Cππ?变形为y=3sin?结合左加右减??2?x+6???，3?个单位个单位个单位个单位【答案】B【解析】????????????【分析】即?结合数量积的运算求得正???AB,AC??为基底表示出AF,BC，确答案.?????????1???3???1???3??1?【详解】AF=AD+DF=AB+DE=AB+×AC=22222??3???1?AB+AC,24?????????BC=AC-AB，????????3??????????????1???21?1?所以AF?BC=?AB+AC???AC-AB?=-AB?AC-AB2442??23?+AC41π131=-×1×1×cos-×12+×12=.43248故选：B4.已知a，b>0，则“ab≤1”是“ab1≤”的(a+22)7.已知函数f?x?=sin?ωx+φ?(ω>1，-π≤φ≤π)是3πR上的偶函数，其图像关于点M?,0?对称，且在区4·146·
间???0,π?则ω和φ的值分别为?上是单调递减函数，2?()π210π，-3210πD.，32B.A.2，-πC.2，2【答案】C【解析】1A.?x∈R，2<1x+11B.?x∈R，2n，则?p：?n∈N，n2≤2nD.若p：?n>4，2n>n2，则?p：?n≤4，2n≤n2【答案】BC【解析】【分析】通过举例判断A，B，根据含量词的命题的否定方法判断C，D.1【详解】当x=0时，2=1，A错误，x+11当x=-1时，2n”的否定是命题“?n∈N，n2≤2n”C正确，命题“?n>4，2n>n2”的否定是命题“?n>4，2n≤n2”，D错误.故选：BC.【分析】由f(x)是偶函数及-π≤φ≤π可得φ=-于点M?3ππ?,0对称，且在区间?结合ω>1及??0,2??上是单调递减函数，4?余弦函数的图象与性质可求ω.π【详解】解：由f(x)是偶函数，φ=kπ+，k∈Z，2ππ∵-π≤φ≤π，∴当k=0时，φ=，当k=-1时，φ=-，22ππ?上是单调递减函数，又f(x)在区间?故φ=，??0,2??2π∴f(x)=sin?ωx+?=cosωx，23π∵f(x)图象上的点关于M?,0?对称，43π3π3ππ∴f?=cosω=0，故ω=kπ+，k∈Z，4?4422即ω=?2k+1?，k∈Z.3π?π12ππ∵f(x)在区间?单调递减函数，可得≤?=，即ω??0,2??上22ωω≤2.2又∵ω=?2k+1?,k∈Z，ω>1,3∴当k=1时可得ω=2.π故ω=2，φ=.2故选：C．ππ或φ=.由图象关2210.设a>0,b>0,a+b=1，则下列不等式中一定成立的是≤14B.D.a+b≥2b4+≥8ab()C.2a+2b≥22【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.a+b211【详解】A选项：ab≤?=，当且仅当a=b=时，等号成立，?242故A正确；2B选项：所以a+b≤?a+b?=a+b+2ab≤1+a+b=2，12，当且仅当a=b=时，等号成立，故B错；21C选项：2a+2b≥22a+b=22，当且仅当a=b=时，等号成立，故2C正确；4?a+b?b4bb4aD选项：+=+=++4≥2b?4a+4=8，abaaabbbb4a12当且仅当=，即a=，b=时，等号成立，故D正确.a33b故选：ACD.8.设x0>1，曲线f?x?=alnx-3x+2a在点P?x0,0?处的切线经过点?0,2e?，则alnx0=A.0【答案】C【解析】【分析】根据已知得到?3x0-2e?lnx0+3x0-4e=0，令g?x?=再利用导数求出函数的单调性和零点得解.?3x-2e?lnx+3x-4e，【详解】解：由题得f?x0?=0，即alnx0-3x0+2a=0①，aa2e又f??x?=-3，所以f??x0?=-3=，即3x0-a=2e②，xx0-x0联立①②得?3x0-2e?lnx0+3x0-4e=0，2e令g?x?=?3x-2e?lnx+3x-4e，所以g??x?=3lnx+6-，x则g??x?在区间?0,+∞?内单调递增，1又g???=3-2e2<0,g??1?=6-2e>0，e1由零点存在性定理可知存在m∈?,1?，使得g??m?=0，e当x∈?0,m?时，g??x?<0，所以g?x?单调递减；当x∈?m,+∞?时，g?x?>0，所以g?x?单调递增，又x0>1，且g?e?=0，所以x0=e，代入②得a=e，所以alnx0=e.故选：C.?(D.2e)B.1C.e11.已知函数f?x?=a?sinx+cosx?+sinxcosx，则()A.存在a∈R，使得f(x)为奇函数a2+1B.f?x?最小值-2C.f?x?最小正周期与a有关πD.任意a∈R，使得直线x=+kπ?k∈Z?是曲线4y=f?x?的对称轴【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的奇偶性、最值、最小正周期、对称轴、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，f?x?=a?sinx+cosx?+sinxcosx.对于A选项，当a=0时，f?x?=sinxcosx，f?-x?=sin?-x?cos?-x?=-sinxcosx=-f?x?，所以f?x?是奇函数，A选项正确.对于B选项，令t=sinx+cosx=2sin?x+则t2=1+2sinxcosx,sinxcosx=π∈?-2,2?，4?t2-1，2t2-111所以f?x?转化为二次函数y=at+=t2+at-，222二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有()·147·
开口向上，对称轴t=-a，当-2<-a<2,-21时，y=x-xlnx-4单调递减，01)，即有x2=x1t，x12222f(x1)=f(x2)即为+lnx1=+lnx2，化为+lnx1=+x1x2x1x1tln(x1t)，2(t-1)2(t-1)2t(t-1)可得x1=，则x1+x2>4?+>4?t2-1tlnttlnttlnt-2tlnt>0，设h(t)=t2-1-2tlnt(t>1)，可得h?(t)=2t-2(1+lnt)=2(t-1-lnt)，由m(t)=t-1-lnt的导数为m?(t)=1-m(t)单调递增，可得m(t)>m?1?=0，∴h?(t)>0，h(t)单调递增，可得h?t?>h?1?=0，故x1+x2>4成立，故D正确．故选：BD．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．1，可得t>1时，m?(t)>0，t第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．cc13.设函数f?x?=，若f??1?=，则a的值为x+a4．【答案】a≠-1【解析】c求得a的值.4ccc?【详解】f??x?=-2,f?1?=-2=4，?x+a??1+a?【分析】结合导数运算以及f??1?=当c=0时，a≠-1；2当c≠0时，无解?1+a?=-4，12.关于函数f?x?=2+lnx，则x()A.x=2是f(x)的极大值点B.函数y=f?x?-x有且只有1个零点C.存在正实数k，使得f?x?>kx恒成立D.对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f?x1?=f?x2?，则x1+x2>4【答案】BD【解析】【分析】求得f(x)的导数和单调性、极值，可判断A；求得y=f(x)-x的导数，可得单调性，计算x=1，x=2的函数值，可判断B；由参数分离和x构造函数求得导数，判断单调性，可判断C；设2=t(t>1)，由f(x1)=x1f(x2)，求得x1，x2关于t的函数式，结合分析法，构造函数，判断单调性，可判断D．【详解】解：f(x)=2+lnx，x21x-2∴f?(x)=-2+=，xxx2当x>2时，f?(x)>0，函数f(x)单调递增，当00，f?2?=1+ln2-2=ln2-1<0，∴y=f(x)-x有且只有一个零点，故B正确；2lnxf(x)>kx等价为0??????π∴CA⊥AB，即∠A=，2以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，(2)若将函数f(x)图像上的点纵坐标不变，横坐标变1为原来的，得到函数g(x)的图像，求g(x)在区间2π????0,4??上的值域．【答案】(1)f(x)=2sin?2x+(2)?-2,1?【解析】【分析】(1)先将f(x)用三角恒等变换公式化简，再根据最大值和相邻两条对称轴之间的距分别求出a和ω代入即可；(2)根据三角函数图像变π-16?则B(6,0)，C(0,3)，设P(x,y)，???2???2???2则PA+PB+PC=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2，=3x2-12x+3y2-6y+45，=3[(x-2)2+(y-1)2+10]，∴当x=2，y=1时取得最小值，此时P?2,1?，??????2所以AP=?2,1?，则?AP?=2+12=5；故答案为：5．换规律，得到函数g(x)的解析式，再根据复合函数求值域的方法逐层计算取值范围即可.【小问1详解】f?x?=2cos2ωx+23sinωxcosωx+a=2cos2ωx-1+23sinωxcosωx+a+1=cos2ωx+3sin2ωx+a+113=2?cos2ωx+sin2ωx?+a+122π=2sin?2ωx+?+a+16f(x)最大值为2×1+a+1=1，所以a=-2Tπ2πf(x)的相邻两条对称轴之间的距离为=，所以T==π，ω=1222ωπ所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin?2x+?-16【小问2详解】由题函数g(x)的解析式为g(x)=2sin?4x+∵x∈???0,π??4?∴4x∈?0,π?ππ7π?∴4x+∈???,6?66?π1∴sin?4x+?∈?-,1????62?π∴g(x)=2sin?4x+?-1∈?-2,1?6π即g(x)在区间??上的值域为?-2,1??0,??4?π-16?16.在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，若sinBsinCcosAcosC=+，且△ABC的面积S△ABCac3sinA322c22=则的取值范围是．?a+b-c?，4a+b【答案】[1,2)【解析】32【分析】根据条件S△ABC=a+b2-c2?右边的特征选择合适的面积4?sinBsinCcosA公式，求出角C，再利用正弦定理和余弦定理将=+a3sinAcosC进行转化，从而求出c，最后求解问题.c32【详解】已知△ABC的面积S△ABC=(a+b2-c2)，43(a2+b2-c2)132则absinC=(a+b2-c2)，即sinC==242ab3cosC，π即tanC=3，则C=，3sinBsinCcosAcosCacsinBsinC由=+可得：=c?cosA+a?ac3sinA3sinAcosC，acsinBsinCb2+c2-a2a2+b2-c2由余弦定理可得：=c?+a?=b，2bc2ab3sinA即acsinBsinC=3bsinA，由正弦定理可得：csinC=3，则c=23,bac由正弦定理可得：===4，sinBsinCsinA2π?=则a+b=4(sinA+sinB)=4???sinA+sin?3-A???33πππ4?sinA+cosA?=43sin?A+?，又C=，则A+∈22636π5ππ?6,6?,则43sin?A+6?∈(23,43]，2c则∈[1,2).a+b故答案为：[1,2).【点睛】主要是抓住条件的特征，合理地利用正弦定理和余弦定理转化条件，最后利用正弦定理将边长相关的取值范围转化为三角函数值的取值范围，进而求解.18.已知函数f?x?=x+a．ex(1)讨论函数f?x?的极值点的个数；(2)若函数f?x?在?0,1?上的值．最小值是4，求实数a3 【答案】(1)a≤0时，0个极值点；a>0时，1个极值点.(2)a=e13【解析】【分析】(1)求得f??x?，对a进行分类讨论，由此求得f?x?的极值点个数.(2)结合(1)的结论，对a进行分类讨论，由f?x?在区间?0,1?上的最小值求得实数a的值.【小问1详解】aex-af??x?=1-x=，eex当a≤0时，f??x?>0,f?x?在R上递增，0个极值点.当a>0时，f??x?=0?x=lna，f?x?在区间?-∞,lna?,f??x?<0,f?x?递减；在区间?lna,+∞?,f??x?>0,f?x?递增，所以当x=lna时，f?x?取得极小值，所以f?x?有1个极值点.【小问2详解】由(1)知：当a≤0时，f?x?在?0,1?上递增，4f?x?min=f?0?=a=，不符合.3四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数f?x?=2cos2ωx+23sinωxcosωx+a(ω>0，a∈R)的最大值为1，且f(x)的相邻两条对称轴π之间的距离为．2(1)求函数f(x)的解析式；·149·
当a≥e时，lna≥1，f?x?在区间?0,1?上递减，a41f?x?min=f?1?=1+=,a=e，不符合.e33当10)，求导，从而得到f??1?，f?1?，写出切线方程；11(2)求导f??x?=?+lnx-a?ex，令g?x?=+lnx-a，x∈?0,e?，易xx得函数g?x?在区间(0，e]上的最小值为g?1?=1-a，方法1：分a≤1，1110求解.【小问1详解】当a=0时，f?x?=lnx?ex(x>0)，1则f??x?=?lnx+?ex，x?所以f?1?=e，f?1?=0，所以曲线y=f?x?在x=1处的切线方程为y=e?x-1?；【小问2详解】11f??x?=ex+?lnx-a?ex=?+lnx-a?ex，xx1令g?x?=+lnx-a，x∈?0,e?，x11x-1则g??x?=-2=，xxx2解g??x?=0，得x=1，g??x?与g?x?的变化情况如下：19.在△ABC中，AB=2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC.15，求cos∠BAC；537(2)若AD=AC，且△ABC的面积为，求BC的2长.(1)若cos∠ACB=【答案】(1)(2)32【解析】【分析】(1)在△ABC中，利用正弦定理可得sin∠ABC=得cos∠ABC=即可求解；11(2)利用三角形的面积公式可得AC?AD?sinθ+AB?AD?sinθ=2213AB?AC?sin2θ，从而解得cosθ=，根据三角形的面积求出b2=4，24再由余弦定理即可求解.【小问1详解】1510，得sin∠ACB=，55ABAC在△ABC中，由正弦定理可得=，sin∠ACBsin∠ABC10又AB=2AC，所以sin∠ABC=，10310AB>AC，故cos∠ABC=，10所以cos∠CAB=cos?π-∠ABC-∠ACB?=由cos∠ACB=-cos?∠ABC+∠ACB?，即cos∠CAB=sin∠ABCsin∠ACB-cos∠ABCcos∠ACB，1010310152-36所以cos∠CAB=×-×=.10510510【小问2详解】由已知，设AB=2AC=2t，所以AD=AC=t，另设∠CAD=θ.111由S△ABC=S△ACD+S△ABD，可得?t?2t?sin2θ=t?t?sinθ+?2t?222t?sinθ，1所以2sinθ?cosθ=sinθ+sinθ，231因为sinθ≠0，所以cosθ=，所以cos2θ=2cos2θ-1=，4837又0<2θ<π,sin2θ=1-cos22θ=，8371372又S△ABC==?t?2t?sin2θ=t，所以t2=4，22899所以BC2=t2+4t2-2?t?2t?cos2θ=t2=×4=18，22所以BC=32.10，从而可102-3610310，再由cos∠CAB=-cos?∠ABC+∠ACB?，展开10x(0，1)1(1，e)g?-0+?x?g?x?↘极小值↗所以函数g?x?在区间(0，e]上的最小值为g?1?=1-a，方法1：①当a≤1时，g?1?=1-a≥0所以g?x?≥0恒成立，即f??x?≥0恒成立，所以函数f?x?在区间(0，e]上是增函数，无极值，不符合要求，11②当10，ee所以存在x0∈?1,e?，使得g?x0?=0xg(x)(f?(x))f(x)(1，x0)-↘x00极小值(x0，e)+↗所以函数f?x?在区间(1，e)上存在极小值f?x0?，符合要求，11③当a≥1+时，因为g?e?=1+-a<0ee所以函数f?x?在区间(1，e)上无极值.11取x=∈?0,1?，则g?=ae-lna-1-a≥ae-?a-1?-1-aaeae?=a?e-2?>0所以存在x0∈?0,1?，使得g?x0?=0易知，x0为函数f?x?在区间(0，1)上的极大值点.所以函数f?x?在区间(0，e)上有极大值，无极小值，不符合要求1综上，实数a的取值范围是?1,1+?.e方法2：g?1?<0“f?x?在区间(0，e]上存在极小值”，当且仅当?解得10，11+.e20.已知函数f?x?=?lnx-a?ex.(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)若f(x)在区间(0，e]存在极小值，求a的取值范围.【答案】(1)y=e?x-1?·150·
证明如下：当10，xg(x)(f?(x))f(x)(1，x0)-↘x00极小值(x0，e)+↗所以函数f?x?在区间(1，e)上存在极小值.1所以实数a的取值范围是?1,1+?.e【点睛】方法点睛：本题第二问f(x)在区间(0，e]是否存在极小值，转化为f?(x)=0有不等零点且左负右正求解.【小问2详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A?0,11?，C?53,0?，又∠OAB=120°，所以∠yAB=60°，又AB=2，所以B?3,12?．21.某街道路宽OD为103米，在道路的边缘点O安装高度为11米(即OA=11)的路灯，灯杆AB与灯柱OA成120°角．当灯罩轴线BC与灯杆AB垂直时，灯罩轴线正好通过OD的中点．(1)求灯杆AB的长；(2)路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC与灯的边缘光线(如图BM，BN)都成30°角．设∠ABC=θ，是否存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面？若存在，求tanθ的取值范围；若不存在，在M，N都落在路面OD上的条件下，求MN的最大值．【答案】(1)2(2)不存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面；在M，N都落在路面OD1293上的条件下，MN的最大值为米13【解析】【分析】(1)连接AC，由勾股定理求出AC，即可求出sin∠OAC，cos∠OAC，再根据两角差的余弦公式求出cos∠CAB，再由锐角三角函数求出AB；(2)建立如图所示的平面直角坐标系，假定存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面．由题意得BM，BN所在直线的斜率均存在，其中BM所在直线的方程为y=?x-3?tanθ+12，令y=0，求出M的坐标，同理得12121N的坐标，得到MN=-，设f?θ?=-tanθtanθtan?θ+60°?1，运用三角函数知识即可解题．tan?θ+60°?【小问1详解】解：如图连接AC，依题意OC=53、OA=11，所以AC=OA2+OC2=14，所以sin∠OAC=OA11=，14AC又∠OAB=120°，cos∠OAC=所以∠CAB=120°-∠OAC，所以cos∠CAB=cos?120°-∠OAC?=cos120°cos∠OAC+sin120°sin∠OAC1113531=-×+×=，2142147又∠ABC=90°，OC53=，14AC假定存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面．由∠ABC=θ，有∠BCD=θ+30°，则∠BND=θ+60°，∠BMD=θ．当θ=90°时，BM⊥x轴，由(1)得M?3,0?，此时OM段没有光线照射到，不满足要求，则θ<90°．由题意，BM、BN所在直线的斜率均存在，其中BM的方程为y=?x-3?tanθ+12，1212，即M?3-,0，同理得tanθtanθ?令y=0，得x=3-N12,0．tan?θ+60°?12令3-≤0，得043，故不存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面．3131212∴当43≤tanθ≤3时，MN=-．3tanθtan?θ+60°?cos?θ+60°?11cosθ设f?θ?=-=-=tanθsinθtan?θ+60°?sin?θ+60°?32sinθ?sin?θ+60°?1-cos2θ3又2sinθsin?θ+60°?=sin2θ+3sinθcosθ=+sin2θ221=+sin?2θ-30°?．2∵tanθ≥43，1+3tan45°+tan30°3又tan75°=tan?45°+30°?===2+3<1-tan45°tan30°1-3343，?3-?∴75°<θ<90°，则120°<2θ-30°<150°.∴sin?2θ-30°?单调递减，故f?θ?在定义域内单调递增．1312当tanθ=3时，MN最大，最大值为103-?3-3?=3131293．13故不存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面；在M，N都落在路面OD上·151·
的条件下，MN的最大值为1293米．13-∞，此时函数f?x?的值域为?-∞,aln(i)当alna-a≤0时，即当00时，即当a>2e时，取t1=min????aln2-a,t0??，2结合图象可知g?t1?<0，不合乎题意.综上所述，实数a的取值范围是?0,2e?.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于换元t=f?x?，将问题转化为g?t?=et-2t-cost≥0，通过求出t=f?x?的取值范围，结合函数g?t?的图象得出关于实数a的不等式进行求解.?22.已知函数f?x?=alnx-2x?a≠0?.(1)讨论f?x?的单调性；xa(2)当x>0时，不等式2x-2f?x?≥cos?f?x??恒成e立，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)?0,2e?【解析】a-2x【分析】(1)求出函数f?x?的定义域，求得f?x?=，分析导数的x符号变化，由此可得出函数f?x?的单调递增区间和递减区间；(2)令t=f?x?，g?t?=et-2t-cost，利用导数分析函数g?t?的单调性，对实数a的取值进行分类讨论，求出t=f?x?的取值范围，结合函数g?t?的图象可得出关于实数a的不等式，即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】解：函数f?x?=alnx-2x?a≠0?的定义域为?0,+∞?，且f??x?=2=a-2x.x当a<0时，因为x>0，则f??x?<0，此时函数f?x?的单调递减区间为?0,+∞?；aa-a?即t∈?-∞,aln-a????，?.22a-xaa，由f??x?>0可得00时，函数f?x?的单调递增区间为?0,?，单调递减区间为2a?2,+∞?.【小问2详解】fxxa解：2x-2f?x?≥cos?f?x???ealnx-2x-2f?x?-cos?f?x??≥0?e??e-2f?x?-cos?f?x??≥0，当a>0时，由f??x?<0可得x>设g?t?=et-2t-cost，其中t=f?x?，则g??t?=et-2+sint，设h?t?=et+sint-2，则h??t?=et+cost，当t≤0时，et≤1，sint≤1，且等号不同时成立，则g??t?<0恒成立，当t>0时，et>1，cost≥-1，则h??t?>0恒成立，则g??t?在?0,+∞?上单调递增，又因为g??0?=-1，g??1?=e-2+sin1>0，所以，存在t0∈?0,1?使得g??t0?=0，当0t0时，g??t?>0.所以，函数g?t?在?-∞,t0?上单调递减，在?t0,+∞?上单调递增，且g?0?=0，作出函数g?t?的图象如下图所示：由(1)中函数f?x?的单调性可知，①当a<0时，f?x?在?0,+∞?上单调递增，当x→0+时，f?x?→+∞，当x→+∞时，f?x?→-∞，所以，t=f?x?∈R，此时g?t0?<0，不合乎题意；aa②当a>0时，f?x?max=f??=aln-a，且当x→0+时，f?x?→22·152·
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