2023年12月25日发(作者：路特斯跑车50万)

2.1.2两条直线平行和垂直的判定（基础知识+基本题型）知识点一两条直线平行的判定设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1,k2，若l1//l2，则l1与l2的倾斜角?1与?2相等，如图3.1-11，由a1?a2，得tan?1?tan?2，即k1?k2，因此，若l1//l2，则k1?k2；反之，若k1?k2，则l1//l2.提示：对两直线平行与斜率的关系要注意：（1）直线l1//l2?k1?k2成立的前提条件有两个：①l1与l2不重合；②l1,l2斜率都存在.（2）当两条直线的斜率都不存在且不重合时，l1与l2的倾斜角都是90?，则l1//l2.（3）两条不重合直线平行的判定的一般性结论是：l1//l2?k1?k2，或l1，l2的斜率都不存在.知识点二两条直线垂直的判定设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，倾斜角分别为?1,?2，且?1,?2都不为直角，若l1?l2，则?1??2（若?1??2，则l1//l2），由三角形任一外角等于其不相邻两内角之和，得????1?90?.则k1?k2??1.若l1?l2，则k1?k2??1.要点诠释：1.公式l1?l2?k1?k2??1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.考点一两条直线平行关系的判定

例1根据下列给定的条件，判定直线l1与直线l2是否平行：（1）l1经过点A?2,3?，B??4,0?；l2经过点M??3,1?，N??2,2?；（2）l1的斜率为?1，l2经过点A?4,2?，B?2,3?；2（3）l1平行于y轴，l2经过点P?0,?2?，Q?0,5?；（4）l1经过点E?0,1?，F??2,?1?，l2经过点G?3,4?，H?2,3?．解：（1）kAB?3?012?1?，kMN??1，2???4?2?2???3?kAB?kMN，所以l1与l2不平行．（2）l1的斜率k1??13?21??，即k1?k2，所以l1与l2平行或重合．，l2的斜率k2?22?42（3）由题意，知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1//l2．（4）由题意，知kEF??1?13?4?1，kGH??1，所以l1与l2平行或重合．?2?02?34???1?3???2??1．所以E，F，G，需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG?H四点共线．所以l1与l2重合．总结升华：判断两条直线平行的注意事项（1）判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等．（2）判断斜率是否相等，实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两条直线平行的条件：同位角相等，则两直线平行．（3）在两条直线斜率都存在，且相等的情况下，应注意两条直线是否重合．考点二两条直线平行关系的应用例2已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A?0,1?，B?1,0?，C?4,3?，求顶点D的坐标：分析：由平行四边形的性质AB//CD，且AD//BC着手，设出点D的坐标，由斜率相等，解方程组求得．解：设D?m,n?，由题意，得AB//CD，AD//BC，则有kAB?kDC，kAD?kBC，

?0?13?n???m?3?1?04?m所以?，解得?，所以点D的坐标为?3,4?．n?13?0?n?4????m?04?1总结：解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用解析几何的方法表示并解决．本题就是利用两直线平行与斜率的关系求解的．例3已知P??2,m?，Q?m,4?，M?m?2,3?，N?1,1?，若直线PQ//直线MN，则m?_____．解析：当m??2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m??1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m??2且m??1时，kPQ?3?124?m4?m??，kMN?．m?2?1m?1m???2?m?24?m2?，解得m?0或m?1．m?2m?1因为直线PQ//直线MN，所以kPQ?kMN，即经检验，当m?0或m?1时，直线MN，PQ都不重合．综上，m的值为0或1．答案：0或1．考点三两条直线平垂直关系的判定例4判断l1与l2是否垂直：（1）l1的斜率为?10，l2经过点A?10,2?，B?20,3?；（2）l1经过点A?3,4?，B?3,10?；l2经过点M??10,40?，N?10,40?．l2的斜率分别为k1，k2，k2?解：（1）设直线l1，则k1??10，3?21?，因为k1k2??1，20?1010所以l1?l2．（2）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则由A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90?，则l1?x轴；k2?40?40?0，则l2//x轴．故l1?l2．10???10?总结：判断两条直线是否垂直的依据：当这两条直线都有斜率时，只需看它们的斜率之积是否等于?1即可．当应注意，当有一条直线与x轴垂直，另一条与x轴平行时，两条直线也垂直．考点四两条直线垂直关系的应用B?a?2,3?，D?1,a?2?．例5已知直线l1经过A?3,a?，直线l2经过点C?2,3?，如果l1?l2，

求a的值．l2的斜率分别为k1，k2，解：设直线l1，因为直线l2经过点C?2,3?，D?1,a?2?，且2?1，所以l2的斜率存在．当k2?0时，k1不存在，a?2?3，则a?5，此时l1与l2垂直．当k2?0时，a?5，此时k1存在．由k1k2??1，得3?aa?2?3???1．解得a?2．a?2?31?2综上，a的值为5或2．由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为?1求解．但在解题过程中要注意讨论直线与x轴垂直的情况．此时一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在．对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等，即可求解．考点五两条直线平行或垂直的综合问题例6已知A??4,3?，B?2,5?，C?6,3?，D??3,0?四点，若顺次连接ABCD四点，试判断图形ABCD的形状．解：由题意，知A，B，C，D四点在坐标平面的位置如图3．1-13，y5AD-3O26x3BC图3.1-13由斜率公式，得kAB?kBC?3?51??．6?220?315?310?3??，kCD???3，，kAD??3?632???4?3?3???4?所以kAB?kCD，由图3．1-13，知AB与CD不重合，所以AB//CD．因为kAD?kBC，所以AD与BC不平行．1又因为kAB?kAD????3???1，所以AB?AD．3故四边形ABCD为直角梯形．

利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤：描点在平面直角坐标系中描出给定的点猜测根据描出的点，猜测图形的形状求斜率根据给定点的坐标求直线的斜率下结论由斜率之间的关系判断形状

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